精品解析：湖北省腾云联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题

湖北省“腾•云”联盟2024-2025学年度上学期10月联考 高三数学试卷 命题学校：汉阳一中 命题教师：吴正阳 审题教师：袁芳､朱辉 考试时间：2024年10月8日下午 试卷满分150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指、对数不等式化简集合,再由交集运算即可. 【详解】， ， 所以 故选:C 2. 若复数满足，则复平面内表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，先求，再求，根据复数的几何意义进行判断. 【详解】由， 所以.对应的点在第一象限.. 故选：A 3. 函数在区间单调递减，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】时，代入可知满足题意；时，求出二次函数的对称轴结合函数在右半部分单调递减得出开口方向，列出不等式组，求解即可得出答案． 【详解】当时，在上单调递减，满足题意； 当时，的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得． 综上，a的取值范围为． 故选：D 4. 函数图像的一条对称轴为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出. 【详解】由的图象关于对称， 可知：，即，则． 故选：A． 5. 四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，设，写出坐标，可得点的轨迹方程，进而可求出的最大值. 【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系， 设,. 所以,,,, 所以, 因为, 即, 故点在以点为圆心，半径为的圆周上运动， 所以的最大值为. 故选：D. 6. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正弦定理求的外接圆半径，再求点到平面的距离，设三棱锥外接球半径为，根据勾股定理列方程求出，进一步计算球的表面积. 【详解】如图： 在中，， 由余弦定理：, 所以，所以外接圆半径为，即. 在直角三角形中，，，所以. 设棱锥外接球半径为，在直角三角形中，， 解得：. 所以球的表面积为：. 故选：A 7. 已知圆，点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为和，以为直径作圆，则圆的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可得，利用导数可得，再根据等积法可，故可求圆的面积的最小值. 【详解】由题设有，设，则， 设，则， 因为为上的增函数，故为上的增函数， 而，故当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故， 由等积法可得， 故， 故， 故圆的面积的最小值为， 故选：B. 8. 不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（ ） A. 560 B. 455 C. 91 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】在都加上1，把问题转化成方程有正整数解的问题解决. 【详解】设，，， 则不等式有多少组非负整数解的问题，转化为：的正整数解的组数. 因为方程：的解的组数为：； 的解的组数为：； … 的解的组数为：. 所以原不等式解的组数为：. 故选：B 【点睛】结论点睛：方程（且）正整数解的组数为. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数；去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ） A. B. C. 剩下18个数据的中位数大于原样本数据的中位数 D. 剩下18个数据的分位数不等于原样本数据的分位数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数的计算方法判断A；根据方差的计算方法判断B；根据中位数的概念判断C，根据百分位数的计算方法判断D. 【详解】对A：因为，且，所以，故A正确； 对B：设20个数据按从小到大的顺序排列为：，则 ，， 因为， 所以 .故B正确； 对C：剩下18个数据的中位数和原样本数据的中位数均为，是相等的，故C错误； 对D:因为，则剩下18个数据的分位数为；又，所以原样本数据的分位数也是，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 关于对称 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性和单调性，求出函数的值域，可判断BD，求出函数的周期，可判断A，利用特殊点的函数值，可判断C. 【详解】对， 因为， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称. 又， 所以函数为周期函数，且最小正周期为.故A正确； 当时，， 易得在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以； 当时，根据函数为偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，且. 根据函数的周期性，所以函数的值域为，故B正确. 因为，， 所以， 所以的图象并不关于对称，故C错误； 因为函数在上单调递减，且周期为， 所以函数在上也是单调递减，故D正确. 故选：ABD 11. 已知定义域为函数和，且是奇函数，对任意满足且，下列说法正确的（ ） A. B. 或1 C. 在上单调递增，在单调递减 D. 时， 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用导数的运算规则及导数关系可判断其正确，对于B，利用赋值法可求，故可判断其正误，利用反证法可判断C的正误，对于D，令，利用导数可证明恒成立，故可判断其正误. 【详解】对于A，因为，故， 所以，故A正确； 对于B，因为是奇函数，故， 因为，故，故，故B错误； 对于C，由A的分析可得 ，故即， 若在上单调递增，则当时，有， 故，矛盾，故C错误； 对于D，因为， 故即，故为上的增函数， 设， 则， 设，则， 设，则， 若恒成立，则，故，此时， 矛盾，故且不恒为零，故在上为增函数， 故，故为上为增函数， 故，故为上为增函数， 故即，故D成立， 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：不同抽象函数的性质讨论，注意抽象函数之间性质的转化，而与抽象函数有关的不等式恒成立问题，可利用导数讨论导数的符号后得到相应函数的单调性，必要时需多次求导. 