精品解析：福建省莆田第十五中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年十五中八年级上学期第一次月考 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ①和③ 3. 下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（ ） A. B. C D. 4. 如图，两个三角形是全等三角形，那么x的值是（　　） A. 30° B. 45° C. 50° D. 85° 5. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（    ） A B. C. D. 6. 如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ） A. ∠B＝∠C B. AD＝AE C. DC＝BE D. ∠ADC＝∠AEB 7. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（ ） A. 75° B. 95° C. 105° D. 125° 8. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 18 9. 如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（ ） A. 90° B. 360° C. 180° D. 无法确定 10. 如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线……，若，则为（　　）°． A. B. C. D. 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 如图所示，王师傅做完门框为防止变形，在门上钉上AB、CD两条斜拉的木条，其中的数学原理是________． 12. 纸片中，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，，则____°． 13. 如图，中，，则____°． 14. 如图所示，的大小关系是_______________． 15. 如图，BD是△ABC边AC的中线，点E在BC上，BE=EC，△AED的面积是3，则△BED的面积是_______________． 16. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______． 三．解答题（共86分） 17. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． 18. 已知a，b，c是三角形的三边长，化简： . 19. 如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：． 20. 如图，BA＝BE，BC＝BD，∠ABD＝∠EBC． 求证：∠C＝∠D． 21. 如图，，垂足为E．．求证：是直角三角形 22. 如图，中，于点D，平分． （1）若，求的度数； （2）直接写出之间的等量关系． 23. 如图，在三角形中，为中线，，，求的长度范围． 24. 如图1，像我们常见学习用品——圆规．我们把这样图形叫做“规形图”， （1）观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2；把一块直角三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，，则____°； ②如图3，平分平分，若，请用含α和β的式子表示的度数． 25. 我们定义： 在一个三角形中，若一个角度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合） （）的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （）若，试说明：“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年十五中八年级上学期第一次月考 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】A.1+2=3，不能构成三角形； B.1+2＜5，不能构成三角形； C.2+2=4，不能构成三角形； D.2+3＞4，能构成三角形； 故选D． 【点睛】此题主要考查三角形构成，解题的关键是熟知三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 2. 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ①和③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查学生对全等三角形判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 3. 下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据三角形高线定义，只有A选项符合． 故选A． 【点睛】根据三角形的高的定义，过顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段为三角形的高，观察各选项直接选择答案即可． 4. 如图，两个三角形是全等三角形，那么x的值是（　　） A. 30° B. 45° C. 50° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理、全等三角形的性质解答． 【详解】解:180°﹣85°﹣45°=50°， ∵两个三角形是全等三角形， ∴x=50°， 故选C． 【点睛】考查三角形的内角和定理以及全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等． 5. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作一个角等于一直角的方法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据尺规作图可得，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴， ∴依据是， 故选：B ． 6. 如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ） A. ∠B＝∠C B. AD＝AE C. DC＝BE D. ∠ADC＝∠AEB 【答案】C 【解析】 【分析】△ADC和△AEB中，已知的条件有AB=AC，∠A=∠A；要判定两三角形全等只需条件一组对应角相等，或AD=AE即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的． 【详解】A、当∠B=∠C时，符合ASA的判定条件，故A正确； B、当AD=AE时，符合SAS的判定条件，故B正确； C、当DC=BE时，给出的条件是SSA，不能判定两个三角形全等，故C错误； D、当∠ADC=∠AEB时，符合AAS的判定条件，故D正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的证明，掌握三角形全等证明相关定理是解题的关键． 7. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（ ） A. 75° B. 95° C. 105° D. 125° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直角三角形可得，再根据三角形内角和为180°即可得． 【详解】解：如图， ， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形的内角和为180°是解题关键． 8. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边． 【详解】解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6， ∴不构成三角形，舍去． ②若3是底，则腰是6，6． 3+6＞6，符合条件．成立． ∴C=3+6+6=15． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质． 9. 如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（ ） A. 90° B. 360° C. 180° D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】如图，连接BC， ∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC， ∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB， 又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°， ∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°． 故选：C． 10. 如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线……，若，则为（　　）°． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，化简可得，进一步找出其中规律，即可求出的度数． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， 得：， ， 由和得：， ， ， 同理， ， … ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出，，与的规律是解题的关键． 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 如图所示，王师傅做完门框为防止变形，在门上钉上AB、CD两条斜拉的木条，其中的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：赵师傅这样做是运用了三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 12. 纸片中，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，，则____°． 【答案】 【解析】 【分析】根据，再由可求出的度数，由三角形内角和定理及平角的定义即可求解． 【详解】解：由折叠可得，， ，， ， 在中，， ， 故答案为． 【点睛】本题考查折叠问题，掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键． 13. 如图，中，，则____°． 【答案】245 【解析】 【分析】根据三角形内角和可得，然后再根据邻补角的定义解答即可． 【详解】解：中，， ∴， ， 故答案为：245． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和，关键是掌握三角形内角和为． 14. 如图所示，的大小关系是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，先根据是的外角，可得，同理可得，即可得出答案. 【详解】解：∵是的外角， ∴； ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，BD是△ABC边AC的中线，点E在BC上，BE=EC，△AED的面积是3，则△BED的面积是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据△AED与△CED是等底等高的两个三角形，求出△CED的面积，根据三等分线的性质求出△ABE的面积，进而得到△ABC的面积和△BDC的面积，最后利用S△BED＝S△BDC-S△CDE即可求解． 【详解】∵BD是△ABC边AC的中线 ∴△AED与△CED是等底等高的两个三角形， ∴S△AED=S△CED＝3 ∴S△AEC= S△AED+S△CED=6 ∵BE=EC ∴E是BC的三等分点 ∴S△ABE=S△AEC=3 ∴S△ABC= S△ABE +S△AEC=9 ∵S△ABD和S△CBD等底等高 S△ABD=S△CBD=S△AEC= ∴S△BED＝S△BDC-S△CDE＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积．中线能把三角形的面积平分，同理三等分线可以将三角形的面积三等分． 16. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______． 【答案】300 【解析】 【详解】试题分析：根据定义，α=1000，β=500，则根据三角形内角和等于1800，可得另一角为300，因此，这个“特征三角形”的最小内角的度数为300． 三．解答题（共86分） 17. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．多边形的外角和是，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，依题意得, ， ． ∴这个多边形的边数是7． 18. 已知a，b，c是三角形的三边长，化简： . 【答案】c 【解析】 【分析】先根据三角形的三边关系确定，再化简绝对值，然后计算加减即可. 【详解】解：∵a，b，c是三角形三边长， ∴， ∴ . 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值和整式的加减，正确化简绝对值是解题的关键. 19. 如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得即可证明． 【详解】证明：∵分别是和的平分线， ∴， ∵， ∴ 即． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 20. 如图，BA＝BE，BC＝BD，∠ABD＝∠EBC． 求证：∠C＝∠D． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】结合已知条件利用SAS判定△ABC和△EBD全等，继而即可求证结论． 【详解】∵∠ABD＝∠EBC． ∴∠ABC＋∠CBD＝∠EBD＋∠CBD， ∴∠ABC＝∠EBD， ∵BA＝BE，BC＝BD， ∴△ABC≌△EBD, ∴∠C＝∠D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 21. 如图，，垂足为E．．求证：是直角三角形 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据直角三角形两锐角互余可得；再求出，进而得到，再判定即可． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，垂直的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 22. 如图，中，于点D，平分． （1）若，求的度数； （2）直接写出之间的等量关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，直角三角形两个锐角互余，对于（1），根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义得，然后根据直角三角形两个锐角互余得，最后根据得出答案； 对于（2），根据三角形内角和定理得，角平分线定义得，再根据直角三角形两个锐角互余得，最后根据，代入可得答案． 【小问1详解】 ∵, ∴． ∵平分， ∴． 在中， ∴， ∴； 【小问2详解】 . 在中，． ∵平分， ∴． 在中，， ∴ ． 23. 如图，在三角形中，为中线，，，求的长度范围． 【答案】 【解析】 【分析】延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解：延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确辅助线是解题的关键． 24. 如图1，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样图形叫做“规形图”， （1）观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2；把一块直角三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，，则____°； ②如图3，平分平分，若，请用含α和β的式子表示的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2）①36；② 【解析】 【分析】（1）连接并延长，用两次三角形的外角定理即可． （2）①依据（1）中的结论即可解决问题． ②依据（1）中的结论，结合整体思想即可解决问题． 【小问1详解】 解：． 连接并延长到点E， ∵是的外角， ∴． 同理，， 则． 又， ∴． 【小问2详解】 ①由（1）中的结论可知：． 又， ∴． 故答案为：36． ②由（1）中的结论可知：， 则． 又平分平分， ∴． 则． 又， ∴． 即． 又， 所以． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，巧妙的利用三角形和外角定理及整体思想是解题的关键． 25. 我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合） （）的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（），不是；（）说明见解析；（）或 【解析】 【分析】（）根据，得到，求得，得到，进而根据“和谐三角形”的定义即可判断； （）由是的一个外角，得到，求出，，即得，进而根据“和谐三角形”的定义即可求证； （）由，，得到，可以证明，得到，进而由得到，即得，得到，再根据得到，最后根据是“和谐三角形”解答即可求解． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不是“和谐三角形”， 故答案为：，不是； （）∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是“和谐三角形”； （）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“和谐三角形”， ∴或 ∵ ∴或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $