专题3.3 二元一次方程组及其解法（高效培优讲义）数学新教材沪科版七年级上册

本讲义聚焦二元一次方程组及其解法核心知识点，系统梳理二元一次方程（组）及解的概念，通过三要素辨析概念本质，衔接代入消元法与加减消元法的步骤原理，构建从概念理解到解法应用再到综合题型的学习支架。 资料以“即学即练”巩固概念认知，“典例+变式”强化解题逻辑，突出消元转化思想，培养抽象能力与运算能力。融入期末真题，课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺，提升用数学思维解决问题的能力。

专题3.3 二元一次方程组及其解法 教学目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解的概念，能够准确识别二元一次方程与二元一次方程组，会检验一组未知数的值是否为方程组的解。 2.掌握代入消元法、加减消元法两种解二元一次方程组的核心方法，理解 “消元” 思想，体会将二元方程组转化为一元一次方程的转化思路。 3.能根据方程组系数特征灵活选择合适消元方法，规范完成含分数、负系数的二元一次方程组求解，完整书写解题步骤。 4.通过对比一元一次方程学习二元方程组，培养类比推理能力、符号运算能力，建立多元方程建模意识，养成规范验算的解题习惯。 教学重难点 1.重点 （1）二元一次方程、二元一次方程组及其解的相关概念； （2）代入消元法解二元一次方程组的步骤与运算； （3）加减消元法消去未知数的变形规则与求解过程。 2. 难点 （1）理解消元的本质，建立 “二元化一元” 的转化思想； （2）加减消元时，对两个方程同乘合适数字统一未知数系数，处理符号、漏乘常数项问题； （3）灵活判断方程组形式，合理选用代入法或加减法简化计算； （4）含分母、括号的复杂二元一次方程组的化简与求解。 知识点01 二元一次方程及其解 1. 二元一次方程：含有 未知数的 方程叫作二元一次方程。 2. 二元一次方程的三要素：①有且只有 未知数；②含有未知数的项的次数为 ；③方程两边都是 。 3. 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。 【即学即练】 1．下列方程是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是关于的二元一次方程，则（     ） A． B． C． D． 知识点02 二元一次方程组及其解 1. 二元一次方程组：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有 个方程，像这样的方程叫作二元一次方程组。 2. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）。 3. 二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值叫作二元一次方程组的解。 【即学即练】 1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 2．下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 解二元一次方程组 1. 代入消元法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法。 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： ① ：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； ② ：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； ③ ：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④ ：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。 3. 加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法叫作加减消元法，简称加减法。 4. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： ① ：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； ② ：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③ ：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④ ：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解。 5. 加减消元法通过“把两个方程相加减”实现消元，加减的条件是“两个二元一次方程中同一未知数的系数相等或互为相反数”。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）解方程组：． 2．解方程组： 3．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）解方程组： 题型01 二元一次方程的判断 【典例1】（25-26七年级下·福建南平·期中）下列方程属于二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． （1）化简判定法：复杂式子必须先去括号、移项、合并同类项，化简后再判定，以最简形式为准； （2）快速排除口诀：分式、根式直接否，次数超1直接否，未知数个数不符直接否。 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）下列方程：①；②；③；④，其中二元一次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 由二元一次方程的定义求参问题 【典例1】若方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （1）核心解题依据：根据二元一次方程三要素，列出两组限定条件：①两个未知数的次数均为1；②含未知数的项的系数不为0； （2）固定解题步骤：①令所有含未知数项的次数等于1，列方程求参数；②代入参数验证对应系数不为0；③舍去不符合条件的； （3）重点细节：只需保证未知项系数非零，常数项系数无限制。 【变式1】（25-26七年级下·河南许昌·期中）若是关于，的二元一次方程，则满足（   ） A．任意实数 B．任意有理数 C． D． 【变式2】已知是二元一次方程，则________，________． 【变式3】（25-26七年级下·广东江门·期中）已知方程是关于的二元一次方程，则m的值是________． 题型03 二元一次方程组的判断 【典例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． （1）排除标准：含分式、根式方程；含三次及以上项；含三个及以上未知数，均不是二元一次方程组。 （2）判定流程：先看整式属性→再看未知数总数→最后看未知项次数。 【变式1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·北京顺义·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 题型04 二元一次方程组的解的判断 【典例1】下列各组数是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 标准验证步骤：①将数值代入第一个方程验证成立；②继续代入第二个方程验证；③同时成立即为解，任一不成立直接排除。 