3.4二元一次方程组及其解法（4知识点+8题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

3.4 二元一次方程组及其解法 课程标准 学习目标 ①掌握消元法，能解二元一次方程组； ②根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组。 1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程(组)的解； 2. 经历用代入消元法将“二元”转化为“一元”的消元过程，初步感受二元一次方程组的“消元”思想； 3. 会根据二元一次方程组的特征，选择合适的消元法解二元一次方程组。 ※4.会运用整体思想和换元法解复杂的二元一次方程组 知识点01 二元一次方程的相关概念 ·定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 【即学即练1】下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）若方程是二元一次方程，则的值为 ． ·二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解． 【即学即练3】（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 知识点02 二元一次方程组的相关概念 ·方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 ·二元一次方程组的概念：方程组中含有，，并且，像这样的方程组叫做． ·二元一次方程组的解：满足的未知数的值，叫做二元一次方程组的一组解． 【即学即练4】 方程组的解（填“是”或“不是”）． 【即学即练5】（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】（2024·山东滨州·一模）下列四组数中，不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 代入消元法解二元一次方程组 ·消元：消去未知数的过程，在解二元一次方程组中指“二元”转化为“一元”的过程 ·代入消元法解二元一次方程组：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解 【即学即练7】将二元一次方程写成用含x的式子表示y的形式，则 ． 【即学即练8】用含x的代数式表示y或用含y的代数式表示x． (1)已知，则 ． (2)已知，则 ． (3)已知，则 ． (4)已知，则 ． ·用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①确定要消的“元”：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y ，用另一个未知数如 x 的代数式表示出来，即写成 y=mx+n 的形式； ②代入消元：把 y=mx+n 代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于 x 的一元一次方程； ③解一元一次方程，求出 x 的值； ④回代求解：把求得的 x 的值代入 y=mx+n 中求出 y 的值，从而得出方程组的解. ⑤把方程组的解写成的形式. 【即学即练9】用代入消元法解方程组 (1)； (2) 知识点04 加减消元法解二元一次方程组 ·加减消元法：通过等式的基本性质，将方程两边同乘以一个数，把两个方程中其中相对应的一个未知数的系数化为相同或相反的数。然后让这两个式子做差或和，便可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 【即学即练10】（23-24七年级下·湖北随州·期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练11】加减消元法解方程组： （1） ； （2）． ·运用整体思想灵活进行代数运算：构造问题中的代数式 方法步骤：①观察方程组中未知量的系数与代数式中未知量的系数之间的关系；②运用加减消元法将方程组中的两个方程进行加减运算，凑出代数式；③消元求代数式或未知字母的值。 案例：①方程组与方程的关系： ∵5=3+2，8=5+3，∴ ②方程组与方程的关系： 对变形有，∴ ③方程组与方程的关系： 原方程组变形有，∵2=5-3，-1=3-4，∴ 【题型一：根据二元一次方程的定义求参数的值】 例1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）若方程是二元一次方程，则的值为 ． 变式1-1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 变式1-2．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）若是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【方法技巧与总结】二元一次方程的定义：①含有两个未知数，②且未知数的次数均为1，③整式方程 【题型二：根据二元一次方程(组)的解求参数的值】 例2．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 变式2-1．（23-24七年级下·山东淄博·期中）若关于x、y的方程的一组解是，则a的值为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）已知 是方程组 的解，则 ． 变式2-3．（22-23八年级上·四川成都·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为 【方法技巧与总结】将解代入到原方程组中求未知参数的值。 【题型三：解二元一次方程组】 例3．（23-24七年级上·安徽·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 变式3-1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）解方程组： (1) (2) (3) (4) 变式3-2．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）在《二元一次方程组》的单元复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组． 小丽和小华解方程组的部分过程如下表： 小丽：②①，得 小华：由②得③，把①代入③，得 (1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程______，小华的过程______．（在横线处填写“正确”或“不正确”） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组：． 【题型四：应用消元思想求字母（代数式）的值】 例4．已知是一个非零常数，且关于，的方程组有解，求的值． 变式4.（22-23七年级下·山东济南·期中）已知x，y满足方程组  则 的值为(   ) A．2023 B． C．1 D． 【方法技巧与总结】灵活使用代入消元法和加减消元法进行代数运算。 【题型五：同解问题】 例5．已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 变式5-1.（22-23八年级上·江西景德镇·期末）如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，请你求出的值． 