3.5二元一次方程组的应用（2知识点+8题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

3.5 二元一次方程组的应用 课程标准 学习目标 ①能根据具体问题中的数量关系列出方程组，解决简单的问题； ②能根据具体问题的实际意义，检验方程组的解是否合理，建立模型观念。 1.会列方程表示实际问题中的等量关系，借助二元一次方程组解决简单的实际问题； 2.经历在具体问题（行程、工程、销售利润、数字等问题）中用字母、代数式、方程来刻画数量关系的过程，形成方程模型观念。 知识点01 二元一次方程的解实际问题的一般步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的解是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【即学即练1】（23-24七年级下·吉林四平·期末）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 【答案】最初报名时男生有12人，女生有9人． 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男生报名人数比女生多3人，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 知识点02 应用问题 ·鸡兔同笼问题 ·牛羊值金问题 【即学即练2】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只． 【答案】公鸡买4只，母鸡买18只 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设公鸡买x只，母鸡买y只，根据用一百钱买一百只鸡列方程组求解即可． 【详解】解：设公鸡买x只，母鸡买y只， 依题意，得，                 解得：， 答：公鸡买4只，母鸡买18只． ·几何问题 【即学即练3】如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    【答案】，见解析 【分析】由图形观察得到线段间的数量关系，设小长方形，构建方程组，求解进而求得小长方形面积； 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，由题意，得 ，变形得 解得 ∴小长方形的面积为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用；由几何图形确定线段间数量关系构建方程是解题的关键． ·球赛积分问题 【即学即练4】（22-23七年级下·云南德宏·期末）在一次数学知识竞赛中，共有20道题，规定：答错或不答一道题扣分相同，当答题结束时，A同学答对14道题，得分为58分；B同学答对11道题，得分为37分．请问答对一道题得几分，答错或不答一道题扣几分． 【答案】答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分． 【分析】设答对一道题得x分，答错或不答一道题扣y分．根据A同学答对14道题，得分为58分；B同学答对11道题，得分为37分．列出方程组即可求解． 【详解】解：设答对一道题得x分，答错或不答一道题扣y分． 据题意得： 解这个方程组得 答：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是准确把握题目中的等量关系，列出二元一次方程组． ·盈不足问题 【即学即练5】（22-23七年级下·福建厦门·期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”请解答上述问题． 【答案】共7人合伙购物，物价是53钱 【详解】设物价为x钱，人数为y人，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又会差4钱，”列出方程组，即可求解． 解：设共人合伙购物，物价是钱， 依题意得：， 解得：． 答：共7人合伙购物，物价是53钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． ·里程碑上的数 【即学即练6】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 【答案】这个两位数为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.可列方程组求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．      依题意，得：      解得：                   答：这个两位数为． ·年龄问题 【即学即练7】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 列二元一次方程组与列一元一次方程解实际问题的共性与不同 ·共性： ①解题步骤相同：审题、设元、列方程、解方程、检验、答题 ②用到的等量关系相同 ③许多实际问题既可以用一元方程求解，又可以列方程组求解 ·不同： ①方程组设两个（多个）未知数，列两个（多个）方程解决问题； ②列方程组更容易表示等量关系，但是解方程组的过程稍微繁琐一些（消元的过程容易出错） ·总结： 1.列方程（组）的关键是去找等量关系。 2.所有可以列二元一次方程组的问题，都可以通过列一元一次方程的方法去解决。二元一次方程组的优点是列起来比较容易，缺点是解起来比较麻烦；而一元一次方程的优点是解起来比较容易，列起来比较麻烦。 所以，在做题的时候，看清题目的要求，灵活选用合适的方法 ·问题案例：近期，成都商品住宅市场房屋销售出现销售量和销售价齐涨态势，数据显示，2024年2月，甲、乙房地产公司的销售面积一共18000平方米，乙房地产公司的单价是甲房地产公司单价的倍．甲房地产公司单价为每平方米1.6万元，两家销售的总金额为30520万元．求2024年2月，甲、乙房地产公司各销售了多少平方米？ 解法一、列一元一次方程： 解：设2024年2月，甲房地产公司销售了x平方米，乙房地产公司销售了18000-x平方米， 依题意得：， 解得：， 答：2024年2月，甲房地产公司销售了9400平方米，乙房地产公司销售了8600平方米 解法二、列二元一次方程组： 解：设2024年2月，甲房地产公司销售了x平方米，乙房地产公司销售了y平方米， 依题意得：， 变形为： ② - ①×1.6得 0.2y=1720 解得：， 答：2024年2月，甲房地产公司销售了9400平方米，乙房地产公司销售了8600平方米 【题型一：分配问题&工程问题】 例1．（2024·湖南·模拟预测）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为 ． 【答案】12 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键． 设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个， 由题意得：，解得： ， ∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 故答案为12． 变式1.某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 【答案】不存在恰好配套，理由见解析． 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套，根据配套可得出，解出x，y的值，即可判断出结果． 【详解】解：设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套， 依题意，得， 解得： 因为求出的x，y的值不是整数， 所以加工的螺栓和螺母不存在恰好配套． 例2.一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 【答案】女工要比男工多18人． 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——工程问题．解题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间关系，列方程计算． 设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y，根据2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件，列出方程组，解方程组即可． 【详解】设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y， 根据题意得，， 解得，， 如果单独让男工加工或单独让女工加工， 需要女工（人）， 需要男工（人）， 女工比男工多（人）． 故女工比男工要多18人． 变式2.（23-24七年级下·河北承德·期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1) ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； (2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得； 小华同学： 设整治任务完成后，表示甲工程队工作的时间，表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得：． 故答案为： ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； （2）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得， 解之，得． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 小华同学： 设整治任务完成后，甲工程队工作了天，乙工程队工作了天， 根据题意，得， 解之，得， ，． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【题型二：行程问题】 例3．青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【答案】次列车的长度为，速度为． 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案． 【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得： ， 解得： 答：次列车的长度为，速度为． 变式3．小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 【答案】上坡用1分钟，下坡用9分钟 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟，根据小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟， 4.8千米/时米/分，12千米/时米/分， 由题意得，， 解得． 答：上坡用1分钟，下坡用9分钟． 【题型三：销售、利润问题】 例4．近期，成都商品住宅市场房屋销售出现销售量和销售价齐涨态势，数据显示，2024年2月，甲、乙房地产公司的销售面积一共18000平方米，乙房地产公司的单价是甲房地产公司单价的倍．甲房地产公司单价为每平方米1.6万元，两家销售的总金额为30520万元． (1)求2024年2月，甲、乙房地产公司各销售了多少平方米？ (2)根据市场需求，甲、乙房地产公司决定调整2024年3月份的房价，甲房地产公司每平方米的售价上涨，销售量预计比2024年2月减少200平方米；乙房地产公司决定以降价促销的方式应对当前的形势，每平方米的售价下调，销售面积预计将比2024年2月增加900平方米，预计2024年3月份两家的总销售额恰好为32437万元，求a的值． 【答案】(1)甲房地产公司销售了9400平方米，乙房地产公司销售了8600平方米 (2)a的值为10 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用． （1）设2024年2月，甲房地产公司销售了x平方米，乙房地产公司销售了y平方米，根据2024年2月，甲、乙房地产公司的销售面积一共18000平方米，两家销售的总金额为30520万元．列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总销售额销售单价销售数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设2024年2月，甲房地产公司销售了x平方米，乙房地产公司销售了y平方米， 依题意得：， 解得：， 答：2024年2月，甲房地产公司销售了9400平方米，乙房地产公司销售了8600平方米； （2）解：依题意得：， 解得： 答：a的值为10． 变式4-1．（2024·广东·模拟预测）每年月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝箱，龙眼箱）． 商品 荔枝 龙眼 成本/(元/箱) 30 40 售价/(元/箱) 48 60 这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱． 【答案】荔枝200箱，龙眼300箱 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用．熟练掌握总利润与每箱利润和数量的关系，列出方程组，是解题的关键． 设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，根据“这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元”，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，依题意得： ， 解得：． 答：这个星期网店销售荔枝200箱，龙眼300箱． 变式4-2．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）某蔬菜种植户有甲、乙两块菜地，甲菜地去年收获西蓝花，乙菜地去年收获西蓝花，今年在县技术专家的帮助下，甲菜地增收，乙菜地增收． (1)今年两块菜地共收获__________西蓝花；（用含，的代数式表示） (2)若去年两块菜地共收获西蓝花，今年共收获西蓝花，求甲、乙两块菜地今年分别收获多少千克西蓝花． 【答案】(1) (2)甲菜地今年收获西蓝花，乙菜地今年收获西蓝花． 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，列代数式： （1）分别求出甲、乙两块菜地的收获，然后求和即可得到答案； （2）根据去年两块菜地共收获西蓝花，今年共收获西蓝花，结合（1）所求列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ∴今年两块菜地共收获西蓝花， 故答案为：； （2）解：根据题意，得                       解得， ∴，． 答：甲菜地今年收获西蓝花，乙菜地今年收获西蓝花． 例5．（22-23七年级下·重庆万州·期中）某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元． (1)求购进两种品牌篮球各多少个？ (2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销，商场决定打a折出售剩余的品牌篮球；品牌篮球每个按进价加价销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求的值． 【答案】(1)购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个 (2)7折 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，掌握题意，找出题目中的等量关系，列出方程并解答是关键． （1）设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个，根据两种品牌篮球共80个和购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元可列出方程组求解即可； （2）根据两种品牌篮球全部售出后共获利2080元列出方程解决问题． 【详解】（1）解：设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个， ， 解得， 故购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个； （2）解：依题意有： ， 解得：， 故品牌篮球打7折出售． 【题型四：几何问题】 例6．（23-24七年级下·全国·单元测试）在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．观察图形得出关于x，y的二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意，得：， 故选：A． 变式6-1．（24-25八年级上·江西赣州·开学考试）个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．设一个小长方形的长为厘米，宽为厘米，则所列二元一次方程组是 ． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，根据图形找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 变式6-2.（23-24七年级上·福建南平·期末）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了二元一次方程组以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）由题意得，求出即可． 【详解】（1）解：由题意得：， （2）解：由题意得：， ∴ 由（1）得， ∴ 例7．（23-24七年级下·全国·期中）如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 【答案】 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意，找到等量关系是解题的关键．由与互为邻补角可列出方程，根据 的度数比的度数的2倍多10°，可列出方程，联立两方程即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 例8.某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 【答案】(1) (2)①；；②24，27，30 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． （1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：、； （2）①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：， 所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生B型板材为，， 所以两种裁法共产生B型板材为张； 故答案为：；． 由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张． ∵所裁得的板材恰好用完， ∴，化简得． ∵n，m皆为整数， ∴m为4的整数倍， 又∵， ∴m可取32，36，40， 此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30． 答：做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个． 【题型五：古代问题】 例9．（2024·海南省直辖县级单位·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】共有人，辆车 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据“每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设共有人，辆车， 依题意得：， 解得：． 答：共有人，辆车． 变式9．（2024·陕西榆林·三模）成语“锱铢必较”出自《荀子·富国》，用来形容很少的钱也要计较，比喻气量狭小．其中“锱”、“铢”均是古代的重量单位，比喻极其微小的数量．已知在唐朝时期1锱和1铢的总重量为10.85克，10锱和20铢的总重量为124克，求该时期1锱和1铢的重量分别为多少克？ 【答案】该时期1锱和1铢的重量分别为10.85克和1.55克． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设该时期1锱和1铢的重量分别为x克和y克，根据“唐朝时期1锱和1铢的总重量为10.85克，10锱和20铢的总重量为124克”列方程组求解即可． 【详解】解：设该时期1锱和1铢的重量分别为x克和y克， 根据题意可得： 解得： 答：该时期1锱和1铢的重量分别为10.85克和1.55克． 【题型六：数字问题&年龄问题】 例10．（2023八年级上·甘肃白银·学业考试）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y；列方程组为 ． 【答案】 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确写出原数和新数的代数式是解题的关键．列代数式写出原数和新数，通过新数比原数小18列方程即可． 【详解】解：①∵十位上的数字比个位上的数字大2， ∴， ②∵对调前个位上的数字为y，十位上的数字为x， ∴原数为： ， ∵对调后个位上的数字为x，十位上的数字为y， ∴新数为：， ∵新数比原数小18， ∴， 故答案为：． 变式10．（22-23七年级下·重庆江津·期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，，所以．若，都是“相异数”，其中，（，，，都是正整数），规定：，当时，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据方程求解； 由、结合，即可得出关于、的二元一次方程，解之即可得出、的值，再根据“相异数”的定义结合的定义式，即可求出、的值，将其代入中，找出最大值即可. 【详解】解：，都是“相异数”，，， ， ． ， ， ． ，，且，都是正整数， 或或或或或， 是“相异数”， ，． ，． 或或， 或或， 或或， 的最大值为： 故答案为： 例11.（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【题型七：方案选择问题】 例12．（22-23七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人 (3)应招聘6名新工人 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解． （2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况； （3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）解：设工厂有名熟练工． 根据题意，得， ， ， 又，都是正整数，， 所以，6，3． 即工厂有3种新工人的招聘方案： ①，，即新工人9人，熟练工2人； ②，，即新工人6人，熟练工3人； ③，，即新工人3人，熟练工4人． （3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，； 根据题意得：． 当时，（元） 当时，（元） ， 当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少． 变式12-1.（22-23七年级上·安徽六安·期中）小明逛，两家网店发现都有他看中的甲，乙两种课外资料在售卖，且每种课外资料在两家店的售价相同，甲，乙两种课外资料的单价之和是 200元，且每本甲种课外资料售价比乙种课外资料售价的2倍少40元． (1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是多少元？ (2)某一天恰好赶上商家促销，网店所有商品打八五折销售，网店全场购买每满50元减8元，小明需要购买两种课外资料各一本，请通过计算判断怎样购买更省钱？ 【答案】(1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是120元，80元 (2)在网店B购买更省钱 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设乙种课外资料的售价为x元，则甲种课外资料的售价为元，再根据两种资料单价和为200元列出方程求解即可； （2）根据（1）所求结合所给的折扣分别计算出两个网店的花费即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种课外资料的售价为x元，则甲种课外资料的售价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是120元，80元 （2）解：网店A的花费为元， 网店B的花费为元， ∵， ∴在网店B购买更省钱． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求出两种资料的单价是解题的关键． 变式12-2.“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送 (2)一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆 (3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车7辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车4辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元． 【题型七：二元一次方程组在幻方与珠算中的应用】 例13．（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 【答案】这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，由题意得出百位拨的数字是6，再根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，设出未知数列方程组并解出即可解决．找出等量关系列方程组是解题关键． 【详解】解：由题意得：小华在百位拨的数字是6， 设个位数字是，十位数字是， 由题意得：， 解这个方程组，得：， 答：这个三位数是615， 小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠． 例14.（22-23七年级上·湖北武汉·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t，分别用含有t的式子表示每一空格的数，再根据第三行的和等于第二行的和列方程求解即可； （2）由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组求得m、n的值，即可求解； （3）根据第一行的和等于第三列的和可得关于x的一元二次方程，求得x的值，再根据第二行的和与对角线的和相等即可求解． 【详解】（1）解：设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t， 则每一空格如图所示， 0 2 3 a ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， ∴最右下角的数为：或， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4； （3）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 整理得，， ∵， 整理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． 一、选择题 1．（2024·湖北·模拟预测）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题列二元一次方程，设清酒x斗，醑酒y斗，根据“现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设清酒x斗，醑酒y斗， 由题意得：， 故选：A． 2．（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，由图形可发现小长方形墙砖的一个长与两个宽的和为，五个宽的和为，据此即可列方程组． 【详解】解：设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，根据题意，得 ． 故选：C 3．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字和为5，则这样的两位数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题意列举出符合条件的数字即可解得． 【详解】解：一个两位数，个位上的数字和十位上的数字合起来是5，这样的两位数有：50，14，41，23，32． 故选：C． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m 张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ） A．200 B．201 C．202 D．203 【答案】A 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设可以做成x个竖式的无盖纸盒，y个横式的无盖纸盒，根据恰好将纸板用完，即可得出关于x，y的二元一次方程组，两方程相加后可得出，结合x，y均为整数可得出为5的倍数，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个． 根据题意，得 两式相加，得． ∵x，y 都是正整数， ∴是5的倍数． ∵200，201，202，203四个数中只有200是5的倍数， ∴ 的值可能是200． 故选 A． 二、填空题 5．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：站在5米开外朝飞镖盘扔飞镖，若小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分．结果两人一共投中了20次，经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多4分．设小华投中的次数为，爸爸投中的次数为，根据题意列出的方程组是 ． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了列二元一次方程，解题关键是根据题意找出等量关系，列出正确的二元一次方程．设小华投中的次数为，爸爸投中的次数为，根据“两人一共投中了20次，爸爸的得分比小华的得分多4分”列方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【答案】27 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 7．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若，则点A表示的数为 ． 【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间距离公式可得出，然后解方程组即可求解． 【详解】解∶ ∵点A、B分别表示数a、b，， ∴， 解方程组，解得， 故答案为∶． 8．（2024七年级下·四川成都·专题练习）甲、乙两人从两地同时出发相向而行，甲每分钟走52米，乙每分钟走70米，在A点相遇；如果甲先走4分钟，然后甲的速度仍为每分钟52米，乙的速度变为每分钟90米，恰好还在A点相遇，则两地相距 米． 【答案】2196 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设相遇的时间为t分钟，则甲行驶的路程为米；乙行驶的路程为米； 设第二次相遇时间为t，根据题意，得甲行驶的路程为米；乙行驶的路程为米；列方程组，得，解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设相遇的时间为t分钟，则甲行驶的路程为米；乙行驶的路程为米； 设第二次相遇时间为t，根据题意，得甲行驶的路程为米；乙行驶的路程为米； 根据题意，得， 解得， 故两地路程为米． 故答案为：2196． 三、解答题 9．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 【答案】甲工作了4天，乙工作了6天 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．设甲工作了x天，乙工作了y天，根据甲乙两人共用10天完成任务及两人合计完成的工程面积为88平方米列出方程，求解方程组即得答案． 【详解】设甲工作了x天，乙工作了y天， 由题意得： ， 解得 ， 答：甲工作了4天，乙工作了6天． 11．（23-24七年级下·全国·期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49，求这个两位数？ 【答案】 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为，个位数字为，根据“一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49”列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意可知：， 解得：， 答：这个两位数为36． 12．（2023·吉林白山·一模）在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 【答案】该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双，根据题意，列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双， 根据题意，得， 解得． 答：该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A、B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元、求种植A、B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ 【答案】种植种蔬菜每亩收入0.4万元，种蔬菜每亩收入0.6万元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元，由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案． 【详解】设种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元， 根据题意得：， 解得：， 答：种植种蔬菜每亩收入0.4万元，种蔬菜每亩收入0.6万元． 15．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）为了防治“甲流病毒”，某医药公司计划用两种车型购买相关药物．已知用2辆A型车和1辆型车装满药物一次可运11吨，用1辆A型车和2辆型车装满药物一次可运13吨． (1)求1辆A型车和1辆型车都装满药物一次可分别运多少吨？ (2)该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用A型车辆，型车辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．请你帮该医药公司设计租车方案，求出所有租车方案．（甲、乙两辆车均有在使用） 【答案】(1)1辆A型车装满药物一次可运3吨，1辆型车装满药物一次可运5吨 (2)有2种租车方案：租A型车6辆，型车3辆；租A型车1辆，型车6辆 【知识点】二元一次方程的解、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设1辆型车装满药物一次可运吨，1辆型车装满药物一次可运吨，根据用2辆型车和1辆型车装满药物一次可运11吨，用1辆型车和2辆型车装满药物一次可运13吨．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用型车辆，型车辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满药物一次可运吨，1辆型车装满药物一次可运吨， 由题意得： 解得： 答：1辆A型车装满药物一次可运3吨，1辆型车装满药物一次可运5吨． （2）解：由题意，得， 整理得：， 因为，均为正整数，所以或 所以有2种租车方案： ①租A型车6辆，型车3辆； ②租A型车1辆，型车6辆． 16．（23-24八年级上·山东青岛·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计纸盒方案？ 素材1 如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形． 素材2 （1）所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪--种材料． （2）制作纸盒后没有剩余材料． 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个． 问题解决 任务1 初探材料用量 1．完善下表： 【答案】任务1：①；②；任务2：③；④；⑤；任务3：⑥70 【知识点】整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、根据几何图形列二元一次方程组、用代数式表示式 【分析】本题主要考查了列代数式，列二元一次方程，求代数式的值，正确利用题干中的数量关系列出代数式是解题的关键．利用题意分别求得所需的正方形与长方形的个数，再列出方程，整理即可得出m，n的关系式，再将代入运算即可得出结论． 【详解】解：①∵横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形， ∴m个横式无盖纸盒需要个正方形和个长方形， 故答案为：； ②∵竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形， ∴n个竖式无盖纸盒需要n个正方形和个长方形， 故答案为：； ③∵1张纸板可以裁成4个正方形， ∴个正方形需要张纸板． 故答案为：； ④∵1张纸板可以裁成3个长方形， ∴个长方形需要张纸板． 故答案为：； ⑤∵现将300张纸板裁剪成材料， ∴． 整理得：． ∴m，n之间满足的关系式为：． 故答案为：； ⑥若计划制作86个横式无盖纸盒， ∴时，， ∴（张）． ∴需要将70张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形，刚好满足要求． 故答案为：70． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.5 二元一次方程组的应用 课程标准 学习目标 ①能根据具体问题中的数量关系列出方程组，解决简单的问题； ②能根据具体问题的实际意义，检验方程组的解是否合理，建立模型观念。 1.会列方程表示实际问题中的等量关系，借助二元一次方程组解决简单的实际问题； 2.经历在具体问题（行程、工程、销售利润、数字等问题）中用字母、代数式、方程来刻画数量关系的过程，形成方程模型观念。 知识点01 二元一次方程的解实际问题的一般步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的解是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【即学即练1】（23-24七年级下·吉林四平·期末）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 知识点02 应用问题 ·鸡兔同笼问题 ·牛羊值金问题 【即学即练2】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只． ·几何问题 【即学即练3】如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    ·球赛积分问题 【即学即练4】（22-23七年级下·云南德宏·期末）在一次数学知识竞赛中，共有20道题，规定：答错或不答一道题扣分相同，当答题结束时，A同学答对14道题，得分为58分；B同学答对11道题，得分为37分．请问答对一道题得几分，答错或不答一道题扣几分． ·盈不足问题 【即学即练5】（22-23七年级下·福建厦门·期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”请解答上述问题． ·里程碑上的数 【即学即练6】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． ·年龄问题 【即学即练7】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 列二元一次方程组与列一元一次方程解实际问题的共性与不同 ·共性： ①解题步骤相同：审题、设元、列方程、解方程、检验、答题 ②用到的等量关系相同 ③许多实际问题既可以用一元方程求解，又可以列方程组求解 ·不同： ①方程组设两个（多个）未知数，列两个（多个）方程解决问题； ②列方程组更容易表示等量关系，但是解方程组的过程稍微繁琐一些（消元的过程容易出错） ·总结： 1.列方程（组）的关键是去找等量关系。 2.所有可以列二元一次方程组的问题，都可以通过列一元一次方程的方法去解决。二元一次方程组的优点是列起来比较容易，缺点是解起来比较麻烦；而一元一次方程的优点是解起来比较容易，列起来比较麻烦。 所以，在做题的时候，看清题目的要求，灵活选用合适的方法 ·问题案例：近期，成都商品住宅市场房屋销售出现销售量和销售价齐涨态势，数据显示，2024年2月，甲、乙房地产公司的销售面积一共18000平方米，乙房地产公司的单价是甲房地产公司单价的倍．甲房地产公司单价为每平方米1.6万元，两家销售的总金额为30520万元．求2024年2月，甲、乙房地产公司各销售了多少平方米？ 解法一、列一元一次方程： 解：设2024年2月，甲房地产公司销售了x平方米，乙房地产公司销售了18000-x平方米， 依题意得：， 解得：， 答：2024年2月，甲房地产公司销售了9400平方米，乙房地产公司销售了8600平方米 解法二、列二元一次方程组： 解：设2024年2月，甲房地产公司销售了x平方米，乙房地产公司销售了y平方米， 依题意得：， 变形为： ② - ①×1.6得 0.2y=1720 解得：， 答：2024年2月，甲房地产公司销售了9400平方米，乙房地产公司销售了8600平方米 【题型一：分配问题&工程问题】 例1．（2024·湖南·模拟预测）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为 ． 变式1.某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 例2.一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 变式2.（23-24七年级下·河北承德·期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【题型二：行程问题】 例3．青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 变式3．小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 【题型三：销售、利润问题】 例4．近期，成都商品住宅市场房屋销售出现销售量和销售价齐涨态势，数据显示，2024年2月，甲、乙房地产公司的销售面积一共18000平方米，乙房地产公司的单价是甲房地产公司单价的倍．甲房地产公司单价为每平方米1.6万元，两家销售的总金额为30520万元． (1)求2024年2月，甲、乙房地产公司各销售了多少平方米？ (2)根据市场需求，甲、乙房地产公司决定调整2024年3月份的房价，甲房地产公司每平方米的售价上涨，销售量预计比2024年2月减少200平方米；乙房地产公司决定以降价促销的方式应对当前的形势，每平方米的售价下调，销售面积预计将比2024年2月增加900平方米，预计2024年3月份两家的总销售额恰好为32437万元，求a的值． 变式4-1．（2024·广东·模拟预测）每年月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝箱，龙眼箱）． 商品 荔枝 龙眼 成本/(元/箱) 30 40 售价/(元/箱) 48 60 这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱． 变式4-2．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）某蔬菜种植户有甲、乙两块菜地，甲菜地去年收获西蓝花，乙菜地去年收获西蓝花，今年在县技术专家的帮助下，甲菜地增收，乙菜地增收． (1)今年两块菜地共收获__________西蓝花；（用含，的代数式表示） (2)若去年两块菜地共收获西蓝花，今年共收获西蓝花，求甲、乙两块菜地今年分别收获多少千克西蓝花． 例5．（22-23七年级下·重庆万州·期中）某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元． (1)求购进两种品牌篮球各多少个？ (2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销，商场决定打a折出售剩余的品牌篮球；品牌篮球每个按进价加价销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求的值． 【题型四：几何问题】 例6．（23-24七年级下·全国·单元测试）在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（24-25八年级上·江西赣州·开学考试）个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．设一个小长方形的长为厘米，宽为厘米，则所列二元一次方程组是 ． 变式6-2.（23-24七年级上·福建南平·期末）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 例7．（23-24七年级下·全国·期中）如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 例8.某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 【题型五：古代问题】 例9．（2024·海南省直辖县级单位·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 变式9．（2024·陕西榆林·三模）成语“锱铢必较”出自《荀子·富国》，用来形容很少的钱也要计较，比喻气量狭小．其中“锱”、“铢”均是古代的重量单位，比喻极其微小的数量．已知在唐朝时期1锱和1铢的总重量为10.85克，10锱和20铢的总重量为124克，求该时期1锱和1铢的重量分别为多少克？ 【题型六：数字问题&年龄问题】 例10．（2023八年级上·甘肃白银·学业考试）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y；列方程组为 ． 变式10．（22-23七年级下·重庆江津·期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，，所以．若，都是“相异数”，其中，（，，，都是正整数），规定：，当时，则的最大值为 ． 例11.（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【题型七：方案选择问题】 例12．（22-23七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 变式12-1.（22-23七年级上·安徽六安·期中）小明逛，两家网店发现都有他看中的甲，乙两种课外资料在售卖，且每种课外资料在两家店的售价相同，甲，乙两种课外资料的单价之和是 200元，且每本甲种课外资料售价比乙种课外资料售价的2倍少40元． (1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是多少元？ (2)某一天恰好赶上商家促销，网店所有商品打八五折销售，网店全场购买每满50元减8元，小明需要购买两种课外资料各一本，请通过计算判断怎样购买更省钱？ 变式12-2.“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【题型七：二元一次方程组在幻方与珠算中的应用】 例13．（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 例14.（22-23七年级上·湖北武汉·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 一、选择题 1．（2024·湖北·模拟预测）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ 　 ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字和为5，则这样的两位数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m 张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ） A．200 B．201 C．202 D．203 二、填空题 5．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：站在5米开外朝飞镖盘扔飞镖，若小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分．结果两人一共投中了20次，经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多4分．设小华投中的次数为，爸爸投中的次数为，根据题意列出的方程组是 ． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 7．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若，则点A表示的数为 ． 8．（2024七年级下·四川成都·专题练习）甲、乙两人从两地同时出发相向而行，甲每分钟走52米，乙每分钟走70米，在A点相遇；如果甲先走4分钟，然后甲的速度仍为每分钟52米，乙的速度变为每分钟90米，恰好还在A点相遇，则两地相距 米． 三、解答题 9．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 11．（23-24七年级下·全国·期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49，求这个两位数？ 12．（2023·吉林白山·一模）在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A、B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元、求种植A、B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ 15．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）为了防治“甲流病毒”，某医药公司计划用两种车型购买相关药物．已知用2辆A型车和1辆型车装满药物一次可运11吨，用1辆A型车和2辆型车装满药物一次可运13吨． (1)求1辆A型车和1辆型车都装满药物一次可分别运多少吨？ (2)该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用A型车辆，型车辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．请你帮该医药公司设计租车方案，求出所有租车方案．（甲、乙两辆车均有在使用） 16．（23-24八年级上·山东青岛·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计纸盒方案？ 素材1 如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形． 素材2 （1）所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪--种材料． （2）制作纸盒后没有剩余材料． 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个． 问题解决 任务1 初探材料用量 1．完善下表： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$