精品解析：河北省衡水市第二中学2025届高三上学期素养检测一数学试题

高三年级素养检测一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 已知复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 若是的垂心，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，．若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，E是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ） A. 10 B. 4 C. 7 D. 13 7. 已知向量，且，则与夹角的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，当时，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数定义域中任意的，有如下结论，①，②，③，④.下列函数能同时满足以上两个结论的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，，，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数在上有最大值，无最小值，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 是离轴距离最近的对称轴 D. 的最小正周期为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角的对边分别为，若的面积为，则______． 13. 在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置.设，记，则的单调递增区间为_______________ 14. 已知数列满足，则 ①当时，存在，使得： ②当时，为递增数列，且恒成立； ③存在，使得中既有最大值，又有最小值； ④对任意的，存在，当时，恒成立. 其中，所有正确结论的序号为______. 四.解答题：本题共5小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角.所对的边分别为.已知. （1）求； （2）若的内切圆半径为，求的面积. 16. 已知函数在区间单调，其中为正整数，，且. （1）求图象的一条对称轴； （2）若，求. 17. 设是数列的前n项和，已知， （1）证明：是等比数列； （2）求满足的所有正整数n. 18. 已知函数. （1）证明：的导函数有且仅有一个极值点； （2）证明：的所有零点之和大于. 19. 定理：如果函数在闭区间，上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点，使得，这是以法国数学家米歇尔罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用. （1）设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间； （2）如果在闭区间，上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点，使得； （3）利用（2）中的结论，证明：当时，.（为自然对数的底数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 命组卷网 高三年级素养检测一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.设集合M=,3a+2,N=L,a},若MnN={L,4,则a=(） 4.-2 B.0 C.2 D 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的结果列出方程求解即得. 【详解1集合M=,3a+2,N=九，}，而MnN={,4,则a+2=d2=4. 经验证a=2符合题意，所以a=2. 故选：C Z 2.己知复数乙1=1+2i,21,z2在复平面内的对应点关于实轴对称，则z2的虚部为() 4 4i 4 4i A.5 B.5 c.5 D.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性求复数？，再根据复数的除法运算公式，即可化简求解 【详解】由思意得名在复平面内所对应的点为1,2），则3所对应的点为（，-2），所以名=1-2i, 311+2i 1+2i)2-3+4i 则z21-2i(1-2i1+21)5’虚部为5· 故选：A. 第1页/共29页 6学科网命组卷网 1,2 3.若log4x+log4y=2,则xy的最小值为() 2 1 A.2 B.8 C.4 D.2 【答案】A 【解析】 2 【分析】首先过呢据条件化简得到y=16,法一，根据基本不等式·+之2一 √xy,即可求解：法二， 1,2y.2 根据条件等式，变形得xy16y,再利用基本不等式，即可求解. 【详解】10g4x+log4y=2,x>0,y>0,1og4(y)=2,y=16 12 法一： 1+2≥22-22-2 “xy√yV162,当且仅当xy时，上式等号成立， 1.2 2 又xy=16,可得x=2V2,y=4V2时，xy的最小值为2. 故选：A :1+2-+2≥2 y 2 法二：x十少16+y之2，当且仅当16y时，上式等号成立， 1,2 √2 又y=16,可得x=2V2,y=4V2时，xy的最小值为2 故选：A 4.若H是△ABC的垂心， 2A+2H孤+3HC=0,则tanC的值为() √2I V10 A.5 B.2 C.22 D. 2 第2页/共29页 6学科网命组卷网 【答案】B 【解析】 CD-2HD 【分析】取AB的中点D,连接HD,利用中点向量公式结合给定等式推得 再利用垂心的 性质，垂直关系的向量表示，二倍角的正切公式计算得解 【详解】在△ABC中，取B的中点D,连接HD,则HA+HB=2D 如图， H D 由2m+2m+3C-0.#丽-号顶+肠-号而 CD-2HD ,于是 CA-CD+DA-7HD+D4,HB-HD+DB-HD-DA 由H是△ABC的垂心，得Hd⊥DA,HB⊥C则而·DA=0,HB-Ci=0 因ta,孤-号而+而-0-号D--0,即0A1历 显然tan∠AHD=AD!-V2i HD3,∠BHD=∠AHD'令直线BH交AC于F'AH交BC于E' 在R4CE,RaMF中，∠ACB+∠C4B=2=∠Ar+∠CME. 即∠ACB=∠AHF, 则an∠4CB=ta(k-2∠AHD)=-tan2∠AHD=-2ian∠AHD 2xV②7 3 V21 1-tan2∠AHD 1-(22 2， 3 第3页/共29页 6学科网6组卷网 √21 所以tanC的值为2· 故选：B 【点睛】关键点睛：涉及向量垂直关系，利用基底表示出相关向量，再利用向量数量积的运算律求解是关 键 <a<元，0<B<元， 2π sin 5.已知6 若tana=3*,tanB=3k,则k=（) 1 3 3 A.2 B.2 C.2 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析可得 a-B-I ,利用两角和差公式结合指数幂运算求解. 【详解】由题意可得 mB=sm[+(gaj小coma- a0p 因为6 nB=a-元a-B=元 可得 6,即 6, 则ta&=am(a-p)=ama-tam月-3-3t-3-3t_N5 6 =1+-tan tan B1+3.3k=2=3, 令1=3*>0 则23，整理得B-21-V3=0:解得1E5或t、3 3(舍)， 第4页/共29页 6学科网命组卷网 1 即3*=5，解得=2 故选：B BD=BC 6.在△ABC中， 3 ,E是线段AD上的动点（与端点不重合），设CE=xCA+yCB,则 2x+3y+xy y 的最小值是() A.10 B.4 C.7 D.13 【答案】D 【解析】 3 【分析】由己知条件结合平面向量基本定理可得+ y=1,x>0,y>0,则 BD=-BC 【详解】因为 3，所以 因为CE=xCA+yCB,所以 =Ci+2D 3 因为4D,E三点共线，所以x+2)=1 ,x>0y>0, 2aw2-仔川 xy y x =2+3+3+9y+1=7+2+9≥7+22x2=13 y 2xy2 y 2x 第5页/共29页 6学科网 列组卷网 2x_9y .1 X= y 2x 当且仅当 21' 3 即】1时取等 x+- 故选：D E D 7已知向量同-风=4a6=8,c-a+ 2,且--1，则n与C夹角的最大值为《) 5π A.6 B.4 C.3 D.12 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算，以及平面向量的几何表示，结合圆的性质求解. 【详解】 已知向量l同=同=4，a6=a6cos(a,b)=-8】 oma=5闻aj=径. 建立如图所示平面直角坐标系， 04-a,OB-6.OC=d ON=n 第6页/共29页 命学科网命组卷网 则A(4,0),B(-2,25),Cv3 又方-=1，则CN=1,即N的轨迹为以，V)为圆心，1为半径的圆， 由图可知，当ON与圆相切时，∠CON最大，此时sin∠CON= 0C2, π π 则∠CON的最大值为6，即n与c夹角的最大值为6. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量数量积的运算，关键通过数形结合的方法建立坐标系解决问题 8已a>0.因-(ac-安n(+,当x0时：f≥0.则a0-的意大为c) 1 2 A. e B.e2 3 4 C.e2 D.e2 【答案】D 【解析】 【安1有8<1,0-小-0.