专题02 三角形（考点清单，知识导图+6个考点清单+17个题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（湘教版）

清单02 三角形（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】三角形 1. 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边 2. 三角形的分类 3.三角形的主要线段的定义 （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线. 2.BD=DC=BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的重心。 ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线. 2.∠1=∠2=∠BAC. 注意： ①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的内心。④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线. 2.AD⊥BC于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外； ③三角形三条高所在直线交于一点．这个点叫做三角形的垂心。 4 三角形的角与角之间的关系：图8 (1)三角形三个内角的和等于180; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 5.三角形的内角和定理 定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。 6.三角形外角的性质 （1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． 【清单02】命题与证明 1. 命题 (1)定义:对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫作命题 (2)结构形式:命题都是由条件和结论两部分组成(3)表达形式:命题都可以写成“如果那么.::·:弓的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论 2.逆命题 将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可以得到原命题的逆命题 3.真命题和假命题 正确的命题为真命题，错误的命题为假命题 4.证明与图形有关命题的步骤(1)画出图形;(2)写出已知、求证;(3)写出证明过程 5.反证法的步骤 (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立: (2)从假设出发，经过推理得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确从而肯定原命题的结论正确 【清单03】等腰三角形的性质与判定 1. 等腰（边）三角形的性质 2. 等腰（边）三角形的判定方法 【清单04】线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质定理线段垂 直平分线上的点到线段两端的距离相等 2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定） 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 【清单05】全等三角形 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 全等三角形的判定定理: (1) 边边边(SSS):三边对应相等的两个三角形全等 (2) 边角边(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (3) 角边角(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,(4)角角边(AAS):两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 【清单06】尺规作图 【考点题型一】三角形的定义及三边关系： 【例1】如图，在长方形的纸片上画出，按下列方式折叠，能得到边上的高的是（   ） A．对折边，使点B与点C重合，则高在折痕上 B．沿着过A点的直线对折，使点C落在直线上，则高在折痕上 C．沿着过B点的直线对折，使得边与边重合，则高在折痕上 D．延长，并沿着过B点的直线折叠，使得C落在直线上，则高在折痕上 【变式1-1】图中共有三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如果三角形的三个内角的度数比是，则它是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【变式1-3】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，，11 【变式1-4】如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【变式1-5】如图，为估计池塘两岸A、B两点间的距离，小奇在池塘一侧选取了一点P．分别测得，，若A、B间的距离长度为偶数（单位：），那么A、B间的最大距离是 ． 【考点题型二】三角形三条重要线段 【例2】如图，在中，，分别为边上的高线和的角平分线，于点F，当，时，的度数为（        ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，是的中线，若的周长比的周长大，，那么的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】在中，为的中线，，，则 ． 【变式2-3】如图，在中，，是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【考点题型三】三角形的内角和定理 【例3】．如图，在中，平分交于点E，交于点D，，则的度数（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】在物理学中，过入射点垂直于镜面的直线叫做法线，光线在镜面上反射时，反射光线与法线的夹角和入射光线与法线的夹角相等，如图，两束光线，分别从不同方向射向镜面，入射点为A和，，为法线，，的反射光线相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若三个角的大小满足条件，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图所示，在中，已知是角平分线，，，点，求的度数． 【考点题型四】三角形的外角性质 【例4】如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 【变式4-1】如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】若一个三角形的3个内角的度数之比，则与之对应的3个外角的度数之比为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在中，，是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【考点题型五】命题与证明 【例5】对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（        ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】命题“线段的中点到这条线段两端的距离相等”的逆命题是 ． 【变式5-2】请用“如果……那么……”的形式，写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ． 【考点题型六】等腰三角形的性质 【例6】若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为（   ） A． B． C． D．或 【变式6-1】如图，在中，，点D，E，F在的边上，，，则的面积是 ． 【变式6-2】等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 ． 【变式6-3】若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是 ． 【考点题型七】等腰三角形的判定 【例7】已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【变式7-1】已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 【变式7-2】如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M．求证：是等腰三角形； 【变式7-3】如图，中，，是内一点，连接，，求证：． 【考点题型八】等边三角形的性质 【例8】若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 【变式8-1】如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【变式8-2】如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 【变式8-3】如图，为等边三角形，，，求的度数． 【考点题型九】等边三角形的判定 【例9】如图，是等边三角形，绕点B旋转后能与重合．连接，是什么三角形？请说明理由． 【变式9-1】如图所示，在直角三角形中，，将沿直线向右平移得到，连接，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．， B． C． D．为等边三角形 【变式9-2】如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，平分，请判断的形状并说明理由． 【变式9-3】如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 【考点题型十】线段垂直平分线的性质 【例10】如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10-1】如图，在中，，，点为边的垂直平分线上一点，若，则周长的最小值为 ． 【变式10-2】如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，若的周长为2，则的长是 ． 【变式10-3】如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、G，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，，则 ．    【变式10-4】如图，中，垂直平分，交于点，交于点，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若的周长为26，求的长； (3)若，（其中）求的周长．（用含有的代数式表示） 【考点题型十一】全等三角形的性质 【例11】有下列说法：等边三角形是等腰三角形；三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心；连接多边形的两个顶点的线段叫做多边形的对角线；三角形的三条高相交于一点；各边都相等的多边形为正多边形；所有的等边三角形全等，其中正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 【变式11-1】如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式11-2】．下列说法正确的是（   ） A．一个三角形中最多有一个钝角 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心 【变式11-3】如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式11-4】如图所示的两个三角形全等，已知某些边的长度和某些角的度数，求x的值．则x应等于（        ） A． B． C． D． 【考点题型十二】用SAS证明三角形全等 【例12】如图，已知，，，求证：． 【变式12-1】如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点O固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是（　　）        A． SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【变式12-2】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，．求证：． 【变式12-3】如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，，，．求证：． 【考点题型十三】用ASA和AAS证明三角形全等 【例11】如图，小明不小心把一块三角形的陶瓷片打碎成了三块，他经过思考，决定只带碎片①去商店配一块与原来一样的三角形陶瓷片．他用到的判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【变式13-3】如图，，垂足为点，．求证：． 【考点题型十四】用SSS证明三角形全等 【例14】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（        ） A． B． C． D． 【变式14-1】如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 【变式14-3】如图，在的边上取一点D，连接，在边的延长线上截取，点F在边下方，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且的面积为1，则四边形的面积为 ． 【考点题型十五】灵活使用判定方法证全等 【例15】如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【变式15-1】如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【变式15-2】如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 【变式15-3】如图，，于点D，，平分交于点F． (1)求证： (2)直接写出图中所有全等三角形（除外）． 【考点题型十六】全等三角形的辅助线问题 【例16】如图，在△和△中，，，．连接，取中点，连接，求证：为等腰直角三角形． 【变式16-1】【数学思考】 （1）在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点B作的平行线，交的长线于点E，发现DE的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点D，E在边上，，过点E作，交的角平分线于点F，试判断EF与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交BA的延长线于点G，若，，则的长度． 【变式16-2】如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 【考点题型十七】尺规作图 【例17】如图，中，． (1)以点为顶点，作（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（）的条件下，证明：． 【变式17-1】如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式17-2】如图，已知，点C在上． (1)在的右侧作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)与平行吗？ 为什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 三角形（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】三角形 1. 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边 2. 三角形的分类 3.三角形的主要线段的定义 （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线. 2.BD=DC=BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的重心。 ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线. 2.∠1=∠2=∠BAC. 注意： ①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的内心。④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线. 2.AD⊥BC于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外； ③三角形三条高所在直线交于一点．这个点叫做三角形的垂心。 4 三角形的角与角之间的关系：图8 (1)三角形三个内角的和等于180; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 5.三角形的内角和定理 定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。 6.三角形外角的性质 （1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． 【清单02】命题与证明 1. 命题 (1)定义:对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫作命题 (2)结构形式:命题都是由条件和结论两部分组成(3)表达形式:命题都可以写成“如果那么.::·:弓的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论 2.逆命题 将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可以得到原命题的逆命题 3.真命题和假命题 正确的命题为真命题，错误的命题为假命题 4.证明与图形有关命题的步骤(1)画出图形;(2)写出已知、求证;(3)写出证明过程 5.反证法的步骤 (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立: (2)从假设出发，经过推理得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确从而肯定原命题的结论正确 【清单03】等腰三角形的性质与判定 1. 等腰（边）三角形的性质 2. 等腰（边）三角形的判定方法 【清单04】线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质定理线段垂 直平分线上的点到线段两端的距离相等 2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定） 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 【清单05】全等三角形 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 全等三角形的判定定理: (1) 边边边(SSS):三边对应相等的两个三角形全等 (2) 边角边(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (3) 角边角(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,(4)角角边(AAS):两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 【清单06】尺规作图 【考点题型一】三角形的定义及三边关系： 【例1】如图，在长方形的纸片上画出，按下列方式折叠，能得到边上的高的是（   ） A．对折边，使点B与点C重合，则高在折痕上 B．沿着过A点的直线对折，使点C落在直线上，则高在折痕上 C．沿着过B点的直线对折，使得边与边重合，则高在折痕上 D．延长，并沿着过B点的直线折叠，使得C落在直线上，则高在折痕上 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质与三角形的相关知识，根据折叠的性质与三角形的高，角平分线等知识一一判断即可． 【详解】解：．对折边，使点B与点C重合，则的垂直平分线在折痕上，故该选项不符合题意； ．沿着过A点的直线对折，使点C落在直线上，则边上的高在折痕上 ，故该选项不符合题意； ．沿着过B点的直线对折，使得边与边重合，则的平分线在折痕上，故该选项不符合题意； ．延长，并沿着过B点的直线折叠，使得C落在直线上，则上的高在折痕上 ，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】图中共有三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握三角形的定义和按一定规律数是解决本题的关键．根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数． 【详解】图中有：，，，，，共个， 故选：B． 【变式1-2】如果三角形的三个内角的度数比是，则它是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，能求出这个三角形最大内角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于． 根据三角形内角和定理和已知求出这个三角形的最大内角的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵三角形三个内角的度数比是， ∴这个三角形的最大角的度数为 ∴这个三角形是直角三角形． 故选：C． 【变式1-3】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，，11 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据两条短边之和大于最长的边和两边之差小于第三边逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、，能组成三角形，故本选项符合题意； D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-4】如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了三角形的有关概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：；． 【变式1-5】如图，为估计池塘两岸A、B两点间的距离，小奇在池塘一侧选取了一点P．分别测得，，若A、B间的距离长度为偶数（单位：），那么A、B间的最大距离是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边的关系求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边的关系可得， ∵，， ∴，即， ∵A、B间的距离长度为偶数， ∴A、B间的最大距离是， 故答案为：10． 【考点题型二】三角形三条重要线段 【例2】如图，在中，，分别为边上的高线和的角平分线，于点F，当，时，的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理等．根据题意先计算出，再计算出，继而得到，再利用角平分线定义得， 再利用三角形内角和计算． 【详解】解：∵分别为边上的高线和的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-1】如图，是的中线，若的周长比的周长大，，那么的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个顶点与对边中点的连线是三角形的中线． 根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故选C． 【变式2-2】在中，为的中线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积得到，再由即可得到． 【详解】解：∵在中，为的中线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】如图，在中，，是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先利用面积法求出的长，然后根据三角形的中线定义即可求解； （）先通过三角形的外角性质，从而求出，由角平分线的定义得，最后通过外角性质和直角三角形的性质即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，三角形角平分线和三角形外角的性质，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴； （2）解：∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型三】三角形的内角和定理 【例3】．如图，在中，平分交于点E，交于点D，，则的度数（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理与内外角关系，设，表示出，，结合内外角关系求解即可得到答案； 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-1】在物理学中，过入射点垂直于镜面的直线叫做法线，光线在镜面上反射时，反射光线与法线的夹角和入射光线与法线的夹角相等，如图，两束光线，分别从不同方向射向镜面，入射点为A和，，为法线，，的反射光线相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，三角形内角和定理．熟练掌握余角，三角形内角和定理是解题的关键． 如图，由题意知，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ∴， 故选：C． 【变式3-2】若三个角的大小满足条件，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形内角和定理和一元一次方程的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 根据题意设，，，由三角形内角和定理得到，列方程为，求出x的值，即可得到的大小． 【详解】解：设，，，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式3-3】如图所示，在中，已知是角平分线，，，点，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理得，再根据角平分线的定义可得，由得继而利用三角形内角和定理即可求得度数，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型四】三角形的外角性质 【例4】如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 【答案】(1)１； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形高的定义，三角形外角的性质和角平分线的定义： （1）根据三角形周长计算公式可得到与的周长差为：，再由三角形中线的定义得到，据此代值计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，根据根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵的周长为：，的周长为：， ∴与的周长差为：， ∵是的中线， ∴． 又∵，， ∴， 即与的周长差为1． （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ 【变式4-1】如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质、三角形外角的性质； 根据折叠的性质可得，根据平角等于用表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用与表示出，然后利用三角形的内角和等于列式整理即可解答． 【详解】解：如图： 由折叠得，， 又∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式4-2】若一个三角形的3个内角的度数之比，则与之对应的3个外角的度数之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和，外角的性质，根据比例可求出三角形各个内角的度数，可得对应外角的度数，再进行计算即可求解． 【详解】解：∵三角形3个内角的度数之比为， ∴设三个角分别为， ∴， 解得，， ∴三角形的三个内角的度数分别为， ∴对应的外角的度数分别为， ∴， 故选：C ． 【变式4-3】如图，在中，，是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先利用面积法求出的长，然后根据三角形的中线定义即可求解； （）先通过三角形的外角性质，从而求出，由角平分线的定义得，最后通过外角性质和直角三角形的性质即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，三角形角平分线和三角形外角的性质，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴； （2）解：∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型五】命题与证明 【例5】对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（        ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理的知识．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，符合题意， ∴当，时，不符合若，不符合题意， 故选：C． 【变式5-1】命题“线段的中点到这条线段两端的距离相等”的逆命题是 ． 【答案】如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点 【分析】本题考查写原命题的逆命题．根据题意将原命题的结论作为新命题的条件，原命题的条件作为新命题的结论，写成“如果．．．那么．．．”的形式即为原命题的逆命题． 【详解】解：∵线段的中点到这条线段两端的距离相等， ∴原命题为：如果这个点是线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等， ∴逆命题为：如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点， 故答案为：如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点． 【变式5-2】请用“如果……那么……”的形式，写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ． 【答案】如果三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 【分析】本题主要考查逆命题，先用“如果……那么……”的形式将“直角三角形的两个锐角互余”表述为：如果三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角互余，根据逆命题的定义，即可求得答案． 【详解】解：“直角三角形的两个锐角互余”用“如果……那么……”的形式表述为：如果三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角互余， 逆命题为：如果三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：如果三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 【考点题型六】等腰三角形的性质 【例6】若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理根据外角为可得相邻的内角为，然后分当是顶角和底角两种情况分析，结合三角形的内角和定理即可求得结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵等腰三角形的一个外角为， ∴相邻的内角为， 当为顶角时，顶角的度数是， 当为底角时，顶角的度数是， 综上可知：顶角的度数是或， 故选：． 【变式6-1】如图，在中，，点D，E，F在的边上，，，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出是解答本题的关键．由三角形内角和定理得，由等腰三角形的性质得，，从而可求，得出，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：4． 【变式6-2】等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 ． 【答案】6或8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和12两部分，然后分别列方程求解即可． 【详解】解：设腰长为x，底边长为y， 由题意知，周长的两部分为9和12， 则或， 解得：或； 经检验，都符合三角形的三边关系． 所以等腰三角形的腰长为6或8． 故答案为：6或8． 【变式6-3】若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是 ． 【答案】15或18 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分当腰长为时，当腰长为时，根据等腰三角形的定义确定等腰三角形的三边长，再根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此等腰三角形的周长为； 当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为或， 故答案为：15或18． 【考点题型七】等腰三角形的判定 【例7】已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 【变式7-1】已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，分式的运算，根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 或， 或， ∴一定是腰长为的等腰三角形， 故选：C． 【变式7-2】如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M．求证：是等腰三角形； 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据题意和图形，可以求得，然后即可证明结论成立． 【详解】证明：平分， ， ，， ，， ， ， ， ， ∴是等腰三角形． 【变式7-3】如图，中，，是内一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形判定和性质，解答此题可将绕点A顺时针旋转到的位置，使和重合，变为，连接，可得，从而可得，然后再结合已知代换可得，从而可得． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转到的位置，使和重合，变为，连接， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型八】等边三角形的性质 【例8】若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形三条边相等得到，据此根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解；∵等边三角形的边长是， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 【变式8-1】如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    【变式8-2】如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，根据题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式8-3】如图，为等边三角形，，，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 的度数为． 【考点题型九】等边三角形的判定 【例9】如图，是等边三角形，绕点B旋转后能与重合．连接，是什么三角形？请说明理由． 【答案】等边三角形．见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，旋转的性质．根据旋转角和对应边相等可判断是等边三角形． 【详解】解：等边三角形． ∵旋转后能与重合， ∴旋转角为，即，， ∴等边三角形． 【变式9-1】如图所示，在直角三角形中，，将沿直线向右平移得到，连接，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．， B． C． D．为等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质．利用平移的性质可对A选项和B选项进行判断；先利用平移的性质得到，再利用和平行线的性质可判断，从而可对C选项进行判断；没有条件得出为等边三角形，可对D选项进行判断． 【详解】解：∵沿直线向右平移得到， ∴，，，故A、B选项的结论正确，不符合题意； ∵沿直线向右平移得到， ∴， ∵， ∴，C选项的结论正确，不符合题意； 没有条件得出为等边三角形，D选项的结论错误，符合题意． 故选：D． 【变式9-2】如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，平分，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形 【分析】（1）由平行线的性质得到，已知，则，可判定，即可得到； （2）由，，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明： ∴ ∴ （2）是等边三角形 ∵平分， ∵ ∴是等边三角形 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【变式9-3】如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据已知得△ABC是等腰三角形，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角定义可得，从而利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角定义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 理由：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）若时，则， 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点题型十】线段垂直平分线的性质 【例10】如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的定义，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为16，周长为，可得，从而可解答． 【详解】解：由作图可得：，， ∴， ∵周长为周长为16， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式10-1】如图，在中，，，点为边的垂直平分线上一点，若，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，角所对直角边是斜边的一半，连接，由垂直平分线的性质得，当点三点共线时，最小，即周长的最小，最小值为，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，最小，即周长的最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【变式10-2】如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，若的周长为2，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，，再结合的周长为2即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵的周长为2， ∴， 故答案为：． 【变式10-3】如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、G，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，，则 ．    【答案】9 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：9． 【变式10-4】如图，中，垂直平分，交于点，交于点，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若的周长为26，求的长； (3)若，（其中）求的周长．（用含有的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)8 (3) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）由垂直平分得到，再证明，最后用等腰三角形三线合一性质可证； （2）由题意得，从而得出，即， 再由线段垂直平分线的性质可得．可得，再由，可得，再求解即可； （3）先求得，再由垂直平分，可得．从而得出，再由，可得，则问题可解． 【详解】（1）证明：垂直平分， ． ， ， ，， ， 点为的中点； （2）解：的周长为26， ， ， ， ， 垂直平分， ． ， ， ， ， ； （3）， ， 垂直平分， ． ， ， ， 的周长 【考点题型十一】全等三角形的性质 【例11】有下列说法：等边三角形是等腰三角形；三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心；连接多边形的两个顶点的线段叫做多边形的对角线；三角形的三条高相交于一点；各边都相等的多边形为正多边形；所有的等边三角形全等，其中正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的概念，三角形的重心，三角形的分类，正多边形，全等三角形，根据多边形的概念，三角形的重心，三角形的分类，正多边形，全等三角形进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：等边三角形是等腰三角形，原说法正确，符合题意； 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，原说法错误，不符合题意； 连接多边形的不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，原说法错误，不符合题意； 三角形的三条高或三条高所在直线相交于一点，原说法错误，不符合题意； 各边都相等且各角都相等的多边形是正多边形，原说法错误，不符合题意； 所有的等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； 综上正确的个数有个， 故选：． 【变式11-1】如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 【变式11-2】．下列说法正确的是（   ） A．一个三角形中最多有一个钝角 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心 【答案】A 【分析】本题考查三角形的相关概念，全等三角形的概念和性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．一个三角形中最多有一个钝角，原说法正确，符合题意； B．两个全等三角形的面积一定相等，原说法错误，不符合题意； C．两个形状，大小都相同的图形称为全等图形，原说法错误，不符合题意； D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式11-3】如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形对应角相等得到，再根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式11-4】如图所示的两个三角形全等，已知某些边的长度和某些角的度数，求x的值．则x应等于（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形性质，三角形内角和定理．根据题意利用全等三角形对应角相等即可得到，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵如图所示的两个三角形全等，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【考点题型十二】用SAS证明三角形全等 【例12】如图，已知，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过得出． 根据可得，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式12-1】如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点O固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是（　　）        A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【答案】A 【详解】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 已知两边和夹角相等，利用可证两个三角形全等． 【分析】解：如图：在与中， ， ∴． 故选：A．    【变式12-2】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据“”证即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式12-3】如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再证明，即可由证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【考点题型十三】用ASA和AAS证明三角形全等 【例11】如图，小明不小心把一块三角形的陶瓷片打碎成了三块，他经过思考，决定只带碎片①去商店配一块与原来一样的三角形陶瓷片．他用到的判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的应用(有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等)；学会把实际问题数学化为正确解答本题的关键． 显然第①中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等． 【详解】解∶因为第①块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用易证三角形全等，故应带第①块， 故选∶B． 【变式13-1】如图，三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据图形结合全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：根据图形，三角形未遮挡部分满足“角边角”，根据全等三角形的判定， 小明所画的三角形与原来三角形全等， ∴这两个三角形全等的依据， 故选：B． 【变式13-2】如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，所以，再求解即可． 【详解】（1）， ， 在与中， ， ． （2）由（1）得， ， ， ， ． 【变式13-3】如图，，垂足为点，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 本题直接利用求证即可． 【详解】证明：， .     又，，         ． 【考点题型十四】用SSS证明三角形全等 【例14】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定，先根据线段垂直平分线的性质得出是的垂直平分线，可判断A，B；再根据“边边边”证明C；能否确定三者之间的关系判断D． 【详解】∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 所以A，B正确； ∵， ∴， 所以C正确； 不能确定之间的关系，所以D不正确． 故选：D． 【变式14-1】如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用．根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：，点，分别是，的中点， ， 在和中， ． ， 故选：D． 【变式14-2】如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据，可得出，即可判定； （2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． （2）解： ，，， ， ． 【变式14-3】如图，在的边上取一点D，连接，在边的延长线上截取，点F在边下方，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且的面积为1，则四边形的面积为 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)4 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质，与三角形高相关的计算． （1）根据，得到，结合，利用即可证明； （2）由（1）知，推出，即可证明； （3）根据，且的面积为1，可求出的面积为，再根据（2）知得到点到的距离与点到的距离相等，推出的面积与的面积相等，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明： ， ，即， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ； （3）解： ，且的面积为1， 的面积为， 由（2）知， 点到的距离与点到的距离相等， 的面积与的面积相等， 四边形的面积为． 【考点题型十五】灵活使用判定方法证全等 【例15】如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【答案】见解析 【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； ①根据垂线的知识可得，在结合证明，最后根据全等三角形的性质得出结论；②连接，根据直角三角形的，证明，即可得出结论；③连接，证明，可得，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接，证明，得，，在利用证明，得出结论． 【详解】小丽方法： ，， ． 在和中， ，． ，即． 小颖方法： 连接． ，，， ． 在和中， ． ． 小雨方法： 连接． ， ． 在和中， ， ， ．即． 又 ，， ， ， ．    方法4：连接，    ，， ． 在和中， ，， ， 在和中， ， ． 【变式15-1】如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意可得已知：，，，求证； ②根据题意可得已知：，，，求证； （2）解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 【变式15-2】如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 【答案】(1)①②③，④ (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定． （1）根据题意利用①②③即可判定出，再利用全等性质及平行线性质即可得到④结论． （2）利用（1）中条件证明即可． 【详解】（1）解：真命题：如果，，，那么； ∴①②③，④； （2）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（SSS）， ∴， ∴． 【变式15-3】如图，，于点D，，平分交于点F． (1)求证： (2)直接写出图中所有全等三角形（除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定等知识点，由等腰三角形的性质得到，由角平分线定义得到，因此，然后根据即可证明结论； （2）本题主要考查了全等三角形的判定，由全等三角形的判定定理进行判断即可解答；灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，于点D， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中所有全等三角形有：，，，． 【考点题型十六】全等三角形的辅助线问题 【例16】如图，在△和△中，，，．连接，取中点，连接，求证：为等腰直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了构造三角形全等．延长至使，连接、，延长交于，证明，则，，再证明，则，，据此即可证明为等腰直角三角形． 【详解】证明：延长至使，连接、，延长交于， ，，且， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形． 【变式16-1】【数学思考】 （1）在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点B作的平行线，交的长线于点E，发现DE的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点D，E在边上，，过点E作，交的角平分线于点F，试判断EF与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交BA的延长线于点G，若，，则的长度． 【答案】（1）见解析   （2）；理由见解析   （3）2 【分析】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出， 均为等腰三角形，得到，，根据，根据面积求出的长即可． 【详解】解：（1）， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2）， 理由：延长到，使，连接， 在与中， ， ， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接， 同法可得：， ，， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故的长度为2． 【变式16-2】如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明； （3）设点A到边，所在直线的距离分别为，，根据全等三角形的性质可得，利用三角形面积公式可得，即可证明． 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； （2）∵， ，， 又，， ， ， 即． （3）设点A到边，所在直线的距离分别为，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即点A到边，所在直线的距离相等． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【考点题型十七】尺规作图 【例17】如图，中，． (1)以点为顶点，作（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（）的条件下，证明：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等边对等角，平行线的判定，正确画出图形是解题的关键． （）利用基本作图（作一个角等于已知角）作即可； （）利用等腰三角形的性质得，则利用等量代换得到，再根据平行线的判定可证明； 【详解】（1）解：如图所示，为所作； （2）证明：由（）得， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式17-1】如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，解题的关键是根据角的和差关系，作出有公共边的两个角，继而得到结果． 【详解】解：如图，． 【变式17-2】如图，已知，点C在上． (1)在的右侧作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)与平行吗？ 为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)平行，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的判定，解题的关键是掌握角的作图方法和平行线的判定定理． （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧；再以相同长度，以点C为圆心画弧；再以长度为半径，以点E为圆心画弧，连接点与两弧的交点即为所求； （2）根据平行线的判定定理即可求解． 【详解】（1）解：如图． （2）解：． 理由如下： ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$