九年级下册期末复习专题(二)圆-【提分教练】2024-2025学年九年级数学全一册同步精导优化与设计方案（华东师大版）

参考答案 在△PTM和△QCM中， |∠MPT=∠MQC 期末复习专题（二） 圆 PT=CQ 1.D2.A3.B4.D5.D6.D7.C ∠PTM=∠QCM 8.A9.A10.B11.C12.C .△PTM≌△QCM,∴.PM=QM, 180014等+要 15.4716.2√7+1 :GB⊥x轴，∴.BG∥y物∥PT, .∠BGP=∠TPG. 17.418.2/13 :∠QPG-∠NQO=∠NQP-∠PGB, 19.解：(1)AB·CD+AD·BC=AC·BD .∠QPT+∠TPG-∠NQO=∠NQO+∠OQP (2)如图，连接AD,AC.,五边形ABCDE是正五 -∠PCB, 边形， W∠QPT=∠OQP,∠TPG=∠PGB. ∴.△ABC≌△DCB≌△AED,∴BD=AC=AD. .2∠TPG=2∠NQO, 设BD=工，在圆内接四边形ABCD中，由托物密 .∠TPG=∠NQO, 定理，可得AB·CD十AD·BC=AC·BD, ∴.∠NQP=∠GPQ 即2×2+2.x=x2,解得1=1十5，x2=1-5 1∠NQP=∠GPQ 在△NMQ和△GMP中，∠NMQ=∠GMP, (舍去)， MQ-MP .对角线BD的长为1+5. .△NMQ≌△GMP. .NQ=GP. 在R△QNR和R△GPB中， |∠BGP=∠NQO ∠QRN=∠GBP=90°. NQ-GP 20.解：，PA、PB分别与⊙O相切于，点A、B, .△QNR≌△GPB, ∴QM=BG=6,NR=PB=CQ .PA=PB=4. ,过点C的切线分别交PA、PB于点D、E, 设Nu,-2++6. ∴.DC=DA,EC=EB, QO=QC+CO=QR+RO. ∴.△PED的周长=PD+DE+PE=PD+DC+ ∴，QC=R),.NR=RO. CE+PE-PD+DA+EB+PE-PA+PB-4+ -1=-++6, 4=8. 21.(1)证明：证法一如图1，连接OP. 解得：山=一2,2=8（舍去）. ,AP是⊙O的切线，∴OP⊥AP, .N(-2,2),..NH=2,OH=NR=2. .∠OPA=90°， .PH=OB=6, .∠PAO+∠POA=90. .PN=√NH2+PH2=2√10， ,OA⊥OB,.∠P0A+∠1=90°， ∴.线段NP的长为2√10. .∠PAO=∠1. y f 0 OP=(OB,∴.∠OPB=∠OBP, .∠1=2∠PBO,∠PAO=2∠PB0 :: 证法二如图2，连接OP, AP是⊙O的切线，.OP⊥AP, .∠OPA=90°，.∠2+∠1=90. .OA⊥OB,∠AOB=90°， 图2 ∴.∠PBO+∠4=90°. 175 者家。年。。。。。g。￥ 数学九年级全一册 OP=(OB,∴∠1=∠PBO, 22.[问题1]解：4 .∠1+∠4=90°， PC是⊙O的切线，∴.OC⊥PC.OB=OC=3, ∠2=∠4， PB 2..PO=PB+OB =5,.PC 又∠3=∠4，.∠2=∠3， √P02-OCz=4. ∴.∠PA0=180°-2∠2=180°-2(90°-∠1) [问題2]解：40 2∠1=-2∠PBO PC是⊙O的切线，∴∠OCP=90°，∠ACP= (2)解：解法一如图1，过点P作PC⊥ON,垂足 115,.∠AC0=25°，又，OA=OC,.∠A= 为C ∠AC0=25°，∴.∠P=180°-∠A-∠ACP=40 在Rt△P0A中，0P=5,AP-2 [问题3]①证明：：PC是⊙O的切线， .OCLPC,∴.∠DCO=∠OCP=90° tan∠PAO=3 4 OE⊥AC,AE=CE,AD=CD. “∠1=∠Pa0.a∠1-瓷-是 在△AOD和△COD中，AD=CD,AO=CO,OD =OD, 设PC=3x,OC=4x,则OP=√OC2+PCz=5x, .△AOD2△COD,∴.∠DAO=∠DCO=90°， x=1,.PC=3,OC=4,.BC=5+4=9. .OA⊥AD, 在Rt△PBC中，BP=√/PC+BCz=√32+92= 又，OA是⊙O的半径，.AD是⊙O的切线. 310. ②解：OA=OC=2,OP=4, 解法二如图2，连接PC, ∴.AP=OA+OP=6.CP=√PO2-OC2=2. 由(1)证法二知，∠2=∠3， 设CD=,x,则AD=x,DP=23+x, AD=AP-婴 在Rt△ADP中，由勾股定理，得(23十x)3=x2 在R△P0A中，OP=5,AP=2 +62, 1 ∴.x=23.∴.DP=43. 由勾度定理，得AO=√AP2+0P2= 3, ③解：连接CB,PC是⊙O的切线， 0D-号 .∠OCP=90..∠OCB+∠BCP=90, ,AB是⊙O的直径， 在R△ODB中，OD= 30B=5. .∠ACB-90°，.∠PAC+∠ABC=90 ,OC=OB..∠OCB=∠ABC, 由勾股定理，得BD=VOD+0B2=5而】 3 ∴.∠BCP=∠CAP ,BC是⊙O的直径，∴.∠BPC=90, '∠BCP=∠CAP,∠P=∠P, ∴∠BPC-∠DOB, △PCBn△PACg-咒是 又，∠CBP=∠DBO, .△CBP△DBO, 由an∠CAP-名可将是-名 腊品 5510 3 .PB=3/10. .AP-8.PB-2.:.OB-AB-2 (AP-BP) =3, ,OE⊥AC,∠ACB=90°， ∴.OD∥BC, 42 B的N 器器中品号 图1 图2 CD=6. 176 重国0里。g量年0用0.00多87 参考答案 23.证明：：四边形ABCD内接于国， 解法二： ∴.∠CDE=∠ABC, 作直径AE,过R作RF⊥BQ,垂足为F, 由圆周角定理得，∠ACB=∠ADB,又∠ADB 设RQ=RP=xi =∠FDE, 由切割线定理，得：x2=(x一1)(x十3) .∠ACB=∠FDE, AB=AC, 郭得=名 ∴.∠ACB=∠ABC, 又由△BPOn△RPF得：OP-BP, PF PR ∠FDE=∠CDE,即DE平分∠CDF: 3 (2):∠ACB=∠ABC, .PF= ∴.∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC, 5 10 又∠CAE=∠DBC, 由等腰三角形性质得：PQ=2PF=3⑤ ∠E=∠ABD, .∠ACD=∠AEB. 24.解：（①）证法一： 连接OQ: ,RQ是⊙O的切线， .∠OQB+∠BQR=90. OA⊥OB. 图1 图2 ∠OPB+∠B=90 B 又：OB=OQ, .∠OQB=∠B .∠PQR=∠BPO=∠RPQ. RP=RQ. 图3 证法二： 图4 作直径BC,连接CQ::BC是⊙O的直径. 期末复习专题（三）样本与总体 ∴∠B+∠C=90°.OA⊥OB, 1.A2.D3.D4.D5.A6.B7.A8.B .∠B+∠BPO=90, 9.B10.D .∠C=∠BPO. 11.1200012.18613.折线14.②③15.40克 又∠BPO=∠RPQ, ∠C-=∠RPQ. 16. a 又，RQ为⊙O的切线， 17.40%18.30% .∠PQR=∠C. 19.解：(1)设每份的人数是x人，则销款25元的有 ∠PQR=∠RPQ. 8.x人，捐款30元的有6.x人， ∴.RP=RQ. 由题意，得：8x十6.x=42, (②)解法一： 解得：x=3,.捐款10元的有9人 作直径AC, 捐款15元的有12人， OP=PA=1,..PC=3. 捐款20元的有15人， 由勾股定理，得BP=√12+2=5 捐款25元的有24人， 由相交弦定理，得PQ·PB=PA·PC. 捐款30元的有18人， 即PQ×5=1×3, ∴.一共调查的人数有：9+12+15+24+ PQ-36 18=78人 5 答：他们一共调查了78人： 重重年。”，，，￥期末复习专题（二） 圆 (时间：90分钟 满分：100分) 一、选择题（下列各题只有一个正确答案，请将 5.如图，由5个边长为1的小正方形组成的“1” 正确答案填在括号中。每题3分，共36分) 形，圆O经过其顶点A、B、C,则圆O的半径 1.下列说法正确的是 为 A.相等的圆心角所对的弧相等 A.5 B.2√2 B.相等的弦所对的弧相等 C.相等的圆周角所对的弧相等 c号 n D.等弧所对的弦相等 6.如图，点D是△ABC中BC边的中点， 然2.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的两 DE⊥AC于E,以AB为直径的⊙O经过D, 点，若∠CAB=65,则∠ADC的度数为 连接AD,有下列结论：①AD⊥BC; ②∠EDA=∠B:③OA= 号AC:①DE是 ⊙O的切线.其中正确的结论是 ) A.①② B.①②③ C.②③ D.①②③① 第2题图 第3题图 A.25 B.35 C.45 D.65 D 3.如图，在△ABC中，CA=CB=4,∠BAC=a, 将△ABC绕点A逆时针旋转2a,得到 △AB'C',连接B'C并延长交AB于点D,当 ·0 BD⊥AB时，弧BB'的长是 D 鞍 第6题图 第7题图 郡 A.23x B.43x 7.如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上， 3 3 边AB、AC与⊙O分别交于点D、E,点F是 C.83x D.10 37 9 9 劣弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、 杯 4.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和 EF,则∠DFE的度数为 ) △ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于 A.115 B.1189 点G,给出下列结论：①∠BAD=∠CAD: C.120 D.125 ②若∠BAC=60°，则∠BEC=120°；③若点G 8.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图）， 为BC的中点，则∠BGD=90°：④BD=DE. 其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大 其中一定正确的个数是 小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片 A.1 B.2 应该是 C.3 D.4 ④ D A.① B.② 第4题图 第5题图 C.③ D.④ 69 9.如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小 二、填空题（每空1分，共6分） 正方形网格的格点A、B、C,已知A点的坐标 13.给出下列说法：①垂直于弦的直径平分弦： 是（一3,5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ②平分弦的直径垂直于弦：③平分弦所对的 一条弧的直径不一定平分另一条弧；④平分 任意一条弦所对的两条弧的弦一定是直径. 其中正确的是 .(填序号) 14.如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O 移到OB的中点O'处，得到扇形A'OB'.若 ∠O=90°，OA=2,则阴影部分的面积 为 A.(-1,0) B.(0,0) C.(-1,1) D.(1,0) 10.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,则 ∠CBD的度数是 A.30° B.36 B B C.60° D.72 第13题图 第14题图 15.如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6,点 M在边AF上，且AM=2.若经过点M的直 线！将正六边形分为面积相等的两部分，则 直线！被正六边形所截的线段长是 B D 第10题图 第11题图 11.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC= 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, 45°，AB=2√2，D是线段BC上的一个动 BC=2√3，半径为1的⊙O在Rt△ABC内 点，以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于 E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为 平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点 ( A到⊙O上的点的距离的最大值为 A.2 B.√2 C.5 D.3 12.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒 外，其截面如图所示，已知EF=CD=6cm, 则球的半径为 ()】 A 第16题图 第17题图 17.如图，平面直角坐标系中，已知A(0,3), B B(1,0),点C在第一象限，⊙D经过点A, A.3 cm B. 13 4cm B,C三点，AC是⊙D的直径，双曲线y= C.cm D.cm (x>0)经过D,C两点，则k的值是 70 18.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连接 20.(6分)如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分 AO并延长交⊙O于点E,连接EC.若 别与⊙O相切于点A、B,C是AB上的任意 AB=8,CD=2,则EC的长为 一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、 E.若PA=4,求△PED的周长. D 三、解答题（共58分） 19.(8分)请阅读下列材料，并完成相应的任务： 克罗狄斯·托勒密（约90年一168年）是 希腊数学家、天文学家、地理学家和占星 家.在数学方面，他还论证了四边形的特 性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的 内容如下：圆的内接四边形的两条对角线 的乘积等于两组对边乘积的和，即如图1， 若四边形ABCD内接于⊙O,则有 任务：(1)材料中画横线部分应填写的内容 21.(10分)在古代，智慧的劳动人民已经会使用 为 “石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固 (2)如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O, 定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转 AB=2,求对角线BD的长. 动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输 工具为“曲柄连杆机构” B 小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设 D 计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP,BP 的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动 时，带动点A,B分别在射线OM,ON上滑 动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰 图1 图2 好落在⊙O上，如图2. 请仅就图2的情形解答下列问题. 图1 图2 71 (1)求证：∠PAO=2∠PBO. 23.(12分)如图，四边形ABCD内接于圆，AD, (2)若⊙0的半径为5，AP=9,求BP BC的延长线交于点E,F是BD延长线上任 意一点，AB=AC 的长 (1)求证：DE平分∠CDF: (2)求证：∠ACD=∠AEB E 22.(10分)如图1，点P是⊙O的直径AB延长 线上一点，PC切⊙O于点C,连接AC,OC [问题1]若OB=3,PB=2,则PC= [问题2]若∠ACP=115°，则∠P [问题3]如图2，过点O作AC的垂线，交AC 24.(12分)如图，OA和OB是⊙O的半径，并且 于点E,交PC的延长线于点D,连接AD. OA⊥OB,P是OA上任一点，BP的延长线 ①求证：AD是⊙O的切线. 交⊙O于点Q,过点Q的⊙O的切线交OA ②若⊙O的半径为2，OP=4,求线段DP 延长线于点R 的长。 (1)求证：RP=RQ: ⑧若CP=4,an∠CAP=专，求CD的长. (2)若OP=PA=1,试求PQ的长. 0 图1 图2 -72