-=h+0g与树m8周散 f≥0，则w6=0=a0-- e5,然后构造函数8()= ex,求最值即可： 【详解】因为a>0,所以y=0e-} x在0，+oo)拗由y=aex与x图象知.少=et/ x在 (0,+o0）有唯一的零点， 第7页/共29页 6学科网命组卷网 Xo 当<时，y=e-10 当>时，y=ae-1>0 若b≥1，则y=血(x+b)>0在(0，+o)恒成立，与f)≥0矛盾，故b<1. 袋f-(ae-(r+b)定义为{beL0以，且f0-)-0 因为a>0.所=ae-=la(x+b)约在(-6o)年满递 所以当e(b1-o创，a(e+列<0，因务20，斯N-<0 当*e1-t回，h(x+>0,因为fe≥0，所uae-0 所以当x=1-h时，ae-0h(x+b)=0 me6-03a0--09 ol-b 今-艺，s-2 所以当xe(0,2)时，g'(小0，g()= er单调增， 第8页/共29页 命学科网命组卷网 当∈2+o)时，g(<0,g()= e单调减， 放8(58(2)= 咖0-6叭.与9 ≤e,当且仅当1-b=2即b=-1时等号成立： 故选：D 【点睛】多变量问题通常需要先找到变量之间的关系，然后将多变量转化为单一变量，然后构造函数利用 导数求其最值即可 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.对于函数f()定义域中任意的，x(:≠5)，有如下结论，O(:名f(x)-f(,》>0,② 6-gp--0.5兰）儿6.84r+24-0Ea 同时满足以上两个结论的有() A.f(x)=Inx Bf=sim( c.f(x)=e" D.f(x)=x 【答案】BCD 【解析】 【分析】先对四个结论进行解读，得出函数的单调性，奇偶性，周期性和凹凸性，对选项一一判断，即得 结果 【详解】由o(:-x((:)-f(:》>0可得，函数f()在定义域内为增函数： 第9页/共29页 6学科网6组卷网 由②f(:-2)+f(2-)=0可得，f)+f(-)=0,即函数f(x为奇函数： o小 2可得，函数f(x)的图象向下凸： 由@f(2x)+f(2+2x)=0可得，fc+2)=-f, 即f+4)=-fx+2)=,说明函数f()的周期为4 对于A,函数f()=血x不是奇函数，图象向上凸，也没有周期，故排除； T=2π=4 对于B,函数f(x)=sin 是奇函数，且周期为 2 ,故符合要求： 对于C,函数()=©在R上单调递增，且其图象向下凸，故符合要求， 对于D,f(x)=x 是奇函数，且在R上单调递增，故符合要求， 故选：BCD 10.已知复数乙，2，，则下列说法中正确的有() A若Z122=2,23,则21=0或22=23 22 c若+分=0，则=名=0 D.若名=22，则名H2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则可判断A:先计算矿-1，再求，判断新B,用特例验正C,利用 z2=说明D正确 【详解】对于A石=名分名，-2)=0分名=0或2=名，故A正确。 第10页/共29页 6学科网命组卷网 对于B,方法：子宁= 221,=1,=t3 15: 一2+21，所以z以3为周期，所以 一十 24=w2==}5 22,故B正确. tisi 2π 2π 方法二（复数的三角表示）：名=c0s于 3 n3,所以乙的模为1，辐角为3，则20的模为1， 2π×2024=2元x674+4 辐角为 所以24=c0s isin 4π1 322.故B正确。 -1 3 对于C,取名=1，名=i,则子+2巧=0，此时子≠五，故C错误. 对于D,名名，马P,所以石=2五名H2,故D正确. 故选：ABD 1.已知函数f(x)=2 sin@xcos@x--2sin2ox+1(0∈N)在(12'3上有最大值，无最小值，则( A()为奇函数 π元 B.f(x)在4'2上单调递增 cx=8是f(~)离y轴距离最近的对称轴 D.f()的最小正周期为 【答案】CD 第11页/共29页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】首先化简函数f() 的解析式，根据函数的形状，确定端点的取值范围，即可求0的值，再根据 函数的性质，判断选项 【话】=in2or+((oo-sma-sn2ar+cas2omr=vsn2o+到 ππ 当x∈ 元π0+元2π0+元 20x+ 12’3时， 464’34 ππ 因为函数f(x)在(12’3上有最大值，无最小值， +2k元<0+<+2km<2π0+亚s3π+2km 所以存在k∈Z,使得2 642 342 3 9 92k≤0<2+12R ≤0 2 理的g+3<®s+站’所以g<os片，解得；a 15 <0≤ <0< 8 8 kEZ 8 8 8 2 因为meN,放m=1:得侧=2n2x+引】 Af(0)=10,所以函数()不是奇函数，故A错误： ππ 所以函数∫(x)在(4'2上单调递减，故B错误： C令2+开十，k乙，对二及+.大E乙，所以房辰近对称方得为8，盈 4-2 x= C正确： 2π =π D.f(x的最小正周期为2，故D正确 故选：CD 第12页/供29页 6学科网6组卷网 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. √3 12.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=1,△ABC的面积为2，则c=一. 【答案V5V7 【解析】 C=π2π 【分析】先由三角形的面积公式结合特殊角的三角函数值求出3或3，再由余弦定理求出结果即可； 5 【详解】a=2,b=1,△ABC的面积为2， 所以2 absin C='X 1 2×2x1 xsinC=5 2,解得sinC= 2, π2π C= 因为0<C<π，所以3或3， Cπ 当3时，由余弦定理可得c2=a2+b2-2 abcosC=4+1-2=3,即c=V3, 当3时，由余弦定理可得c2=a2+b2-2 abcosC=4+1+2=7,即c=√7， 综上c=V5或V7 故答案为： rads 13.在平面直角坐标系xOy中，一动点从点M,(N3,0)开始，以 ，的角速度逆时针绕坐标原点O做 匀速圆周运动，s后到达点M的位置设4（乞2） 记p(x)AM2,则p(x)的单调递增区间为 第13页/共29页 6学科网6组卷网 8 4k+ 【答案】 (k∈Z) 3 【解析】 (x) 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义求出点M的坐标，求出并利用差角的余弦化简，再求 p(x) 的单调递增区间即可 【详解】依题意，xS后，动点走过的弧度数为2，则 M(3 cos3sinx) 2 又4吃2 2 =4-3cosx-3sinx 2 2 =4-2W3cos(5x-) 23, 树的单为区同.即=a宁一争向t区同 则2号点+2.m+号+}e列 2 3 14已知数列{a,}满足4=a,0-V2+2(n=12,3,则 第14页/供29页 学科网命组卷网 ①当a=-时，存在k∈N,使得4，=2。 ②当a=1时，a,}为递增数列，且4.<2恒成立： ③存在a∈R,使得a,}中既有最大值，又有最小值； @对在意的acR,存在%eN,当>%时，，-2下20 2024恒成立. 其中，所有正确结论的序号为 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对于①②，根据数列递推式，求出4=4-3× 2 结合题意，即可判断；对于③，举出特 例，即可判断：对于@.分4=2和4≠2 情况讨论，结合数列的项的变化情况，即可判断 【详解】对于0，由于4=a01-2+2(=123,）,枚a1>0m≥1， 则{@-4是以4-4=-3为首项，公比为2的等比数列， 则心-4=3”…成=4x 乡公=4x”=4,则3x付”=0，不i 故不存在k∈N,使得4：=2 ,①错误： 对于②，当Q=1时，由①知，@-4是以4-4=-3为首项，公比为2的等比数列， 第15页/共29页 6学科网命组卷网 -4=3…d=4-38八 则2G=4-3-4+3付=3x>0,得心> 而a.>0,故a>a,故{a,}为递增数列， 而4=4-3× 2 <4,故4，<2恒成立，②正确： 1 对于③，当4=-2时，当n≥1时，0V2+2=2 此时a,}中有最大值2，有最小值为-2， 即存在a∈R,使得{a}中既有最大值，又有最小值，③正确： 对于④，庙0知， -4=(c-4) 2 12 当4=2时，当n≥1时，a1-V24+2=2 ,符合题意： 当a2味，G-(口-4小[ +4,随着n→o'G→4， an1>0,n2L,则a.→2，则必存在n。∈N,当n>no时，0，-2≤2024 综合以上对E意的aER,布在%eN,当>风，，-2水<及 2024恒成立，④正确， 故选：②③④ 四解答题：本题共5小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第16页/共29页 6学科网命组卷网 15.在△MBC中，角4，B,C所对的边分别为a6,c己知(2h-a)cosC=cosA (1)求C: 3 (2)若AABC的内切圆半径为2，C=4,求AABC的面积 C= 【答案】(1)3 11v5 (2)4 【解析】 【分析】(1)法一：利用正弦定理，将边化为角，再结合三角函数恒等变换，即可化简求角： 法二：利用余弦定理，将余弦化为边，再根据余弦定理，即可求角： (2)首先根据余弦定理化简得到a+=16+3ab 再结合内切圆半径，集合等面积公式，得到 a+b+4=ab ab ,两式化简得到，即可求面积 【小问1详解】 法-：因为(2b-a小0sC=cc0s ,由正弦定理得， 2sinBcosC-sinAcosC cosAsinC 2sinBcosC sinAcosC+cosAsinC 即 2sinBcosC=sin(4+C) 又M+B+C=元，所以sin(A+C)=sinB≠0 所以c0sC1 Cπ 2,又0<C<π，即3 第17页/共29页 命学科网命组卷网 法二：因为(2b-a)cosC=cosA 由余弦定理得 -广-0-行-4 a 260+R-c-d-6+c2=2+c-d→264+-c=26 a a Q+-c-b→a+2-c_1 a 2ab 2 所以c0sC 2,又0<C<π，即3. 