专题01 分式（考点清单，知识导图+9个考点清单+14个题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（湘教版）

清单01 分式（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】分式的定义及有意义的条件： (1)分式的概念: 一般地，如果A，B都表示整式，且B中含有字母，那么称为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母. (2)分式有意义的条件:对于分式,当B≠0时分式有意义;当B=0时无意义. (3)分式值为零的条件：当A=0且 B≠0 时，分式的值为零 【清单02】分式的基本性质 分式的基本性质: 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 最简分式的定义：分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式 注意:分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式 约分的基本步骤: 1）若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂. 2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式 【清单03】分式的乘法法则 分式的乘法法则：则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母. 即： 法则的运用方法： （1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再 约分； （2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后， 再进行乘法运算； （3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式. 分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带扩号； 第三步：约分，将结果化成最简分式或正式. 【清单04】分式的除法法则 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 法则的运用方法： （1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算； （2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运 算. 分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分； 第二步：将除法转化成乘法； 第三步：利用分式的乘法运算法则计算。 【清单05】分式的乘方法则 分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即对于任意一个正整数n，有 分式乘方法则的运用方法： （1）分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果 符号的方法相同. （2）分式乘方时，一定要将分式的分子、分母分别乘方，不能将错写成 （3）分式乘方时，若分式的分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看做一个整体乘方，避免出现的错误 【清单06】整数指数幂 同底数幂相除的运算法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 用字母表示为=(a≠0,m,n是正整数，且m>n) 特别解读 （1）运用法则的关键有两点：一是底数相同，二是除法运算，二者 缺一不可. （2）底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0. （3）同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除 零次幂: 任何不等于零的数的零次幂都等于1； 零次幂要把握三点： ①底数不为0；②指数为零；③结果是1. 负整数指数幂： (1) 任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数.即(a≠0，n为正整数) (2) 由于,因为(a≠0，n为正整数) 用科学记数法表示绝对值小于1的数时，10的指数时负数，一定不要忘记指数n前面的“-”号. 整数指数幂的运算法则 【清单07】分式的加法和减法 同分母的分式的加减法 1.同分母的分式加、减法运算法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 2.同分母的分式相加减的一般步骤： （1）分母不变，把分子相加减； （2）分子相加减时，应先取括号，再合并同类项； （3）结果应化为最简分式或整式. 3.特别注意：分子相加减就是把各个分子整体相加减，在计算时，各分子都应用括号括起来，若分子是系数为正的单项式，括号可以省略；若分子是多项式，且分子相减时，括号不能省略，否则容易出现符号 错误. 4.警示误区 1）当分母不相同而是相反数时，不能直接相加减，需将分母变为相同，同时，中间的运算符号随之改变； 2）当分子是多项式时，在对分子进行加减时，要带括号，后去括号运算； 3）加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式 分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫做分式的通分. 2.最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 3.通分的一般步骤： （1）确定最简公分母； （2）用最简公分母分别除以各分母求商； （3）用所得的商分别乘相应分式的分子、分母得出同分母分式. 4.确定最简公分母的一般方法： 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由 ①各分母系数的最小公倍数； ②各分母相同字母的最高次幂； ③各分母所有不同字母及其指数的乘积这三部分组成. 如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数，相同因式、不同因式三个方面去确定. 异分母的分式的加减法 1.异分母的分式的加、减法运算法则： 异分母的分式进行加、减法运算时，要先化为同分母的分式，然后再加减. 2.异分母的分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母的分式化为同分母的分式； （2）加减：按照同分母的分式进行加减运算时的一般步骤进行计算； 注意：异分母的分式进行加减运算时的关键是通分. 3.特别提醒 （1）通分时，若要改变某个因式的符号，可利用分式的符号变化规律进行变换； （2）类似同分母的分式相加减，分子是多项式的注意带上括号； （3）最后运算的结果应是最简分式或整式. （4）在通分时，整式看成分母是1，整式作为分子的“分式”，若是多项式时，则看成一个整体；通分时要带上括号. 【清单08】分式的混合运算 1.分式的混合运算顺序： 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，然后 加减，有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号 的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行。 2.分式的混合运算的方法： （1）进行分式混合运算时，可以根据需要合理运用运算律来简化运算，此时需将分式的乘除法统一变成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算率简化运算. （2）运算过程中及时约分简化，有时可使解题过程简单. （3）运算结果是最简分式或整式. 3.方法点拨 （1）分式的计算应先分清运算数学，再按分式的运算法则进行计算，当某一项是整式时，可将此项看成分母为1的式子； （2）分式的混合运算中要注意对各分式中的分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“-”号提到分式的前面； （3）所有的分式运算，结果必须化到最简. 【清单09】可化为一元一次方程的分式方程 分式方程的概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2.判断一个方程是分式方程的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 注意：分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数。 3.特别注意： （1）分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据； （2）识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的基本性质变形. 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程化为整式方程 2.解分式方程的一般步骤： (1)分式方程去分母: 方程两边同乘最简公分母; (2)解整式方程：去括号，移项，合并同类型等； (3)检验： ①最简公分母不为0，是分式方程的解； ②最简公分母为0，不是分式方程的解. 3.检验方程根的方法： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验： （1）将整式方程的解待入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. （2）将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 4.增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 5.特别注意： （1）解分式方程的关键是去分母，去分母时不要漏乘不含分母的项， 当分子是多项式时要用括号扩起来； （2）解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去. （3）对增根的理解： ①增根一定时分式方程化成的整式方程的解； ②若分式方程有增根，则必是使最简分母为0时的未知数的值. 6.去分母时常见三种典型错误： ①分母与最简公分母中的因式不是相同而是相反时，去分母后注意改变符号； ②分子是多项式时，去分母后要带上括号； ③不含分母的项易漏乘最简公分母，且最简公分母是多项式也要带上扩号. 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系： （1）行程问题：速度×时间=路程 （2）工程问题：工作量=工作时间×工作效率； 工作总量=各个分工作量之和 （3）利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价×100% 2.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系；审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系，当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程。 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，若直接设未知数难以列方程， 则可设另一个相关量为未知数，有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程， 还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 【考点题型一】分式的定义及有意义的条件： 【例1】下列式子中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若式子的值为0，则x的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式1-2】若分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．3 C． D．0 【考点题型二】分式的基本性质 【例2】下列各式从左到右的变形中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【变式2-2】把分式的x，y均扩大为原来的10倍后，则分式的值（　　） A．为原分式值的 B．为原分式值的 C．为原分式值的10倍 D．不变 【变式2-3】不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】分式的乘法 【例3】填空： ． 【变式3-1】计算： ． 【变式3-2】化简：． 【变式3-3】数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【考点题型四】分式的除法 【例4】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】分式计算： (1)； (2)． 【考点题型五】分式的乘方 【例5】化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】的结果是（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】同底数幂的除法 【例6】若，则的值为（   ） A．1 B． C． D．9 【变式6-1】．下列各式计算结果为的是（  ） A． B． C． D． 【变式6-2】若，，则的值等于（    ） A．1 B． C． D．6 【变式6-3】如果 ，，那么 ． 【变式6-4】解答题 (1)，则m的值为_____． (2)已知，求的值． 【考点题型七】零次幂、负整数次幂 【例7】若，，则的值等于（    ） A．1 B． C． D．6 【变式7-1】随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占(平方毫米)，用科学记数法表示为（  ）． A． B． C． D． 【变式7-2】负指数幂可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】计算∶ 【变式7-4】计算：． 【考点题型八】整数指数幂的运算 【例8】下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】若，则的值为 ． 【变式8-2】阅读材料：①的任何次幂都等于；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于；④任何不等于零的数的零次幂都等于，试根据以上材料探索使等式：成立的的值为 ． 【变式8-3】计算，并把结果化成只含有正整数指数幂形式为 ． 【变式8-4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型九】分式的加减 【例9】化简的结果是（   ） A． B． C． D．a 【变式9-1】化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 【变式9-2】已知实数满足，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的为（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【变式9-3】计算： ． 【变式9-4】化简分式 的结果是 . 【变式9-5】若 则式子 的值是 ． 【变式9-6】若，，则的值为 ． 【变式9-7】计算 ． 【考点题型十】分式的混合运算 【例10】化简：． 【变式10-1】计算： (1)； (2)； (3) 【变式10-2】计算与化简：． 【考点题型十一】分式的化简求值 【例11】先化简，再求值：，其中． 【变式11-1】先化简，再求代数式的值，其中． 【变式11-2】先化简，再求值：，其中． 【变式11-3】先化简，后求值：，其中． 【变式11-4】化简分式 ，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 【考点题型十二】分式方程的定义及解法 【例12】下列说法正确的是（　　） A．分式方程一定有解 B．分式方程就是含有分母的方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分母中含有字母的方程叫做分式方程 【变式12-1】下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 【变式12-2】解分式方程： (1)； (2)； (3) 【变式12-3】解分式方程： (1) (2) 【考点题型十三】分式方程无解的情况 【例11】已知关于的方程． （1）当 时，此方程的解为； （2）当 时，此方程会产生增根； （3）当此方程的解是正数时，k的取值范围是 ． 【变式13-1】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B．0 C．3 D．0或3 【变式13-2】若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【变式13-3】当 时，关于的方程有增根． 【考点题型十四】分式方程的实际应用 【例14】某生态示范园计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，设原计划每亩平均产量为x万千克，根据题意列方程为 【变式14-1】某施工队要铺设一段全长2000米的管道，中考期间需停工两天，实际施工时，每天需比原来计划多铺设50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米，设原计划每天施工x米，则根据题意可列方程为 ． 【变式14-2】某商家预测“华为”手机能畅销，就用1600元购进一批该型号手机壳，面市后果然供不应求，又购进6000元的同种型号手机壳，第二批所购买手机壳的数量是第一批的3倍，但进货单价比第一批贵了2元．求第一批手机壳的进货单价是多少元？ 【变式14-3】为了扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，我市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后又花费9600元购进第二批面粉，第二批面粉采购量是第一批的1.5倍，但每千克面粉的价格提高了0.4元，求第一批面粉的采购量为多少？ 【变式14-4】甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米/天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 方案：计划18千米按每天施工千米完成，剩下的18千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的地为正整数，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 分式（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】分式的定义及有意义的条件： (1)分式的概念: 一般地，如果A，B都表示整式，且B中含有字母，那么称为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母. (2)分式有意义的条件:对于分式,当B≠0时分式有意义;当B=0时无意义. (3)分式值为零的条件：当A=0且 B≠0 时，分式的值为零 【清单02】分式的基本性质 分式的基本性质: 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 最简分式的定义：分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式 注意:分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式 约分的基本步骤: 1）若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂. 2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式 【清单03】分式的乘法法则 分式的乘法法则：则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母. 即： 法则的运用方法： （1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再 约分； （2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后， 再进行乘法运算； （3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式. 分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带扩号； 第三步：约分，将结果化成最简分式或正式. 【清单04】分式的除法法则 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 法则的运用方法： （1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算； （2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运 算. 分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分； 第二步：将除法转化成乘法； 第三步：利用分式的乘法运算法则计算。 【清单05】分式的乘方法则 分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即对于任意一个正整数n，有 分式乘方法则的运用方法： （1）分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果 符号的方法相同. （2）分式乘方时，一定要将分式的分子、分母分别乘方，不能将错写成 （3）分式乘方时，若分式的分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看做一个整体乘方，避免出现的错误 【清单06】整数指数幂 同底数幂相除的运算法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 用字母表示为=(a≠0,m,n是正整数，且m>n) 特别解读 （1）运用法则的关键有两点：一是底数相同，二是除法运算，二者 缺一不可. （2）底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0. （3）同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除 零次幂: 任何不等于零的数的零次幂都等于1； 零次幂要把握三点： ①底数不为0；②指数为零；③结果是1. 负整数指数幂： (1) 任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数.即(a≠0，n为正整数) (2) 由于,因为(a≠0，n为正整数) 用科学记数法表示绝对值小于1的数时，10的指数时负数，一定不要忘记指数n前面的“-”号. 整数指数幂的运算法则 【清单07】分式的加法和减法 同分母的分式的加减法 1.同分母的分式加、减法运算法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 2.同分母的分式相加减的一般步骤： （1）分母不变，把分子相加减； （2）分子相加减时，应先取括号，再合并同类项； （3）结果应化为最简分式或整式. 3.特别注意：分子相加减就是把各个分子整体相加减，在计算时，各分子都应用括号括起来，若分子是系数为正的单项式，括号可以省略；若分子是多项式，且分子相减时，括号不能省略，否则容易出现符号 错误. 4.警示误区 1）当分母不相同而是相反数时，不能直接相加减，需将分母变为相同，同时，中间的运算符号随之改变； 2）当分子是多项式时，在对分子进行加减时，要带括号，后去括号运算； 3）加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式 分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫做分式的通分. 2.最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 3.通分的一般步骤： （1）确定最简公分母； （2）用最简公分母分别除以各分母求商； （3）用所得的商分别乘相应分式的分子、分母得出同分母分式. 4.确定最简公分母的一般方法： 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由 ①各分母系数的最小公倍数； ②各分母相同字母的最高次幂； ③各分母所有不同字母及其指数的乘积这三部分组成. 如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数，相同因式、不同因式三个方面去确定. 异分母的分式的加减法 1.异分母的分式的加、减法运算法则： 异分母的分式进行加、减法运算时，要先化为同分母的分式，然后再加减. 2.异分母的分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母的分式化为同分母的分式； （2）加减：按照同分母的分式进行加减运算时的一般步骤进行计算； 注意：异分母的分式进行加减运算时的关键是通分. 3.特别提醒 （1）通分时，若要改变某个因式的符号，可利用分式的符号变化规律进行变换； （2）类似同分母的分式相加减，分子是多项式的注意带上括号； （3）最后运算的结果应是最简分式或整式. （4）在通分时，整式看成分母是1，整式作为分子的“分式”，若是多项式时，则看成一个整体；通分时要带上括号. 【清单08】分式的混合运算 1.分式的混合运算顺序： 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，然后 加减，有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号 的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行。 2.分式的混合运算的方法： （1）进行分式混合运算时，可以根据需要合理运用运算律来简化运算，此时需将分式的乘除法统一变成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算率简化运算. （2）运算过程中及时约分简化，有时可使解题过程简单. （3）运算结果是最简分式或整式. 3.方法点拨 （1）分式的计算应先分清运算数学，再按分式的运算法则进行计算，当某一项是整式时，可将此项看成分母为1的式子； （2）分式的混合运算中要注意对各分式中的分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“-”号提到分式的前面； （3）所有的分式运算，结果必须化到最简. 【清单09】可化为一元一次方程的分式方程 分式方程的概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2.判断一个方程是分式方程的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 注意：分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数。 3.特别注意： （1）分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据； （2）识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的基本性质变形. 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程化为整式方程 2.解分式方程的一般步骤： (1)分式方程去分母: 方程两边同乘最简公分母; (2)解整式方程：去括号，移项，合并同类型等； (3)检验： ①最简公分母不为0，是分式方程的解； ②最简公分母为0，不是分式方程的解. 3.检验方程根的方法： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验： （1）将整式方程的解待入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. （2）将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 4.增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 5.特别注意： （1）解分式方程的关键是去分母，去分母时不要漏乘不含分母的项， 当分子是多项式时要用括号扩起来； （2）解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去. （3）对增根的理解： ①增根一定时分式方程化成的整式方程的解； ②若分式方程有增根，则必是使最简分母为0时的未知数的值. 6.去分母时常见三种典型错误： ①分母与最简公分母中的因式不是相同而是相反时，去分母后注意改变符号； ②分子是多项式时，去分母后要带上括号； ③不含分母的项易漏乘最简公分母，且最简公分母是多项式也要带上扩号. 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系： （1）行程问题：速度×时间=路程 （2）工程问题：工作量=工作时间×工作效率； 工作总量=各个分工作量之和 （3）利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价×100% 2.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系；审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系，当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程。 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，若直接设未知数难以列方程， 则可设另一个相关量为未知数，有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程， 还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 【考点题型一】分式的定义及有意义的条件： 【例1】下列式子中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握形如（其中为整式，且分母中含有字母）的式子叫做分式是解题的关键. 根据分式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是分式，故不符合题意； B、不是分式，故不符合题意； C、不是分式，故不符合题意； D、是分式，故符合题意， 故选：D． 【变式1-1】若式子的值为0，则x的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式有意义的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式1-2】若分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零则分子为零分母不为零是解题关键． 直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：． 故选：A． 【考点题型二】分式的基本性质 【例2】下列各式从左到右的变形中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的约分化简，分式的基本性质的应用，根据分式的约分化简以及分式的基本性质，对照选项逐一验证即可，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故A正确，不符合题意； B、，故B正确，不符合题意； C、，故C正确，不符合题意； D、和都为最简分式，不能化简，故，故D错误，符合题意， 故选：D． 【变式2-1】使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质选择作答即可． 【详解】解：使得等式成立的的取值范围为． 故选：D． 【变式2-2】把分式的x，y均扩大为原来的10倍后，则分式的值（　　） A．为原分式值的 B．为原分式值的 C．为原分式值的10倍 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质化简分式是解答的关键． 将所给分式里的x、y换成、，利用分式的基本性质化简分式，与原分式比较即可求解． 【详解】解析：x、y均扩大为原来的10倍后， ∴ 故选：A． 【变式2-3】不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 【变式2-4】在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据分子分母没有公因式的分式是最简分式逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，不是最简分式，不合题意； 、是最简分式，符合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 故选：． 【考点题型三】分式的乘法 【例3】填空： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3-1】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3-2】化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，关键是掌握分式的乘法、因式分解相关运算方法． 先因式分解，再约分即可． 【详解】解：原式． 【变式3-3】数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上点的平移：向左平移，表示的数减小，向右平移，表示的数增大，平移距离等于增加或减少的数，向右平移7个单位，即增加7，向左平移就减少7．掌握数轴上的点平移法则是解题关键． 【详解】解：如果A向右平移得到，点B表示的数是：， 如果A向左平移得到，点B表示的数是：， ∴点B表示的数是4或． 故答案为：4或． 【考点题型四】分式的除法 【例4】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的除法运算法则，把除法化成乘法，然后约分化简即可． 本题考查了分式的除法运算，掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】 ． 故选：B． 【变式4-1】计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，直接根据分式的除法计算法则求解即可． 【详解】解： 故选 D． 【变式4-2】分式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）先把除法转换为乘法，同时因式分解，然后约分即可； （2）先计算分式的乘方，同时把除法转换为乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解∶ 原式 ； （2）解：原式 ． 【考点题型五】分式的乘方 【例5】化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的乘方．熟练掌握分式乘方的法则，幂乘方法则，是解决问题的关键．分式乘方等于分子分母分别乘方，幂乘方底数不变，指数相乘． 运用分式乘方的法则和幂乘方的法则逐一判定，即得． 【详解】A、，∴A不正确； B、，∴B不正确； C、，∴C不正确； D、，∴D正确． 故选：D． 【变式5-1】化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的乘方的运算方法，分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方，据此求出化简的结果即可． 【详解】． 故选：D． 【变式5-2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合运算，先计算乘方运算，然后把除法转化为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式5-3】的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再计算乘除法即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【考点题型六】同底数幂的除法 【例6】若，则的值为（   ） A．1 B． C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，幂的乘方的逆运算，先根据幂的乘方的逆运算法则得到，再由同底数幂除法计算法则得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-1】．下列各式计算结果为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是掌握相关知识．根据同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不合题意； B、，故该选项不合题意； C、，故该选项不合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式6-2】若，，则的值等于（    ） A．1 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用．根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 【变式6-3】如果 ，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，，即可求出答案． 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， 【变式6-4】解答题 (1)，则m的值为_____． (2)已知，求的值． 【答案】(1)2 (2)200 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除、代数式求值，灵活运用相关幂的运算是解答的关键． （1）根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的运算法则求解即可； （2）根据幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则的逆运算求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，解得， 故答案为：2； （2）解：∵， ∴ ． 【考点题型七】零次幂、负整数次幂 【例7】若，，则的值等于（    ） A．1 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用．根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 【变式7-1】随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占(平方毫米)，用科学记数法表示为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法可表示为． 故选：C． 【变式7-2】负指数幂可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，同底数幂相除，先分别把每个选项的算式计算出结果再与进行比较，即可作答． 【详解】解： A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 【变式7-3】计算∶ ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握相关的知识．根据零指数幂和负整数指数幂的定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式7-4】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可． 【详解】原式 ． 【考点题型八】整数指数幂的运算 【例8】下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了整式的运算，分式的约分，掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，单项式除以单项式，积的乘方及分式约分逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 【变式8-1】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，整数指数幂的运算，负指数幂，解二元一次方程组等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘法法则及整数指数幂的法则分别计算等式左右两边，即可求得m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，， ， 解得： ， 故答案为：． 【变式8-2】阅读材料：①的任何次幂都等于；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于；④任何不等于零的数的零次幂都等于，试根据以上材料探索使等式：成立的的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是乘方运算，分类讨论的思想是解题的关键．分三种情况：当时，当时，当时，根据的乘方，的乘方，非零的数的零次幂，可得答案． 【详解】解：①当时， 解得：， 此时，则， ； ②当时， 解得：， 此时，则（， ； ③当时， 解得：， 此时，则， ； 综上所述，当，或，或时，代数式成立． 故答案为：或或． 【变式8-3】计算，并把结果化成只含有正整数指数幂形式为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查幂的乘方，正整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式8-4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是整数指数幂的运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先按照积的乘方运算法则进行计算，再化为张整数指数幂的形式即可； （2）先按照积的乘方，同底数幂的运算法则进行计算，再化为张整数指数幂的形式即可； （3）先按照积的乘方，再计算同底数幂的除法，再化为张整数指数幂的形式即可； （4）先按照积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算，再化为科学记数法的形式即可； 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ； （4） ； 【考点题型九】分式的加减 【例9】化简的结果是（   ） A． B． C． D．a 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减． 【详解】解：． 故选D． 【变式9-1】化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减． 【详解】解：． 故选C． 【变式9-2】已知实数满足，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的为（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减、求代数式的值，由得出即可判断①；由结合得出，代入计算即可判断②；由得出，结合即可判断③；由得出，结合，代入计算即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，故②正确； ， ，， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ， ， 解得：，故④错误， 综上所述，正确的是①②③， 故选：C． 【变式9-3】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用同分母的分式加减法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故答案为∶ ． 【变式9-4】化简分式 的结果是 . 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据异分母分式加减运算法则，先通分，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式9-5】若 则式子 的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，代入求值，先通分计算得，再根据已知条件进行变形得，最后代入计算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故答案为： ． 【变式9-6】若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算求值，根据异分母分式加法运算法则进行运算，然后把，代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-7】计算 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的加减，根据分式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【考点题型十】分式的混合运算 【例10】化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减混和运算，根据分式的加减混和运算的法则计算是解决问题的关键． 【详解】解： ． 【变式10-1】计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂相乘，多项式乘多项式，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方、同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）运用多项式乘多项式的法则进行计算，即可作答． （3）先通分括号内得，再运算除法，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式10-2】计算与化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先算括号内的减法，再算除法即可． 【详解】解：， = 【考点题型十一】分式的化简求值 【例11】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据异分母分式相加减的法则进行计算即可． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握异分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式11-1】先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】，1． 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式11-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题主要考查了分式化简求值，将原式进行因式分解化简是解题关键．先计算括号内异分母减法，再将原式的分子、分母进行因式分解，再将除法化乘法，化简后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式11-3】先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式11-4】化简分式 ，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值及使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴原式． 【考点题型十二】分式方程的定义及解法 【例12】下列说法正确的是（　　） A．分式方程一定有解 B．分式方程就是含有分母的方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分母中含有字母的方程叫做分式方程 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程判断即可． 【详解】A、分式方程有无解的情况，故该选项错误； B、分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故该选项错误； C、分式方程中，分母中一定含有未知数，故该选项正确； D、分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故该选项错误； 故选：C． 【变式12-1】下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是分式方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、不是分式方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意； 故选：C． 【变式12-2】解分式方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法，注意最后对方程的解进行检验． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （3）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【变式12-3】解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解； (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根 （1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可； （2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可． 【详解】（1）解：去分母得， 解得， 当时， ， 所以原方程无解； （2）解：去分母得， 解得， 当时， ， 所以是原方程的解； 【考点题型十三】分式方程无解的情况 【例11】已知关于的方程． （1）当 时，此方程的解为； （2）当 时，此方程会产生增根； （3）当此方程的解是正数时，k的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查含参数的分式方程，熟练掌握解分式方程以及根据分式方程解的情况确定分式方程中的参数的方法是解题的关键． （1）先化简分式方程为，将代入求解即可； （2）当时可产生增根，即时，代入求解即可； （3）结合解为正数且没有增根，得且，求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并，得：， 系数化为1，得：， （1）∵方程的解为：， ∴，解得：， 故答案为：； （2）∵方程会产生增根， ∴， ∴， ∴， 解得： 故答案为：； （3）∵方程的解是正数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 【变式13-1】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B．0 C．3 D．0或3 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值． 【详解】解：分式方程， 去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：A． 【变式13-2】若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，分两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， ∵最简公分母， ， 当时，得， 综上的值为1或． 故答案为：1或． 【变式13-3】当 时，关于的方程有增根． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据解分式方程的一般步骤，化为整式方程，根据分式方程有增根使分母为的的值，可得的值．熟练掌握分式方程的解法，理解增根定义是解决问题的关键． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， 分式方程有增根，则，解得， ，解得， 故答案为：． 【考点题型十四】分式方程的实际应用 【例14】某生态示范园计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，设原计划每亩平均产量为x万千克，根据题意列方程为 【答案】 【分析】根据种植亩数总产量平均亩产量，结合改良后的种植面积比原计划少亩，即可列出关于的方程． 【详解】原计划种植亩数为改良后种植亩数为根据题意，得 故答案为：． 【变式14-1】某施工队要铺设一段全长2000米的管道，中考期间需停工两天，实际施工时，每天需比原来计划多铺设50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米，设原计划每天施工x米，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天施工x米，则实际每天施工米，再根据实际比原计划少施工两天列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工米， 由题意得，， 故答案为：． 【变式14-2】某商家预测“华为”手机能畅销，就用1600元购进一批该型号手机壳，面市后果然供不应求，又购进6000元的同种型号手机壳，第二批所购买手机壳的数量是第一批的3倍，但进货单价比第一批贵了2元．求第一批手机壳的进货单价是多少元？ 【答案】第一批手机壳的进货单价是8元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设第一批手机壳的进货单价是x元，则第二批手机壳的进货单价是元，根据第二批所购买手机壳的数量是第一批的3倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设第一批手机壳的进货单价是x元，则第二批手机壳的进货单价是元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， 答：第一批手机壳的进货单价是8元． 【变式14-3】为了扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，我市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后又花费9600元购进第二批面粉，第二批面粉采购量是第一批的1.5倍，但每千克面粉的价格提高了0.4元，求第一批面粉的采购量为多少？ 【答案】第一批面粉的采购量为1000千克 【分析】根据第二批面粉比第一批面粉的每千克面粉价格提高了0.4元列方程即可．本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意得：设第一批面粉的采购量为千克， ． ， ， ， 经检验：是原分式方程的解， ∴第一批面粉的采购量为1000千克． 【变式14-4】甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米/天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 方案：计划18千米按每天施工千米完成，剩下的18千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的地为正整数，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 【答案】(1)甲工程队完成施工任务需要5天； (2)乙工程队应采取B方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算： （1）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，结合从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天列出方程求解即可． （2）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：x＝， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲工程队完成施工任务需要5天； （2）解：乙工程队应采取B方案，理由如下： 根据题意得： ； ． ∴ ． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴乙工程队应采取B方案； 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