变式5-2.与方程组有相同解的方程是（　　） A． B． C． D． 变式5-3.若方程组和方程组有相同的解，求方程组的解． 例6．已知方程组的解满足方程，则的值等于（    ） A．3 B． C． D．4 【方法技巧与总结】根据解相同，重新组合，得到一个新的二元一次方程组进行求解。 【题型六：错解问题】 例7．王海和郭伟抄题“原方程组”，王海把方程①中的a抄错了，郭伟把方程②中的b抄错了，王海求得方程组的解为，郭伟求得方程组的解为 ，你能不能不去看老师抄的原题，把正确的a，b求出来？ 【方法技巧与总结】①抄错a的将其解代入没有参数a的方程，求出b；抄错b的将其解代入没有参数b的方程，求出a。②最后将a、b代入求原方程组的解即可。 【题型七：特殊解问题】 例8．（22-23七年级下·四川南充·期末）已知为正整数，且使关于的二元一次方程组，有正整数解，则符合条件的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例9．（23-24七年级下·北京·期中）如果关于x、y的方程组无解，那么满足 ． 例10．（22-23七年级下·河南信阳·期末）关于x，y的方程组中x与y的值互为相反数，则m的值为 ． 变式10．（22-23七年级下·北京通州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【题型八：整体思想与换元法在解方程组中的运用】 例11．（2023·山东临沂·一模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 变式11．（2023·山东枣庄·一模）若x，y满足方程组，则 ． 例12．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 例13．计算：解方程组 【题型八：定义新方程】 例14．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）我们规定，关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于的“最佳”方程组的解，求的值． 变式14．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们把关于，的两个二元一次方程与叫做互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组． (1)若关于，的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则_______，_______； (2)若二元一次方程中，的值满足下列表格： 则这个方程的共轭二元一次方程是 _________； (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则，之间的数量关系是 _________． 一、选择题 1．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ）． A．1或 B．1 C． D．0 2．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知（），则n可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·广东惠州·开学考试）若关于x，y的方程x2m﹣1+4yn+2＝6是二元一次方程，则m，n的值是（　　） A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C．m＝ ，n＝－ D．m＝－，n＝ 5.用加减法解二元一次方程组，下列步骤可以消去未知数的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则 ． 7．（22-23七年级下·安徽芜湖·阶段练习）方程，则 ．（用含x的式子表示） 8．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知x、y是方程组的解，则的值是 9．（23-24七年级下·甘肃金昌·期中）若是关于的二元一次方程，则m的值为 ． 10.（23-24七年级下·河南南阳·期末）在解关于 x、y 的二元一次方程组 时，若可以直接消去一个未知数，则 m、n 之间的数量关系可以用等式表示为 ． 11．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）现有，，，，五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程． （1）若取，卡片，则联立得到的二元一次方程组的解为 ． （2）若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则取的两张卡片为 ． 三、解答题 12．（22-23八年级上·全国·课前预习）哪些是二元一次方程？为什么？ （1）x2＋y＝20；（2）2x＋5＝10；（3）2a＋3b＝1；（4）x2＋2x＋1＝0；（5）2x＋y＋z＝1. 13．（23-24七年级上·安徽·单元测试）解方程（组） (1) (2) 14解方程组： (1) (2) (3) (4) 15．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知． (1)当时，求； (2)当时，求． 16．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，求，的值． 1．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）若关于x、y的方程的解满足， （1）y的值为 ； （2）以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ．    2．（23-24七年级下·西藏林芝·期末）用代入法解方程组 3．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知关于x、y的方程组 (1)方程组的解的和为8，求m的值； (2)方程组的解x与y之差为1，求方程组的解． 4.已知关于x，y的方程组，其中a是常数． (1)若时，求这方程组的解： (2)若，求这方程组的解： (3)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值． （24-25八年级上·全国·课后作业）（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得． 所以原方程组的解是． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法解答． 请直接写出方程组的解为________； （2）实践运用： 请用“整体代入法”解方程组：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4 二元一次方程组及其解法 课程标准 学习目标 ①掌握消元法，能解二元一次方程组； ②根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组。 1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程(组)的解； 2. 经历用代入消元法将“二元”转化为“一元”的消元过程，初步感受二元一次方程组的“消元”思想； 3. 会根据二元一次方程组的特征，选择合适的消元法解二元一次方程组。 ※4.会运用整体思想和换元法解复杂的二元一次方程组 知识点01 二元一次方程的相关概念 ·定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 【即学即练1】下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．，是代数式，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．，是二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【即学即练2】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）若方程是二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得，，即可求解． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴，且， ∴，且， ∴， 故答案为：． ·二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解． 【即学即练3】（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程解的定义，解决本题的关键是将二元一次方程的解代入方程进行求解即可．将代入求解即可． 【详解】解：将代入可得： ， 解得：， 故选：A． 知识点02 二元一次方程组的相关概念 ·方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 ·二元一次方程组的概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方 程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． ·二元一次方程组的解：满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值，叫做二元一次方程组的一组解． 【即学即练4】 方程组的解（填“是”或“不是”）． 【答案】不是 【分析】 本题考查的是方程组的解的含义，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键．把代入原方程组的两个方程即可得到答案． 【详解】解：把代入原方程组中的中， 方程左边右边，所以不是原方程组的解． 故答案为：不是． 【即学即练5】（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把代入方程组检验即可． 【详解】解：A、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； B、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； C、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； D、将代入方程组， 可得：， 即是方程组的解，符合题意； 故选：D． 【即学即练6】（2024·山东滨州·一模）下列四组数中，不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解，熟练掌握把的值代入原方程验证二元一次方程的解是解决此题的关键． 【详解】A、把代入方程，左边右边，所以是方程的解，不符合题意； B、把代入方程，左边＝右边，所以是方程的解，不符合题意； C、把代入方程，左边右边，所以是方程的解，不符合题意； D、把代入方程，左边右边，所以不是方程的解，符合题意． 故选：D． 知识点03 代入消元法解二元一次方程组 ·消元：消去未知数的过程，在解二元一次方程组中指“二元”转化为“一元”的过程 ·代入消元法解二元一次方程组：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解 【即学即练7】将二元一次方程写成用含x的式子表示y的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程，利用等式的性质对方程进行变形，熟练掌握等式的性质是解答本题的关键． 将含有x的项移到等号右边即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【即学即练8】用含x的代数式表示y或用含y的代数式表示x． (1)已知，则 ． (2)已知，则 ． (3)已知，则 ． (4)已知，则 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程，把一个未知数看作常数求解是解答本题的关键． （1）把y移项即可； （2）把移项即可； （3）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （4）根据移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ·用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①确定要消的“元”：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y ，用另一个未知数如 x 的代数式表示出来，即写成 y=mx+n 的形式； ②代入消元：把 y=mx+n 代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于 x 的一元一次方程； ③解一元一次方程，求出 x 的值； ④回代求解：把求得的 x 的值代入 y=mx+n 中求出 y 的值，从而得出方程组的解. ⑤把方程组的解写成的形式. 【即学即练9】用代入消元法解方程组 (1)； (2) 【答案】(1) ；(2) ． 【详解】（1）解： 由得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：． （2）解： 整理可得出： 由②式得：， 把代入①式可得出：， 解得：， 把代入， 可得出：， ∴原方程组的解为： 知识点04 加减消元法解二元一次方程组 ·加减消元法：通过等式的基本性质，将方程两边同乘以一个数，把两个方程中其中相对应的一个未知数的系数化为相同或相反的数。然后让这两个式子做差或和，便可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 【即学即练10】（23-24七年级下·湖北随州·期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组的消元法，熟练掌握消元法的方法是解题的关键．将选项逐一进行计算看是否消元即可． 【详解】 解：A、得：，即，消去了，故选项不符合题意； B、得：，即，没有消元，故选项符合题意； C、得：，即，消去了，故选项不符合题意； D、得：，即，消去了，故选项不符合题意； 故选：B． 【即学即练11】加减消元法解方程组： （1） ； （2）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ②﹣①，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以方程组的解是． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 运用整体思想灵活进行代数运算：构造问题中的代数式 方法步骤：①观察方程组中未知量的系数与代数式中未知量的系数之间的关系；②运用加减消元法将方程组中的两个方程进行加减运算，凑出代数式；③消元求代数式或未知字母的值。 案例：①方程组与方程的关系： ∵5=3+2，8=5+3，∴ ②方程组与方程的关系： 对变形有，∴ ③方程组与方程的关系： 原方程组变形有，∵2=5-3，-1=3-4，∴ 【题型一：根据二元一次方程的定义求参数的值】 例1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）若方程是二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得，，即可求解． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴，且， ∴，且， ∴， 故答案为：． 变式1-1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 直接根据二元一次方程的定义列方程求值即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 变式1-2．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）若是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】加减消元法、二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴， 解得：， 故选：B 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键． 【方法技巧与总结】二元一次方程的定义：①含有两个未知数，②且未知数的次数均为1，③整式方程 【题型二：根据二元一次方程(组)的解求参数的值】 例2．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程解的定义，解决本题的关键是将二元一次方程的解代入方程进行求解即可．将代入求解即可． 【详解】解：将代入可得： ， 解得：， 故选：A． 变式2-1．（23-24七年级下·山东淄博·期中）若关于x、y的方程的一组解是，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程的解，把，代入，即可． 【详解】∵方程的一组解是， ∴， 解得：． 故选：A． 变式2-2．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）已知 是方程组 的解，则 ． 【答案】 【分析】把方程组的解代入方程组求出、的值，代入计算得到答案． 【详解】解：将代入中， 得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解的定义，使方程组中各个方程都成立的未知数的值称为方程组的解． 变式2-3．（22-23八年级上·四川成都·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据题意得出，再求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 【方法技巧与总结】将解代入到原方程组中求未知参数的值。 【题型三：解二元一次方程组】 例3．（23-24七年级上·安徽·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、代入消元法 【分析】此题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减法和代入法是关键. （1）利用代入法解方程组即可； （2）利用加减法解方程组即可. 【详解】（1）解： 把①代入②得， 解得 把代入①得， ∴ （2） 得，， 把代入①得，， 解得 ∴ 变式3-1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】加减消元法 【分析】（）利用加减法解答即可求解； （）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解； （）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解； （）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得， 得，， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （3）解：方程组整理得， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （4）解：方程组整理得， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 变式3-2．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）在《二元一次方程组》的单元复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组． 小丽和小华解方程组的部分过程如下表： 小丽：②①，得 小华：由②得③，把①代入③，得 (1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程______，小华的过程______．（在横线处填写“正确”或“不正确”） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组：． 【答案】(1)正确；不正确 (2) 【知识点】加减消元法、代入消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）根据小丽和小华的解法分析即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）小丽：②①，得，正确； 小华：由②得③，把①代入③，得，不正确， 应为：由②得③，把①代入③，得． 故答案为：正确；不正确； （2）， ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴． ∴． 【题型四：应用消元思想求字母（代数式）的值】 例4．已知是一个非零常数，且关于，的方程组有解，求的值． 【答案】． 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用代入消元法消去即可求解，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解：， 由得：， 把代入得：， 则， ∴． 变式4.（22-23七年级下·山东济南·期中）已知x，y满足方程组  则 的值为(   ) A．2023 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用，可得出，再在方程的两边同时除以3，即可求出，再代入求值即可． 【详解】解：， 得：， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，两方程相加后，得出是解题的关键． 【方法技巧与总结】灵活使用代入消元法和加减消元法进行代数运算。 【题型五：同解问题】 例5．已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 【答案】 【知识点】同解方程组、加减消元法 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的定义和解法，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．解方程组求出、的值，把、的值代入含有、的方程，解方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 将代入，得， 解得：． 变式5-1.（22-23八年级上·江西景德镇·期末）如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，请你求出的值． 【答案】 【分析】先求出的解为，然后把代入可求出a的值． 【详解】解：， 由，可得， 解得：， 将代入①，得： ， 解得：， ∴二元一次方程组的解为， ∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解， ∴将代入方程，可得， 解得：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 变式5-2.与方程组有相同解的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解和绝对值，理解二元一次方程的解的定义是做题的关键．由题意可得同解方程的解必须同时满足和，据此求解即可． 【详解】解：A．不满足，故不符合题意； B．不满足，故不符合题意； C．∵，∴或，故不符合题意； D．∵，∴，符合题意． 故选：D． 变式5-3.若方程组和方程组有相同的解，求方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的同解问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质求解，根据方程组和方程组同解可以得到求出这个方程组的解，然后代入另外两个方程求出a、b即可． 【详解】解：解方程组 解得： 把代入另外两方程得： 解得：． 例6．已知方程组的解满足方程，则的值等于（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【分析】先把两个方程相加得到：再方程两边都除以，得到，结合已知条件，消去，从而可得答案． 【详解】解： ①＋②得： ∵ 故选D． 【点睛】本题考查的是方程的同解问题，掌握同解方程的含义，及利用整体思想解决同解问题是解题的关键． 【方法技巧与总结】根据解相同，重新组合，得到一个新的二元一次方程组进行求解。 【题型六：错解问题】 例7．王海和郭伟抄题“原方程组”，王海把方程①中的a抄错了，郭伟把方程②中的b抄错了，王海求得方程组的解为，郭伟求得方程组的解为 ，你能不能不去看老师抄的原题，把正确的a，b求出来？ 【答案】， 【知识点】代入消元法 【分析】抄错的将其解代入方程②，可以求出，得；抄错的将其解代入方程①，可以求出即可．此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【详解】解：依题意，将，代入方程②， 得到， 即； 将，代入方程①， 得， 即． 【方法技巧与总结】①抄错a的将其解代入没有参数a的方程，求出b；抄错b的将其解代入没有参数b的方程，求出a。②最后将a、b代入求原方程组的解即可。 【题型七：特殊解问题】 例8．（22-23七年级下·四川南充·期末）已知为正整数，且使关于的二元一次方程组，有正整数解，则符合条件的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】先把两个方程相减得到：，即可化为：再结合都为正整数，可得答案． 【详解】解： ②－①得：． 当时， 为正整数，则为正整数且是的约数． ∴或 ． ∴或． ∵为正整数， 不符合题意，故舍去， 此时方程组的解为： 所以符合条件的有个． 故选A． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法以及二元一次方程组的正整数解的问题，掌握解二元一次方程组及对解的分析是解题的关键． 例9．（23-24七年级下·北京·期中）如果关于x、y的方程组无解，那么满足 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解，未知数的系数等于0，这是解此题的关键． 通过消元得到关于的一元一次方程，当的系数为0时，方程无解，据此求解即可． 【详解】 由②得：③ 把③代入①，得， 整理，得 ， 当，即时，此方程无解，原方程组也无解， 故答案为：． 例10．（22-23七年级下·河南信阳·期末）关于x，y的方程组中x与y的值互为相反数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】由x与y的值互为相反数得到x+y=0，即y=-x，代入方程组即可求出m的值． 【详解】解：由题意得：x+y=0，即y=-x， 代入方程组得：， 解得：，， 则m的值是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 变式10．（22-23七年级下·北京通州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】将②①，得到，再代入即可得到m的值． 【详解】解： ②①， ③ 把③代入中，得 ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键． 【题型八：整体思想与换元法在解方程组中的运用】 例11．（2023·山东临沂·一模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】2 【分析】先将②-①得，即可求得答案． 【详解】原方程组为， 由②-①得， ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解． 变式11．（2023·山东枣庄·一模）若x，y满足方程组，则 ． 【答案】5 【分析】由，即可求解． 【详解】解：， 由得：． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 例12．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用换元法求解方程组的解． 【详解】解：方程组可以变形为：方程组， 设，，则方程组可变为， ∴m＝3，n＝4， 即，， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键． 例13．计算：解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．利用换元法和加减消元法解方程组即可． 【详解】解：令， 原式可化为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， ∴方程组的解为：． 【题型八：定义新方程】 例14．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）我们规定，关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于的“最佳”方程组的解，求的值． 【答案】(1)是 (2)3 (3)3 【知识点】加减消元法、二元一次方程的定义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握“最佳”方程的定义是解题的关键． （1）根据“最佳”方程的定义进行判断即可； （2）根据“最佳”方程的定义，进行求解即可； （3）先根据“最佳”方程组的定义求出m，n的值，再根据方程组的解的定义，得到关于p，q的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）中， ∴方程是最佳方程； （2）关于的二元一次方程是“最佳”方程， ， 解得； （3）∵方程组是“最佳”方程组， ∴， ∴， ∴原方程组为， ∵是方程组的解， ∴， 解得， ． 变式14．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们把关于，的两个二元一次方程与叫做互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组． (1)若关于，的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则_______，_______； (2)若二元一次方程中，的值满足下列表格： 则这个方程的共轭二元一次方程是 _________； (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则，之间的数量关系是 _________． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】加减消元法 【分析】（）由定义直接可求； （）用加减消元法分别求解每一个二元一次方程组即可； （）由定义直接可求出，之间的数量关系； 本题考查了二元一次方程组的解法，理解定义，灵活应用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：是共轭二元一次方程组， ∴，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：将，； ，，代入方程中， ，， ∴， ∴二元一次方程是， ∴共轭二元一次方程是， 故答案为：； （3）解：∵的解为， ∴， 得， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 一、选择题 1．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ）． A．1或 B．1 C． D．0 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义得出，再求出即可． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， 故选：A． 2．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程．两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组． 【详解】解：A选项中最高次数为2次，不是二元一次方程组，不合题意； B选项中第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不合题意； C选项中含有3个未知数，不是二元一次方程组，不合题意； D.选项，是二元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的就是二元一次方程组的定义问题．在解决定义问题的时候特别要注意所有方程都必须是整式方程，否则就不是二元一次方程组． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知（），则n可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】代入消元法、用代数式表示式 【分析】本题考查了用代数式表达式，根据，则移项，根据除法性质，得出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 故选：C． 4．（22-23九年级上·广东惠州·开学考试）若关于x，y的方程x2m﹣1+4yn+2＝6是二元一次方程，则m，n的值是（　　） A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C．m＝ ，n＝－ D．m＝－，n＝ 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程定义可得2m﹣1＝1，n+2＝1，再解即可． 【详解】解：由题意得：2m﹣1＝1，n+2＝1， 解得：m＝1，n＝﹣1， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程定义，掌握二元一次方程需满足三个条件是解题的关键：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 5.用加减法解二元一次方程组，下列步骤可以消去未知数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 观察两方程中m的系数，找出两系数的最小公倍数，然后把两方程相减即可． 【详解】解：A、既不能消去m，也不能消去n，此选项不符合题意； B．既不能消去m，也不能消去n，此选项不符合题意； C．能消去未知数m，此选项符合题意； D、不能消去m，也不能消去n，此选项不符合题意． 故选C． 二、填空题 6．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：． 7．（22-23七年级下·安徽芜湖·阶段练习）方程，则 ．（用含x的式子表示） 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】根据等式性质，先移项得：，再系数化1，即可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用含一个未知数的式子表示另一个未知数，解题的关键是掌握运用等式性质将等式变形． 8．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知x、y是方程组的解，则的值是 【答案】3 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用加减消元法求出x、y的值，然后代入计算即可． 【详解】解： ，得 ∴ 把代入①，得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：3 9．（23-24七年级下·甘肃金昌·期中）若是关于的二元一次方程，则m的值为 ． 【答案】0 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：0． 10.（23-24七年级下·河南南阳·期末）在解关于 x、y 的二元一次方程组 时，若可以直接消去一个未知数，则 m、n 之间的数量关系可以用等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． 根据求差后直接消去y，令y的系数为0即可． 【详解】解：，得， ∵可以直接消去一个未知数， ∴， 故答案为：． 11．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）现有，，，，五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程． （1）若取，卡片，则联立得到的二元一次方程组的解为 ． （2）若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则取的两张卡片为 ． 【答案】 B和C 【知识点】加减消元法 【分析】（1）根据二元一次方程组加减消元法即可解得； （2）把解代入卡片逐项验证即可． 【详解】（1）解： 得 ， 把代入①得 ， 解得； （2）把代入，，，，五张卡片中， 可得，，不成立， 代入B得：，成立， 代入C得：，成立， 故答案为：B和C． 【点睛】此题考查了二元一次方程组，解题的关键是熟记加减消元法解方程组． 三、解答题 12．（22-23八年级上·全国·课前预习）哪些是二元一次方程？为什么？ （1）x2＋y＝20；（2）2x＋5＝10；（3）2a＋3b＝1；（4）x2＋2x＋1＝0；（5）2x＋y＋z＝1. 【答案】（3），见解析 【详解】解：(3)是二元一次方程，理由是含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 13．（23-24七年级上·安徽·单元测试）解方程（组） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、加减消元法 【分析】本题考查解一元一次方程及二元一次方程组，熟练掌握一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；消元法解二元一次方程组是解决问题的关键． （1）根据一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项即可得到答案； （2）由加减消元法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得； （2）解：， 由①②得， 将代入②得， 方程组的解为． 14解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）用代入消元法求解即可； （3）用加减消元法求解即可； （4）整理后用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， ∴； （2）解：， 把①代入②，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴； （3）解： ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， ∴； （4）解： 整理，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， ∴． 15．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知． (1)当时，求； (2)当时，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）将未知数的值代入并求解对应的一元一次方程即可； （2）将两个方程组合成一个二元一次方程组，求解该方程组即可． 【详解】（1）解：将代入 即 （2）由题意可得方程组 ① ② ①得：③ ②③得： 把代入①得： 综上所述：． 16．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，求，的值． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】将原式转换为，解二元一次方程组即可． 【详解】解：将原式转换为， ①②得：， 解得：， 将代入①中得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及代入消元法是解本题的关键． 1．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）若关于x、y的方程的解满足， （1）y的值为 ； （2）以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ．    【答案】 【知识点】加减消元法、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，整式的化简求值： （1）根据题意可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据题意可知该图案的面积等于一个长方形面积加上两个平行四边形的面积再减去一个三角形面积，据此先列出代数式，再把x、y分别用a和数值替换进行化简即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，， 解得， 故答案为：； （2）∵， ∴该图案的面积 ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·西藏林芝·期末）用代入法解方程组 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．应用代入消元法，求出方程组的解即可． 【详解】解：， 将①代入②，可得：， 解得， 把代入①，可得， 解得， 原方程组的解是． 3．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知关于x、y的方程组 (1)方程组的解的和为8，求m的值； (2)方程组的解x与y之差为1，求方程组的解． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】加减消元法、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，代数式求值等知识． （1）解二元一次方程组，得出用m表示的x，y，再根据已知条件可得出关于m的一元一次方程，求解即可得出m的值． （2）根据已知条件得出m的值， 然后再把m的值代入（1）中x，y，即可得出答案． 【详解】（1）解： ①②，得：， 解得：， 把代入①式得：， 解得：， ∴原方程组的解为：， ∵，即， 解得：； （2）∵方程组的解x与y之差为1， 即， 解得：， 把代入，得：． 4.已知关于x，y的方程组，其中a是常数． (1)若时，求这方程组的解： (2)若，求这方程组的解： (3)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】加减消元法、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、方程的解 【分析】（1）当a=2时，代入方程组，根据加减消元即可求出方程组的解． （2）当x=y时，代入第一个方程解出a的值，再将a的值代入第二个方程，解出x和y的值即可； （3）将①×3减去②可得x-6y，再结合x-6y=2，即可解得a． 【详解】（1）当a=2时，原方程组变为： ①×3+②得 5x=25 ∴x=5 将x=5代入①得 y=0 ∴这个方程组的解为 （2）当时，得：， 把代入②得， 则方程组的解为； （3）把①×3②得：， 解得：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （24-25八年级上·全国·课后作业）（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得． 所以原方程组的解是． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法解答． 请直接写出方程组的解为________； （2）实践运用： 请用“整体代入法”解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】解： 由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2） 由①得， 将③代入②得：， 解得， 将代入③，得， 解得， 则原方程组的解为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$