精品解析：甘肃省天水市秦安县兴国镇初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次教学评估数学试卷

兴国中学2024-2025学年度第一学期第一次检测卷 九年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定 5. 若在实数范围内成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若x，y都是实数，且，则值是（ ） A. B. C. 2 D. 7. 若，化简的正确结果是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 9. 公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解方法：先构造边长为的正方形，再分别以，为边作另一边长5的长方形，最后得到四边形是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列一元二次方程（ ）的解． A B. C. D. 10. 若是方程的两个根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 12. 用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则n的值是______． 13. 是一元二次方程，则m=___________． 14. 若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第_____象限． 15. 三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程 的解，则此三角形的周长是________． 16. 已知，，化简____． 17. 定义新运算：例如：，．若，则值为______． 18. 已知，则的值______． 三、解答题：本大题共4小题，共38分． 19. 计算： （1） （2） 20. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3） （4）． 21. 已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，求的值和方程的解． 22. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． （1）填空：______，______； （2）求值； （3）求的值． 四、解答题：本大题共5小题，共50分． 23. 化简求值：，其中m是方程的根 24. 已知实数在数轴上如图所示，， （1）化简； （2）当，时，求值． 25. 已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值． 26. 阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以． 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是______，化简______． （2）化简 （3）若，求的值． 27. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； 无论取何实数，都有， ，即的最小值为． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值______ ； 【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 兴国中学2024-2025学年度第一学期第一次检测卷 九年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，含有小数，不符合题意； D、，含有分母，不符合题意； 故选A． 2. 下列二次根式与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的有关概念，解题关键是了解同类二次根式的定义，把二次根式化成最简二次根式．把各个选项中的二次根式化简为最简二次根式，然后观察被开方数是否相同，进行判断即可． 【详解】解：A、与的根指数相同，被开方数不同，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、，与的根指数相同，被开方数相同，它们是同类二次根式，故此选项符合题意； D、，与的根指数相同，被开方数不相同，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把每个选项的方程化为一元二次方程的一般式即可得到答案． 【详解】解：A、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是2，符合题意； B、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是-2，不符合题意； C、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是-2，不符合题意； D、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是2，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常项数，正确把一元二次方程化为一般形式是解题的关键：一元二次方程中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项． 4. 关于一元二次方程根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此进行计算即可得出答案． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴，即， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 5. 若在实数范围内成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的除法法则，根据直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， 解得：， 故选：D． 6. 若x，y都是实数，且，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，代入求值，解题关键在于求出x，y的值． 【详解】解：由题可知， 解得， ∴， ∴， 故选C． 7. 若，化简的正确结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，绝对值的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键，先判断，，再根据 ，化简代数式并合并即可． 【详解】解：， ，， 故选：D． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 9. 公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解方法：先构造边长为的正方形，再分别以，为边作另一边长5的长方形，最后得到四边形是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列一元二次方程（ ）的解． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的面积得出方程，再整理即可． 【详解】解：∵四边形AIFH是面积为64的正方形， ∴（x+5）2=64， 整理得：x2+10x=39， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和列方程，能根据题意列出方程是解此题的关键． 10. 若是方程的两个根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系：若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．利用一元二次方程解的定义以及根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∵是方程的两个根， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 12. 用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则n的值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先用配方法将原式化成的形式，，即可确定出n的值． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即，则． 故答案为7． 13. 是一元二次方程，则m=___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高指数为2的整式方程为一元二次方程，则，然后选出合适的值即可． 【详解】解：是一元二次方程， ，， 或0，， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程定义，结合一元二次方程的概念求出参数值是解题关键． 14. 若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第_____象限． 【答案】一 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程x2-2x-m=0无实数根， ∴△=4+4m＜0， 解得m＜-1， ∴m+1＜0，m-1＜0， ∴一次函数y=（m+1）x+m-1的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为：一． 15. 三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程 的解，则此三角形的周长是________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法求一元二次方程，三角形三边数量关系的运用，根据三角形三边关系可得第三边的取值范围为，再根据因式分解求一元二次方程，可确定三角形第三边的长，即可求解． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴三角形第三边长的取值范围为：第三边长，即第三边长， ∵ ∴，（不符合题意，舍去）， ∴三角形第三边长为：， ∴此三角形的周长为：， 故答案为：13 ． 16. 已知，，化简____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据算术平方根的非负性可求得结果，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： ． 17. 定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 18. 已知，则的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值和二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得，再根据绝对值的代数意义将化简，即可得解．解题的关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即值为． 故答案为：． 三、解答题：本大题共4小题，共38分． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，实数的运算，掌握相应的运算法则、公式和性质是解题的关键． （1）先根据零指数幂、绝对值的代数意义、负整数指数幂、二次根式的除法将原式化简，再进行加减运算即可； （2）根据二次根式的乘法和平方差公式将原式化简，再进行加减运算即可 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）先把两边都除以3，然后用直接开平方法求解即可； （2）整理后用公式法求解即可； （3）用因式分解法求解即可； （4）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 整理得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴． 21. 已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，求的值和方程的解． 【答案】，方程解为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程；由根与系数的关系得：，即可求得n的值；再用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根互为相反数， ∴两根的和为零，即， ∴， 解得：； 当时，方程为，即， 解得：． 22. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． （1）填空：______，______； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）p，1 （2）p （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （1）利用根和系数的关系即可求解； （2）把变形为，然后把，代入计算即可； （3）把变形为，然后把，代入计算即可； 【小问1详解】 解：由根与系数关系，得，， 故答案为：p，1； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ． 四、解答题：本大题共5小题，共50分． 23. 化简求值：，其中m是方程的根 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值和一元二次方程的解的概念根据分式的混合运算法则把原式化简，根据一元二次方程的解的定义，得出代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． ∵m是方程的根， ∴ 即 ∴原式 24. 已知实数在数轴上如图所示，， （1）化简； （2）当，时，求的值． 【答案】（1） （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查了由数轴判断式子的符号、绝对值的性质、二次根式的化简及运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由图可知：，，，从而得到，，再根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可得出答案； （2）将，代入（1）中的式子，计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图可知：，，， ，， ； 【小问2详解】 解：当，时， 则． 25. 已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值． 【答案】（1）详见解析；（2）p=±1． 【解析】 【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0， x2﹣5x+6﹣p2=0， △=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2， ∵无论p取何值时，总有4p2≥0， ∴1+4p2＞0， ∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2， ∵， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2， ∴52=5（6﹣p2）， ∴p=±1． 26. 阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以． 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是______，化简______． （2）化简 （3）若，求的值． 【答案】（1）， （2）2023 （3）7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、数字的变化类、平方差公式等知识点，掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和互为有理化因式的定义即可解答； （2）先进行分母有理化，然后运用二次根式的混合运算法则进行计算即可； （3）先分母有理化，再根据阅读材料和二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式是； ． 故答案为：，． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； 无论取何实数，都有， ，即的最小值为． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值______ ； 【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）利用配方法把变形为，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值； （2）利用配方法得到，则可判断，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论取何实数，二次根式都有意义； （3）利用三角形面积公式得到四边形的面积，由于，则四边形的面积，利用配方法得到四边形的面积，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】解：（1） ， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为； 故答案为：； （2）， ， ， 无论取何实数，二次根式都有意义； （3）， 四边形的面积， ， ， 四边形的面积 ， 当，四边形的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$