【变式1】下列x和y的值不符合二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 题型05 解二元一次方程组 【典例1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【变式1】（25-26七年级下·浙江台州·期中）解方程组： (1)； (2) 【变式2】解方程组： (1) (2) 【变式3】（25-26七年级下·江苏南通·期中）解方程组： (1)； (2) 【变式4】（25-26七年级下·北京顺义·期中）按要求解方程组： (1)用“代入消元法”解方程组： (2)用"加减消元法"解方程组： 题型06 已知二元一次方程组的解求参数 【典例1】（25-26八年级上·山西运城·期末）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【典例2】已知是方程组的解，那么的值为_________． （1）固定步骤：①将已知解代入原方程组；②得到关于参数的新二元一次方程组；③解新方程组求出所有参数；④简单检验合理性； （2）单参数题型：代入后直接得到一元一次方程，一步求解； （3）多参数题型：两个方程对应两个参数，联立求解，不遗漏条件。 【变式1】已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如果方程组的解，则方程组的解为______． 【变式3】已知是关于，的方程组的解，求的值． 题型07 二元一次方程组的错解问题 【典例1】李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【典例2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）小明正确求得方程组的解为，则■表示的数为______． （1）看错第一个方程系数：错解满足第二个正确方程； （2）看错第二个方程系数：错解满足第一个正确方程。 【变式1】小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为，小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是（   ） A．3 B．5 C．-3 D．-5 【变式2】甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 【变式3】在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解 题型08 二元一次方程组的同解问题 【典例1】若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【典例2】已知关于x，y的两个二元一次方程组和的解相同，求的值． （1）核心定义：两个方程组有完全相同的一组解，即为同解，解同时满足四个方程； （2）通用解题套路：①选取两个不含参数、最简的方程联立，求出公共解；②将公共解代入含参数的方程；③求解所有参数。 【变式1】若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【变式2】如果方程组和的解相同，则______． 【变式3】若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 题型09 由二元一次方程组解的其他情况求参数 【典例1】二元一次方程组的解的值相等，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【典例2】在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有2倍关系，那么这个方程组叫做“二倍解方程组”，若关于x、y的方程组是“二倍解方程组”，则a的值为______． 【变式1】如果关于未知数和的二元一次方程组的解满足．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·云南昆明·期末）已知关于，的方程组的解，互为相反数，则的值是__________． 【变式3】（25-26七年级下·山东烟台·期中）若方程组无解，则的值为_________ 【变式4】关于x，y的方程组只有唯一的一组解，那么a的取值为多少？ 1．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）若关于x，y的方程是二元一次方程，则n的值为（     ） A．1 B． C． D．2 3．（25-26七年级下·广东潮州·期末）解为的方程组是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北保定·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·广东广州·期末）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（     ） A．4和5 B．8和9 C．和9 D．和5 6．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）若关于， 的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为_________． 8．（25-26七年级下·福建福州·期末）解方程组： 9．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程组： 10．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）解方程组． 11．对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如，若，满足方程组，求的值． 12．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）若 是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（     ） A．2或10 B．2或9 C．3或9 D．3或10 3．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）已知方程组中，a和b互为相反数，则m的值是______． 5．（25-26七年级下·山东滨州·期末）已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是________． 6．解方程组： (1)． (2)． 7．解下列方程组： (1) (2)． 8．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 材料：解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可采用以下方法： 解：②−①，得：，所以③， 将③，得④， ①−④，得，从而可得， 所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于，的方程组 的解，并说明理由． 9．