3.3一元一次方程的应用（4知识点+9题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

3.3 一元一次方程的应用 课程标准 学习目标 ①能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次方程，解决简单的问题； ②能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 1.能找到不同情境问题中的数量关系，根据数量关系列出一元一次方程，解决简单的问题。 2.掌握列方程解应用题一般步骤。 知识点01 列方程解应用题一般步骤 ①审：审题，分析题中已知量、未知量、所求量，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出问题中的等量关系 ④列：根据问题选择一个符合实际的等量关系，列代数式和方程（一元一次方程） ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案或方案（包括单位名称） 【即学即练1】（22-23七年级上·辽宁葫芦岛·期末）为了更好的落实国家“双减”政策，增强学生体质，某中学利用课后服务时间开设了花样跳绳社团兴趣小组．学校用1000元从体育用品商店购入A、B两种款式的跳绳各40条，且购买的B种跳绳的单价比A种跳绳单价的2倍还少5元，求购买A、B两种款式跳绳的单价各是多少元？ 知识点02 工程问题中的等量关系 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 【即学即练2】（23-24七年级上·安徽淮南·期末）某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，该工程要在规定时间内完成，现由甲先做2天，乙再参与合作，正好如期完成，求完成这项工程规定的时间．设完成此项工程用了天，则下列方程正确的是 (   ) A． B． C． D． 知识点03 销售问题中的等量关系 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 【即学即练3】某公司销售两种设备，第一季度共卖出2200台．第二季度卖出种设备的数量比第一季度多，卖出种设备的数量比第一季度少，两种设备的总销量增加了110台．第一季度两种设备各卖了多少台？ 【即学即练4】（2024·安徽安庆·三模）春节期间，贺岁影片《热辣滚烫》的上映，不仅受到了许多观众的欢迎，还带火了拳击瘦身等健身经济，掀起了一股拳击热，某体育用品专卖店抓住商机，推出，两种拳击手套，每双种拳击手套的成本为元，每双种拳击手套的成本为元，每双种拳击手套的售价比每双种拳击手套的售价少元，卖双种拳击手套的利润和卖双种拳击手套的利润相同，求每双两种拳击手套的售价． 知识点04 行程问题中的等量关系 1.行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。 关系式为：①路程=速度×时间；②速度=；③时间=。 2.顺逆风（水）速度之间的关系： ①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）； ②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。 3. 追击问题的一个最基本的公式：追击时间速度差追击的路程． 相遇问题的基本公式为：速度和相遇时间路程． 【即学即练5】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某游客乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上回到甲地，顺流行驶了2小时50分，逆流行驶了3小时，水流速度为2千米/小时，求甲乙两地间的距离． 【即学即练6】（列方程解应用题）双“11”期间，某快递公司的甲、乙两辆货车分别从相距的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶时，甲车先到达配货站C地，此时两车相距，甲车在C地用配货，然后按原速度开往B地；乙车继续行驶时，乙车也到C地，但未停留直达A地． （1）乙车的速度是_______，B、C两地的距离是______． （2）求甲车的速度． （3）乙车出发_______小时，两车相距． ·根据具体情境，展开数学阅读理解，提取有效信息，分析已知条件和问题，列方程的一般步骤： 第一步：圈出题干中的已知量和未知量； 第二步：找到不同量之间的数量关系和题干中的隐含等量关系； 第三步：设未知数，表示相关的量； 第四步：根据等量关系列方程。 ·解完方程后需要检验方程的解是否符合实际意义 【题型一：和差倍分问题】 例1．（2022·安徽·模拟预测）为方便学生接种疫苗，卫健委安排甲、乙两支医疗队去某校开展专场接种，甲队比乙队每小时多接种50人，乙队的接种速度是甲队的．已知该校共有2100名学生参加接种，按照此速度，全部接种完毕需要多长时间？ 变式1-1．（2024·陕西西安·模拟预测）某校开展“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与的120名学生分成宣传组和劳动组．在实践过程中，发现宣传组人手不足，因此从劳动组调给宣传组2人，则此时宣传组的人数是劳动组人数的一半．请问宣传组原有多少人？ 变式1-2．（2024·安徽阜阳·一模）在“践行垃圾分类，助力双碳目标”主题班会结束后，刘华和小燕子一起收集了一些废电池，刘华说：“我比你多收集了7 节废电池．”小燕子说：“如果你给我8 节废电池，那么我的废电池节数就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，那么刘华和小燕子分别收集了多少节废电池？ 【题型二：比例问题】 例2．（22-23七年级上·云南红河·期末）某村原有林地115公顷、旱地65公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把公顷旱地改为林地，则可列方程（    ） A． B． C． D． 变式2．（2021·安徽·一模）为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值． 【方法技巧与总结】按比例分配问题，巧设参数，找出题中等量关系列出方程。 【题型三：古代问题】 例3．（21-22七年级上·浙江宁波·期末）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　） A． B． C． D． 变式3-1．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六．问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的总价各是多少？若设鸡的总价是x文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有个人，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 【题型四：比赛积分问题】 例4．（21-22七年级下·安徽阜阳·期末）2022年2月6日女足亚洲杯决赛，在逆境中铿锵玫瑰没有放弃，逆转夺冠！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，某班开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该班获胜的场数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【技巧方法与总结】 ①获取信息 （找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②能用字母表示数 （常设胜/平/负的场数为x） ③寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分 ＝这个队的总积分 【题型五：配套问题】 例5．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）一套仪器由一个部件和三个部件构成．用钢材可做个部件或个部件，现要用钢材制作这种仪器．设应用钢材做部件．剩余钢材做部件，恰好配套，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（23-24七年级上·河南漯河·期中）10月8日，备受关注的杭州第19届亚运会圆满落幕，作为杭州亚运会官方指定功能饮料，东鹏特饮在赛场上为中国运动健儿提供能量支持，助力他们勇夺金牌、为国争光．某工厂用铝片做东鹏特饮听装饮料瓶，现有100张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可配成一套．设用x张铝片制瓶身，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）某工厂现有木料，准备制作圆桌或方桌，用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿． (1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，木料可制作40个桌面或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，则制作桌面的木料为多少? (2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．如果木料可制作50个桌面或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套? 【方法技巧与总结】配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要①认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系；②每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. 【题型六：数字问题】 例6.（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，按如图所示方式排列．图中的L字框框住了四个数，若将L字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（    ） A．72 B．80 C．112 D．128 变式6-1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，，，，，，分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式6-2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）如表，有12个方格，每个方格内都有一个数，若任何相邻三个数的和都是19，则x的值是 ． 5 A B C D E F x G H P 10 【题型七：日历问题】 例7．（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）如图是某月的月历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，则这三个数的和不可能是（    ）    A．24 B．27 C．72 D．32 变式7.（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）如表是某月的月历． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 如图所示的三种图形框（图形框①、图形框②、图形框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种图形框框住的三个数中最大的数都为x．       ①                                    ②                                      ③ (1)请用含x的式子表示： 第①个图形框中框住的三个数从小到大依次是__________，__________，x； 第②个图形框中框住的三个数从小到大依次是__________，__________，x； 第③个图形框中框住的三个数从小到大依次是__________，__________，x； (2)设第①个图形框中三数之和为，第②个图形框中三数之和为，第③个图形框中三数之和为，是否存在这样的x，使得？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【技巧方法与总结】关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 【题型八：几何问题】 例8．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，则小长方形的长为 ；阴影部分图形的总面积为 ． 例9.（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试）二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形如图中型黑白一样按某种规律组成的一个大正方形．现有格式的正方形如图，角上是三个的型大黑白相间正方形，中间右下有一个的型黑白相间正方形型均由型黑白两色小正方形组成，除这个正方形外，其他的型小正方形黑色块数正好是白色块数的倍多块，则该格式的二维码中除去、型后，有几块型白色小正方形，整个二维码中共有几块型白色小正方形？ 例9.（20-21七年级上·江苏盐城·阶段练习）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用） 方法：剪6个侧面； 方法：剪4个侧面和5个底面．    现有38张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． (1)用的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？ 变式9.（21-22七年级上·安徽马鞍山·期中）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形． （1）每个长方形盒子有________个侧面，有________个底面； （2）长方形硬纸板以如图两种方法裁剪．方法：剪3个侧面；方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． ①用含的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； ②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 例10．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图1，已知甲、乙两个圆柱形量筒（量筒厚度忽略不计）的底面半径分别为和，高均为，并都装有一定量的水，甲的水位高，乙的水位高．现从甲倒一部分水到乙，甲的水位降低．（圆周率用表示） (1)乙的水位增加______（用含x的代数式表示）； (2)若，倒水后甲、乙的水位高度相等，则倒水后甲的水位高多少？ (3)如图2，倒水后将乙放入甲的底部．当倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，乙放入甲之后；两量简内的水位高度恰好相等，求x的值． 【题型九：工程问题】 例11．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 变式11．（2024·安徽·一模）某水果加工基地加工一批水果，原计划8天完成任务，在完成一半任务时，受天气降温的影响，每天加工的水果比原计划少5吨，最后完成全部任务用了10天，问该水果加工基地加工的这批水果一共有多少吨？ 一、选择题 1．（22-23七年级上·安徽安庆·期末）七年级手工社 27 名同学一起做某种规格的圆柱体，一个圆柱由一个长方形和两个圆形组成，每名学生每节课做长方形 16 个或圆形 22 个，若分配x名同学做长方形，其他同学做圆形，恰好使每节课做的长方形和圆形配套，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）某件手工制品，甲单独做需1个小时完成，乙单独做需个小时完成．若甲先做20分钟，然后甲、乙合作完成了此手工制品，设乙做了x个小时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）若甲班有人，乙班有人，现从乙班调往甲班一些人，使甲班人数是乙班人数的2倍，设从乙班调往甲班x人，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其译文为：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问人数、羊价各是多少？若设人数为x人，则列出的方程为（ ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是说：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设有人，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位妇人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了43个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个．    7．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）2024年元旦，小颖在如图所示的一张长方形宣纸上的四个正方形格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品，已知宣纸的长为108，正方形格子的边长相等，正方形格子与纸边之间的边空宽相等，相邻两个字的字距相等，且边空宽、字宽、字距之比为3∶6∶2，则这张长方形宣纸的面积为 ． 三、解答题 8．（2024·安徽合肥·一模）道路积雪，现有28人参与清扫，需要3人扫雪并配合1人运雪，应安排多少人扫雪，多少人运雪？ 9．（22-23七年级上·辽宁抚顺·期末）我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数． 10．（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 11．（2023·安徽合肥·二模）整理一批图书，如果由一个人单独做要用，现先安排一部分人用整理，随后又增加5人和他们一起又做了，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么一共安排整理的人员有多少？ 12.（23-24七年级上·安徽亳州·期末）定义一种新的运算：，例如：，如果，求的值． 13．（20-21七年级上·安徽宣城·期末）用“A”、“B”两种型号的硬纸板制作正五棱柱包装盒，如图，每个盒子由5个长方形侧面和2个正五边形底面组成．通过反复测算，只有按照下面方式裁剪才不浪费．每张“A”型硬纸板只能裁剪8个侧面；每张“B”型硬纸板只能裁剪3个侧面和4个底面．现有两种型号的硬纸板共30张，设“A”型硬纸板有x张． （1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数． （2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 14．（2023·安徽滁州·二模）年12月18日，梅西率领阿根廷队勇夺卡塔尔世界杯冠军，阿根廷队第三次获得世界杯冠军殊荣．某服装厂准备将套阿根廷队“三星球衣”的生产任务安排给甲，乙两个车间完成．已知甲车间的工作效率是乙车间的倍，那么如何安排才能使甲、乙两个车间同时完成任务？ 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）将连续的偶数2，4，6，8，10，…，排成如图所示的数表，用如图所示的平行四边形框去框住四个数，若把平行四边形框上下左右移动，保证可框住四个数，则框中的四个数的和可能是（    ）    A．80 B．148 C．212 D．262 2．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下表是2023年12月的日历，用如图所示的L形框去框其中的4个数． 2023年12月 (1)设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和为________； (2)被框住的4个数的和能等于100吗？如果能，求出这4个数；如果不能，说明理由． 3．（22-23七年级下·安徽六安·期中）如图，长方形是由六个正方形A，B，C，D，E，F拼接而成，已知最大的正方形B的边长是21米，最小正方形A的边长是a米． (1)用含a的式子分别表示正方形D，E，F的边长； (2)求a的值； (3)现有一项沿着长方形的四条边铺设管道的工程．甲、乙两个工程队共同参与这项工程，甲队单独铺设3天后，乙队加入，两队又共同铺设了6天，这项铺设管道的工程全部完成．已知甲队每天比乙队每天少铺设4米，则甲、乙两队每天各铺设多少米？ 4．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】 【规律发现】； （）第个图案中“★”的个数是 ；第个图案与第个图案中“★”的个数之差为 ． （）第个图案中“◎”的个数是 ；第个图案中“◎”的个数是 （用含的式子表示）． 【规律应用】 （）已知第个图案与第个图案中“★”的个数之差比第个图案中“◎”的个数少，求正整数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 一元一次方程的应用 课程标准 学习目标 ①能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次方程，解决简单的问题； ②能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 1.能找到不同情境问题中的数量关系，根据数量关系列出一元一次方程，解决简单的问题。 2.掌握列方程解应用题一般步骤。 知识点01 列方程解应用题一般步骤 ①审：审题，分析题中已知量、未知量、所求量，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出问题中的等量关系 ④列：根据问题选择一个符合实际的等量关系，列代数式和方程（一元一次方程） ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案或方案（包括单位名称） 【即学即练1】（22-23七年级上·辽宁葫芦岛·期末）为了更好的落实国家“双减”政策，增强学生体质，某中学利用课后服务时间开设了花样跳绳社团兴趣小组．学校用1000元从体育用品商店购入A、B两种款式的跳绳各40条，且购买的B种跳绳的单价比A种跳绳单价的2倍还少5元，求购买A、B两种款式跳绳的单价各是多少元？ 【答案】购买A种跳绳的单价为10元，购买B种跳绳的单价15元 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】设购买A种跳绳的单价为x元，则购买B种跳绳的单价元，然后根据一共花费1000元，列出方程求解即可． 【详解】解：设购买A种跳绳的单价为x元，则购买B种跳绳的单价元， 依题意得：， 解得：， ∴， 答：购买A种跳绳的单价为10元，购买B种跳绳的单价15元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 知识点02 工程问题中的等量关系 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 【即学即练2】（23-24七年级上·安徽淮南·期末）某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，该工程要在规定时间内完成，现由甲先做2天，乙再参与合作，正好如期完成，求完成这项工程规定的时间．设完成此项工程用了天，则下列方程正确的是 (   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设完成此项工程用了天，根据“甲完成工作量乙完成工作量1”列出方程即可． 【详解】解：设完成此项工程用了天， 根据题意，可得． 故选：A． 知识点03 销售问题中的等量关系 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 【即学即练3】某公司销售两种设备，第一季度共卖出2200台．第二季度卖出种设备的数量比第一季度多，卖出种设备的数量比第一季度少，两种设备的总销量增加了110台．第一季度两种设备各卖了多少台？ 【答案】种设备卖了2000台，种设备卖了200台 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设第一季度种设备卖出了台，则种设备卖出了台，根据“第二季度卖出种设备的数量比第一季度多，卖出种设备的数量比第一季度少，两种设备的总销量增加了110台”列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设第一季度种设备卖出了台，则种设备卖出了台． 由题意得， 解得， ∴（台）， 答：第一季度种设备卖了2000台，种设备卖了200台． 【即学即练4】（2024·安徽安庆·三模）春节期间，贺岁影片《热辣滚烫》的上映，不仅受到了许多观众的欢迎，还带火了拳击瘦身等健身经济，掀起了一股拳击热，某体育用品专卖店抓住商机，推出，两种拳击手套，每双种拳击手套的成本为元，每双种拳击手套的成本为元，每双种拳击手套的售价比每双种拳击手套的售价少元，卖双种拳击手套的利润和卖双种拳击手套的利润相同，求每双两种拳击手套的售价． 【答案】每双种拳击手套的售价为元，每双种拳击手套的售价为元． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设每双种拳击手套的售价为元，则每双种拳击手套的售价为元，根据卖双种拳击手套的利润和卖双种拳击手套的利润相同列出一元一次方程，求解即可，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设每双种拳击手套的售价为元，则每双种拳击手套的售价为元， 由题意得， 解得， ∴， 答：每双种拳击手套的售价为元，每双种拳击手套的售价为元． 知识点04 行程问题中的等量关系 1.行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。 关系式为：①路程=速度×时间；②速度=；③时间=。 2.顺逆风（水）速度之间的关系： ①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）； ②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。 3. 追击问题的一个最基本的公式：追击时间速度差追击的路程． 相遇问题的基本公式为：速度和相遇时间路程． 【即学即练5】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某游客乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上回到甲地，顺流行驶了2小时50分，逆流行驶了3小时，水流速度为2千米/小时，求甲乙两地间的距离． 【答案】甲乙两地间的距离为204千米． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．设船在静水中的速度为千米小时，先根据路程相等，列方程，得到船的静水速度，继而求出甲、乙两地的距离． 【详解】解：设船在静水中的速度为千米小时， 依题意，得：， 解得：， 故甲、乙两地的距离为：（千米）． 答：甲乙两地间的距离为204千米． 【即学即练6】（列方程解应用题）双“11”期间，某快递公司的甲、乙两辆货车分别从相距的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶时，甲车先到达配货站C地，此时两车相距，甲车在C地用配货，然后按原速度开往B地；乙车继续行驶时，乙车也到C地，但未停留直达A地． （1）乙车的速度是_______，B、C两地的距离是______． （2）求甲车的速度． （3）乙车出发_______小时，两车相距． 【分析】（1）根据距离=速度×时间可得答案； （2）根据BC的距离以及AB的距离，可得AC的距离，根据距离=速度×时间即可得到结果； （3）分两车相遇前相距65km和相遇后相距65km两种情况，根据距离=速度×时间即可解答． 【解析】解：（1）甲车先到达配货站C地，此时两车相距35km，乙车继续行驶0.5h也到C地， ∴乙车的速度是35÷0.5=70（km/h）， ∵乙车从B地到达C地共用2.5h， ∴B、C两地的距离是70×2.5=175（km）， 故答案为：70，175； （2）∵AB两地相距335km，B、C两地的距离是175km， ∴A、C两地的距离是335-175= 160（km）， ∵行驶2h时，甲车先到达配货站C地， ∴160÷2=80（km/h）， 答：甲车的速度是80km/h； （3）设乙车出发xh两车相距65km， ①两车相遇前相距65km时， 70x+80x+65=335， 解得：x=1.8， ②两车相遇后相距65km时， ∵甲车在C地用1h配货， ∴甲车行驶（x-1）h， ∴70x+80（x-1）-65=335， 解得：x=3.2， 答：乙车出发1.8h或3.2h时，两车相距65km． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及一元一次方程的应用，根据题意正确得出等量关系列出方程，并灵活运用分类讨论的思想是解题的关键． ·根据具体情境，展开数学阅读理解，提取有效信息，分析已知条件和问题，列方程的一般步骤： 第一步：圈出题干中的已知量和未知量； 第二步：找到不同量之间的数量关系和题干中的隐含等量关系； 第三步：设未知数，表示相关的量； 第四步：根据等量关系列方程。 ·解完方程后需要检验方程的解是否符合实际意义 【题型一：和差倍分问题】 例1．（2022·安徽·模拟预测）为方便学生接种疫苗，卫健委安排甲、乙两支医疗队去某校开展专场接种，甲队比乙队每小时多接种50人，乙队的接种速度是甲队的．已知该校共有2100名学生参加接种，按照此速度，全部接种完毕需要多长时间？ 【答案】6小时 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，准确找到相等关系正确列出方程是解题的关键． 设甲队每小时接种x人，根据“甲队比乙队每小时多接种50人，乙队的接种速度是甲队的”这一相等关系列出方程求解即可． 【详解】解：设甲队每小时接种x人． 根据题意，得，解得， ∴乙队每小时接种人数为， ． 答：全部接种完毕需要6小时． 变式1-1．（2024·陕西西安·模拟预测）某校开展“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与的120名学生分成宣传组和劳动组．在实践过程中，发现宣传组人手不足，因此从劳动组调给宣传组2人，则此时宣传组的人数是劳动组人数的一半．请问宣传组原有多少人？ 【答案】宣传组原有38人． 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程得应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 设宣传组原有x人，根据调完后宣传组的人数是劳动组人数的一半，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设宣传组原有x人， 由题意，得：， 解得：． 答：宣传组原有38人． 变式1-2．（2024·安徽阜阳·一模）在“践行垃圾分类，助力双碳目标”主题班会结束后，刘华和小燕子一起收集了一些废电池，刘华说：“我比你多收集了7 节废电池．”小燕子说：“如果你给我8 节废电池，那么我的废电池节数就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，那么刘华和小燕子分别收集了多少节废电池？ 【答案】刘华和小燕子分别收集了节和节废电池 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用问题，设刘华收集节废电池，掌握根据题意列方程是解题的关键． 【详解】解：设刘华收集节废电池，列方程得： ， 解得：， ∴小燕子收集废电池为节， 答：刘华和小燕子分别收集了节和节废电池． 【题型二：比例问题】 例2．（22-23七年级上·云南红河·期末）某村原有林地115公顷、旱地65公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把公顷旱地改为林地，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】设把x公顷旱地改为林地，根据旱地面积占林地面积的20%列出方程即可． 【详解】解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数以以改造后的旱地与林地的关系为等量关系列出方程． 变式2．（2021·安徽·一模）为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值． 【答案】 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x，根据这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x， 根据题意得：4x•a＋2x•（a﹣3）＋3x＝2（4x＋2x＋3x）， 解得：a， 则本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值为． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用按比例分配问题，解题关键巧设参数，找出题中等量关系列出方程． 【方法技巧与总结】按比例分配问题，巧设参数，找出题中等量关系列出方程。 【题型三：古代问题】 例3．（21-22七年级上·浙江宁波·期末）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出数量关系是解题关键．设清酒x斗，则醑酒斗，根据题意正确列方程即可． 【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗， 由题意可得：， 故选：A． 变式3-1．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六．问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的总价各是多少？若设鸡的总价是x文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．根据人数不变列方程即可． 【详解】解：由题意，得： 故选：A． 变式3-2．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有个人，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，设有x人分银子，根据“如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（八两）”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x人分银子， 依题意，得：． 故选：B． 变式3-3．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 【答案】木长6.5尺 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设木长x尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可． 【详解】解：设木长为x尺，根据题意得：， 解得， 答：木长6.5尺． 【题型四：比赛积分问题】 例4．（21-22七年级下·安徽阜阳·期末）2022年2月6日女足亚洲杯决赛，在逆境中铿锵玫瑰没有放弃，逆转夺冠！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，某班开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该班获胜的场数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】设该班获胜的场数为x场，则平场为（11-x）场，根据“开局11场保持不败，积23分，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设该班获胜的场数为x场，则平场为（11-x）场，根据题意得： ， 解得：x=6， 答：该班获胜的场数为6场． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【技巧方法与总结】 ①获取信息 （找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②能用字母表示数 （常设胜/平/负的场数为x） ③寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分 ＝这个队的总积分 【题型五：配套问题】 例5．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）一套仪器由一个部件和三个部件构成．用钢材可做个部件或个部件，现要用钢材制作这种仪器．设应用钢材做部件．剩余钢材做部件，恰好配套，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列一元一次方程是解题的关键． 设用钢材做部件，则用钢材做部件，根据恰好配套列方程，然后判断作答即可． 【详解】解：设用钢材做部件，则用钢材做部件， 依题意得，， 故选：A． 变式5-1．（23-24七年级上·河南漯河·期中）10月8日，备受关注的杭州第19届亚运会圆满落幕，作为杭州亚运会官方指定功能饮料，东鹏特饮在赛场上为中国运动健儿提供能量支持，助力他们勇夺金牌、为国争光．某工厂用铝片做东鹏特饮听装饮料瓶，现有100张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可配成一套．设用x张铝片制瓶身，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】由一个瓶身与两个瓶底才能配成一套，可知瓶底的个数是瓶身个数的2倍；根据这一数量关系列方程解答即可，本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键． 【详解】设用x张铝片制瓶身，根据题意，得 ， 故选A． 变式5-2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）某工厂现有木料，准备制作圆桌或方桌，用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿． (1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，木料可制作40个桌面或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，则制作桌面的木料为多少? (2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．如果木料可制作50个桌面或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套? 【答案】(1) (2)用木料制作桌面，用木料制作桌腿恰好配套 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用： （1）设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，根据条件的数量关系建立方程求出其解即可． （2）设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求出其解即可． 【详解】（1）设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得： ， 解得：， 答：制作桌面的木料为． （2）设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得： ， 解得：， ∴制作桌腿的木料为：． 答：用木料制作桌面，用木料制作桌腿恰好配套． 【方法技巧与总结】配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要①认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系；②每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. 【题型六：数字问题】 例6.（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，按如图所示方式排列．图中的L字框框住了四个数，若将L字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（    ） A．72 B．80 C．112 D．128 【答案】D 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及规律型，设字框内处于左上方的数为，则框内该数下方的数依次为，，所以字框内四个数的和为，逐一代入求解即可判断． 【详解】解：设字框内处于左上方的数为，则框内该数下方的数依次为，，所以字框内四个数的和为． 令框住的四个数的和为72，则，解得，故选项A不符合题意； 令框住的四个数的和为80，则，解得，故选项B不符合题意； 令框住的四个数的和为112，则，解得，故选项C不符合题意； 令框住的四个数的和为128，则128，解得．因为19在最右侧，不能处在字框内的左上方，所以框住的四个数的和不可能为128，故选项D符合题意． 故选：D． 变式6-1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，，，，，，分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，代数式求值．设如图所示的幻方中右边的方格中的数为，根据“同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0”可得，，，求出和的值，然后代入即可求出的值． 【详解】解：设如图所示的幻方中右边的方格中的数为， ∵同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0， ∴，解得：， 又∵，将代入得：， 又∵，将代入得：， ∴． 故选：B． 变式6-2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）如表，有12个方格，每个方格内都有一个数，若任何相邻三个数的和都是19，则x的值是 ． 5 A B C D E F x G H P 10 【答案】4 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题重点考查等式的性质、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，根据“任何相邻三个数的和都是19”列出等式是解题的关键．任何相邻三个数的和都是19，得则，所以，求得，由，求得，所以，则，即可由，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设x、A、B、C、D、E、F、G、H、P均表示其所在方格中的数， 任何相邻三个数的和都是19， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 故答案为：4． 【题型七：日历问题】 例7．（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）如图是某月的月历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，则这三个数的和不可能是（    ）    A．24 B．27 C．72 D．32 【答案】D 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，观察日历表，发现：在同一列上相邻的两个数，下一列比上一列的一个数大7；如果设中间的数为x，那么其余的数为，，则这三个数的和为；根据选项分别列出方程，求出x的值，根据x为整数，得出正确选项． 【详解】解：设中间的数为x，那么其余的数为，， 则这三个数的和为：，且x为整数； A、解方程，得，不符合题意； B、解方程，得，不符合题意； C、解方程，得，不符合题意； D、解方程，得，符合题意． 故选：D． 变式7.（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）如表是某月的月历． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 如图所示的三种图形框（图形框①、图形框②、图形框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种图形框框住的三个数中最大的数都为x．       ①                                    ②                                      ③ (1)请用含x的式子表示： 第①个图形框中框住的三个数从小到大依次是__________，__________，x； 第②个图形框中框住的三个数从小到大依次是__________，__________，x； 第③个图形框中框住的三个数从小到大依次是__________，__________，x； (2)设第①个图形框中三数之和为，第②个图形框中三数之和为，第③个图形框中三数之和为，是否存在这样的x，使得？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用)、用代数式表示式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数之间的关系，用含的代数式表示出三种方格框中的各数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据三种方格框框住日历中的三个数间的关系，可用含的代数式表示出三种方格框中的数； （2）由（1），可用含的代数式表示出，，，结合，可得出关于的一元一次方程，解之可求出的值，结合该值所在的位置，可得出存在这样的，使得，再分别将其代入，，中，即可求出结论． 【详解】（1）解：（1）根据题意得：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，． 故答案为：，，，，，； （2）解：由（1）可得：，，， ， ， 解得：， 在第四行第五列，符合题意， 存在这样的，使得， ，，． 答：存在这样的，使得，此时，，． 【技巧方法与总结】关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 【题型八：几何问题】 例8．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，则小长方形的长为 ；阴影部分图形的总面积为 ． 【答案】 /5厘米 /27平方厘米 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据图形设小长方形的长为，则宽为，然后根据为一个小长方形的长加上三个小长方形的宽列方程，求出x后，再用大长方形的面积减去五个小长方形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长为，则宽为， 由题意得， 解得， 即小长方形的长为， 阴影部分图形的总面积为：， 故答案为：，． 例9.（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试）二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形如图中型黑白一样按某种规律组成的一个大正方形．现有格式的正方形如图，角上是三个的型大黑白相间正方形，中间右下有一个的型黑白相间正方形型均由型黑白两色小正方形组成，除这个正方形外，其他的型小正方形黑色块数正好是白色块数的倍多块，则该格式的二维码中除去、型后，有几块型白色小正方形，整个二维码中共有几块型白色小正方形？ 【答案】100，156 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列得方程是解题的关键． 根据除去4个正方形外，其他的C型小正方形黑色块数正好是白色块数的3倍多53块，可得等式，求解即可；分别求出A，B中的白色C型小正方形的个数，再加上前面的值得到结果． 【详解】解：二维码中除去A、B型后还剩个C型小正方形， 设剩余的白色C型小正方形为x个， 则， 解得， A型小正方形中有白色C型小正方形16个，B型小正方形中有白色C型小正方形8个， 则白色C型小正方形共有个， ∴该格式的二维码中除去、型后，有100块型白色小正方形，整个二维码中共有156块型白色小正方形． 例9.（20-21七年级上·江苏盐城·阶段练习）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用） 方法：剪6个侧面； 方法：剪4个侧面和5个底面．    现有38张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． (1)用的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？ 【答案】(1)侧面个，底面个 (2)60个 【知识点】用代数式表示式、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由张用方法，就有张用方法，则可分别表示出侧面个数和底面个数； （2）由侧面个数和底面个数比为建立方程求出的值，于是可求出侧面的总数即可求解． 【详解】（1）解：裁剪时张用方法，   裁剪时张用方法， 侧面的个数为：个，底面的个数为：个； （2）解：由题意得：，   解得：， 盒子的个数为：， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做60个盒子． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，列代数式的运用，读懂题意，列出方程是解题的关键． 变式9.（21-22七年级上·安徽马鞍山·期中）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形． （1）每个长方形盒子有________个侧面，有________个底面； （2）长方形硬纸板以如图两种方法裁剪．方法：剪3个侧面；方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． ①用含的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； ②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】（1）4，2；（2）①侧面（x+70）个，底面（70-2x）个②21个. 【知识点】用代数式表示式、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据长方体的性质求得答案； （2）①根据题意列出代数式即可； ②根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可． 【详解】（1）每个长方形盒子有4个侧面，有2个底面； 故答案为：4，2； （2）①方法剪3个侧面，方法剪个侧面和个底面 ， 共有侧面个，底面个 ②根据已知条件可得 解得 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做21个盒子． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确的找出题中的等量关系是解题的关键． 例10．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图1，已知甲、乙两个圆柱形量筒（量筒厚度忽略不计）的底面半径分别为和，高均为，并都装有一定量的水，甲的水位高，乙的水位高．现从甲倒一部分水到乙，甲的水位降低．（圆周率用表示） (1)乙的水位增加______（用含x的代数式表示）； (2)若，倒水后甲、乙的水位高度相等，则倒水后甲的水位高多少？ (3)如图2，倒水后将乙放入甲的底部．当倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，乙放入甲之后；两量简内的水位高度恰好相等，求x的值． 【答案】(1) (2)倒水后甲的水位高是 (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、用代数式表示式 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据倒出的水的体积不变，进行求解即可； （2）根据倒水后甲、乙的水位高度相等，列方程求解即可； （3）由题意，倒水后乙的水位高度为，将乙放入甲后，甲量筒的水位高为，根据两量简内的水位高度恰好相等，列出方程进行求解即可． 读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，乙的水位增加； 故答案为：； （2）当时，此时乙的水位高度为， 由题意，得：， 解得：， ∴倒水后，甲的水位高度为； （3）∵倒入乙的水使乙的水位增加一倍， ∴， ∴倒水后乙的水位高度为， 由题意，得：， 解得：． 【题型九：工程问题】 例11．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【答案】(1) (2)天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则，解出即可作答． （2）依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以，解出即可作答． 【详解】（1）解：设甲乙合作需要x天完成， 依题意：， 解得 ， 所以需要天； （2）解：设还需要y天： 依题意，， 解得， 故还需要2天． 变式11．（2024·安徽·一模）某水果加工基地加工一批水果，原计划8天完成任务，在完成一半任务时，受天气降温的影响，每天加工的水果比原计划少5吨，最后完成全部任务用了10天，问该水果加工基地加工的这批水果一共有多少吨？ 【答案】120吨 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，设这批水果一共有x吨，根据“每天加工的水果比原计划少5吨”列方程求解即可． 【详解】解：设这批水果一共有x吨，根据题意，得： ， 解得. 答：该水果加工基地加工的这批水果一共有120吨． 一、选择题 1．（22-23七年级上·安徽安庆·期末）七年级手工社 27 名同学一起做某种规格的圆柱体，一个圆柱由一个长方形和两个圆形组成，每名学生每节课做长方形 16 个或圆形 22 个，若分配x名同学做长方形，其他同学做圆形，恰好使每节课做的长方形和圆形配套，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确分析题中的数量关系是解答本题的关键，若分配x名同学做长方形，则做圆形的同学有人，并且每节课内可做长方形个，圆形个，要使每节课做的长方形和圆形配套，圆形的数量是长方形数量的2倍，据此列出方程即可． 【详解】若分配x名同学做长方形，则做圆形的同学有人，根据题意得，， 故选：D． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）某件手工制品，甲单独做需1个小时完成，乙单独做需个小时完成．若甲先做20分钟，然后甲、乙合作完成了此手工制品，设乙做了x个小时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系式解答的关键．设工程总量为1，先求出甲的工作时间，以及甲乙的工作效率，再根据工作效率工作时间工作量列出方程即可． 【详解】解：设乙做了x个小时，则甲一共做了小时，根据题意得： ， 故选：B． 3．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）若甲班有人，乙班有人，现从乙班调往甲班一些人，使甲班人数是乙班人数的2倍，设从乙班调往甲班x人，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】利用甲班人数是乙班人数的2倍即可建立方程． 【详解】解：根据甲班人数是乙班人数的2倍得到：， 故选：A． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，解题关键是找到相等关系． 4．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其译文为：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问人数、羊价各是多少？若设人数为x人，则列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决． 【详解】解：设人数为x人， 则可列方程为． 故选：D． 5．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是说：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设有人，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．每人出8元，还盈余3元，则物品价格为；每人出7元，则还差4元，则物品价格为，据此列出方程即可． 【详解】解：设有人，则根据题意可列方程为． 故选：A． 二、填空题 6．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位妇人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了43个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个．    【答案】3 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：解：设在第2根绳子上的打结数是x个， 根据题意得：， 解得， ∴在第2根绳子上的打结数是3个， 故答案为：3． 7．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）2024年元旦，小颖在如图所示的一张长方形宣纸上的四个正方形格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品，已知宣纸的长为108，正方形格子的边长相等，正方形格子与纸边之间的边空宽相等，相邻两个字的字距相等，且边空宽、字宽、字距之比为3∶6∶2，则这张长方形宣纸的面积为 ． 【答案】3888 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查求长方形面积，涉及比例的应用、一元一次方程解应用题等，根据题中宣纸的长为108和边空宽、字宽、字距之比为3∶6∶2，设边空宽、字宽、字距分别为，列方程求解得到宣纸宽，利用长方形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：边空宽、字宽、字距之比为3∶6∶2， 设边空宽、字宽、字距分别为， 宣纸的长为108，正方形格子的边长相等，正方形格子与纸边之间的边空宽相等，相邻两个字的字距相等， ，解得， 宣纸的宽为， 这张长方形宣纸的面积为， 故答案为：3888． 三、解答题 8．（2024·安徽合肥·一模）道路积雪，现有28人参与清扫，需要3人扫雪并配合1人运雪，应安排多少人扫雪，多少人运雪？ 【答案】应安排21人扫雪，7人运雪 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排人扫雪，则安排人运雪，根据扫雪的人数是运雪人数的3倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设安排人扫雪，则安排人运雪， 根据题意得：， 解得：， ∴（人）． 答：应安排21人扫雪，7人运雪． 9．（22-23七年级上·辽宁抚顺·期末）我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数． 【答案】牧童人数为人 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用—古代问题：设竹有x竿，根据每人6竿，多14竿，可知有人，根据每人8竿，恰好用完可知有人，再根据人数固定即可列出方程． 【详解】解：依题意，设竹有x竿， 解得 则（人） ∴牧童人数为人． 10．（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【答案】(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 11．（2023·安徽合肥·二模）整理一批图书，如果由一个人单独做要用，现先安排一部分人用整理，随后又增加5人和他们一起又做了，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么一共安排整理的人员有多少？ 【答案】8 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】安排整理的人员有x人，则随后有人，根据题意可得等量关系：开始x人2小时的工作量后来人3小时的工作量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设先安排整理的人员是人． 由题意得： 解得： 答：一共安排整理的人员有8人． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．此题用到的公式是：工作效率×工作时间=工作量． 12.（23-24七年级上·安徽亳州·期末）定义一种新的运算：，例如：，如果，求的值． 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查新定义运算，一元一次方程的应用，根据新定义列出关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 解得， 即的值为． 13．（20-21七年级上·安徽宣城·期末）用“A”、“B”两种型号的硬纸板制作正五棱柱包装盒，如图，每个盒子由5个长方形侧面和2个正五边形底面组成．通过反复测算，只有按照下面方式裁剪才不浪费．每张“A”型硬纸板只能裁剪8个侧面；每张“B”型硬纸板只能裁剪3个侧面和4个底面．现有两种型号的硬纸板共30张，设“A”型硬纸板有x张． （1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数． （2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】（1）侧面数：5x+90；底面数：120﹣4x；（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做32个盒子． 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、用代数式表示式 【分析】（1）根据A、B两种纸板所能做“侧面”“底面”的个数即可列出代数式； （2）根据题意列出一元一次方程，故可求解． 【详解】解：（1）侧面数：8x+3（30﹣x）＝5x+90； 底面数：4（30﹣x）＝120﹣4x； （2）由题意得， 2（5x+90）＝5（120﹣4x）， 解得，x＝14， 所以共制作的盒子：（120﹣4x）÷2＝32（个）， 答：若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做32个盒子． 【点睛】此题主要考查列代数式与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出代数式与方程求解． 14．（2023·安徽滁州·二模）年12月18日，梅西率领阿根廷队勇夺卡塔尔世界杯冠军，阿根廷队第三次获得世界杯冠军殊荣．某服装厂准备将套阿根廷队“三星球衣”的生产任务安排给甲，乙两个车间完成．已知甲车间的工作效率是乙车间的倍，那么如何安排才能使甲、乙两个车间同时完成任务？ 【答案】安排甲车间生产套球衣，乙车间生产套球衣才能使甲、乙两个车间同时完成任务 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设乙车间的工作效率为x，则甲车间的工作效率为，甲车间生产套球衣，则乙车间生产套球衣，再根据两个车间同时完成人数列出方程求解即可． 【详解】解：设乙车间的工作效率为x，则甲车间的工作效率为，甲车间生产套球衣，则乙车间生产套球衣， 由题意得，，即 解得， ∴， ∴安排甲车间生产套球衣，乙车间生产套球衣才能使甲、乙两个车间同时完成任务． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）将连续的偶数2，4，6，8，10，…，排成如图所示的数表，用如图所示的平行四边形框去框住四个数，若把平行四边形框上下左右移动，保证可框住四个数，则框中的四个数的和可能是（    ）    A．80 B．148 C．212 D．262 【答案】C 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】设框住的四个数中，第一行的第一个数是，则第一行的第二个数是，第二行第一个数是，第二行第二个数是，则这四个数的和表示为，分别令等于四个选项的值，解方程即可得到答案． 【详解】解：设框住的四个数中，第一行的第一个数是，则第一行的第二个数是，第二行第一个数是，第二行第二个数是， 则， A、当时，解得，由于为偶数，故A选项不符合题意； B、当时，解得，由于30为第三行最后一个数，故B选项不符合题意； C、当时，解得，由图可知46为第五行第三个数，故C选项符合题意； D、当时，解得，由于为偶数，故C选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下表是2023年12月的日历，用如图所示的L形框去框其中的4个数． 2023年12月 (1)设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和为________； (2)被框住的4个数的和能等于100吗？如果能，求出这4个数；如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2)被框住的4个数的和能等于100，则四个数分别为 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用)、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，正确表示出对应的4个数是解题的关键． （1）根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可； （2）设被框住的最小的数为x，假设被框住的4个数的和能等于100，则，解方程求出x的值，进而求出其他三个数，看是否符合日历的特点即可． 【详解】（1）解：被框住的最小的数为x，则其他三个数分别为， ∴被框住的这4个数的和为， 故答案为：； （2）解：设被框住的最小的数为x， 假设被框住的4个数的和能等于100， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意， ∴被框住的4个数的和能等于100，则四个数分别为． 3．（22-23七年级下·安徽六安·期中）如图，长方形是由六个正方形A，B，C，D，E，F拼接而成，已知最大的正方形B的边长是21米，最小正方形A的边长是a米． (1)用含a的式子分别表示正方形D，E，F的边长； (2)求a的值； (3)现有一项沿着长方形的四条边铺设管道的工程．甲、乙两个工程队共同参与这项工程，甲队单独铺设3天后，乙队加入，两队又共同铺设了6天，这项铺设管道的工程全部完成．已知甲队每天比乙队每天少铺设4米，则甲、乙两队每天各铺设多少米？ 【答案】(1)D的边长为米，E的边长为米；F的边长为米 (2)a的值为3 (3)甲每天铺设8米，则乙每天铺设12米 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、工程问题(一元一次方程的应用)、用代数式表示式 【分析】（1）根据正方形四边相等先表示的边长，再表示的边长，然后表示，的边长即可； （2）利用长方形对边相等可得，进而可得方程，再解即可； （3）首先算出长方形周长，再设甲每天铺设米，则乙每天铺设米，根据题意可得等量关系：甲铺设的长度乙铺设的长度总长度，由等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：图中最大正方形的边长是21米，最小的正方形的边长是米． 则的边长为米， 的边长为米； 的边长为米； （2）， ， 解得， 故的值为3； （3）矩形的周长： （米）， 设甲每天铺设米，则乙每天铺设米，由题意得： ， 解得：， 则， 答：甲每天铺设8米，则乙每天铺设12米． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用和列代数式，关键是正确理解题意，掌握正方形各边相等． 4．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】 【规律发现】； （）第个图案中“★”的个数是 ；第个图案与第个图案中“★”的个数之差为 ． （）第个图案中“◎”的个数是 ；第个图案中“◎”的个数是 （用含的式子表示）． 【规律应用】 （）已知第个图案与第个图案中“★”的个数之差比第个图案中“◎”的个数少，求正整数． 【答案】（），；（），；（）． 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、图形类规律探索 【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解； （）根据题意，结合图形规律，即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了图形类规律，根据图形找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）第个图案中“★”的个数可表示为， 第个图案中“★”的个数可表示为， 第个图案中“★”的个数可表示为， 第个图案中“★”的个数可表示为， 第个图案中“★”的个数可表示为， ∴第个图案中“★”的个数是， 第个图案与第个图案中“★”的个数之差为：， 故答案为：，； （）第个图案中有个◎， 第个图案中有个◎， 第个图案中有个◎， 第个图案中有个◎， ∴第个图案中“◎”的个数是， 第个图案中“◎”的个数是， 故答案为：，； ()由题意可得，， 整理得，， 解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$