精品解析：湖北省武汉市硚口区2024～2025学年九年级上学期10月质检数学试卷

2024~2025学年度九年级10月质量检测 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个是正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 一元二次方程中二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ 　） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A. B. C. D. 3. 全国和美乡村篮球大赛——某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，则所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 向阳村2020年的人均收入为12000元，2022年的人均收入为14520元．设人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图是二次函数的图象，表明无论x为何值，函数值y永远为负，则下列结论成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某抛物线形状的大门，先测得门的底部宽度，然后用长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，测得，则门的最高点离地面的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定的位置． 11. 已知是方程的一个根，则的值为_____________． 12. 若，两点在抛物线上，则，的大小关系是__________． 13. 某种植物的主干长出x根支干，每根支干又长出x根小分支，若主干、支干和小分支的总数共133根，依据题意列方程是__________． 14. 如图，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间满足二次函数关系，已知铅球出手处A点离地面，铅球运动到最高位时离地面高度和水平距离都是，则铅球推出的水平距离是__________m． 15. 如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B左侧），连接，P在直线下方抛物线上，当的面积最大时，点P的坐标是__________． 16. 抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于，两点，其中，下列四个结论： ①； ②； ③的解集是； ④，两点在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的结论是__________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17 解方程：． 18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k值． 19. 如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，使其一面靠墙（墙长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边的长为． （1）用含x的代数式表示边的长； （2）若该矩形养殖场的面积为，求边的长． 20. 小铭同学利用计算机画图软件，将二次函数中的a、b、c输入不同的值，从而探索二次函数的性质．图中所示的二次函数的图象与y轴相交于点，与x轴相交于点，． （1）直接写出__________，__________，__________； （2）当时，函数的最大值是__________，最小值是__________； （3）利用图象直接写出不等式的解集． 21. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为自然数），每个月的销售利润为y元． （1）用含x的式子表示：每件商品的单件利润是__________元，每月的销售量为__________件； （2）直接写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围； （3）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 玩具火箭从地面出发，依次沿线段和抛物线的路径运行落到地面．小铭测得玩具火箭距离地面高度y（单位：m）随运行时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表： 运行时间 0 1 2 3 4 6 9 距离地面高度 0 20 40 60 75 75 0 小铭探究发现，玩具火箭运行时间不超过3s时，玩具火箭距离地面高度y与运行时间x成一次函数关系；超过3s后，玩具火箭距离地面高度y与运行时间x成二次函数关系． （1）直接写出y关于x的函数关系式，并画出其图象； （2）求玩具火箭运行8s时，距离地面的高度； （3）玩具火箭在运行过程中，有两个位置的高度比玩具火箭运行的最高点低45m，求该玩具火箭在这两个位置之间运行所用的时间． 23. 在菱形中，，E是边的中点． （1）如图1，点F在边上，，直接写出的大小； （2）如图2，点G在边上，，连接． ①求证：； ②求值． 24. 抛物线经过点，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C． （1）直接写出c的值及点A，B，C的坐标； （2）如图1，连接，点F在抛物线上，满足，求点F的坐标； （3）如图2，向上平移直线交抛物线于M，N两点，直线分别交y轴的负半轴于D，E两点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度九年级10月质量检测 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个是正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 一元二次方程中二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ 　） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】C 【解析】 【分析】找出方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程中二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、、． 