专题01 相似三角形（期中专项训练，易错必刷57题10种题型）九年级数学上学期北京版

专题01 相似三角形（易错必刷57题 10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 比例线段 · 黄金小题割 · 平行线小题三角形两边成比例 · 相似多边形 · 相似三角形的判定 · 相似三角形的性质 · 在表格中画出相似三角形 · 相似三角形与动点问题 · 相似三角形的综合问题 · 相似三角形的应用 一、比例线段（共4小题） 1．（23-24九年级上·北京延庆·期中）如果，那么下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·北京昌平·期中）已知，则下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·北京门头沟·期中）若，则等于（    ） A． B．5 C． D． 4．（20-21九年级上·北京房山·期中）若，求的值． 二、黄金小题割（共4小题） 5．（23-24九年级上·北京石景山·期中）古希腊人认为，最美人体是肚跻至足底的长度与人体的身高之比是，称为黄金分割比，著名的断臂维纳斯雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚跻至足底的长度为 ， 则此人身高大约为（    ） A．1 B． C． D． 6．（22-23九年级上·北京顺义·期中）已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长为（    ） A． B． C． D．0.618 7．（23-24九年级上·北京顺义·期中）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段 ，且“■■”： ．（比值写精确值，非近似值）    8．（22-23九年级上·北京·期中）已知是线段的黄金分割点，且，若，则短线段的长度为 ． 三、平行线小题三角形两边成比例（共5小题） 9．（23-24九年级上·北京东城·期中）如图，，，则的值为（　　）    A．2 B． C． D．3 10．（22-23八年级下·北京西城·期末）在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是： ．（填序号即可） 11．（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，若，，，则线段 ． 12．（23-24九年级上·北京西城·期中）在中，，，P是线段上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段．    (1)如图1，当，且点D在线段上时，求证； (2)如图2，点D在内部，过点D作的垂线，与直线交于点Q． ①请根据题意，将图形补充完整； ②判断与的数量关系，并证明． 13．（23-24九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，，，分别是，上的点，且，，，，求和的长．    四、相似多边形（共4小题） 14．（22-23九年级上·北京门头沟·期中）若两个相似多边形的的相似比为，则它们面积之比为（     ） A． B． C． D． 15．（19-20九年级上·河北保定·期中）如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（） A．： B．2：3 C．4：9 D．16：81 16．（2021九年级·北京·专题练习）下列结论①两个全等三角形是相似三角形；②所有正方形都相似；③任意两个等腰三角形都相似；④所有菱形都相似；⑤两个等腰直角三角形相似．其中结论正确的有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 17．（21-22八年级下·北京海淀·阶段练习）已知矩形中，，在上取一点E，将沿向上折叠，使B落在上的F点．则 （1） ； （2）若四边形与矩形相似，则 ．    五、相似三角形的判定（共9小题） 18．（11-12九年级上·北京门头沟·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 19．（22-23九年级上·北京通州·期中）如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   20．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 21．（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．求证：． 22．（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 23．（23-24九年级上·北京房山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)则__________°，__________； (2)判断与是否相似．若相似，请说明理由． 24．（23-24九年级上·北京延庆·期中）如图，点是平行四边形的边上一点，连接并延长与的延长线交于点．写出一对相似三角形并证明．    25．（22-23九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，点D在边上，且满足．请找出图中的一对相似三角形，并证明． 26．（21-22九年级上·北京密云·期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：△ABD∽△ACB． 六、相似三角形的性质（共8小题） 27．（23-24九年级下·北京丰台·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B．8 C．10 D．16 28．（22-23九年级下·北京西城·开学考试）如图所示，，下列结论中正确的是(    ) A．：： B．：： C．：： D． 29．（22-23九年级上·北京通州·期中）如图，在中，点是边上的点，线段与交于点，如果，那么的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 30．（20-21九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 31．（2024九年级上·北京·专题练习）如图所示，在锐角三角形中，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ． 32．（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F．    (1)求证：； (2)当时，求的长． 33．（22-23九年级上·北京昌平·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且．    (1)求证：； (2)若，求的长． 34．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，已知平分，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 七、在表格中画出相似三角形（共3小题） 35．（23-24九年级上·北京通州·阶段练习）在中，    (1)如图1，P是上的点，过点P作直线截，使截得的三角形与相似．例如：过点P作交于D，则截得的与相似．请你在图中画出所有满足条件的直线． (2)如图2，Q是上异于点B，C的动点，过点Q作直线截，使截得的三角形与相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线） 36．（22-23九年级上·北京昌平·期中）如图是边长为的正方形网格，的顶点均在格点上． (1)在该网格中画出（顶点均在格点上），使∽； (2)说明和相似的依据． 37．（21-22九年级上·北京房山·期中）如图是边长为1的正方形网格，的顶点均为格点，在该网格中画出（的顶点均在格点上），使． 八、相似三角形与动点问题（共3小题） 38．（20-21九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为 ． 39．（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）如图，中，，，，如果动点以每秒2个单位的速度，从点出发沿着边向运动，此时直线，交于点，记秒时的长度为． (1)写出的取值范围____________________（①；②；③，把正确的序号填写在横线上）； (2)求出关于的函数解析式． 40．（2020·北京海淀·二模）在中，，，点是线段的中点，点在射线上，连接，平移，使点移动到点，得到（点与点对应，点与点对应），交于点．    （1）若点是线段的中点，如图1． ①依题意补全图1； ②求的长； （2）若点在线段的延长线上，射线与射线交于点，若，求的长． 九、相似三角形的综合问题（共12小题） 41．（22-23九年级上·北京顺义·期末）如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 42．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；    ②；③；④若，则 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 43．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，平行四边形中，E为的中点，与交于点F．则与的面积比为 ．    44．（23-24九年级上·北京房山·期末）如图，在中，点，分别在，上，，，，，则的长为 ． 45．（20-21九年级上·北京房山·期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为 ． 46．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，在梯形中，，对角线、交于点O，点E在上，且，已知，．求的长． 47．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，平分，. (1)求证：； (2)若，，求的长. 48．（23-24九年级上·北京·期末）如图，在中，，点E，F在上，点D，G分别在上，且四边形是正方形，求证：． 49．（23-24九年级上·北京平谷·期末）如图，在中，延长到，使，连接交于点，，，求的长． 50．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 51．（22-23九年级上·北京密云·期末）中，，D是边上一点，延长至E，连接，． (1)求证：； (2)若，求长． 52．（23-24九年级上·北京昌平·期末）对于在平面直角坐标系中和外的点P，给出如下定义：已知的半径为1，若上存在点Q，满足，则称点P为的关联点． (1)如图，若点T的坐标为， ①在点，，中，是的关联点的是______； ②直线分别交x轴，y轴于点A，B，若线段AB存在的关联点，求b的取值范围； (2)已知点，，，上的每一个点都是的关联点，直接写出m的取值范围． 十、相似三角形的应用（共5小题） 53．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 54．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图1所示的是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的端被向上翘起，动力臂与阻力臂满足（与相交于点），要把这块石头翘动，至少要将杠杆的点向下压（    ） A． B． C． D． 55．（23-24九年级上·北京顺义·期末）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 56．（21-22九年级上·北京通州·期末）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A．如果他的眼睛到地面的距离ED＝1.6m，同时量得他到平面镜C的距离DC＝2m，平面镜C到旗杆的底部B的距离CB＝15m，那么旗杆高度AB＝ m． 57．（21-22九年级上·北京石景山·期末）有一块三角形的草坪，其中一边的长为10m．在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm．已知图纸上的三角形的周长为15cm，则这块草坪的周长为 m． $$专题01 相似三角形（易错必刷57题 10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 比例线段 · 黄金小题割 · 平行线小题三角形两边成比例 · 相似多边形 · 相似三角形的判定 · 相似三角形的性质 · 在表格中画出相似三角形 · 相似三角形与动点问题 · 相似三角形的综合问题 · 相似三角形的应用 一、比例线段（共4小题） 1．（23-24九年级上·北京延庆·期中）如果，那么下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的性质解答即可． 【详解】解：A、由可得，与已知条件不符，不符合题意； B、由可得，与已知条件相符，符合题意； C、由可得，与已知条件不符，不符合题意； D、由可得，与已知条件不符，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟知两内项之积等于两外项之积是解题的关键． 2．（22-23九年级上·北京昌平·期中）已知，则下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 【详解】解：， ，，所以A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键． 3．（22-23九年级上·北京门头沟·期中）若，则等于（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】设，再代入，然后化简，即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 4．（20-21九年级上·北京房山·期中）若，求的值． 【答案】 【分析】直接利用比例的性质将已知条件变形，再解一元二次方程得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 检验：将，代入得：，， ∴，是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，一元二次方程的解法，正确解方程是解本题的关键． 