专题05 抛物线（考点清单，6个考点梳理+4大题型解读）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题05 抛物线（考点清单，6个考点梳理+4大题型解读） 【清单01】抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 【清单02】抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 【清单03】抛物线的性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 【清单04】焦半径 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 【清单05】直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时， 若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点； 若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点； 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有1个公共点． 【清单06】直线与抛物线相交弦长问题 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②＝x1＋x2＋p； ③＋＝. 【考点题型一】抛物线的定义 【例1】.（2024·海南·模拟预测）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 【变式1-1】.（23-24高二上·广东深圳·期末）是抛物线上一点，是的焦点，为的准线，于，若，则的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 【变式1-2】.（2024高二上·陕西西安·期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为 ． 【变式1-3】.（2024高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式1-4】.（2024·西藏日喀则·一模）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为3，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-5】.（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-6】（2024高二上·全国·课前预习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ． 【考点题型二】抛物线的标准方程 【例2】.（2024高二下·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为 ． 【变式2-1】.（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式2-2】.（2024高二上·全国·课后作业）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-3】.（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（    ） A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 【变式2-4】.23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【变式2-5】.（2024高二下·吉林长春·开学考试）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（    ） A．18米 B．21米 C．24米 D．27米 【考点题型三】抛物线的性质 【例3】.（2024高二上·湖北孝感·期中）对抛物线，下列描述正确的是 A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【变式3-1】.（2024高二上·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【变式3-2】.（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式3-3】.（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式3-4】.（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为 ，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为6，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】直线与抛物线的位置关系 【例4】.（2024高二下·陕西渭南·期末）已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（    ） A．4 B．2 C．0或4 D．8 【变式4-1】.（2024·全国·模拟预测）已知倾斜角为的直线过点，且与抛物线交于两点．若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（2024高二上·湖北·期末）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】.（2024高二上·浙江宁波·期末）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，且弦被点平分. (1)求直线的方程； (2)求弦的长度. 【变式4-4】.（2024高二下·安徽滁州·开学考试）已知动圆过定点，且与直线：相切，圆心的轨迹为． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为的直线交轨迹于，两点，求． 【变式4-5】.（2024·全国·模拟预测）已知点在抛物线上，记为坐标原点，，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切． (1)求抛物线的方程； (2)记抛物线的焦点为，过点作直线与直线垂直，交抛物线于，两点，求弦的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 抛物线（考点清单，6个考点梳理+4大题型解读） 【清单01】抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 【清单02】抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 【清单03】抛物线的性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 【清单04】焦半径 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 【清单05】直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时， 若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点； 若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点； 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有1个公共点． 【清单06】直线与抛物线相交弦长问题 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②＝x1＋x2＋p； ③＋＝. 【考点题型一】抛物线的定义 【例1】.（2024·海南·模拟预测）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则， 所以动点到的距离等于到的距离加1，即动点到的距离等于. 所以动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1， 即其最小值是.        故选：D 【变式1-1】.（23-24高二上·广东深圳·期末）是抛物线上一点，是的焦点，为的准线，于，若，则的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【详解】如图，    由抛物线，可知，准线方程， 因为，所以， 代入抛物线方程可得，不妨设在第一象限， 则，所以, 又，所以, 所以的周长为， 故选：D. 【变式1-2】.（2024高二上·陕西西安·期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为 ． 【答案】4 【详解】由题意可得，，P纵坐标为，由其解析式可得P横坐标为， 由抛物线定义知. 故答案为：4 【变式1-3】.（2024高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】由焦点到其准线的距离为得； 设在准线上的射影为如图, 则， 当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4． 故选：D． 【变式1-4】.（2024·西藏日喀则·一模）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为3，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】圆的圆心，半径， 抛物线的焦点为，准线为， 则由抛的线的定义可知点到y轴的距离为， 所以， 由图可知，当共线，且在线段上时，最短， 而， 因为， 所以，解得， 故选：B 【变式1-5】.（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为动点到点的距离比到直线的距离小， 所以，点到点的距离和到直线的距离相等， 点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线． 所以，，则，故点的轨迹方程为． 故选：D. 【变式1-6】（2024高二上·全国·课前预习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为， 所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为． 故答案为： 【考点题型二】抛物线的标准方程 【例2】.（2024高二下·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为 ． 【答案】 【详解】因为抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点， 所以可设抛物线：. 由抛物线的定义可得：，解得：. 所以抛物线的方程为：. 故答案为：. 【变式2-1】.（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C. 【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 故选：C. 【变式2-2】.（2024高二上·全国·课后作业）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】当抛物线的焦点在轴上时， 设抛物线的方程为． 因为抛物线过点， 所以，所以． 所以抛物线的方程为； 当抛物线的焦点在轴上时， 因为抛物线过点， 设抛物线的方程为， 因为抛物线过点， 所以，所以， 所以抛物线的方程为，即， 综上抛物线的方程为或. 故选：A. 【变式2-3】.（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（    ） A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 【答案】B 【详解】 如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x. 故选：B. 【变式2-4】.23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【答案】A 【详解】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：    ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴C（-20，150），， ， 故选：A. 【变式2-5】.（2024高二下·吉林长春·开学考试）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（    ） A．18米 B．21米 C．24米 D．27米 【答案】C 【详解】依题意知，抛物线，即， 因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以， 所以抛物线方程为， 令，则，解得， 所以校门位于地面宽度最大约为米. 故选：C. 【考点题型三】抛物线的性质 【例3】.（2024高二上·湖北孝感·期中）对抛物线，下列描述正确的是 A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】B 【详解】解：因为抛物线，可知化为标准式为抛物线，2p=1/4，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为，选B 【变式3-1】.（2024高二上·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标. 【详解】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 【变式3-2】.（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设正三角形得边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 【变式3-3】.（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为在抛物线上，故， 整理得到：即， 解得或（舍），故焦点坐标为， 故所求距离为， 故选：D. 【变式3-4】.（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为 ，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为6，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解详解】解法一：抛物线：的焦点为，准线为：， 设，由点到准线的距离为6，得，得， 代入抛物线的方程得，所以． 由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为， 又的中点坐标为，故的垂直平分线的方程为， 令，得，即． 所以的面积为． 故选：B. 解法二：抛物线：的焦点为，准线为：， 设，由到准线的距离为6，得，得， 代入抛物线的方程得，所以． 由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为， 所以．过点作的垂线，垂足为，则，连接， 则，而，所以是等边三角形，于是边的垂直平分线过点，即点与点重合，所以的面积为． 故选：B. 【考点题型四】直线与抛物线的位置关系 【例4】.（2024高二下·陕西渭南·期末）已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（    ） A．4 B．2 C．0或4 D．8 【答案】C 【详解】联立得：， 当时，交点为，满足题意； 当时，由，解得， 综上可知： 或， 故选：C 【变式4-1】.（2024·全国·模拟预测）已知倾斜角为的直线过点，且与抛物线交于两点．若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A. 【解答过程】设． 因为，得． 由题意，得直线的方程为． 将其代入，得， 所以． 又，所以，， 所以，所以， 解得或（舍去）． 所以抛物线的方程为． 故选：A． 【变式4-2】.（2024高二上·湖北·期末）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得： ，，，所以 可得，由抛物线的定义得 所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是． 故选：B 【变式4-3】.（2024高二上·浙江宁波·期末）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，且弦被点平分. (1)求直线的方程； (2)求弦的长度. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设则， 由，可得 所以，得直线的方程为. （2）联立方程，得， 得，所以 【变式4-4】.（2024高二下·安徽滁州·开学考试）已知动圆过定点，且与直线：相切，圆心的轨迹为． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为的直线交轨迹于，两点，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，由动圆过定点，且与直线：相切， ，整理得， 故动点的轨迹方程为． （2）设，，直线的方程为， 则由，整理得, ． 【变式4-5】.（2024·全国·模拟预测）已知点在抛物线上，记为坐标原点，，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切． (1)求抛物线的方程； (2)记抛物线的焦点为，过点作直线与直线垂直，交抛物线于，两点，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 依题意可得，解得或，又、、， 所以，所以抛物线方程为. （2）由（1）可得，，， 因为直线直线，所以， 所以直线的方程为，即， 由，消去整理得， 设，，所以， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$