故选：C． 2. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 3. 全国和美乡村篮球大赛——某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有支，根据题意，找到等量关系，列出方程即可，根据题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设参加比赛的球队有支， 由题意可得，， 故选：． 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，则所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由二次函数图象平移规律得：平移后的解析式为， 故选：C． 5. 向阳村2020年的人均收入为12000元，2022年的人均收入为14520元．设人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列方程即可． 【详解】解：由题意列方程为：． 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意正确的列出方程是解题的关键． 6. 如图是二次函数的图象，表明无论x为何值，函数值y永远为负，则下列结论成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象在x轴的下方，可得抛物线开口向下，与x轴无交点，即． 【详解】解：∵无论x为何值，函数值y永远为负， ∴函数图象都在轴下方，与轴无交点， ∴，， 故选：D． 7. 如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题关键．设金色纸边的宽为，根据“整个挂图的面积是”列方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为， 由题意得：， 故选：C． 8. 抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令解方程即可． 将点A的坐标为代入得：，然后代入解析式，求出时x的值即可得． 【详解】解：将点A的坐标为代入得： ∴， 令，则有：，即 解得，，， ∴点B的坐标是， 故选：D． 9. 如图，某抛物线形状的大门，先测得门的底部宽度，然后用长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，测得，则门的最高点离地面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数应用，待定系数法求函数解析式，根据所建坐标系，易求、、的坐标，设抛物线解析式为：，把代入，求出抛物线的解析式，再求顶点坐标得高度长，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，建立直角坐标系为： 由题意得，， ∴， ∴点， 设抛物线解析式为：， 把代入，得： ， 解得： ∴抛物线解析式为：， 令，得：， 即， ∴， ∴门的高度约为， 故选：． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据根与系数的关系得到，再由，代值计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定的位置． 11. 已知是方程的一个根，则的值为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的根的知识，理解一元二次方程的根的定义是解题关键．将代入方程，求解即可获得答案． 【详解】解：将代入方程， 可得，解得． 故答案为：3． 12. 若，两点在抛物线上，则，的大小关系是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性，根据二次函数的对称轴为直线，然后利用二次函数的增减性求解，求出对称轴是解题的关键． 【详解】解：， ∴二次函数开口向下，对称轴直线：， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ， 故答案为：． 13. 某种植物的主干长出x根支干，每根支干又长出x根小分支，若主干、支干和小分支的总数共133根，依据题意列方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设每个支干长出个小分支，根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 14. 如图，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间满足二次函数关系，已知铅球出手处A点离地面，铅球运动到最高位时离地面高度和水平距离都是，则铅球推出的水平距离是__________m． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意设与的函数解析为，代入A点坐标即可求得的值，再令，解出方程即可解题． 【详解】解：由题意得，顶点坐标为， ∴设与的函数解析为：， 由题可知：A点坐标为：，将其代入得：， 解得：， 与的函数解析为：， 由题意令得：， 解得：，（舍去）， 铅球推出的水平距离是， 故答案为：． 15. 如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B左侧），连接，P在直线下方抛物线上，当的面积最大时，点P的坐标是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数求最值，解题的关键是利用割补法表示三角形的面积． 先求出，设，由得到，化简得：，由，得当时，的面积取得最大值为，此时． 【详解】解：过点分别作轴的垂线，垂足为， 联立， 解得：或， ∴ 设 ∵， ∴ 化简得：， ∵， ∴当时，的面积取得最大值为， 此时， 故答案为：． 16. 抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于，两点，其中，下列四个结论： ①； ②； ③的解集是； ④，两点在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，不等式的性质，解一元一次不等式，正确理解题意，利用数形结合思想是解题本题的关键． 根据对称轴为直线，其中结合不等式的性质得到，即可判断，将代入得，则，继而①可判断；由，而抛物线开口向上，与轴有两个交点，则将代入得：，即可判断②；对于二次函数与轴一个交点为，与轴交于，而设直线，则与轴一个交点为，与轴交于，画出大致图象可求得解集为或，即可判断③；当，在对称轴左侧时，由随着的增大而减小判断得，与条件矛盾，故舍；当，在对称轴右侧时，条件恒满足；当，在对称轴异侧，只能点在右侧，点在左侧，则由题意得点在点上方，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，故可得到，整理得，而时，，故，解不等式即可判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于，两点， ∴对称轴为直线， ∵其中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 将代入得：， ∴， ∴， ∴①正确； ∵，而抛物线开口向上，与轴有两个交点， ∴将代入得：， ∴②正确； 对于二次函数与轴一个交点为，与轴交于， 而设直线，则与轴一个交点为，与轴交于， 画出大致图象可得： ∴当时， 解集：或， ∴③错误； 对于④：当，在对称轴左侧时，，由随着的增大而减小判断得，与条件矛盾，故舍； 当，在对称轴右侧时，条件恒满足； 当，在对称轴异侧，只能点在右侧，点在左侧，则由题意得点在点上方，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， ∴， 即当时，， 而由题意得：时，， ∴， ∴， ∴， ∴④正确， ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可． 【详解】 ∴ 解得，． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，理解并掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）两个不相等的实根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据根与系数的关系可知，代入得到关于k的一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得：， ∴k的取值范围为； 【小问2详解】 解：由题意得，， ， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴k的值为． 19. 如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，使其一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边的长为． （1）用含x的代数式表示边的长； （2）若该矩形养殖场的面积为，求边的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据各边之间的关系，可得出的长为； （2）根据矩形养殖场的面积为，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵栅栏总长度为，的长为， ∴的长为； 【小问2详解】 解：根据题意得：，整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． ∴． 20. 小铭同学利用计算机画图软件，将二次函数中的a、b、c输入不同的值，从而探索二次函数的性质．图中所示的二次函数的图象与y轴相交于点，与x轴相交于点，． （1）直接写出__________，__________，__________； （2）当时，函数的最大值是__________，最小值是__________； （3）利用图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）1，， （2）0， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数与不等式，二次函数的最值问题，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键． （1）待定系数法即可求解； （2）当时，可知对称轴在此范围内，因此可以知道时，函数取得最小值，再计算到的距离与到的距离，进行比较，进而可求出最大值； （3）利用不等式的解集等价于抛物线在直线上方时，对应的交点的横坐标的取值范围求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与y轴相交于点，与x轴相交于点，， ∴将这三点代入， 得：， 解得：， ∴解析式为， 故答案为：1，，； 【小问2详解】 解：， ∴对称轴为直线， ∵，， ∴当时，函数取得最小值为， ∵， ∴当时，函数取得最大值为， 故答案为：0，； 【小问3详解】 解：记抛物线与直线右边交点为A， 联立， 解得：或， ∴， ∴由图象可得不等式的解集为：或． 21. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为自然数），每个月的销售利润为y元． （1）用含x的式子表示：每件商品的单件利润是__________元，每月的销售量为__________件； （2）直接写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围； （3）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1），； （2），； （3）每件商品的售价为元时，可获得最大利润，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数解析式，列代数式，掌握相关知识是解题的关键．． （1）根据题意可直接列出代数式； （2）销售利润每件商品的利润（上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值； （3）结合（2）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，每件商品的单件利润是元， 每月的销售量为件， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可得： ， ∵每件售价不能高于35元， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知，（，且为整数）， ∵， ∴当时，， ∴每件商品的售价为元时，可获得最大利润，最大利润是元． 22. 玩具火箭从地面出发，依次沿线段和抛物线路径运行落到地面．小铭测得玩具火箭距离地面高度y（单位：m）随运行时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表： 运行时间 0 1 2 3 4 6 9 距离地面高度 0 20 40 60 75 75 0 小铭探究发现，玩具火箭运行时间不超过3s时，玩具火箭距离地面高度y与运行时间x成一次函数关系；超过3s后，玩具火箭距离地面高度y与运行时间x成二次函数关系． （1）直接写出y关于x的函数关系式，并画出其图象； （2）求玩具火箭运行8s时，距离地面的高度； （3）玩具火箭在运行过程中，有两个位置的高度比玩具火箭运行的最高点低45m，求该玩具火箭在这两个位置之间运行所用的时间． 【答案】（1），作图见解析 （2）距离地面高度为35m （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，涉及待定系数法求函数解析式，画函数图象，已知函数值求自变量的值和已知自变量的值求函数值，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）分类讨论，利用待定系数法求函数解析式即可，再描点作图即可； （2）将代入，即可求解； （3）可知顶点为且为最高点，则当有两个位置的高度比玩具火箭运行的最高点低45m时，，将代入，即可求解． 【小问1详解】 解：时，由表格知， ∴设解析式为：， 当， 则， ∴， ∴； 当时，由表格知，，，， 可知对称轴为：直线 设二次函数解析式为： 则， 解得：， ∴二次函数解析式为：， 即：， 综上：y关于x的函数关系式为， 作出图象为： 【小问2详解】 解：玩具火箭运行8s时， 将代入， 得， ∴距离地面高度为35m； 【小问3详解】 解：∵二次函数解析式为：， ∴顶点为且为最高点， ∴当有两个位置的高度比玩具火箭运行的最高点低45m时， ， 将代入得：， 解得：， 将代入， 得：， 解得：或， ∵，故舍， ∴运行时间为：． 23. 在菱形中，，E是边的中点． （1）如图1，点F在边上，，直接写出的大小； （2）如图2，点G在边上，，连接． ①求证：； ②求的值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）连接，则为等边三角形，，由三线合一得，则，再由三角形的内角和定理得； （2）①延长交于点，证明，则，而，因此垂直平分，故，则，即可得到；②过点作交的延长线于点，设，设，则， 故，而，则， ，而，，则在中，由勾股定理得，，解得或（舍），故． 【小问1详解】 解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴，为等边三角形， ∴， ∵E是边的中点 ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①延长交于点， ∵， ∴， ∵E是边的中点 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； ②过点作交的延长线于点， ∵ ∴设，设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 而，， ∴在中，由勾股定理得，， 化简得：， ∴， ∴或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 24. 抛物线经过点，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C． （1）直接写出c的值及点A，B，C的坐标； （2）如图1，连接，点F在抛物线上，满足，求点F的坐标； （3）如图2，向上平移直线交抛物线于M，N两点，直线分别交y轴的负半轴于D，E两点，求证：． 【答案】（1），， （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）将代入即可求出，则得到二次函数解析式，再令，解方程即可求出坐标，令即可求出点坐标； （2）当点在第二象限时，记与轴交于点，证明，则，解得，则，可求直线表达式为：，联立直线表达式和抛物线的解析式得：，解得；当点在第四象限时，如图，由上知，则，此时可证明，，则，故，同上可求直线表达式为：，联立直线表达式与抛物线解析式得：，求得； （3）同（2）可求直线表达式为：，由题意得，，则设直线表达式为：，联立抛物线解析式得：，化简得，设坐标为，则，同上可求直线表达式为：，当时，，而，整理得，故，同理可求：，故，由，得，过点作轴交轴于点，则，故点关于点对称，因此． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点 ∴将代入， 得：， 解得：， ∴解析式为：， 当时，， 解得：或， ∴， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：当点在第二象限时，记与轴交于点 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线表达式为：， 代入坐标得：， 解得：， ∴直线表达式为：， 联立直线表达式和抛物线的解析式得：， 解得：或（舍）， ∴； 当点在第四象限时，如图： 由上知，则， 此时， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上可求直线表达式为：， 联立直线表达式与抛物线解析式得：， 解得：或（舍）， ∴， 综上所述：或； 【小问3详解】 解：∵， ∴同（2）可求直线表达式为：， 由题意得，， ∴设直线表达式为：， 联立抛物线解析式得：， ∴， 设坐标， ∴， ∵， ∴同上可求直线表达式为：， 当时，，而， ∴， ， ∴, 同理可求：， ∴ ∵， ∴， 过点作轴交轴于点， ∴， ∴， ∴点关于点对称， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与角度的综合问题，定值问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，根与系数的关系，等腰三角形的判定等知识点，综合性很强，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $