重难点专题01 灵活使用”消元“思想解方程（组）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

第三章 重难点专题01 灵活使用”消元“思想解方程（组） 学习目标 ①理解并会运用消元法求未知参数； ②了解消元法的几种消元方式，灵活选择合适的消元方式进行解题，在代数推理的过程中感受消元思想。 知识点01 消元法 ·消元：将许多关系式中的若干个元素通过有限次地变换，消去其中的某些元素的过程 ·方程中的消元：含有多个未知字母的几个等式，排列在一起，利用等式的性质逐个消去未知数的过程 【即学即练】（22-23七年级下·北京通州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 知识点02 常见的消元方式 代入消元法、加减消元法、整体消元法、换元消元法、构造消元法 ·方程中的消元思想 “消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。 ·运用消元思想的关键：找到题干中隐含的等量关系，构造新方程（组） 【题型一：同解问题】 例1．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知方程组和有相同的解，则的值分别是（    ） A．1、2 B．4、 C．、2 D．14、2 变式1．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知方程组和方程组的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 【题型二：根据方程组的解的情况求代数式（参数）的值】 例2.（23-24七年级下·北京平谷·期中）方程组的解与的值互为相反数，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于x、y的方程 (1)若此方程组的解x、y互为相反数，求这个方程组的解及m的值； (2)用代入法求方程组的解（用含m的式子表示）． 例3．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）已知关于x，y的二元一次方程组下列结论中正确的是（    ） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当，时，；③无论a取何值，的值始终不变． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 变式3-1．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，；②当时，x与y互为相反数；③无论a取何值时，都有；④当时，．其中正确结论的序号是（　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 变式3-2．已知关于，的方程组下列结论正确的有（　）个． ①当时，该方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型三：新定义运算】 例4．（22-23七年级下·全国·期末）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 变式4.（23-24八年级下·山东淄博·期中）对任意实数定义一种新运算T，即：（其中均为非零常数）．例如：．已知，下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有3组整数解．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2024 2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于的方程组下列结论错误的是（    ） A．当时，该方程组的解也是方程的解 B．存在实数，使得 C．当时， D．不论取什么实数，的值始终不变 3．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于x，y的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有对； ④若，则． 正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）甲、乙、丙、丁四位同学对关于x，y的二元一次方程组（其中a，b均为非零常数）进行探究后有以下描述： 甲：若，则； 乙：当时，方程组中的x与y互为相反数； 丙：若是方程组的解，则方程组的解为． 则所有正确的描述有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（23-24七年级下·山东威海·期中）已知关于，的方程组有以下结论，其中错误的是（ ） ①当时，方程组的解是；②当，则； ③不论取什么实数，的值始终不变   ④方程组的解为 A．① B．② C．③ D．④ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 重难点专题01 灵活使用”消元“思想解方程（组） 学习目标 ①理解并会运用消元法求未知参数； ②了解消元法的几种消元方式，灵活选择合适的消元方式进行解题，在代数推理的过程中感受消元思想。 知识点01 消元法 ·消元：将许多关系式中的若干个元素通过有限次地变换，消去其中的某些元素的过程 ·方程中的消元：含有多个未知字母的几个等式，排列在一起，利用等式的性质逐个消去未知数的过程 【即学即练】（22-23七年级下·北京通州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】将②①，得到，再代入即可得到m的值． 【详解】解： ②①， ③ 把③代入中，得 ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键． 知识点02 常见的消元方式 代入消元法、加减消元法、整体消元法、换元消元法、构造消元法 ·方程中的消元思想 “消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。 ·运用消元思想的关键：找到题干中隐含的等量关系，构造新方程（组） 【题型一：同解问题】 例1．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知方程组和有相同的解，则的值分别是（    ） A．1、2 B．4、 C．、2 D．14、2 【答案】A 【知识点】加减消元法、同解方程组 【分析】本题考查同解方程组求参数，先由题意得到，利用加减消元法解方程组得到，将其代入方程组和得到求解即可得到答案，熟练掌握方程组的解及解二元一次方程组的方法是解决问题的关键． 【详解】解：方程组和有相同的解， 方程组与和有相同的解， ， 由①②得， 将代入②得， 方程组和的解为， 将代入方程组和得到，解得， 故选：A． 变式1．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知方程组和方程组的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同解方程组、加减消元法 【分析】本题主要考查了同解方程组的问题、解二元一次方程组： （1）根据题意可得方程组，解得，据此代值计算即可； （2）根据（1）所求得到方程组，解得，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵方程组和方程组的解相同， ∴方程和方程有相同的解， 联立，解得， ∴； （2）解：由（1）可知方程组， 解得， ∴． 【题型二：根据方程组的解的情况求代数式（参数）的值】 例2.（23-24七年级下·北京平谷·期中）方程组的解与的值互为相反数，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】加减消元法、相反数的定义 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，相反数，掌握加减消元法是解题的关键； 利用加减消元法得，，再根据相反数的定义，即可得到答案． 【详解】 ，得 ， 把代入得， ， 与的值互为相反数， ， 解得． 故选：B． 变式2．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于x、y的方程 (1)若此方程组的解x、y互为相反数，求这个方程组的解及m的值； (2)用代入法求方程组的解（用含m的式子表示）． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、代入消元法 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握代入法的操作方法是解题的关键． （1）根据方程组的解互为相反数可得，代入方程①求出y，再代入方程②求出m即可． （2）用代入消元法求解即可． 