三､填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，根据曲线切线的几何意义列式即可求. 【详解】由得， 因为曲线在点处的切线的倾斜角为， 所以， 所以，故. 故答案为： 13. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用双曲线定义，可得，又由勾股定理得，联立求得，即得的面积. 【详解】 如图，由可知， 由对称性不妨设，由定义， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以的面积为. 故答案为：3. 14. 有一直角转弯的走廊（墙面与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，若不计硬管粗细，则可通过的最大极限长度为______米. 【答案】 【解析】 【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度，再利用勾股定理求出硬管倾斜后能通过的最大长度，即可得到答案. 【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度. 设,则. 过作垂直内侧墙壁于，作垂直内侧墙壁于， 则. 在直角三角形中，，所以. 同理可得. 所以. 因为（当且仅当且时等号成立）. 所以. 因为走廊的宽度与高度都是米， 所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为. 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 如图，在平行四边形中，，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动． （1）当时，试确定点的位置并证明； （2）在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）为线段的中点，证明如下： 在中，， 由余弦定理得，则， 有，又平面平面，平面平面， 平面，则平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 由，得，解得，即， 所以当时，点为线段的中点． （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理、面面垂直的性质证得直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用垂直关系的向量表示求解即得. （2）求出平面的法向量，再用面面角的向量求列式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 16. 已知函数，其中为自然对数的底数. （1）讨论的单调区间； （2）当时，不等式在区间上恒成立时，求的取值范围. 【答案】（1）当时，的单调增区间为，单调减区间为； 当时，的单调增区间为，单调减区间为. （2）实数的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）由题得，分，，讨论单调性求解即可； （2）参数分离得在上恒成立，令，讨论的单调性，求得的最大值即可求得的取值范围. 【小问1详解】 易知函数的定义域为.所以， 当时，由，得，由，得. 所以的单调增区间为，单调减区间为； 当时，由，得，由，得. 所以的单调增区间为，单调减区间为； 综上所述：当时，的单调增区间为，单调减区间为； 当时，的单调增区间为，单调减区间为. 【小问2详解】 将代入，得，因为不等式在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，易知函数的定义域为. 所以. 当时，，故； 当时，，故； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，在上取得最大值. 所以，所以实数的取值范围是. 17. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，中点为且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量平行得到：，利用正弦定理，角化边可得，再用余弦定理求，进而可得角. （2）先用正弦定理表示出边，，明确角的关系及角的取值范围，借助平面向量表示出，利用三角恒等变换化简，借助三角函数的性质求取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理可得：，即. 由余弦定理得：， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理得：， 所以，，其中，. 又. 所以 因为：，所以，所以. 所以. 所以中线的取值范围为：. 18. 已知椭圆的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于. （1）求椭圆的标准方程. （2）若，直线与的斜率分别为与，求的值. （3）求证： 【答案】（1） （2） （3） 设（），的延长线交轴于点，如图： 、两点处切线斜率分别为，则. 设点的椭圆的切线方程为：，即， 由消去， 化简整理得：， 由得： 化简整理得：， 由韦达定理，得：，， 所以，， 所以要证明，只需证明：， 即 ， 因为，所以上式成立， 即成立. 【解析】 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，求出，可得椭圆的标准方程. （2）设过点的切线方程的点斜式，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得的值. （3）设（），再设过点的切线方程，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得，的表达式.再把和用，表示，化简整理即可. 【小问1详解】 由题意：. 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 设过点的切线方程为：，即， 由，消去，整理得：， 由， 整理得：， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 如图：一张的棋盘，横行编号：竖排编号.一颗棋子目前位于棋盘的处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中.例如该棋子第一次移动可以从移动到或.棋子每次移动到不同目的地间的概率均为. （1）①列举两次移动后，该棋子所有可能的位置. ②假设棋子两次移动后，最终停留到第1，2，3行时，分别能获得分，设得分为，求的分布列和数学期望. （2）现在于棋盘左下角处加入一颗棋子，他们运动规则相同，并且每次移动同时行动.移动次后，两棋子位于同一格的概率为，求的通项公式. 【答案】（1）①，，； ②分布列见解析； 1 3 . （2） 【解析】 【分析】（1）列出所有两次移动的路径，求出其概率，根据得分规则，可得的分布列，并求期望. （2）先探讨棋子的运动轨迹，记两棋子之间的距离为，明确的值，求出对应的概率，设“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，列出，，之间的关系，可求. 【小问1详解】 ①两次移动的所有路径可能如下： ；；；. 所以两次移动后，该棋子所有可能的位置有：，，. ②棋子两次移动后，最终停留在时，得1分，对应概率为：； 棋子两次移动后，最终停留在时，得1分，对应概率为：； 棋子两次移动后，最终停留在时，得3分，对应概率为：. 所以，. 所以最终得分的分布列为： 1 3 所以. 【小问2详解】 将棋盘按如图所示编号： 将棋子可以去的区域用箭头连接起来，若从3可以连接到4或8，记做；从8可以连接3或1，记做；然后将它们串联起来：.依次类推，可以串联处环状回路：，如下图所示： 则棋子等价于在这个环状回路中运动. 问题（2）可以转化为将两个棋子放在环状回路中的3号、7号位置，每回合3号、7号棋子有四种运动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率均为. 为了转化问题，现规定：“两棋子之间的最短节点数”，例如： 特别规定两棋子重合时，.并统计四种运动模式下会如何变化. 假设3号棋子顺时针走过个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过个节点也可以与之重合. 为了简化问题，不妨假设，于是有下表： （顺，顺） （顺，逆） （逆，顺） （逆，逆） 设“回合后，的概率”， “回合后，的概率”， “回合后，的概率”， 则有：， 所以， 显然：，，所以， 所以. 【点睛】方法点睛：在第（2）问中，先探讨棋子的运动轨迹，记两棋子之间的距离为，明确的值，求出对应的概率，设“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，列出，，之间的关系，可求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省“腾•云”联盟2024-2025学年度上学期10月联考 高三数学试卷 命题学校：汉阳一中 命题教师：吴正阳 审题教师：袁芳､朱辉 考试时间：2024年10月8日下午 试卷满分150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复平面内表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数在区间单调递减，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数图像的一条对称轴为，则（ ） A. B. C. D. 5. 四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为和，以为直径作圆，则圆的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（ ） A. 560 B. 455 C. 91 D. 55 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数；去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ） A. B. C. 剩下18个数据的中位数大于原样本数据的中位数 D. 剩下18个数据的分位数不等于原样本数据的分位数 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 关于对称 D. 在上单调递减 11. 已知定义域为函数和，且是奇函数，对任意满足且，下列说法正确的（ ） A. B. 或1 C. 在上单调递增，在单调递减 D. 时， 三､填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________. 13. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 14. 有一直角转弯的走廊（墙面与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，若不计硬管粗细，则可通过的最大极限长度为______米. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 如图，在平行四边形中，，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动． （1）当时，试确定点的位置并证明； （2）在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值． 16. 已知函数，其中为自然对数的底数. （1）讨论的单调区间； （2）当时，不等式在区间上恒成立时，求的取值范围. 17. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，中点为且，求的取值范围. 18. 已知椭圆的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于. （1）求椭圆的标准方程. （2）若，直线与的斜率分别为与，求的值. （3）求证： 19. 如图：一张的棋盘，横行编号：竖排编号.一颗棋子目前位于棋盘的处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中.例如该棋子第一次移动可以从移动到或.棋子每次移动到不同目的地间的概率均为. （1）①列举两次移动后，该棋子所有可能的位置. ②假设棋子两次移动后，最终停留到第1，2，3行时，分别能获得分，设得分为，求的分布列和数学期望. （2）现在于棋盘左下角处加入一颗棋子，他们运动规则相同，并且每次移动同时行动.移动次后，两棋子位于同一格的概率为，求的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $