专题01 分式（考点串讲）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北京版）

八年级新京改版数学上册期中考点大串讲 串讲01 分式 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理，也可用思维导图 六大题型典例剖析+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 可以精选3~5道期末真题对应考点练 考点透视 一、分式 1.分式的概念： 一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母. 2.分式有意义的条件： 对于分式 ： 当_______时分式有意义； 当_______时无意义. B≠0 B=0 3.分式值为零的条件： 当___________时，分式 的值为零. A=0且 B≠0 4.分式的基本性质： 考点透视 5.分式的约分： 约分的定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 最简分式的定义 分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式 注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式. 考点透视 考点透视 约分的基本步骤 (1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； (2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式． 考点透视 6.分式的通分： 分式的通分的定义 根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分. 最简公分母 为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母. 考点透视 二、分式的运算 1.分式的乘除法则： 2.分式的乘方法则： 考点透视 3.分式的加减法则： (1)同分母分式的加减法则： (2)异分母分式的加减法则： 考点透视 4.分式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式． 考点透视 3.分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审清题意； (2)设未知数； (3)找相等关系； (4)列出方程； (5)解这个分式方程； (6)验根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）； (7)答. 题型剖析 考点1 分式的有关概念 【例1 】如果分式 的值为0，那么x的值为 . 【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，列出关于x的方程，求出x的值，并检验当x的取值时分式的分母的对应值是否为零.由题意可得：x2-1=0, 解得x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0. 1 D 变式1.下列式子是分式的是( ) A.　 　 B. 　 　 C.　 　 D. x≠5 ≠2 题型剖析 考点2 分式的性质及有关计算 B 【例2 】 如果把分式　　　中的x和y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A.扩大为原来的3倍　 B.不变　 C.缩小为原来的　 D.缩小为原来的 变式1.若把分式 中m,n的值都扩大到原来的3倍,则分式的值( ) A.扩大为原来的9倍 B.扩大为原来的6倍 C.扩大为原来的3倍 D.不变 C 题型剖析 题型剖析 【例3】已知x= ,y= ，求 值. 【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值. 把x= ,y= 代入得 解：原式= 原式= 变式1. (2023·衡阳)已知 ,则代数式 的值为 . 变式2.化简: . 题型剖析 题型剖析 考点3 分式方程的解法 【例4】 解下列分式方程：        【解析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解． 解：（1）去分母得x+1+x﹣1=0，解得x=0， 经检验x=0是分式方程的解； （2）去分母得x﹣4=2x+2﹣3，解得x=﹣3， 经检验x=﹣3是分式方程的解． 题型剖析 解：最简公分母为（x+2）（x﹣2）， 去分母得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=16， 整理得﹣4x+8=16， 解得x=﹣2， 经检验x=﹣2是增根，故原分式方程无解． 变式1.解下列分式方程： 解：方程两边同乘以x2+x，得 5x+2=3x 解得 x = -1 检验：当x=-1时， x2+x=0 所以原分式方程无解. 题型剖析 题型剖析 考点4 分式方程的应用 【例5】 从北京到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍． (1)求普通列车的行驶路程； 解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可； 解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)． 答：普通列车的行驶路程是520千米； 题型剖析 (2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度． 解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可． 题型剖析 解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得 解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)． 答：高铁的平均速度是300千米/时． 变式1. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了30支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？ 解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得 解得 x=4. 经检验，故x=4原分式方程的解. 答：第一次每支铅笔的进价为4元. 题型剖析 易错易混 D 易错易混 D C 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 3 x=2 3 6 -0.5或1 易错易混 k<2且k≠0 a<8且a≠4 k<-10且k≠-13 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测