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）规定：形如与的两个关于，的方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是________； (2)若关于，的方程组为共轭方程组，则________________； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②①得，所以③ ③得④ ①④得，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 10．（25-26七年级下·陕西西安·期末）规定：关于的方程与互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．如与互为共轭二元一次方程，是共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于的方程组为共轭方程组，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 二元一次方程组及其解法 教学目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解的概念，能够准确识别二元一次方程与二元一次方程组，会检验一组未知数的值是否为方程组的解。 2.掌握代入消元法、加减消元法两种解二元一次方程组的核心方法，理解 “消元” 思想，体会将二元方程组转化为一元一次方程的转化思路。 3.能根据方程组系数特征灵活选择合适消元方法，规范完成含分数、负系数的二元一次方程组求解，完整书写解题步骤。 4.通过对比一元一次方程学习二元方程组，培养类比推理能力、符号运算能力，建立多元方程建模意识，养成规范验算的解题习惯。 教学重难点 1.重点 （1）二元一次方程、二元一次方程组及其解的相关概念； （2）代入消元法解二元一次方程组的步骤与运算； （3）加减消元法消去未知数的变形规则与求解过程。 2. 难点 （1）理解消元的本质，建立 “二元化一元” 的转化思想； （2）加减消元时，对两个方程同乘合适数字统一未知数系数，处理符号、漏乘常数项问题； （3）灵活判断方程组形式，合理选用代入法或加减法简化计算； （4）含分母、括号的复杂二元一次方程组的化简与求解。 知识点01 二元一次方程及其解 1. 二元一次方程：含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程。 2. 二元一次方程的三要素：①有且只有两个未知数；②含有未知数的项的次数为1；③方程两边都是整式。 3. 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。 【即学即练】 1．下列方程是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义，掌握二元一次方程满足的条件是解题关键.二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有含未知数的项的次数都为1.据此对选项逐一判断即可． 【详解】A项：含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B项：是整式方程，含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程的定义，符合题意； C项：中是分式，方程不是整式方程，因此不是二元一次方程，不符合题意； D项：只含有1个未知数，是一元一次方程，不是二元一次方程，不符合题意． 2．若是关于的二元一次方程，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义，需满足两个未知数的次数都为1，且未知数的系数不为0，据此列出等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程 ∴的次数为，且的系数不为，可得且 解得，即， 由得， ∴． 知识点02 二元一次方程组及其解 1. 二元一次方程组：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫作二元一次方程组。 2. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）。 3. 二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值叫作二元一次方程组的解。 【即学即练】 1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：共含两个未知数，每个方程都是未知数最高次数为1的整式方程，逐一分析选项即可 【详解】解：∵二元一次方程组需满足三个条件：①方程组共含有两个未知数，②每个方程都是整式方程，③所有未知数的最高次数为1； ∴对各选项逐一判断： A 该方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，未知数最高次数为1，符合二元一次方程组定义，此选项符合题意； B 该方程组含有三个未知数，不符合定义，此选项不符合题意； C 第一个方程中项的次数为2，不符合一次的要求，不符合定义，此选项不符合题意； D 两个方程中分母含有未知数，不是整式方程，不符合定义，此选项不符合题意 2．下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把或代入，分别求得的值，据此即可判断． 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得， 观察四个选项，只有成立， 故选：B． 知识点03 解二元一次方程组 1. 代入消元法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法。 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； ②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； ③解元：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。 3. 加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法叫作加减消元法，简称加减法。 4. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； ②加减：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解元：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解。 5. 加减消元法通过“把两个方程相加减”实现消元，加减的条件是“两个二元一次方程中同一未知数的系数相等或互为相反数”。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】根据方程组系数特点，用代入消元法即可求解． 【详解】解： 由①变形得， 将③代入②，，解得， 将代入③，得， 则方程组的解为． 2．解方程组： 【答案】 【详解】解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为． 3．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）解方程组： 【答案】 【分析】根据加减消元先求解x的值，再求解y的值，由此可得方程组的解． 【详解】解：方程组为， 由，得，解得． 将代入①，解得． ∴原方程组的解为． 题型01 二元一次方程的判断 【典例1】（25-26七年级下·福建南平·期中）下列方程属于二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：只含有1个未知数，属于一元一次方程，不符合二元一次方程的定义，故A不符合题意； 中，是分式，该方程不是整式方程，故B不符合题意； 中，项的次数是2，不是一次，故C不符合题意； 含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义，故D符合题意． （1）化简判定法：复杂式子必须先去括号、移项、合并同类项，化简后再判定，以最简形式为准； （2）快速排除口诀：分式、根式直接否，次数超1直接否，未知数个数不符直接否。 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二元一次方程满足：是整式方程，含两个未知数，含未知数的项的次数都是1； 选项A：方程 只含1个未知数，且的次数为2，不是二元一次方程，不符合要求； 选项B：方程 整理为 ，含两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合要求； 选项C：方程 中不是整式，不是整式方程，不符合要求； 选项D：方程 含三个未知数，不是二元一次方程，不符合要求. 【变式2】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）下列方程：①；②；③；④，其中二元一次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】含有两个未知数，且所含未知数的次数均为1次的整式方程叫做二元一次方程，逐个判断方程即可得到结果． 【详解】解：①只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合二元一次方程定义； ②含有两个未知数，且所有未知数次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程定义； ③含有两个未知数，且所有未知数次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程定义； ④中项的次数是2，不符合要求，不是二元一次方程； ∴符合条件的二元一次方程共有2个． 题型02 由二元一次方程的定义求参问题 【典例1】若方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由二元一次方程的定义可知，且，解出m和n的值，进而可求出． 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴且， ∴，， ∴． （1）核心解题依据：根据二元一次方程三要素，列出两组限定条件：①两个未知数的次数均为1；②含未知数的项的系数不为0； （2）固定解题步骤：①令所有含未知数项的次数等于1，列方程求参数；②代入参数验证对应系数不为0；③舍去不符合条件的； （3）重点细节：只需保证未知项系数非零，常数项系数无限制。 【变式1】（25-26七年级下·河南许昌·期中）若是关于，的二元一次方程，则满足（   ） A．任意实数 B．任意有理数 C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义可知，解不等式可得：． 【详解】解：是关于，的二元一次方程， ， ． 【变式2】已知是二元一次方程，则________，________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，未知数的最高次数为，可得到关于和的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵是二元一次方程， 根据二元一次方程的定义，两个未知数的次数都为，可得： ，， 解得：，． 【变式3】（25-26七年级下·广东江门·期中）已知方程是关于的二元一次方程，则m的值是________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程中含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程的定义，列等式求解即可． 【详解】解：由题意得，方程 是二元一次方程，因此的次数为， 可得， 解得或， 此时的系数为，满足二元一次方程的定义． 题型03 二元一次方程组的判断 【典例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程组需满足：共含有两个未知数，且每个方程中未知数的项的次数都是1，均为整式方程，据此逐一判断选项即可. 【详解】解：选项A中，中的次数为2，不符合二元一次方程组的要求，∴A不符合题意； 选项B中，方程组中共有三个未知数，不符合二元的要求，∴B不符合题意； 选项C中，中项的次数为2，不符合一次的要求，∴C不符合题意； 选项D中，方程组含有两个未知数，且所有未知数的项的次数均为1，都是整式方程，符合二元一次方程组的定义，∴D符合题意. （1）排除标准：含分式、根式方程；含三次及以上项；含三个及以上未知数，均不是二元一次方程组。 （2）判定流程：先看整式属性→再看未知数总数→最后看未知项次数。 【变式1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项中，第一个方程不是整式方程，因此该方程组不是二元一次方程组，符合题意； B选项满足二元一次方程组的定义，不符合题意； C选项满足二元一次方程组的定义，不符合题意； D选项满足二元一次方程组的定义，不符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·北京顺义·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可，二元一次方程组需满足：一共含两个未知数，所有方程都是整式方程，未知数的最高次数为1． 【详解】解：A、方程组中共有x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组； B、第一个方程不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组； C、方程组共含x，y两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数的最高次数都是1，符合二元一次方程组的定义，故该方程组是二元一次方程组； D、第二个方程中项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组． 题型04 二元一次方程组的解的判断 【典例1】下列各组数是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键．二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【详解】解：A．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故A不符合题意； B．将代入方程，左边右边，所以是方程的解，故B符合题意； C．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故C不符合题意； D．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故D不符合题意． 故选：B． 标准验证步骤：①将数值代入第一个方程验证成立；②继续代入第二个方程验证；③同时成立即为解，任一不成立直接排除。 【变式1】下列x和y的值不符合二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，将选项逐一代入，看左右两边是否成立即可． 【详解】解：将选项逐一代入， A. ，成立，故符合； B. ，成立，故符合； C. ，成立，故符合； D.，不成立，故不符合； 故选：D． 【变式2】观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故选：A． 题型05 解二元一次方程组 【典例1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②得，， 解得，， 把代入①得，， 故原方程组的解为； （2）解：， 得，， 得，， 解得，， 把代入②得，， 故原方程组的解为． 【变式1】（25-26七年级下·浙江台州·期中）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入①，求出的值；把的值代入②式，解出，即可． （2）由①×2得③，由③+②得，求出的值，把的值代入①式，求出的值，即可． 【详解】（1）解：； 把代入①得：， 去小括号，合并同类项可得：， 解得： 把代入②得， ∴方程组的解为． （2）解： 由①×2得③， 由③+②得， 解得：， 把代入①得， ∴方程组的解为． 【变式2】解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先将方程组去分母，再利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①得：， 将③代入②得：， 解得， 将代入③得：， 所以方程组的解为． （2）解：变形为， ①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南通·期中）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得， 把代入①得， ∴ 所以方程组的解为； （2）解： 得， 由②得 ③④得， ∴ 代入③得， 解得 所以方程组的解为． 【变式4】（25-26七年级下·北京顺义·期中）按要求解方程组： (1)用“代入消元法”解方程组： (2)用"加减消元法"解方程组： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由①得， 将③代入②得， 解得 将代入③得： ∴方程组的解为：； （2）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 题型06 已知二元一次方程组的解求参数 【典例1】（25-26八年级上·山西运城·期末）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 【典例2】已知是方程组的解，那么的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 将方程组的解代入原方程，求出和 的值，再计算． 【详解】解：是方程组的解， 化简得： 解得： ． 故答案为：． （1）固定步骤：①将已知解代入原方程组；②得到关于参数的新二元一次方程组；③解新方程组求出所有参数；④简单检验合理性； （2）单参数题型：代入后直接得到一元一次方程，一步求解； （3）多参数题型：两个方程对应两个参数，联立求解，不遗漏条件。 【变式1】已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将方程的解代入二元一次方程，得到关于、的关系式，再将该关系式整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：∵二元一次方程的一个解是， ∴将代入方程， 得，即， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如果方程组的解，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查换元法求方程组的解，根据题意，易得方程组的解为，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解 ∴方程组得解为，解得 故答案为：． 【变式3】已知是关于，的方程组的解，求的值． 【答案】 【分析】把代入关于，的方程组得到关于a、b的方程组，把关于a、b的两个方程相加推出的值，再由可得答案． 【详解】解：把代入，得 得， ∴， ∴． 题型07 二元一次方程组的错解问题 【典例1】李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得和都是方程的解，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：， ∴， 解得， 故选：B． 【典例2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）小明正确求得方程组的解为，则■表示的数为______． 【答案】 【分析】先将代入中求出的值，再将代入求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴将代入中，解得， 将代入中， 得． （1）看错第一个方程系数：错解满足第二个正确方程； （2）看错第二个方程系数：错解满足第一个正确方程。 【变式1】小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为，小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是（   ） A．3 B．5 C．-3 D．-5 【答案】B 【分析】本题考查已知二元一次方程组的错解求参数，将代入方程②，将代入方程①即可求解； 【详解】解：将代入方程②：； 化简得：； 将代入方程①：； 化简得：； ∴， 故选：B 【变式2】甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组看错系数问题，涉及解方程（组）、代数式求值等知识，根据题意，得到正确的方程求解即可得到答案．掌握二元一次方程组看错系数问题的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：甲将①中的看成了它的相反数解得，则②是正确的， ∴，且， 解得； 乙抄错②中的解得，则①是正确的， 即， ∴； 联立，解得， ， 故答案为：． 【变式3】在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是利用甲、乙看错的条件分别求出、的值，再求解原方程组． （1）利用甲看错但正确，将甲的解代入含的方程求；利用乙看错但正确，将乙的解代入含的方程求； （2）将、代入原方程组求解正确解． 【详解】（1）解：将代入②得， 将代入①得； （2）解：原方程组为， ①②得：， 解得：， ①②得：， 解得：， 即原方程组的解为：． 题型08 二元一次方程组的同解问题 【典例1】若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组就能得到a的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组和同解， ∴把代入，得， 解得：， 故选：B． 【典例2】已知关于x，y的两个二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】先解关于，的方程组，再解关于，的方程组，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意，联立， 解得， 将代入得：， 解得， 则． （1）核心定义：两个方程组有完全相同的一组解，即为同解，解同时满足四个方程； （2）通用解题套路：①选取两个不含参数、最简的方程联立，求出公共解；②将公共解代入含参数的方程；③求解所有参数。 【变式1】若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【分析】若两个方程组解相同，则公共解满足所有方程，将已知的x、y代入含a、b的方程，即可求出的值． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴公共解为， 将代入，得， 将两个方程左右分别相加，得， 两边同除以7，得． 【变式2】如果方程组和的解相同，则______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题，解二元一次方程组，根据题意可先组合得到解后再代入两外两个方程求出，进而求解即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得 ∴． 故答案为：． 【变式3】若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二元一次方程组： （1）利用加减法求解比较简便； （2）把的值代入方程组得关于的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：， ①+②，得 把代入②，得 原方程组的解为 （2）解：把代入方程组， 得， 把代入，得， 把代入，得． 题型09 由二元一次方程组解的其他情况求参数 【典例1】二元一次方程组的解的值相等，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键． 把代入第一个方程可求得、的值，再把、的值代入第二个方程可求得的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 故选：A. 【典例2】在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有2倍关系，那么这个方程组叫做“二倍解方程组”，若关于x、y的方程组是“二倍解方程组”，则a的值为______． 【答案】 或 【分析】根据“二倍解方程组”的定义，方程组的解中两个未知数有2倍关系，即或，分别将两种关系代入原方程组，即可求出的值． 【详解】解：∵关于，的方程组是“二倍解方程组”， ∴分两种情况讨论： 当时，代入得，解得，则， 将，代入，得，解得； 当时，代入，得，解得，则， 将，代入，得，解得， 综上所述，的值为或． 【变式1】如果关于未知数和的二元一次方程组的解满足．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，换元法解二元一次方程组是解题的关键．由得，令，，得，此时，则，即可求解 ． 【详解】解：由得， 令，， 将可变为， ∵如果关于未知数x和y的二元一次方程组 的解满足： ， ∴关于未知数和的二元一次方程组的解满足， 即， 故选：B ． 【变式2】（25-26七年级下·云南昆明·期末）已知关于，的方程组的解，互为相反数，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，相反数的性质，将方程组中两个方程相加，得到与的关系式，再根据，互为相反数得到，代入即可求出的值． 【详解】解：， 将两个方程相加得：， 整理得：， 方程组的解，互为相反数， ， 将代入，得：， 解得：． 【变式3】（25-26七年级下·山东烟台·期中）若方程组无解，则的值为_________ 【答案】/0.5 【分析】根据代入消元得到关于x的方程，再由方程组无解，则求解即可． 【详解】解：原方程组为， 则有， 整理可得，即， ∵方程组无解， ∴，解得． 【变式4】关于x，y的方程组只有唯一的一组解，那么a的取值为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了含字母系数的二元一次方程组， 先根据方程组有唯一的解可知，进而得出答案. 【详解】解：∵关于x，y的方程组只有唯一的一组解， ∴， 解得. 把代入方程组得：， 解得：， 所以a的取值为：. 1．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项方程含有两个未知数，含未知数的项的次数均为1，是二元一次方程，符合要求； B选项的方程仅含1个未知数，不是二元一次方程，不符合； C选项方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合； D选项的方程仅含1个未知数，且含未知数的项最高次数为2，不是二元一次方程，不符合． 2．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）若关于x，y的方程是二元一次方程，则n的值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵关于，的方程是二元一次方程， ∴，且， 解得． 3．（25-26七年级下·广东潮州·期末）解为的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴A，C选项的第一个方程不成立，排除A，C． ∵， ∴B选项的第二个方程不成立，排除B． ∵代入D选项，，，两个方程均成立， ∴D选项符合题意． 4．（25-26七年级下·河北保定·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项中项的次数为2，不符合题意． 5．（25-26七年级下·广东广州·期末）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（     ） A．4和5 B．8和9 C．和9 D．和5 【答案】D 【分析】先将已知的代入第一个方程求出，即代表的数，再将和的值代入第二个方程求出代表的数，即可得到答案． 【详解】解： 把代入第一个方程得：， ， 即代表的数为 ， 把，代入第二个方程得： ，即代表的数为． 6．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）若关于， 的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】14 【分析】将与组成一个新的二元一次方程组，解这个方程组，得到和的值，代入中，即可求出的值． 【详解】解：将与组成一个新的二元一次方程组， 得到 解得 将， 代入中， 可得． 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为_________． 【答案】5 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入方程即可求出的值； 【详解】解：把代入，得， 移项合并同类项得， 解得：． 8．（25-26七年级下·福建福州·期末）解方程组： 【答案】 【分析】利用代入法解二元一次方程组解方程即可. 【详解】解： 由②得：， 把代入①得：， 解得， 把代入， 解得， 则方程组的解为： 9．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程组： 【答案】 【详解】解： 得，解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 10．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）解方程组． 【答案】 【详解】解：把代入得：， 解得． 把代入得：． ∴原方程组的解为． 11．对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如，若，满足方程组，求的值． 【答案】 【分析】运用加减消元法得到二元一次方程组的解，结合题意的定义，代入计算即可． 【详解】解：， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴二元一次方程组的解为， ∵， ∴． 12．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键．利用已知条件 与方程组中的方程 组成新的方程组，直接求解出 和 的值，再代入方程 求得 的值． 【详解】解：依题意得：， 解得： 将 ， 代入 ，得， ∴． 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）若 是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 【答案】A 【详解】解：原方程组是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组， 解得：且 m的值是． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（     ） A．2或10 B．2或9 C．3或9 D．3或10 【答案】B 【分析】先利用加减消元法解方程组，再根据方程组的解均为整数，为正整数，可得是28和70的正公约数，进而求出的值． 【详解】解：， ①②得 ， ∴ ， 将代入②，解得 ， ∵ 方程组的解均为整数，为正整数， ∴ 是28和70的正公约数，且， 28和70的正公约数为，符合条件的或， 当时，； 当时，； ∴ 正整数的值为2或9． 3．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足组内每个方程，因此将已知的解代入各选项验证，等式成立的即为所求方程． 【详解】解：将代入选项A，得 ，等式不成立， ∴A错误； 将代入选项B，得 ，等式成立， ∴B正确； 将代入选项C，得 ，等式不成立， ∴C错误； 将代入选项D，得 ，等式不成立， ∴D错误． 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）已知方程组中，a和b互为相反数，则m的值是______． 【答案】 【分析】先对方程组消元，用含的式子表示和，再根据相反数的性质得到，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：， ，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ，互为相反数， ， ， 解得． 5．（25-26七年级下·山东滨州·期末）已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】观察两个方程组可得，满足，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解是， ∴关于，的二元一次方程组的解满足， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解是． 6．解方程组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）第一个方程乘以后与第二个方程相减即可求解． （2）对第一个方程进行去分母和去括号化简，将其转换成标准的二元一次方程组，然后通过代入消元法求出，再回代求出． 【详解】（1）解： 得 ， 得 ， 解得， 将代入得 ， 解得， 故方程组的解为． （2）解： 两边同时乘得 ， 展开化简得， 展开化简得 ， 由得 ， 将其代入中得 ， 解得， 将代入， 解得． 故方程组的解为． 7．解下列方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解答即可； （2）利用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解： 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． （2）解：， 整理，得 得， 解得， 把代入①解得，， 故方程组的解为． 8．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 材料：解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可采用以下方法： 解：②−①，得：，所以③， 将③，得④， ①−④，得，从而可得， 所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于，的方程组 的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)， 理由如下：， ①−②，得：， ∵， ∴ ③， 将③，得④， ①−④，得，解得，从而可得， 所以原方程组的解为． 【详解】（1）解：， ①−②，得：，所以③， 将③，得④， ④−②，得，解得，从而可得， 所以原方程组的解为． （2）略 9．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）规定：形如与的两个关于，的方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是________； (2)若关于，的方程组为共轭方程组，则________________； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②①得，所以③ ③得④ ①④得，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由共轭二元一次方程的定义直接求解即可； （2）由共轭二元一次方程组的定义列方程组求解即可； （3）由阅读材料中的方法类比求解即可． 【详解】（1）解：由共轭二元一次方程的定义可得方程的共轭二元一次方程是； （2）解：关于，的方程组为共轭方程组， 则由共轭方程组定义可得， ； （3）解：， ②①得，所以③， ③得④， ①④得，从而得， 所以原方程组的解是． 10．（25-26七年级下·陕西西安·期末）规定：关于的方程与互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．如与互为共轭二元一次方程，是共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于的方程组为共轭方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义交换x和y的系数即可得到结果； （2）根据共轭方程组的定义，得到对应系数与常数项相等，列出方程组求解即可，用到的知识点是二元一次方程组的解法． 【详解】（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，交换原方程x和y的系数，可得方程的共轭二元一次方程是； （2）解：∵为共轭方程组， ∴， 将代入得， 化简得， 解得， 将代入得，满足，符合题意， 因此． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $