专题02 空间向量在立体几何中的应用（考点清单，知识导图+6个考点清单+题型解读）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

专题02 空间向量在立体几何中的应用（考点清单，知识导图+6个考点清单+题型解读） 知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点02：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点03：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点04：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 知识点05：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点06：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【题型一：平行关系的证明】 【例1】（2023高二·全国·专题练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点（包括端点）．求证：； 【变式2-2】（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.求证：平面； 【变式2-4】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.求证：平面； 【题型二：垂直关系的证明】 【例1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.    (1)求证：； (2)求线段的长. 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．求证：； 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角.求证：.    【变式2-4】（24-25高二上·全国·假期作业）如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 【变式2-5】（2024高二·全国·专题练习）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点．平面满足：直线平面，直线平面．求证：平面平面 【题型三：距离问题】 【例1】（2024高二上·江苏·专题练习）如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【变式2-2】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. (1)求的长度； (2)求点D到平面的距离. 【变式2-3】（23-24高二下·河北唐山·期末）在三棱锥P-ABC中，，，E为AC的中点，．    (1)求证：平面平面ABC； (2)求点C到平面PAB的距离． 【变式2-4】（24-25高二·上海·随堂练习）如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.      (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【变式2-5】（23-24高三下·天津南开·阶段练习）如图，棱柱的底面是菱形，，所有棱长都为，，平面为的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到直线的距离. 【题型四：夹角问题】 【例1】（单选题）（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（单选题）（24-25高二上·吉林·阶段练习）在如图所示的多面体中，平面，平面平面，且，，则异面直线BP与CQ所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）已知在直三棱柱中，为的三等分点（靠近B），为的三等分点（靠近），则异面直线和所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正四棱柱中，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小． 【变式2-4】（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)求平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值. 【变式2-5】（23-24高三上·四川雅安·期中）如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【变式2-6】（安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题）如图，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面与平面交于. (1)求证：； (2)若，求二面角的余弦值. 【变式2-7】（山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期10月联考数学试题）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，为等边三角形． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． 【变式2-8】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）在中，，，，过点作交于点，以为轴，将向上翻折使平面平面，连接，为线段的中点，为线段上一点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求的值． 【变式2-9】（24-25高三上·天津蓟州·开学考试）如图，平面，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 【题型五：存在性、探索性问题】 【例1】（23-24高二下·贵州毕节·期末）如图1，已知直角梯形AEFD中，，点B，C分别在AE，DF上，且，，，，将图1沿BC翻折，使平面平面BEFC得图2．    (1)在线段CF上是否存在一点M，使得A、E、M、D四点共面．若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由； (2)当时，求平面AEF与平面CEF的夹角的正切值． 【变式2-1】（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）如图，在四棱维中，平面平面，，，，，，． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)在上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【变式2-2】（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 【变式2-3】（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，点M，N分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2 所示的五棱锥． (1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论； (2)若平面平面，线段上是否存在一点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 【变式2-4】（23-24高二上·湖北·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面为线段的中点，过三点的平面与线段交于点，且. (1)证明：； (2)若四棱锥的体积为，则在线段上是否存在点，使得二面角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式2-5】（23-24高三下·江西·开学考试）   已知等边的边长为4，分别是边的中点（如图1），现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且（如图2）. (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式2-6】（24-25高二上·上海·单元测试）如图1，正三角形的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角，如图2．    (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【变式2-7】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【变式2-8】（24-25高二上·重庆·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上. (1)若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC； (2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量在立体几何中的应用（考点清单，知识导图+6个考点清单+题型解读） 知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点02：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点03：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点04：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 知识点05：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点06：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【题型一：平行关系的证明】 【例1】（2023高二·全国·专题练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量即可求解. 【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点（包括端点）．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示即可得出，可得结论. 【详解】因为底面，且底面为正方形，且、底面， 所以，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，，， 则，， 有，又不在一条直线上， 所以. 【变式2-2】（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； 【详解】以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，证明，再用线面平行的定理证明即可. 【详解】底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD， 故，，两两垂直. 以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 在四棱台中，，，P为AB的中点， 故, 则, 所以，即， 且平面，平面， 故平面. 【变式2-4】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，由线面平行的向量证法可得答案. 【详解】平面，以为原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，点是的中点， ,， 则 平面，平面的一个法向量为. ， 平面， 平面. 【题型二：垂直关系的证明】 【例1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.    (1)求证：； (2)求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算证明异面直线的垂直关系； （2）利用空间向量的坐标运算求线段的长度. 【详解】（1）    因为直三棱柱中，平面, 平面,所以,且, 所以原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则, 所以, 则，所以. （2）因为,所以,则. 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，分别求出平面和平面的法向量，计算的值，，即可证明平面平面. 【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，，所以， 设平面PAC的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，， 所以， 因为， 所以， 所以平面平面． 【变式2-2】（2024高三·全国·专题练习）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，说明，即可. 【详解】因为平面，， 如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为，所以． 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角.求证：.    【答案】证明见解析 【分析】借助直二面角性质可得面面垂直，再利用面面垂直的性质定理可得线面垂直及线线垂直，即可建立适当空间直角坐标系，得到直线、的方向向量，借助空间向量数量积为即可得证. 【详解】因为，为的中点，所以， 由二面角为直二面角，故平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面， 因为，，，所以， 取的中点，连接，则， 以点O为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，，， ，， 因为，所以． 【变式2-4】（24-25高二上·全国·假期作业）如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，当时，求得的坐标，求得，得到，结合线面垂直的判定定理，即可得证； 【详解】证明：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， 当时，，所以， 可得，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 【变式2-5】（2024高二·全国·专题练习）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点．平面满足：直线平面，直线平面．求证：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】首先根据垂直关系，建立空间直角坐标系，根据条件分别求平面和平面的法向量，利用法向量垂直证明平面垂直. 【详解】由，，，可得，， 在直四棱柱中，平面， 平面，平面，所以，， 所以两两相互垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，，所以， 又平面，所以为平面的一个法向量， 又，即， 所以平面平面. 【题型三：距离问题】 【例1】（2024高二上·江苏·专题练习）如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 【答案】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 以A为原点，分别为轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则， 则， 所以点E到直线PD的距离. 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量公式求解即可； （2）求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解即可； （3）利用直线到平面距离的向量公式求解即可； （4）求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，    则、、、，、、 、、， 所以，， 设是与，都垂直的向量， 则，即，即，令得， 选与的两点向量为， 得与的距离. （2），设为平面的法向量，则， 即，即，令得， 选点到平面两点向量为， 由公式得：点到平面的距离. （3）由（2）可知：平面的法向量可设， 设与平面的两点向量为， 故直线到平面的距离. （4），， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为， 故平面与平面的距离为. 【变式2-2】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. (1)求的长度； (2)求点D到平面的距离. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，则，利用空间向量垂直的坐标表示列式求解即可； （2）先求出平面的法向量，再利用空间点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设，由已知可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以.即的长度为6. （2）设平面的法向量为，且， 则有，即，令得， 又， 所以点D到平面的距离. 【变式2-3】（23-24高二下·河北唐山·期末）在三棱锥P-ABC中，，，E为AC的中点，．    (1)求证：平面平面ABC； (2)求点C到平面PAB的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先证，再证平面，由线面垂直推出面面垂直即得； （2）先证平面，建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】（1），E为AC的中点， 又，且平面 ，故平面． 又平面ABC，所以平面平面ABC （2）在三角形ABC中：， ，. 由（1）知平面．因平面，． 又E为AC的中点，则垂直平分AC，， ，又 ，即，又平面，故平面. 故可以E为坐标原点，分别以、、所在方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图.    则，，，， ，，， 设平面PAB的一个法向量为，则 令，得． 设点C到平面PAB的距离为，则． 【变式2-4】（24-25高二·上海·随堂练习）如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.      (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】（1）连接，则， 在中，由余弦定理可得， 同理得， 因为，则，可得， 因为，则 可知， 又因为平面，所以平面. （2）取中点，则，    以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，可得， 所以点B到平面的距离为. 【变式2-5】（23-24高三下·天津南开·阶段练习）如图，棱柱的底面是菱形，，所有棱长都为，，平面为的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，即可得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； （3）令，，再根据距离公式计算可得. 【详解】（1）连接，因为为的中点，为的中点， 所以，且平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，且为菱形，所以， 如图，以点为坐标原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系. 又，所以为等边三角形，所以，则， 在中，， 可知，    则， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得， 取平面的一个法向量为， 所以. 设二面角为，显然二面角为锐二面角， 则， 即二面角的余弦值为. （3）又，所以，所以， 所以，， 所以， 所以，， 所以， 所以点到直线的距离. 【题型四：夹角问题】 【例1】（单选题）（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可． 【详解】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，    设正方体的棱长为2，则， 所以 设向量与的夹角为， 则， 所以直线和夹角的余弦值为， 故选：C． 【变式2-1】（单选题）（24-25高二上·吉林·阶段练习）在如图所示的多面体中，平面，平面平面，且，，则异面直线BP与CQ所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将该多面体补成底面边长为2，高为2的正三棱柱，并建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用异面直线夹角公式得到答案. 【详解】如图，将该多面体补成底面边长为2，高为2的正三棱柱，并建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以． 故选：A 【变式2-2】（单选题）（24-25高二上·全国·课后作业）已知在直三棱柱中，为的三等分点（靠近B），为的三等分点（靠近），则异面直线和所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点为，，连接，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，根据线线夹角公式即可求解. 【详解】分别取的中点为，，连接，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以，. 因为为的三等分点（靠近B），为的三等分点（靠近）， 所以，， 则， 故， ，, 则异面直线和所成角的正切值为． 故选:D. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正四棱柱中，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用勾股定理证明，由正棱柱的结构证明，可证平面，又平面，故平面平面． （2）以为原点，建立空间直角坐标系，向量法求二面角的余弦值，可得角的大小. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 而，即， 又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 又平面，故平面平面． （2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由（1）可得平面，所以为平面的一个法向量， 正方形中，， 正四棱柱中，平面，平面，则， ，平面，平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 结合图形可得，二面角的大小为． 【变式2-4】（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)求平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）建空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）利用空间向量求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 依题意，得， 则，设平面的法向量， ，所以，取，得 因为， 所以．所以． 又面． 所以面． （2）正方体中，平面 故是平面的法向量， 因为， 所以， 所以直线和平面所成的角的正弦值为． 【变式2-5】（23-24高三上·四川雅安·期中）如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）不妨设，结合余弦定理和相似三角形，即可以点为原点建立空间直角坐标系，根据即可得证. （2）由（1）可得相应点的坐标，平面的法向量可直接取，然后求出平面的法向量，即可利用向量进行求解. 【详解】（1）不妨设，又， 在中，， ，则， 所以，又， ，且也为等腰三角形． ，则， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，， ， 则，所以． （2）由（1）可知，， 平面的法向量可取为， 且，， 设平面的法向量为， 则，可取， ， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 【变式2-6】（安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题）如图，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面与平面交于. (1)求证：； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知利用线面平行的判定定理得平面，进而由线面平行的性质定理即可证明结论； （2）取中点，连接，，，由等边三角形的性质得，又由面面垂直的性质定理可得平面，可得三线两两垂直，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面与平面交于，平面，所以； （2）取中点，连接，，，因为，， 所以是等边三角形，由三线合一得：， 又因为是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 故三线两两垂直， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为且由（1）知， 所以四边形为平行四边形，可得， 所以，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 又平面的一个法向量可取，所以， 设二面角的大小为，由题意为锐角，所以， 所以二面角的余弦值为. 【变式2-7】（山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期10月联考数学试题）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，为等边三角形． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）取的中点，连，推导出，，由此能证明，结合即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1） 取的中点，连， 是正三角形，， 又，则, 平面，故平面， 平面，故， 四边形是直角梯形，， 平面，故平面． （2） 由（1）知平面．平面, 故平面平面, 取中点，以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ,的高为， 则,0,，，，，， ，， , 设平面的法向量,,， 则，取，得， 设平面的一个法向量， ,取，得， 设平面与平面所成角为，则． 平面与平面所成角的余弦值为． 【变式2-8】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）在中，，，，过点作交于点，以为轴，将向上翻折使平面平面，连接，为线段的中点，为线段上一点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面与平面垂直的性质以及直线与平面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出答案. 【详解】（1）证明：因为平面平面BCDE，平面平面， 且，又平面， ∴平面BCDE，又平面BCDE，∴， 又在中，，则， 又F为CE中点，故，且平面AEC， 则平面AEC. （2）由（1）知，ED，EB，EA互相垂直，分别以ED，EB，EA为x，y，z轴非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 其中，，，，则，，， 不妨设，则， 再设，分别是面ADQ、面EDQ的法向量， 则分别满足与 令，，得到，． 由题意知，，解得，即． 【变式2-9】（24-25高三上·天津蓟州·开学考试）如图，平面，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到平面. （2）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． （3）设，则，从而，由（2）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解． 【详解】（1）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形. 由点和分别为和的中点，可得且， 因为为的中点，所以且， 可得且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面. （2）因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系. 依题意可得，. ， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得，. ，于是. 所以，二面角的正弦值为. （3）设，即，则. 从而. 由（2）知平面的法向量为， 由题意，，即， 整理得，解得或， 因为所以，所以. 则N到平面的距离为. 【点睛】 【题型五：存在性、探索性问题】 【例1】（23-24高二下·贵州毕节·期末）如图1，已知直角梯形AEFD中，，点B，C分别在AE，DF上，且，，，，将图1沿BC翻折，使平面平面BEFC得图2．    (1)在线段CF上是否存在一点M，使得A、E、M、D四点共面．若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由； (2)当时，求平面AEF与平面CEF的夹角的正切值． 【答案】(1)存在，证明见解析 (2) 【分析】（1）过E作交CF于点M，连接DM，利用平行传递性证明，从而得出A、E、M、D四点共面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法得出平面AEF与平面CEF的夹角的正切值. 【详解】（1）解：存在，理由如下：过E作交CF于点M，连接DM， ∵且，∴ ∵，∴，∴A、E、M、D四点共面 （2）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面， 由（1）可知，在中，，，∴ 即，易知，，∵．∴ 以C为坐标原点，CB，CF，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，显然平面的法向量为 设平面AEF的法向量为，∵， ∴，令，∴ ∴ 设平面AEF与平面CEF的夹角为，则， ∴平面AEF与平面CEF的夹角的正切值为. 【变式2-1】（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）如图，在四棱维中，平面平面，，，，，，． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)在上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，使得平面，. 【分析】（1）取的中点为，连接，由面面垂直的性质定理证明平面，建立空间直角坐标系求解直线与平面所成角的正切值即可； （2）假设在上存在点，使得，由线面平行，转化为平面的法向量与直线的方向向量垂直，求解参数即可. 【详解】（1） 取的中点为，连接， 因为，所以，又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，又，所以， ，，所以，，所以， 所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，，令则， 所以， 设直线与平面所成角为， ， 所以，所以， 所以直线与平面所成角的正切值. （2）在上存在点，使得， 所以，所以， 所以，所以， 因为平面，所以， 即，解得， 所以存在点，使得平面，此时. 【变式2-2】（24-25高二下·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；点Q为点B 【分析】（1）应用线面平行判定定理得出面面平行即可证明； （2）建立直角坐标系，设点的坐标满足线面垂直即线线垂直计算求参. 【详解】（1）分别是的中点， ，∴四边形为平行四边形， ．平面平面,∴平面, 平面平面，平面． 又平面， ∴平面平面． （2）假设在线段上存在一点Q，使平面． 取的中点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ． 平面， ，解得， ∴在线段上存在一点Q，使平面，此时点Q为点B． 【变式2-3】（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，点M，N分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2 所示的五棱锥． (1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论； (2)若平面平面，线段上是否存在一点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)总有平面平面，证明详见解析 (2)存在，是的靠近的三等分点，理由见解析. 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面所成角的余弦值来列方程，从而求得点的位置. 【详解】（1）折叠前，因为四边形是菱形，所以， 由于分别是边，的中点，所以， 所以， 折叠过程中，平面， 所以平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面. （2）存在，理由如下： 当平面平面时，由于平面平面，平面，， 所以平面，由于平面，所以， 由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 依题意可知 ，， 设，则， 平面的法向量为， ， 设平面的法向量为， 则， 故可设， 设平面与平面所成角为， 由于平面与平面所成角的余弦值为， 所以， 解得, 所以当是的靠近的三等分点时，平面与平面所成角的余弦值为. 【变式2-4】（23-24高二上·湖北·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面为线段的中点，过三点的平面与线段交于点，且. (1)证明：； (2)若四棱锥的体积为，则在线段上是否存在点，使得二面角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由推出平面，利用线面平行的性质可推出，又则； （2）由面面垂直的性质证明平面，即可根据四棱锥的体积及勾股定理求出，，建立空间直角坐标系，设，由空间向量法利用的余弦值列出方程即可求得. 【详解】（1）证明：由题意得,, 又平面平面， 平面. 又平面，平面平面， ． 又，. （2）取的中点为，连接，，， 又平面平面，平面平面平面， 平面， ，则， 又. 取的中点为，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 假设存在点，设， ，则， ， 设平面的法向量为， 即， 可取， 又平面的一个法向量， 因为二面角的正弦值为， ，解得或（舍）. 存在点，使得二面角的正弦值为，此时. 【变式2-5】（23-24高三下·江西·开学考试）   已知等边的边长为4，分别是边的中点（如图1），现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且（如图2）. (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【分析】（1）利用折叠前后的相关位置关系，由线面垂直的判定定理和性质定理推理即得； （2）结合图形特征建系，求出相关点的坐标，将的坐标用参数表示，求出平面的法向量坐标，利用点到平面距离的空间向量公式列出方程，求解即得. 【详解】（1）   分别是边的中点，， 如图，连接交于，连接， 由折叠可知，平面平面， 平面平面. （2）等边的边长为， ， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，过作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，    则， ， 设， 在平面中，， 不妨设平面的法向量， 则令，得，故可取. 则点到平面的距离为解得或（舍去）， 为的中点，， 满足条件的点存在，且. 【变式2-6】（24-25高二上·上海·单元测试）如图1，正三角形的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角，如图2．    (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)平面，理由见解析； (2)； (3)存在，． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，即可求解； （3）设，根据，求出点的坐标，即可得. 【详解】（1）在中， ∵分别是中点， ∴．又平面， 平面， ∴平面． （2）因为二面角为直二面角，即平面平面, 且,平面平面, 所以平面. 如图，以点为坐标原点，以直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，． 易知平面的法向量． 设平面的法向量， 则即, 取，则， 所以 所以二面角的余弦值为． （3）存在．设，有，则， ∴ 又，，， ∴， ∴． 把代入上式得， ∴，在线段上存在点，使，此时，．    【变式2-7】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，求二面夹角的余弦值； （2）利用空间向量的坐标运算，求点到平面的距离； （3）利用空间向量的坐标运算，表示出线面角的正弦值，即可求解, 【详解】（1）取中点为，连接， 因为，且，，，所以 又因为平面，平面， 所以, 所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则 为的中点， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ， 所以，令则，所以， 设平面与平面所成锐二面角为， 则. （2）， 所以点到平面的距离为. （3）存在，，理由如下 设上存在一点，设，， ， 又因为直线与平面所成角的正弦值为， 由（1）知平面的一个法向量为， 所以：，解得， 又因为，所以：，故存在，且. 【变式2-8】（24-25高二上·重庆·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上. (1)若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC； (2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)；证明见解析； (2)存在点，使得直线与平面所成的角为；此时二面角的余弦值为. 【分析】（1）根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论； （2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）分别为中点， ，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形， 为中点， 是的中点， 为中点， ，又平面，平面， 平面； （2）， ，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角， ； 取中点，连接，如图， ，， ， ， ， ， ，，又平面，， 平面， 平面， ， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， 直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为； 设平面的法向量，又，， ， 令，则，，； 当时，，； 当时，，； 综上所述：二面角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$