3.6三元一次方程组及其解法（3知识点+5题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

3.6 三元一次方程组及其解法 课程标准 学习目标 *能解简单的三元一次方程组 1.了解三元一次方程组的概念， 2.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元和一元的化归思想，进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想； 3.会解三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法及其步骤。 知识点01 三元一次方程组的概念 ·在一个方程组中共有3个方程，并且含有3个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫做三元一次方程组 【即学即练1】下列是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】下列方程组是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 解三元一次方程组 基本思想：消元； 基本方法：代入消元法和加、减消元法； 基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元 1 把“三元”转化为“二元”：三元一次方程组转化为解二元一次方程组；②解二元一次方程组。 【即学即练3】解方程组： （1） （2） 知识点03 三元一次方程组的应用 基本思路：审题、设3个未知量、列方程组、解方程组、根据题意确定结果。 【即学即练4】某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需 元 ·运用整体思想求一个代数式的值 已知实数x，y满足①，②，求代数式和的值． ·常规思路：将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案． ·“整体思想”简化运算：观察两个方程未知数的系数之间的关系，通过变形整体求得代数式的值． ：可得； ：可得． ·生活中的应用：某班级组织活动购买小奖品，买20只铅笔、3块橡皮、2本日记本共需35元；买39只铅笔、5块橡皮、3本日记本共需62元．求购买9只铅笔、9块橡皮、9本日记本共需多少元？ 解题过程：设铅笔元，橡皮元，日记本元，问题实际求的是x+y+z的值。 由题意可得：， ①②可得：， ； 答：购买9只铅笔、9块橡皮、9本日记本共需72元； 【题型一：解方程组】 例1．解方程组 (1) (2) (3) (4) 【题型二：代入消元法】 例2．已知，且，求的值． 【题型三：三元一次方程组的应用——和差倍问题】 例3．2007—08NBA季后赛，湖人在主场以100比92逆转马刺，晋级总决赛．湖人队的队员科比在这场比赛中23投19中（包括罚球），共夺得39分，他投进两分球的个数是投进三分球个数的2倍．问：科比投中了几个三分球？几个两分球？罚中了几个球（罚球时，投进一个球得一分）？ 【题型四：三元一次方程组的应用——方案问题】 例4．（2024·湖南常德·模拟预测）有7个完全相同的小球，3个完全相同的盒子，他们都不加以区别，若将这7个小球分别放入这3个盒子中，允许有盒子空着不放，则不同放法有 种． 变式4.小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为元、元、 元，购买这些学习用品需要元，经过协商最后以每种单价均下调元成交，结果用了元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有 种不同的购买方法． 【题型五：三元一次方程组的应用——数字问题】 例5．（2023·安徽六安·二模）已知a，b，c均为非负整数，且，．当时，则这三个数字组成的最大三位数可能是（    ） A．340 B．430 C．520 D．610 1．（22-23七年级上·安徽池州·期末）一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（    ） A．325 B．217 C．433 D．541 2．（2024·贵州贵阳·一模）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（    ） a b c 10 d e A． B．0 C．2 D．4 3．（22-23七年级下·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 4.某潮玩店新店开业，推出了网红公仔，动漫手办，卡通盲盒等商品，并在“国庆节”当天进行促销活动，将网红公仔，动漫手办，卡通盲盒混装成甲、乙、丙三种礼包销售，其中甲礼包包含2个公仔、1个手办，6个盲盒；乙礼包包含4个公仔，12个盲盒；丙礼包包含2个公仔、2个手办，1个盲盒，每个礼包的售价等于礼包内所有商品售价之和，10月1日当天，超市对公仔，手办，盲盒的售价分别打9折、8折、5折销售，10月2日恢复原价，小明发现10月1日一个甲礼包的售价等于10月2日一个乙礼包售价的45%，10月1日一个乙礼包的售价比10月2日一个丙礼包售价多8元，若公仔，手办，盲盒的原价都是正整数，且一个公仔的原价不超过14元，则小明在10月1日购买的一个甲礼包和一个乙礼包，应该付 元． 5．解方程组： （1） （2） 6.某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？ 7．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕． (1)求与之间的数量关系． (2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.6 三元一次方程组及其解法 课程标准 学习目标 *能解简单的三元一次方程组 1.了解三元一次方程组的概念， 2.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元和一元的化归思想，进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想； 3.会解三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法及其步骤。 知识点01 三元一次方程组的概念 ·在一个方程组中共有3个方程，并且含有3个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫做三元一次方程组 【即学即练1】下列是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程叫做三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、未知数的最高次数为2次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； B、分母含有未知数，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； C、未知数的最高次数为3次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； D、是三元一次方程组，符合题意，选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题关键． 【即学即练2】下列方程组是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证． 【详解】A、满足三元一次方程组的定义，故A选项正确； B、含未知数项的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项错误； C、未知数的次数为2次，∴不是三元一次方程，故C选项错误； D、含有四个未知数，不满足三元一次方程组的定义，故D选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的定义，清楚三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素是关键． 知识点02 解三元一次方程组 基本思想：消元； 基本方法：代入消元法和加、减消元法； 基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元 1 把“三元”转化为“二元”：三元一次方程组转化为解二元一次方程组；②解二元一次方程组。 【即学即练3】解方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：把代入得， 联立方程组得， 由得， 解得， 把分别代入得，， 原方程组的解为． （2）解：由，得： 由，得：， 把代入，得：， 把代入，得：， ∴原方程组的解集是：． 知识点03 三元一次方程组的应用 基本思路：审题、设3个未知量、列方程组、解方程组、根据题意确定结果。 【即学即练4】某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需 元 【答案】30 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意可得方程组，利用加减消元法可得，据此可得答案． 【详解】解：设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元， 由题意得， 得：， ∴， ∴购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需30元， 故答案为：30． ·运用整体思想求一个代数式的值 已知实数x，y满足①，②，求代数式和的值． ·常规思路：将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案． ·“整体思想”简化运算：观察两个方程未知数的系数之间的关系，通过变形整体求得代数式的值． ：可得； ：可得． ·生活中的应用：某班级组织活动购买小奖品，买20只铅笔、3块橡皮、2本日记本共需35元；买39只铅笔、5块橡皮、3本日记本共需62元．求购买9只铅笔、9块橡皮、9本日记本共需多少元？ 解题过程：设铅笔元，橡皮元，日记本元，问题实际求的是x+y+z的值。 由题意可得：， ①②可得：， ； 答：购买9只铅笔、9块橡皮、9本日记本共需72元； 【题型一：解方程组】 例1．解方程组 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （3）方程组利用加减消元法求出解即可； （4）将三个方程组相加得到的值，分别代入即可得出结果. 【详解】（1）解： ， ，得：， 解得， 把代入①得，， 解得， 则方程组的解为； （2）解：， 由②得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为； （3）解：， ，得：， 把代入①得，， 解得， 则方程组的解为； （4）解：， 得，，即， 将①代入④，得：， 将②代入④，得：， 将③代入④，得：， 则方程组的解为. 【点睛】本题主要考查解方程组，属于基础题，要熟练掌握. 【题型二：代入消元法】 例2．已知，且，求的值． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型． 【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组 ，得 所以原式 ． 【题型三：三元一次方程组的应用——和差倍问题】 例3．2007—08NBA季后赛，湖人在主场以100比92逆转马刺，晋级总决赛．湖人队的队员科比在这场比赛中23投19中（包括罚球），共夺得39分，他投进两分球的个数是投进三分球个数的2倍．问：科比投中了几个三分球？几个两分球？罚中了几个球（罚球时，投进一个球得一分）？ 【答案】科比投中了5个三分球，10个两分球，罚中了4个球 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意，找到等量关系是关键；设科比投中个三分球，个两分球，罚中了个球，根据关系式：19中（包括罚球），共夺得39分，他投进两分球的个数是投进三分球个数的2倍，列出方程组即可求解． 【详解】解：设科比投中个三分球，个两分球，罚中了个球．根据题意，得 ， 解这个方程组，得； 答：科比投中了5个三分球，10个两分球，罚中了4个球． 【题型四：三元一次方程组的应用——方案问题】 例4．（2024·湖南常德·模拟预测）有7个完全相同的小球，3个完全相同的盒子，他们都不加以区别，若将这7个小球分别放入这3个盒子中，允许有盒子空着不放，则不同放法有 种． 【答案】8 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】首先假设出三个盒子里的球数，得出，，得出一个盒子的球数后，再进行分析推理．本题考查的是三元一次方程的应用，加法原理与乘法原理，根据题意得出的值，再根据的值进行分析是解决问题的关键． 【详解】解：设放在三个盒子里的球数分别为、、，球无区别，盒子无区别，故可令，依题意有，于是，，故只有取3、4、5、6、7共五个值． ①时，，则只取3、2，相应取1、2，故有2种放法； ②时，，则只取3、2，相应取0、1，故有2种放法； ③时，，则只取2、1，相应取1、0，故有2种放法； ④时，，则只取1，相应取0，故有1种放法； ⑤时，，则只取0，相应取0，故有1种放法． 综上所求，故有8种不同放法． 故答案为：8． 变式4.小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为元、元、 元，购买这些学习用品需要元，经过协商最后以每种单价均下调元成交，结果用了元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有 种不同的购买方法． 【答案】三 【知识点】三元一次方程组的应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组，得到与、与的关系式，进而根据为正数得到关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围即可求解，正确列出三元一次方程组并根据方程组得到关于的一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：设购买三种学习用品的数量分别为， 由题意得，， 由①②得，，， ∵，， ∴， 解得， ∵为整数， ∴，，， ∴有三种不同的购买方法， 故答案为：三． 【题型五：三元一次方程组的应用——数字问题】 例5．（2023·安徽六安·二模）已知a，b，c均为非负整数，且，．当时，则这三个数字组成的最大三位数可能是（    ） A．340 B．430 C．520 D．610 【答案】C 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】根据进行分类讨论即可求解． 【详解】解：，且均为非负整数， ①当时， ， ， ， ， 会组成四位数，不满足题意； ②当时， ， ， ， ， 故组成最大的三位数为：； ③时， ，， ， 解得：， 组成最大的三位数为： 综上所述，它们最大三位数是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法是解题的关键，同时要运用了分类讨论的数学思想． 1．（22-23七年级上·安徽池州·期末）一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（    ） A．325 B．217 C．433 D．541 【答案】B 【知识点】三元一次方程组的应用、用代数式表示式 【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加，设个位、十位、百位上的数字为，则原来的三位数表示为：，新数表示为：,故根据题意列三元一次方程组即可求得． 【详解】解：设个位、十位、百位上的数字为 依题意得： , 解得 原来的三位数字是217 故选：B 【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解． 2．（2024·贵州贵阳·一模）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（    ） a b c 10 d e A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：， ， ； 故选：D． 3．（22-23七年级下·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，解题的过程中利用消元的思想把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再利用消元的思想把二元一次方程组转化为一元一次方程再求解是解题关键．利用和得到二元一次方程组，求出的值，再求出的值，最后求出的值即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 由得：， 将代入得：， 解得：， 将和代入得：， 解得：， 不等式组的解为， 故答案为：． 4.某潮玩店新店开业，推出了网红公仔，动漫手办，卡通盲盒等商品，并在“国庆节”当天进行促销活动，将网红公仔，动漫手办，卡通盲盒混装成甲、乙、丙三种礼包销售，其中甲礼包包含2个公仔、1个手办，6个盲盒；乙礼包包含4个公仔，12个盲盒；丙礼包包含2个公仔、2个手办，1个盲盒，每个礼包的售价等于礼包内所有商品售价之和，10月1日当天，超市对公仔，手办，盲盒的售价分别打9折、8折、5折销售，10月2日恢复原价，小明发现10月1日一个甲礼包的售价等于10月2日一个乙礼包售价的45%，10月1日一个乙礼包的售价比10月2日一个丙礼包售价多8元，若公仔，手办，盲盒的原价都是正整数，且一个公仔的原价不超过14元，则小明在10月1日购买的一个甲礼包和一个乙礼包，应该付 元． 【答案】145.2 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，能够由题意列出三元一次方程组并注意未知数都为整数是解题关键．设网红公仔、动漫手办、卡通盲盒的单价分别为元、元、元，由题意列出方程组后可以得到、、的值，从而得到题目解答． 【详解】解：设网红公仔、动漫手办、卡通盲盒的单价分别为元、元、元，由题意可得： ， 、、都是正整数， 解之可得：， 小明在10月1日购买的一个甲礼包和一个乙礼包，应该付的钱为： （元）， 故答案为：145.2． 5．解方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 把代入得：， 把，代入得， ∴方程组的解为：． （2）解：， 由①＋②，得：． 由③＋④，得：， 解得：， 把代入①，得：， 把代入②，得：， ∴原方程组的解集是. 6.某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？ 【答案】第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查三元一次方程组的运用，根据题意，设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，由数量关系列式求解即可． 【详解】解：设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，依题意，得     ， 解得 ， 答：第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人． 7．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕． (1)求与之间的数量关系． (2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？ 【答案】(1) (2)至少开放5个检票口 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】（1）根据开放窗口与通过时间相等列方程组求解； （2）设5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放x个检票口．根据开放窗口与通过时间相等列方程和不等式解答． 本题考查三元方程的应用，不等式的应用，根据题意，列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， 得， 解得， 将代入①，得， 解得． （2）解：设5分钟内完成检票，需要至少开放x个检票口，根据题意，得 ， 把，代入，得 ， ∵ ， 解得， ∵x为正整数， ∴x最小为5． 答：至少开放5个检票口． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$