专题02 一元二次方程（期中知识清单，知识导图+5个考点清单+12个题型解读）九年级数学上学期湘教版

清单02 一元二次方程（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】一元二次方程的基本概念 1.定义: 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程 2.一般形式: (a，b，c为常数，a≠0) 3.项数和系数: (a，b，c为常数，a≠0) 二次项: ;二次项系数:a 一次项: ;二次项系数:b 常数项:c 4.注意事项: (1)含有一个未知数;(2)未知数的最高次数为2;(3)二次项系数不为0;(4)整式方程 【清单02】解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型 【清单03】一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程(a≠0)的根的判别式 原方程有两个不相等实数根 原方程有两个相等实数根 原方程有两个相等实数根 【清单04】一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的两根为，则两根与系数a，b，c的关系是: 注意:根与系数的关系的前提是:方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0，且. 【清单05】一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤 答、审、设、列、解、检 (1)审题:通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系 (2)设元:就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法(3)列方程:就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题 (4)解方程:正确求出方程的解并注意检验其合理性， (5)作答:即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语 【考点题型一】一元二次方程的定义 【例1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（     ） A． B． C． D．0 【变式1-3】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，2，1 B．1，，1 C．0，， D．0，，1 【变式1-4】已知1为关于的一元二次方程的根，则值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-5】若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【考点题型二】用直接开方法解一元二次方程 【例2】一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无解 【变式2-1】若关于x的一元二次方程的两个根均为正整数，则a的值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-2】方程的解是 ． 【变式2-3】． 解：； ……第一步； ……第二步； ……第三步； (1)以上解方程的过程中从第_______步开始出现错误． (2)请写出正确的解方程过程． 【考点题型三】用配方法解一元二次方程 【例3】用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】将一元二次方程配方为的形式为 ． 【变式3-3】用配方法解方程 (1) (2) 【考点题型四】用公式法解一元二次方程 【例4】解下列方程 (1)； (2)． 【变式4-1】解方程：（用公式法） 【变式4-2】用公式法解方程：． 【变式4-3】用公式法解方程：． 【考点题型五】用因式分解法解一元二次方程 【例5】方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【变式5-1】一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【变式5-2】一元二次方程的根是 ． 【考点题型六】一元二次方程判别式的应用 【例6】在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 【变式6-1】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为 ． 【变式6-2】已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 【考点题型七】一元二次方程根与系数的关系 【例7】已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，且，则 ． 【变式7-1】已知一元二次方程的两个根为、，则的值为 ． 【变式7-2】已知关于x的一元二次方程． (1)证明：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【变式7-3】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可） ①；②；③． (2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由． (4)如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，那么、c应满足的关系是______．（直接写出答案） 【考点题型八】增长率问题（一元二次方程的应用） 【例8】某公司年报显示，该公司2023年的利润为6600万元，受市场波动影响，2023年利润增长率为2022年利润增长率的一半，若该公司2021年的利润为5000万元，则该公司2023年利润增长率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】某校图书馆第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率为x．则可列方程 ． 【变式8-2】近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某市2021年数字阅读市场规模为400万元，2023年数字阅读市场规模为576万元，若年平均增长率不变，预计2024年该市数字阅读市场规模是多少万元？ 【变式8-3】某商场今年1月份开始营业，已知2月份盈利2万元，4月份的盈利达到2.88万元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求每月盈利的平均增长率． (2)按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【考点题型九】利润问题（一元二次方程的应用） 【例9】物美商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月销售量的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月销售量的月平均增长率． (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 【变式9-1】中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． (1)求商家购买笔和圆规的进价； (2)商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 【变式9-2】有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃． (1)设5天后每千克鲜葡萄的市场价为P元，则________； (2)如果该个体户将这批葡萄一次性出售后销售金额为760元，为了尽快回收资金，那么他应存放多少天后再一次性售出？ 【变式9-3】某品牌纪念品每套成本为元，当售价为元时，平均每天的销售量为套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨元，那么平均每天的销售量将减少套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的，商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到元，求每套纪念品应定价多少元？ 【考点题型十】几何问题（一元二次方程的应用） 【例10】我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么直角三角形中的较长直角边长为 ． 【变式10-1】用长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设为． (1)如果要围成面积为的花圃，的长度是多少？ (2)能围成面积为的花圃吗？请说明理由． 【变式10-2】为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）． (1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； (2)生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由． 【考点题型十一】动点问题（一元二次方程的应用） 【例11】如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 【变式11-1】在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)分别用含t的代数式表示与； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式11-2】如图，在中，，．点P、Q为边及边上的两个动点．若点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，两个点同时出发． (1)经过几秒，的面积等于？ (2)是否存在平分的面积的情况？如果存在，请求出的长度；如果不存在，请说明理由． 【变式11-3】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【考点题型十二】其他问题（一元二次方程的应用） 【例12】要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（       ）． A． B． C． D． 【变式12-1】在一次聚会上，每两个人都只碰一次杯，若一共碰杯次，则参加聚会的人数为 ． 【变式12-2】某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【变式12-3】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【变式12-4】今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【变式12-5】九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 一元二次方程（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】一元二次方程的基本概念 1.定义: 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程 2.一般形式: (a，b，c为常数，a≠0) 3.项数和系数: (a，b，c为常数，a≠0) 二次项: ;二次项系数:a 一次项: ;二次项系数:b 常数项:c 4.注意事项: (1)含有一个未知数;(2)未知数的最高次数为2;(3)二次项系数不为0;(4)整式方程 【清单02】解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型 【清单03】一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程(a≠0)的根的判别式 原方程有两个不相等实数根 原方程有两个相等实数根 原方程有两个相等实数根 【清单04】一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的两根为，则两根与系数a，b，c的关系是: 注意:根与系数的关系的前提是:方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0，且. 【清单05】一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤 答、审、设、列、解、检 (1)审题:通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系 (2)设元:就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法(3)列方程:就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题 (4)解方程:正确求出方程的解并注意检验其合理性， (5)作答:即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语 【考点题型一】一元二次方程的定义 【例1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程， 利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项A不符合题意； ，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； 是一元二次方程，故选项C符合题意； 是分式方程，故选项D不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，即可求解． 【详解】解：A、，含有个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、，含有个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故该选项符合题意； 故选：D 【变式1-2】关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且，特别要注意的条件 ． 本题根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 【变式1-3】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，2，1 B．1，，1 C．0，， D．0，，1 【答案】B 【详解】本题考查了一元二次方程， 根据一元二次方程的一般形式确定出所求即可． 【分析】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、、1． 故选：B． 【变式1-4】已知1为关于的一元二次方程的根，则值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将代入方程可得，解一元一次方程即可得解． 【详解】解：∵1为关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-5】若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，同时需要注意未知数的二次项系数不为0．根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，且， 解得：，且或， ∴， 故答案为：． 【考点题型二】用直接开方法解一元二次方程 【例2】一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无解 【答案】C 【分析】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用直接开方法解一元二次方程是解决此题的关键．利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵ ∴ 解得：，， 故选C． 【变式2-1】若关于x的一元二次方程的两个根均为正整数，则a的值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用．先解一元二次方程，然后根据两个根均为正整数列不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数， ∴，且为正整数， 解得，且为正整数， 观察四个选项，可以为2， 故选：D． 【变式2-2】方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 方程两边同时开方得：， 解得， 故答案为：． 【变式2-3】． 解：； ……第一步； ……第二步； ……第三步； (1)以上解方程的过程中从第_______步开始出现错误． (2)请写出正确的解方程过程． 【答案】(1)一 (2)过程见解析，或 【分析】本题主要考查了用直接开平方的方法解一元二次方程： （1）观察解题过程可知，在第一步方程两边同时开方时，方程右边没有进行开方，据此可得答案； （2）利用直接开平方的方法解方程即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，在第一步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时开方时，方程右边没有进行开方； （2）解：． ； 或 或． 【考点题型三】用配方法解一元二次方程 【例3】用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据完全平方公式将方程化成的形式即可． 【详解】移项，得 配方，得， 即． 故选：D． 【变式3-1】用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程----配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后配方即可． 【详解】解：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 ， 配方得， 故选：A ． 【变式3-2】将一元二次方程配方为的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用配方法解方程，掌握配方法的步骤是解本题的关键，先把方程化为，再进一步解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3-3】用配方法解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查配方法解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程即可； （2）根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）， ∴， ， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【考点题型四】用公式法解一元二次方程 【例4】解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法和步骤． （1）首先将原方程整理为，再用公式法求解即可； （2）首先将原方程整理为，再用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 整理可得 ， ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， 整理可得 ， ∵， ∴ ∴， ∴，． 【变式4-1】解方程：（用公式法） 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式4-2】用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了利用公式法求解一元二次方程，根据公式法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【变式4-3】用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：原方程整理得， ，，， ， ∴， ∴，． 【考点题型五】用因式分解法解一元二次方程 【例5】方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 或 所以，． 故选：C． 【变式5-1】一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解： 或 ∴， 故选：． 【变式5-2】一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先把移项再进行因式分解，即可作答． 【详解】解：依题意，， ， ， 或， ， 故答案为：． 【考点题型六】一元二次方程判别式的应用 【例6】在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．由直线解析式求得，然后确定的符号即可． 【详解】解：直线不经过第四象限， ， 关于的方程 ， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式6-1】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．由题意可得，解方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式6-2】已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 【答案】(1)且 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）解：由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 【考点题型七】一元二次方程根与系数的关系 【例7】已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入等式，得到关于m的一元二次方程，解方程即可求解，需要注意根的判别式． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴舍， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式，根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式7-1】已知一元二次方程的两个根为、，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了韦达定理，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据韦达定理进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：5． 【变式7-2】已知关于x的一元二次方程． (1)证明：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）只需要证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再由已知条件建立方程组求出，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根： （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式7-3】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可） ①；②；③． (2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由． (4)如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，那么、c应满足的关系是______．（直接写出答案） 【答案】(1)③ (2)； (3)方程是“三倍根方程”；见解析 (4) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程． （1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解； （2）根据“三倍根方程”的定义设关于x的方程的两个根为，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解； （3）方程化为方程，解方程求得方程的根，根据“三倍根方程”的定义即可求出答案； （4）根据“三倍根方程”的概念得到原方程可以改写为，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，满足“三倍根方程”的定义； 故答案为：③； （2）解：设关于x的方程的两个根为， 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ∴，； （3）解：点在反比例函数的图象上， ， 方程化为方程， 整理得， 解得，， 方程是“三倍根方程”； （4）解：根据“三倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和． 原方程可以改写为， ， ． 解得． ，，之间的关系是． 故答案为：． 【考点题型八】增长率问题（一元二次方程的应用） 【例8】某公司年报显示，该公司2023年的利润为6600万元，受市场波动影响，2023年利润增长率为2022年利润增长率的一半，若该公司2021年的利润为5000万元，则该公司2023年利润增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设该公司2023年利润增长率为，则该公司2022年利润增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设该公司2023年利润增长率为，则该公司2022年利润增长率为， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 即该公司2023年利润增长率为， 故选：B． 【变式8-1】某校图书馆第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率为x．则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用第三月进馆人次第一月进馆人次进馆人次的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为， 依题意得：， 故答案为：． 【变式8-2】近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某市2021年数字阅读市场规模为400万元，2023年数字阅读市场规模为576万元，若年平均增长率不变，预计2024年该市数字阅读市场规模是多少万元？ 【答案】预计2024年该市数字阅读市场规模约是691.2万元 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设年平均增长率为x，结合2023年数字阅读市场规模为576万元，建立方程求解百分率，从而可得答案． 【详解】解：设年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴（万元）． 答：预计2024年该市数字阅读市场规模约是691.2万元． 【变式8-3】某商场今年1月份开始营业，已知2月份盈利2万元，4月份的盈利达到2.88万元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求每月盈利的平均增长率． (2)按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【答案】(1) (2)34560元 【分析】（1）设该商店的月平均增长率为，根据等量关系：2月份盈利额增长率）月份的盈利额列出方程求解即可． （2）5月份盈利月份盈利增长率）． 此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用，减少用，难度一般． 【详解】（1）解：设每月盈利平均增长率为， 根据题意得：． 解得：，（不符合题意舍去）， 答：每月盈利的平均增长率为； （2）解：依题意，， 答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到34560元． 【考点题型九】利润问题（一元二次方程的应用） 【例9】物美商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月销售量的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月销售量的月平均增长率． (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 【答案】(1)； (2)元． 【分析】（）设二、三这两个月销售量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可求解； （）设商品降价元时，商场获利元，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设二、三这两个月销售量的月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：二、三这两个月销售量的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元时，商场获利元， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：当商品降价元时，商场获利元． 【变式9-1】中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． (1)求商家购买笔和圆规的进价； (2)商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 【答案】(1)商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元 (2)每个圆规的售价为11元 【分析】本题考查了分式方程、一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元，列出分式方程，即可求解； （2）设每个圆规的售价为m元，根据圆规平均每天的总获利为200元，列出一元二次方程，进而即可求解． 【详解】（1）解：设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元； （2）解：设每个圆规的售价为m元， 根据题意，得， 解得，， 又降价幅度不超过 ∴， 答∶ 每个圆规的售价为11元． 【变式9-2】有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃． (1)设5天后每千克鲜葡萄的市场价为P元，则________； (2)如果该个体户将这批葡萄一次性出售后销售金额为760元，为了尽快回收资金，那么他应存放多少天后再一次性售出？ 【答案】(1)3 (2)10天 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据金额、售价、质量之间的关系列出方程是解题的关键． （1）市场价等于原价与5天上涨的价格之和，由此可解； （2）根据销售金额等于x天后的市场价可售葡萄的总质量列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：3； （2）解：设应存放x天后再一次性售出， 由题意得， 整理，得， 解得，， 要尽快回收资金， ， 即他应存放10天后再一次性售出． 【变式9-3】某品牌纪念品每套成本为元，当售价为元时，平均每天的销售量为套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨元，那么平均每天的销售量将减少套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的，商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到元，求每套纪念品应定价多少元？ 【答案】元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每套纪念品应定价为元，根据题意列出方程组，求出的值，再结合售价不能超过进价的进行判断即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每套纪念品应定价为元， 由题意得，， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意， ∴， 答：每套纪念品应定价为元． 【考点题型十】几何问题（一元二次方程的应用） 【例10】我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么直角三角形中的较长直角边长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质，全等三角形的性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据大正方形和小正方形的面积，得到，，每个直角三角形的面积为，设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：大正方形的面积是100，小正方形的面积是4， ，，4个全等的直角三角形的面积和为96， 每个直角三角形的面积为， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：或（舍）， 即直角三角形中的较长直角边长为8， 故答案为：8 【变式10-1】用长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设为． (1)如果要围成面积为的花圃，的长度是多少？ (2)能围成面积为的花圃吗？请说明理由． 【答案】(1)5 (2)不能，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，函数解析式的综合运用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键，要注意题中自变量的取值范围． （1）将面积用函数解析式表达出来，进而代数求值； （2）根据判别式来判断根的情况，得到答案． 【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽为，则为米，则， 当时，， 解得， ， ，故舍去， ． 故若要围成面积为的花圃，则的长是米； （2）解：不能． 假设能围成面积为的花圃，， ， ， 故方程无实数根，所以不能围成面积为的花圃． 【变式10-2】为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）． (1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； (2)生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由． 【答案】(1)生态园垂直于墙的边长为6米； (2)生态园的面积不能达到153平方米，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，正确列出一元二次方程并灵活运用根的判别式成为解题的关键． （1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据生态园的面积为144平方米，可列出关于x的一元二次方程求解即可； （2）假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为米，根据生态园的面积为153平方米，可列出关于y的一元二次方程，再根据根的判别式，可得出原方程没有实数根，即可完成判断． 【详解】（1）解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：生态园垂直于墙的边长为6米； （2）解：生态园的面积不能达到153平方米，理由如下： 假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即生态园的面积不能达到153平方米． 【考点题型十一】动点问题（一元二次方程的应用） 【例11】如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 【变式11-1】在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)分别用含t的代数式表示与； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2秒 (3)存在，秒，使得五边形的面积等于 【分析】（1）依据点和点运动的速度和时间可求得、的长，然后依据可求得的长； （2）中，依据勾股定理可得到关于的方程，从而可求得的值； （3）先求得矩形的面积，然后由五边形的面积可求得的面积，然后依据的面积列出关于的方程，从而可求得的值． 本题主要考查的是一元二次方程的应用，四边形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，依据勾股定理和三角形的面积公式列出关于的方程是解题的关键． 【详解】（1）解： 从点开始沿边向终点以的速度移动， ． ， ． 点从点开始沿边向终点以的速度移动， ． （2）解：在中，依据勾股定理可知：， 即：， 解得：，， 当或2秒时，的长度等于． （3）解：存在秒，使得五边形的面积等于． 理由如下：长方形的面积是：， 使得五边形的面积等于， 则的面积为， ． 解得：（不合题意舍去），， 即当秒时，使得五边形的面积等于． 【变式11-2】如图，在中，，．点P、Q为边及边上的两个动点．若点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，两个点同时出发． (1)经过几秒，的面积等于？ (2)是否存在平分的面积的情况？如果存在，请求出的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)不存平分的面积的情况．理由见解析． 【分析】本题考查了图形动点运动以、解一元二次方程和一元二次方程根的判别式： （1）设运动时间为秒，根据的面积等于，列方程解方程即可作答； （2）依题意，列式得到，进一步得到，即可作答． 【详解】（1）解:设运动时间为秒， ∵的面积等于， ∴， 解得． 故经过2秒或4秒，的面积等于； （2）不存平分的面积的情况． 理由：依题意有， 即， ∵ ∴不存在平分的面积的情况． 【变式11-3】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后，的面积等于 (2)0秒或2秒后，的长度等于 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找到关键描述语，结合图形得出等量关系是解决问题的关键． （1）设P，Q分别从A，B同时出发，x秒后，，，，则，令，列出方程即可求出符合题意得解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可； （3），化简该方程后，判断该方程的判别式与0的关系，大于等于0则可以，否则不可以． 【详解】（1）设经过x秒以后，面积为， 此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：或舍， ∴1秒后的面积等于 ； （2）设经过t秒后，的长度等于 由， 即， 解得：，， ∴0秒或2秒后，的长度等于5cm； （3）不能，理由如下： 由题意，得： 整理得：， 由于， ∴该方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【考点题型十二】其他问题（一元二次方程的应用） 【例12】要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：． 故选：B 【变式12-1】在一次聚会上，每两个人都只碰一次杯，若一共碰杯次，则参加聚会的人数为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．解题的关键是根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程．由题意设参加聚会的人数为人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯次，则可得每个人可碰次，继而可得人一共碰杯次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加聚会的人数为人， 根据题意得：， 整理，可得：， 解得：， 不合题意，舍去， 则参加聚会的人数为人， 故答案为：． 【变式12-2】某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 【变式12-3】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【变式12-4】今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 【变式12-5】九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$