二、黄金小题割（共4小题） 5．（23-24九年级上·北京石景山·期中）古希腊人认为，最美人体是肚跻至足底的长度与人体的身高之比是，称为黄金分割比，著名的断臂维纳斯雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚跻至足底的长度为 ， 则此人身高大约为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义，即可求解． 【详解】解：依题意，此人身高大约为 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 6．（22-23九年级上·北京顺义·期中）已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长为（    ） A． B． C． D．0.618 【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义，知为较长线段，则，代入数据即可得出的值． 【详解】解：是线段的黄金分割点，且，为较长线段， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割，用到的知识点是把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 7．（23-24九年级上·北京顺义·期中）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段 ，且“■■”： ．（比值写精确值，非近似值）    【答案】 / 【分析】根据作图可知，，，设，则，根据勾股定理得，，求出，得出，即可得出结论． 【详解】解：根据作图可知，，， 设，则， 根据勾股定理得，， ， ， 以为圆心，“”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出． 8．（22-23九年级上·北京·期中）已知是线段的黄金分割点，且，若，则短线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据黄金比值为计算即可． 【详解】解∶ 是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键． 三、平行线小题三角形两边成比例（共5小题） 9．（23-24九年级上·北京东城·期中）如图，，，则的值为（　　）    A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，即“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ”，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 10．（22-23八年级下·北京西城·期末）在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是： ．（填序号即可） 【答案】/③① 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断①；只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故可判断②；保持 的大小不变，改变的长度能使 成立，故可判断③；保持的长度不变，改变的大小不一定能使成立，故可判断④，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【详解】解：①、 ∴四边形是平行四边形，故①符合题意； ②、只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故②不符合题意； ③、改变的长度，与的交点为中点时，则 即为的中点， ∴是的中位线， ∵四边形是平行四边形， 故③符合题意； ④保持的长度不变且时， ∵平分 ∴为的中点， ∴ 即为的中点， ∴是的中位线， ∵四边形是平行四边形， ∴改变的大小都能使 当的长度不变且不等于时，点不是的中点， ∴不可能使成立，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论是， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，若，，，则线段 ． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，根据，，，得出的长，即可得出答案． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12．（23-24九年级上·北京西城·期中）在中，，，P是线段上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段．    (1)如图1，当，且点D在线段上时，求证； (2)如图2，点D在内部，过点D作的垂线，与直线交于点Q． ①请根据题意，将图形补充完整； ②判断与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识． （1）先根据三角形外角的性质得出，再由等角对等边可得结论； （2）①根据题意补全图形即可；②连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD，证明，再根据证明得，得到，再根据平行线分线段成比例定理可得结论 【详解】（1），， . . （2）①如图所示.    ②. 证明：连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD. ∵，， . 又，， . ， ， ∴ ， . 13．（23-24九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，，，分别是，上的点，且，，，，求和的长．    【答案】， 【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴，， ∵ ∴ ∴． 四、相似多边形（共4小题） 14．（22-23九年级上·北京门头沟·期中）若两个相似多边形的的相似比为，则它们面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，从而得解． 【详解】解：∵两个相似多边形的的相似比为， ∴它们面积之比为， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键． 15．（19-20九年级上·河北保定·期中）如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（） A．： B．2：3 C．4：9 D．16：81 【答案】B 【分析】根据面积比为相似比的平方即可求得结果. 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为4：9， ∴它们的周长比为：=. 故选B. 【点睛】本题主要考查图形相似的知识点，解此题的关键在于熟记两个相似多边形的面积比为其相似比的平方. 16．（2021九年级·北京·专题练习）下列结论①两个全等三角形是相似三角形；②所有正方形都相似；③任意两个等腰三角形都相似；④所有菱形都相似；⑤两个等腰直角三角形相似．其中结论正确的有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据相似多边形的定义（对于两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例）分别判断，即可确定正确的选项． 【详解】解：①两个全等三角形是相似三角形，正确，符合题意； ②所有正方形都相似，正确，符合题意； ③任意两个等腰三角形对应角不一定相等，所以不一定都相似，不正确，不符合题意； ④所有菱形的对应角不一定都相等，所以不一定都相似，不符合题意； ⑤两个等腰直角三角形相似，正确，符合题意； 正确的有3个， 故选：． 【点睛】本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形以及相似多边形的定义． 17．（21-22八年级下·北京海淀·阶段练习）已知矩形中，，在上取一点E，将沿向上折叠，使B落在上的F点．则 （1） ； （2）若四边形与矩形相似，则 ．    【答案】 4 【分析】（1）证明四边形是正方形，即可得到答案； （2）设，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式求解即可． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， 由对折可得：，， ∴四边形是正方形． ∴， （2）设，则， ∵四边形与矩形相似， ∴， ∴， 解得，（不合题意，舍去）． 经检验：是分式方程的解，且符合题意． ∴， 即． 故答案为：4， 【点睛】本题考查了翻折变换，相似多边形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，本题的关键是根据四边形与矩形相似得到比例式． 五、相似三角形的判定（共9小题） 18．（11-12九年级上·北京门头沟·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ A、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； B、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； C、当时，可通过“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； D、当时，无法证明两个三角形相似，故符合题意； 故选：D ． 19．（22-23九年级上·北京通州·期中）如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故本选项不符合题意； B、∵， ∴，故本选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故本选项符合题意； D、∵， ∴，故本选项不符合题意； 故选：C． 20．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 【答案】(1)见解析 (2)添加，证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定； （1）证明有两对角相等即可判断； （2）假设，可以推出即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：添加， 如果， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故添加：，能证明． 21．（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先证明，再由可以根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 22．（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）把代入即可求解； （）由得直线的方程为，求出，从而得，，，然后根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵在直线上， ∴， 解得：； （2）由（）得， ∴所在直线的方程为， 当时，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 又， ∴． 23．（23-24九年级上·北京房山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)则__________°，__________； (2)判断与是否相似．若相似，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题考查了正方形对角线的性质，勾股定理解三角形及相似三角形的判定． （1）根据正方形对角线性质，每条对角线平分一组对角，得到的度数，再根据邻补角定义即可得到的度数；利用勾股定理，即可求出的值，构造利用勾股定理，是解题关键； （2）方法一：根据正方形对角线长度等于正方形边长的倍，可求出对角线，的值，然后通过构造，利用勾股定理可求出的值，由此即可得到和三边的值，根据相似三角形的判定“三边对应成比例，两三角形相似”，即可证得结论；方法二：同方法一先求出，的值，由（1）可得到的值，同理可求出的值，已知，的值，然后根据相似三角形判定“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，即可证得结论，熟练掌握以上相似三角形的判定是解题关键． 【详解】（1）解：如图，令的正方形顶点分别为，，，， 由题意得为边长为1的小正方形的对角线， ， ， 由图可知，是的斜边，， ． （2）解：判断：， 解法一： 证明：为边长为2的小正方形的对角线，为边长为1的小正方形的对角线， ，， 由图可得是的斜边，， ， 又∵，， ， ， ． 解法二： 证明：为边长为2的小正方形的对角线，为边长为1的小正方形的对角线， ，， 又，， ， ， ，都是正方形的对角线， ， ， ． 24．（23-24九年级上·北京延庆·期中）如图，点是平行四边形的边上一点，连接并延长与的延长线交于点．写出一对相似三角形并证明．    【答案】，，，证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，然后利用相似三角形的判定证明即可． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴ ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 25．（22-23九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，点D在边上，且满足．请找出图中的一对相似三角形，并证明． 【答案】；证明见解析 【分析】根据得出，然后根据相似三角形的判定方法可得，． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据得出，熟记相似三角形的判定方法． 26．（21-22九年级上·北京密云·期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：△ABD∽△ACB． 【答案】见解析 【分析】由BD平分∠ABC可得∠ABC=2∠ABD，再结合∠ABC=2∠C可得∠ABD=∠C，再结合∠A=∠A即可证明结论． 【详解】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABD ∵∠ABC=2∠C ∴∠ABD=∠C ∵∠A=∠A ∴△ABD∽△ACB． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两角分别对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 六、相似三角形的性质（共8小题） 27．（23-24九年级下·北京丰台·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 首先由，得相似三角形，即可求得，根据的长进而求得的长；由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长． 【详解】解：，， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选C． 28．（22-23九年级下·北京西城·开学考试）如图所示，，下列结论中正确的是(    ) A．：： B．：： C．：： D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，由相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可判断． 【详解】解：A、由，得到，故A不符合题意； B、由，得到，故B不符合题意； C、由，得到：：，故C不符合题意； D、由，得到，故D符合题意． 故选：D． 29．（22-23九年级上·北京通州·期中）如图，在中，点是边上的点，线段与交于点，如果，那么的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据相似三角形对应边成比例求出，再根据，即可解决问题． 【详解】解：在平行四边形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查相似求线段长，涉及平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形求线段长的方法是解决问题的关键． 30．（20-21九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 31．（2024九年级上·北京·专题练习）如图所示，在锐角三角形中，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为x秒，根据题意：，则，再分当，当，两种情况根据相似三角形对应边成比例建立方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，则， 当，则， ∴， 解得：； 当，则， ∴， 解得：； 综上所述，当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动时间为或． 答案：3或． 32．（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F．    (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，再根据垂直的定义得出，即可得出，则，即可求证； （2）根据相似三角形的性质出，即可求出，根据平行四边形的性质得出，最后根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴，则， 解得：， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等，对角相等；相似三角形对应边相等． 33．（22-23九年级上·北京昌平·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，所以，又因为，进而可证明； （2）由（1）可知：，得出，由平行四边形的性质可知，所以，代入计算求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键． 34．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，已知平分，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵，得到， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设， ∵， ∴，即． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法与性质． 七、在表格中画出相似三角形（共3小题） 35．（23-24九年级上·北京通州·阶段练习）在中，    (1)如图1，P是上的点，过点P作直线截，使截得的三角形与相似．例如：过点P作交于D，则截得的与相似．请你在图中画出所有满足条件的直线． (2)如图2，Q是上异于点B，C的动点，过点Q作直线截，使截得的三角形与相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线） 【答案】(1)见解析 (2)当时，满足条件的直线有4条；当时，满足条件的直线有3条 【分析】（1）利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理过点P作两条，再利用两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理，过点P作两条． （2）把Q点看成从C点出发到B点的动点，发现当Q点在某一个位置时，所作截的三角形与原三角形相似的数量减少了一个，通过此时的临界条件把的长度计算出来，进行分类说明． 【详解】（1）解：如图所示： 第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，过点P分别作与的平行线与．分别得到， ． 第二种：利用两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理，过P分别作垂直于点G，作交于点F，使．分别得到， ．    （2）解：    如图所示，假设点Q从点C开始往点B移动，由（1）可知，作， 得．作交于点F，使，得． 作，得．作，得． 当移动到位置时，此时出现点F于点A重合，此时是一个临界点，利用得，则，又此时，所以 该点往左移动，不能在三角形内做出作交于点F，该点往右移动，可以在三角形内做出作交于点F，使． 故当时，满足条件的直线有4条； 当时，满足条件的直线有3条． 【点睛】本题通过画图综合性的考察了三角形相似的判定，作图时运用到了平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理．在做此类试题时考虑必须全面，不能漏掉解． 36．（22-23九年级上·北京昌平·期中）如图是边长为的正方形网格，的顶点均在格点上． (1)在该网格中画出（顶点均在格点上），使∽； (2)说明和相似的依据． 【答案】(1)见解析 (2)三边成比例两三角形相似 【分析】（1）利用相似三角形的判定画出图形即可． （2）根据三边成比例两三角形相似判断即可． 【详解】（1）解：如图，故即为所求． （2）解：相似的理由是三边成比例两三角形相似． 【点睛】本题考查作图相似变换，解题的关键是掌握相似变换的性质，属于中考常考题型． 37．（21-22九年级上·北京房山·期中）如图是边长为1的正方形网格，的顶点均为格点，在该网格中画出（的顶点均在格点上），使． 【答案】见解析 【分析】把△A1B1C1的边长缩小一半，画出三角形即可． 【详解】解：如图，△A2B2C2即为所求． ∵A1C1＝4，A1B1＝2，A2C2＝2，A2B2＝， ∴＝＝2， ∵∠B1A1C1＝∠B2A2C2＝135°， ∴△A1B1C1∽△A2B2C2． 【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，准确作图． 八、相似三角形与动点问题（共3小题） 38．（20-21九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为 ． 【答案】（0，）或（0，）． 【分析】利用点A、B、C的坐标特征得到∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，设P点坐标为（0，t），由∠POB＝∠ACB，推出当时，△OPB∽△CBA，即；当时，△OPB∽△CAB，即，分别求出t的值，从而得到点P的坐标. 【详解】∵B（1，0）、A（3，﹣3）、C（3，0）， ∴∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3， 设P点坐标为（0，t）， ∵∠POB＝∠ACB＝90°， ∴当时，△OPB∽△CBA，即，解得t＝±，此时P点坐标为（0，）， 当时，△OPB∽△CAB，即，解得t＝±，此时P点坐标为（0，）， 综上所述，若以O、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为（0，）或（0，）． 故答案为（0，）或（0，）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据比例线段列出方程是解题的关键. 39．（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）如图，中，，，，如果动点以每秒2个单位的速度，从点出发沿着边向运动，此时直线，交于点，记秒时的长度为． (1)写出的取值范围____________________（①；②；③，把正确的序号填写在横线上）； (2)求出关于的函数解析式． 【答案】(1)③ (2)（） 【分析】（1）根据题意，得出，再根据，得出，解出即可得出答案； （2）根据题意，得出，进而得出，再根据，得出，再根据相似三角形的性质，得出，再把数据代入整理，即可关于的函数解析式． 【详解】（1）解：如图，根据题意，可得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：③ （2）解：根据题意，可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，充分利用数形结合思想是解本题的关键． 40．（2020·北京海淀·二模）在中，，，点是线段的中点，点在射线上，连接，平移，使点移动到点，得到（点与点对应，点与点对应），交于点．    （1）若点是线段的中点，如图1． ①依题意补全图1； ②求的长； （2）若点在线段的延长线上，射线与射线交于点，若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）CE＝ 【分析】（1）①利用平移的性质画出图形； ②利用相似得出比例，即可求出线段DP的长． （2）根据条件MQ＝DP，利用平行四边形的性质和相似三角形的性质，求出BN的长即可解决． 【详解】解：（1）①如图1，补全图形    ②连接AD，如图1． 在Rt△ABN中， ∵∠B＝90°，AB＝4，BN＝1， ∴AN＝， ∵线段AN平移得到线段DM， ∴DM＝AN＝， AD＝NM＝1，AD∥MC， ∴△ADP∽△CMP． ∴， ∴； （2）如图，连接NQ，    由平移知：AN∥DM，且AN＝DM． ∵MQ＝DP， ∴PQ＝DM． ∴AN∥PQ，且AN＝PQ． ∴四边形ANQP是平行四边形． ∴NQ∥AP． ∴∠BQN＝∠BAC＝45°． 又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°， ∴BN＝BQ． ∵AN∥MQ， ∴， 又∵M是BC的中点，且AB＝BC＝4， ∴， ∴NB＝或（负数舍去）． ∴ME＝BN＝． ∴CE＝ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质与相似三角形的综合应用，利用相似比求线段长是重难点，按照题意画出图形是解决本题的关键． 九、相似三角形的综合问题（共12小题） 41．（22-23九年级上·北京顺义·期末）如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由菱形的性质得，，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点F在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 42．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；    ②；③；④若，则 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而根据三角形外角的性质及相似三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴，， ∴，故②正确； ∵， ∴不成立，故③错误； 过点E作，交于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴；故④正确； 综上所述：说法正确的有①②④； 故选B． 43．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，平行四边形中，E为的中点，与交于点F．则与的面积比为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形，平行四边形．熟练掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，是解题关键． 利用平行四边形的性质得出，，得到，再利用相似三角形的面积比等于相似比平方，即得． 【详解】∵E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 44．（23-24九年级上·北京房山·期末）如图，在中，点，分别在，上，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定与性质求出，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 45．（20-21九年级上·北京房山·期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为 ． 【答案】/ 【分析】先设正方形的边长为x，再表示出，，然后说明∽，并根据对应边成比例得出答案. 【详解】根据题意可知，． 设正方形的边长为x，则，. ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴∽， ∴， 即， 解得. 所以正方形的边长为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法． 46．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，在梯形中，，对角线、交于点O，点E在上，且，已知，．求的长． 【答案】2 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意找到对应边的比例关系．首先证明出，得到，代数求出出，然后由得到，推出，然后代数求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 47．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，平分，. (1)求证：； (2)若，，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解． （1）利用两角法证得结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值计算． 【详解】（1）证明：平分， ． ， ； （2）解：， ． ，， ． ． 48．（23-24九年级上·北京·期末）如图，在中，，点E，F在上，点D，G分别在上，且四边形是正方形，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，根据正方形的性质可得，，通过导角可得，进而可证，根据对应边成比例可得，等量代换可得，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴． 49．（23-24九年级上·北京平谷·期末）如图，在中，延长到，使，连接交于点，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质得，易得，进而得到，由，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， ，即 ， ． 50．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质： （1）先根据角平分线得出，进而可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出，代入即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴（负值舍去）． 51．（22-23九年级上·北京密云·期末）中，，D是边上一点，延长至E，连接，． (1)求证：； (2)若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出再由等量代换得出结合相似三角形的判定方法证明即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； （2）由（1）得， ∴即 ∴． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 52．（23-24九年级上·北京昌平·期末）对于在平面直角坐标系中和外的点P，给出如下定义：已知的半径为1，若上存在点Q，满足，则称点P为的关联点． (1)如图，若点T的坐标为， ①在点，，中，是的关联点的是______； ②直线分别交x轴，y轴于点A，B，若线段AB存在的关联点，求b的取值范围； (2)已知点，，，上的每一个点都是的关联点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①求出三点到圆心的距离，通过关联点定义判断； ②分类讨论，画出临界点，求出临界点是b的值，从而求出b的取值范围； （2）分类讨论，通过画图发现数量关系，通过解不等式求出m的取值范围． 【详解】（1）解：①由关联点的定义可知，当时，点P为的关联点， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴点和点是的关联点； 故答案为：； ②如图所示，点P在直线上，，且， 由直线分别交x轴，y轴于点，得，， 当线段在第二象限时，则，， ∵， ∴， ∴ 即， 解得， 另外当时，线段在内部，此时线段上没有的关联点， 则得， 当线段在第四象限时，同理可得； 综上所示，当得或时，线段AB存在⊙T的关联点； （2）解：如图所示， 由上的每一个点都是的关联点，可知需在以T为圆心1和3为半径，所构成的圆环中， ①若点T在第二象限，可得，点T到距离大于1方能保证在圆环内， 得， 解得， ②若点T在第一象限，可得，点T到线段的距离大于1方能保证在圆环内， 得，解得， 设直线解析式为代入点，得直线解析式为， ∵， ∴ ∴， 过点T作轴，交于点E，作，交于点F， ∵， ∴， ∴， 得， 由，得 解得， 得， 综上所述，或． 【点睛】本题考查新定义概念的判断，解不等式，勾股定理、相似三角形的性质和判断，待定系数法求函数解析式，难点在于分类讨论画图象并通过图象得到不等式，从而解出取值范围． 十、相似三角形的应用（共5小题） 53．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知易证明，得到，代入已知数据即可求解，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 54．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图1所示的是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的端被向上翘起，动力臂与阻力臂满足（与相交于点），要把这块石头翘动，至少要将杠杆的点向下压（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴至少要将杠杆的点向下压， 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键． 55．（23-24九年级上·北京顺义·期末）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：， ， ， , 的高为,为,为, ， 故答案为： 56．（21-22九年级上·北京通州·期末）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A．如果他的眼睛到地面的距离ED＝1.6m，同时量得他到平面镜C的距离DC＝2m，平面镜C到旗杆的底部B的距离CB＝15m，那么旗杆高度AB＝ m． 【答案】12 【分析】根据物理光学中的入射角等于反射角可知∠ECD=∠ACB，所以图中两个三角形相似，再利用相似比求出AB即可． 【详解】∵∠ECD=∠ACB ∴△ABC≌△EDC ∴ ∴AB=BC×0.8=15×0.8=12（m） 故答案为：12 【点睛】本题考查光的反射和三角形相似的结合，掌握这些知识点是本题关键． 57．（21-22九年级上·北京石景山·期末）有一块三角形的草坪，其中一边的长为10m．在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm．已知图纸上的三角形的周长为15cm，则这块草坪的周长为 m． 【答案】 【分析】设这块草坪的周长为m，由实际的三角形草坪与图纸上的三角形草坪是相似三角形，再利用相似三角形的性质列方程即可. 【详解】解：设这块草坪的周长为m， 由题意可得：实际的三角形草坪与图纸上的三角形草坪是相似三角形， 解得：， 所以这块草坪的周长为m. 故答案为： 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键. $$