专题04 双曲线（考点清单，5个考点梳理+6大题型解读）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题04 双曲线（考点清单，5个考点梳理+6大题型解读） 【清单01】双曲线的定义 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 【清单02】双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 【清单03】双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 【清单04】焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，,为双曲线的焦点，当点P,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦 点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，,分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为. 【清单05】直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 【考点题型一】双曲线的定义 【例1】.（2024高二下·安徽滁州·开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-1】.（2024·青海·模拟预测）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点P在双曲线的右支上，若， 则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（2024高三上·辽宁锦州·期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（    ） A．7 B．9 C．1或9 D．3或7 【变式1-4】.（2024高二下·江西宜春·期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（    ） A． B． C． D．   【变式1-5】.（2024·江西赣州·一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】双曲线的方程 【例2】.（23-24高二上·天津河西·期末）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】.（23-24高三下·上海普陀·阶段练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】.（2024·新疆乌鲁木齐·二模）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（2024·河南安阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-4】.（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-5】（2024高三下·湖南岳阳·开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-6】.（2024高三下·贵州·阶段练习）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】双曲线的动点轨迹方程 【例3】.（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆 ，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（2024高二下·四川德阳·阶段练习）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（2024高二上·广东广州·期末）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（23-24高二上·湖南怀化·期中）直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】.（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程； 【考点题型四】离心率 【例4】.（2024高二下·湖南衡阳·期末）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 . 【变式4-1】.（24-25高三上·云南大理·开学考试）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且.若，则双曲线的离心率为 .    【变式4-2】.（2024高二下·四川凉山·期末）已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 . 【变式4-3】.（2024高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式4-4】.（2024·安徽合肥·模拟预测）双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点题型五 】双曲线的渐近线 【例5】.（2024高二下·江西赣州·阶段练习）如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（    ）    A．3 B． C． D． 【变式5-1】.（23-24高三上·海南·阶段练习）已知双曲线()的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（2024高三下·贵州黔东南·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为 . 【变式5-3】.（2024高三下·湖南·阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，过作直线的垂线分别交双曲线的左、右两支于两点（如图）.若构成以为顶角的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为 .    【变式5-4】.（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 【考点题型六】直线与双曲线的位置关系 【例6】.（2024高二下·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【变式6-1】.（2024高二上·湖北武汉·阶段练习）直线与双曲线的左支交于不同两点，则实数的取值范围为 ． 【变式6-2】.（2024·安徽六安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（    ） A．18 B．10 C．9 D．6 【变式6-3】.（2024高二下·上海徐汇·期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ． 【变式6-4】.（2024·湖南·模拟预测）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程. 【变式6-5】.（2024高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程. 【变式6-6】.（2024高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点A.已知直线与直线的斜率之积为3. (1)求A的轨迹； (2)记的左、右焦点分别为、.过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求的方程. 【变式6-7】.（2024高二下·全国·开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 双曲线（考点清单，5个考点梳理+6大题型解读） 【清单01】双曲线的定义 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 【清单02】双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 【清单03】双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 【清单04】焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，,为双曲线的焦点，当点P,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦 点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，,分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为. 【清单05】直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 【考点题型一】双曲线的定义 【例1】.（2024高二下·安徽滁州·开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由双曲线标准方程得：， 由双曲线定义得: 即， 解得（舍去）或， 故选：A. 【变式1-1】.（2024·青海·模拟预测）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线定义可知：， 则三角形的周长为， 故. 故选：D. 【变式1-2】.（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点P在双曲线的右支上，若， 则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线的半焦距为， 因为，所以， 由双曲线定义可得，又， 所以， 所以， 所以，， 双曲线的方程为 故选：D. 【变式1-3】.（2024高三上·辽宁锦州·期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（    ） A．7 B．9 C．1或9 D．3或7 【答案】B 【详解】由，可得，则. 又因在双曲线，则由双曲线定义，有，可得. 故选：B 【变式1-4】.（2024高二下·江西宜春·期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为， 设，则①， 因为，所以， 所以②， 又因为的面积为，所以，即， 所以③，由②③得④， 将④③代入①得，，所以. 故选：D.    【变式1-5】.（2024·江西赣州·一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线得到,,，左焦点， 设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可. ===. 故选：C. 【考点题型二】双曲线的方程 【例2】.（23-24高二上·天津河西·期末）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A. 【详解】∵双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，且， 由题意可得，解得， ∴双曲线的方程为. 故选：A. 【变式2-1】.（23-24高三下·上海普陀·阶段练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】解：可整理成， 当，则且或且，此时方程即表示的曲线为双曲线，则充分性成立； 若方程表示的曲线为双曲线，则即，则必要性成立， 故选：C. 【变式2-2】.（2024·新疆乌鲁木齐·二模）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，设双曲线方程为， 因为，则， 显然圆O的半径为3， 又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 双曲线与圆O交于第一象限内的点为， 于是，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：A 【变式2-3】.（2024·河南安阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线C的半焦距为．由题可知，即． 因为的中点为Q，为等边三角形， 所以，所以，， 故，所以，， 所以，所以，所以，． 所以双曲线C的方程为． 故选：A. 【变式2-4】.（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若方程表示双曲线，则，解得， 所以由推不出方程表示双曲线，故充分性不成立， 由方程表示双曲线推得出，故必要性成立， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件. 故选：B 【变式2-5】（2024高三下·湖南岳阳·开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若方程表示双曲线，则，即， 由能推出，必要性成立， 由不能推出，充分性不成立， 故“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2-6】.（2024高三下·贵州·阶段练习）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设，则， 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：， 连接，则有，， 由于在以为直径的圆周上， ∴， ∵为平行四边形， ∥， ∴， 在直角三角形中，， 即， 解得， 所以，； 在直角三角形中，， 即，得， 又因为， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故选:D. 【考点题型三】双曲线的动点轨迹方程 【例3】.（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆 ，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆 ，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C. 【变式3-1】.（2024高二下·四川德阳·阶段练习）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点，，可得， 又由，可得， 根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支， 且，可得，则， 所以点的轨迹方程为. 故选：C. 【变式3-2】.（2024高二上·广东广州·期末）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆N：的圆心为，半径为，且 设动圆的半径为，则，即. 即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为， 虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上， 故动圆圆心P的轨迹方程是 故选：A 【变式3-3】.（23-24高二上·湖南怀化·期中）直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线和互相垂直， 所以， 又， 所以点在一，四象限或者二，三象限， 设， 因为为的中点， 所以， 所以 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 故选：B. 【变式3-4】.（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程； 【答案】 【详解】 由题设得， 即， 整理得. 所以曲线的方程为. 【考点题型四】离心率 【例4】.（2024高二下·湖南衡阳·期末）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 . 【答案】 【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，， 则，，可得四边形为平行四边形，    又及托勒密定理，可得四边形为矩形． 设，， 在中，， 则，， ，，， ，解得． 双曲线的离心率为． 故答案为：． 【变式4-1】.（24-25高三上·云南大理·开学考试）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且.若，则双曲线的离心率为 .    【答案】. 【详解】延长与双曲线交于另一点，连接.    因为，所以根据对称性可得四边形是平行四边形， 则. 设，则. 根据双曲线的定义可得，则， 所以. 在中，根据余弦定理可得，得. 在中，由，得, 则双曲线的离心率为. 故答案为：. 【变式4-2】.（2024高二下·四川凉山·期末）已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可. 【详解】   如图所示，设，则， 所以， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作轴于D，， 故， 即，故， 解之得（负值舍去）. 故答案为： 【变式4-3】.（2024高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以， 即,解得或,又因为,即. 故选：A 【变式4-4】.（2024·安徽合肥·模拟预测）双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意直线：，即，又， 所以，， 所以，所以， 即，即，解得， 又，所以. 故选：B 【考点题型五 】双曲线的渐近线 【例5】.（2024高二下·江西赣州·阶段练习）如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由双曲线的定义得，， 又由得，即，解得，所以， 在直角中，由勾股定理得，即， 整理得，则，双曲线的渐近线斜率为． 故选：B． 【变式5-1】.（23-24高三上·海南·阶段练习）已知双曲线()的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意可得，即； 不妨取左焦点到渐近线的距离为，即， 所以渐近线方程为. 故选：B. 【变式5-2】.（2024高三下·贵州黔东南·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】双曲线的渐近线的方程为. 圆的标准方程为：， 故该圆的圆心为，半径为2， 而圆心到渐近线的距离为， 故渐近线被该圆截得的弦长为， 整理得到：或， 而，故，故离心率为. 故答案为：. 【变式5-3】.（2024高三下·湖南·阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，过作直线的垂线分别交双曲线的左、右两支于两点（如图）.若构成以为顶角的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为 .    【答案】 【详解】由题意可得，由双曲线的定义及点在右支上，， 又点在左支上，则，则， 在中，由余弦定理可得， 而与渐近线垂直，于是，即，从而得， 所以，即，化简得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 【变式5-4】.（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 【答案】A 【详解】由题意得，渐近线, 将代入得坐标为,所以, 因为轴，所以, 由已知可得, 两边同时除以得, 所以，即， 解得,所以， 而双曲线的离心率， 故选：A. 【考点题型六】直线与双曲线的位置关系 【例6】.（2024高二下·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得：，，， 解得：，，， 双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，，，，， 联立方程组，消去整理得， 则， 原点到直线的距离为 ， 所以， 解得或，故 或， 故直线方程为或 【变式6-1】.（2024高二上·湖北武汉·阶段练习）直线与双曲线的左支交于不同两点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，消去整理得， 因为该方程有两个不等且小于的根，所以 ， 解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式6-2】.（2024·安徽六安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（    ） A．18 B．10 C．9 D．6 【答案】C 【详解】直线与双曲线交于，两点，若， 则四边形为矩形，所以，，    由双曲线可得，，则， 所以，所以， 又， 所以，解得， 所以． 故选：C． 【变式6-3】.（2024高二下·上海徐汇·期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点， 则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等， 于是，解得， 所以t的取值范围是. 故答案为： 【变式6-4】.（2024·湖南·模拟预测）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）由焦点可知， 又一条渐近线方程为 所以， 由可得 ,解得，， 故双曲线的标准方程为 （2）设，AB中点的坐标为 则①，②， ②①得：， 即，又， 所以， 所以直线的方程为，即 【变式6-5】.（2024高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：双曲线的渐近线为，即， 所以， 又焦点到直线的距离，所以， 又，所以，，所以双曲线方程为 （2）解：设，，直线的斜率为，则，， 所以，， 两式相减得，即 即，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以直线的方程为. 【变式6-6】.（2024高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点A.已知直线与直线的斜率之积为3. (1)求A的轨迹； (2)记的左、右焦点分别为、.过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）设，由题意，化简可得 所以A的轨迹为. （2）由题设过定点的直线方程为，将其与 联立有：，消去y得： 因交于、两点，则 . 设，则由韦达定理有：. 又，则， ， 则. 又， ，解得， 则的方程为：或. 【变式6-7】.（2024高二下·全国·开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，分别是线段，，的中点， 所以，． 因为，所以， 所以由双曲线的定义知，解得． 设双曲线的半焦距为（）． 因为，所以， 所以，所以． 所以双曲线的标准方程为． （2）设（），则， 所以，所以，所以． 因为，，所以， 所以，为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$