【详解】（1）∵方程组的解x、y互为相反数， ∴， ③代入①得，， ∴， ∴， ∴， ∴方程组的解是，． （2）， 由①，得 ， 把③代入②，得 ， ∴， 代入③，得 ， ∴． 例3．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）已知关于x，y的二元一次方程组下列结论中正确的是（    ） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当，时，；③无论a取何值，的值始终不变． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】加减消元法、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决问题的关键．解方程组得，再根据条件进行判断即可． 【详解】解方程组得 ①∵x，y的值互为相反数， ∴， ∴， 解得，故①正确； ②∵，， ∴ 解得， 故②错误； ③∵，， ∴，即的值始终不变， 故③正确． 故选C． 变式3-1．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，；②当时，x与y互为相反数；③无论a取何值时，都有；④当时，．其中正确结论的序号是（　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式，将代入方程组第二个方程可判断①；将代入方程组第一个方程可判断②；将方程组二个方程相加可判断③；将代入方程组第二个方程可判断④ 【详解】解：①当时，， ∴， 故①正确； ②当时，， ∴， 故②正确； ③方程组中的两个方程相加得， ， ∴， 故③正确； ④当时，， ∴， 故④不正确， 综上，正确的结论是①②③， 故选：C 变式3-2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于，的方程组下列结论正确的有（　　）个． ①当时，该方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解的定义是正确解题的关键． 直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时，原方程组可整理得： ， 解得：， 把代入得： ，故①不正确， ②解方程组得： ， 若， 则， 解得：， 即存在实数k，使得，故②正确， ③解方程组得： ， 当时，， ，故③正确， ④解方程组得： ， ， 不论取什么实数，的值始终不变，故④正确； 故选：C． 【题型三：新定义运算】 例4．（22-23七年级下·全国·期末）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、新定义下的实数运算、加减消元法 【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：（1）由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由题意得：的解为， 由方程组得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． 变式4.（23-24八年级下·山东淄博·期中）对任意实数定义一种新运算T，即：（其中均为非零常数）．例如：．已知，下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有3组整数解．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】加减消元法、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，正确理解题目所给的新定义是解题的关键．首先根据题意可得，求解即可判断结论①；由可得，结合即可判断结论②；由可得，整理可得，结合均为整数可知，进一步求得的值，即可判断结论③． 【详解】解：根据题意，， ∴， 解得，故结论①正确； ∵，即， ∵， ∴，故结论②正确； ∵，即， ∵， ∴， 又∵均为整数， ∴， ∴或， ∴满足条件的值为或，故结论③错误． 故选：C． 1．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】C 【知识点】加减消元法、同解方程组、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含a、b的两个方程联立，求得方程的解，联立含有含a、b的两个方程，把方程的解代入，两方程相加可求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】∵和有相同的解， ∴可以把四个二元一次方程重新组合成方程组， ∵解方程组，得， ∴的解也为， 把代入， 得：， 两个方程相加，得， 整理，得， ∴ 故选：C. 2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于的方程组下列结论错误的是（    ） A．当时，该方程组的解也是方程的解 B．存在实数，使得 C．当时， D．不论取什么实数，的值始终不变 【答案】C 【知识点】代入消元法、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了二元一次方程的解与参数，加减消元法，代入消元法求解的运用，根据题意，分别代入计算验证即可求解． 【详解】解：A、当时，代入二元一次方程组得，， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴，故原选项正确，不符合题意； B、， 得，，整理得，， 把代入①得，，整理得，， 若，则有， 解得，，是实数，故原选项正确，不符合题意； C、， 得，， 当时，则有， 解得，，故原选项错误，符合题意； D、由B选项可得，， ∴， ∴不论取什么实数，的值始终不变，故原选项正确，不符合题意； 故选：C ． 3．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于x，y的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有对； ④若，则． 正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】加减消元法、二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组；①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可求解；②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示、，再根据互为相反数的两个数相加为即可求解；③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论；④根据整体代入的方法即可求解． 【详解】解：，得 ， 将代入②得， 方程组的解为 ∴ 当时，，而， ①正确； ②，当时， ②不正确； ③∵、，为自然数， ∴ 或或或， ③正确； ④，解得， ④正确． 故选：C 4．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）甲、乙、丙、丁四位同学对关于x，y的二元一次方程组（其中a，b均为非零常数）进行探究后有以下描述： 甲：若，则； 乙：当时，方程组中的x与y互为相反数； 丙：若是方程组的解，则方程组的解为． 则所有正确的描述有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．若，则整理为，，加减消元解得，进而可判断甲的正误，当时，则整理为，，加减消元解得，即x与y互为相反数，进而可判断乙的正误；由是方程组的解，则，将代入得，，整理得，，进而可判断丙的正误． 【详解】解：若，则整理为，， 加减消元解得，甲正确，故符合要求； 当时，则整理为，， 加减消元解得，即x与y互为相反数，乙正确，故符合要求； ∵是方程组的解， ∴， 将代入得，， 整理得，，丙正确，故符合要求； 故选：A． 5．（23-24七年级下·山东威海·期中）已知关于，的方程组有以下结论，其中错误的是（ ） ①当时，方程组的解是；②当，则； ③不论取什么实数，的值始终不变   ④方程组的解为 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．根据二元一次方程组的解法以及二元一次方程组解的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：①当时，原方程组变为， ①②得， ， 解得， 把代入①得，， 解得， 所以方程组的解为， 因此①正确； ②当，即代入原方程组可得， ， 即， ②代入①得， ， 解得， 因此②正确； 关于，的方程组将①代入②得， ， 即， 所以， 即， 也就是说不论取什么实数，的值始终不变， 因此③正确， ④ ①②得， ， 解得， 把代入①得，， 解得， 方程组的解为， 因此④错误， 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$