【小问2详解】 由余弦定理得c=d+b-2abc0sC→d+-ab=16,即a+b=l6+3ab0 政aABC的内切圆半径为r,由等面积公t得2a+b+©r' 2 absinC 即a+bex5lx 2=xabx 2 整理得a+b+4=ab,即a+b=ab-4→(a+b=db-8ab+16② 联立①②，解得ab=11, 所以AABC的面积为2 absinc=1x xIx1 24 16已知正数f网=5or+区阳后孕单两，.共中0为F整数.1p水受，且孕-学 (1)求少=f,) 图象的一条对称轴； 第18页/供29页 6学科网 命组卷网 白原-5康n 7π X= 【答案】(1)12 (2) 0=3 【解析】 ≥2元 π2π 【分析】(1)由正弦函数的单调性与周期性，可得 Γ3，所以2’3在同一个周期内，由 取其中点值，即可得∫(x)图象的一条对称轴： T=2π≥2 (2)由03，可得0≤3，又0为正整数，所以0=1,2,3，再分三种情况讨论，结合f(x) 金=2处取得最，款 【小问1详解】 ππ 因为函数f(x)=sin(ox+p)在区间6'2单调， 经。受 3, π2m “2’3在同一个周期内， :)) 第19页/供29页 6学科网6组卷网 π，2π y=f(x)图像的一条对称轴为x=2.3=7π 212 【小问2详解】 2r≥2m 由(1)知，03，即0≤3， 又0为正整数，所以0=1,2,3， 7π 由4)知，f()在=12处取得最值， +9-子a,e之.即0-受设 7π 所以12 2 2otk keZ. 当0=1财0 五+ez,白例经如0=音.)=m-】 当w=2时，9=-2 3 +k,kEZ' 由州<受，知0-号，所)=sm2x+写到 f日)2g引如音-9， 当0=3时，0=-5外十 k,kez. 4 由c受.p=,前u)=如3如-引 第20页/供29页 6学科网6组卷网 所得m引号：5.不 0= 综上所述， 3 an+l= .+n,n为奇数， 2 17设s是数列a,}的前项和，已知4 1' an-2n,n为偶数. （1)证明：a。-2}是等比数列， (②)求满足>0 的所有正整数n 【答1电E起将”-+2m+1=2a。-4)+2n+1=01 所以8+2~2 2a-2) 2,-2- 其中 ≠0 2 1 所以{4，-2是以2为首项，2为公比的等比数列； (2)正整数n为1,2 【解析】 【分析】(4山)出定义能证明数列a。一2乃是等比数列： 从而 =g+a+a+a)+…+a+a)=2a+3 第21页/共29页 6学科网命组卷网 由求和式子由此能求出满足了，>0 所有正整数n的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 有c4-2= 4=+2 =6-n 4+a=8-n-3, 所以Sm=(a+4)+(4+a)++(a1+an) =-40+2*+小+写-2n+6m-46 2++3 当228，}减中8-5n成=子.8= 7 8 所以满足 2n>0 的所有正整数n为1,2. 18.已知函数 =2awe5+8-lxe(0.2 （)证明：f(的导函数有且仅有一个极值点： 第22页/供29页 6学科网命组卷网 (2)证明： f()的所有零点之和大于2。 【答案】(1)证明： 闪为f)=2as登+-1=casx+exe(02刘) 所以f'(x)=-er-sinr 设8()=f'()=-e-simx,x∈(0,2mx) 所以8'()=e:-cosx=c(1-eosr,中cr>0恒成立， 令h(=l-e-cosx.x∈(0,2m) 则)=eosr+eim=esn(-4引. 因为e@2,所司)】 所以当0子)时，N闪<0，通数单调递藏 告任买)，20.数*地 当（经2.问<0，匠数学范 女401-eaA到-19e产>1-9e0,>0 2 )1-<1-e<0,2<四0 第23页/供29页 6学科网命组卷网 使得h(x)=1-e1c0s=0,即e-6=cosx, 放对于8(=h)有8()=0.当x∈(0，)时，8()>0，函数f(单调递箱，当 x∈(，2m时，8()<0，函数()单调递减。 所以是函数'（四）的极大值点，（✉）无极小值点，枚（女有且仅有一个极值点 (2)f()的所有零点之和大于2m,理由见如下： 因为5间=e小4omx602,夹号茶装-e”-.或(7买） 使得当 x∈(0，。)时，f(单调递增，当x∈(62时，面数f(单调递减， 又e=cosx 所fo)=-e<0,f()=-t-im,=os6-sim=-2sm+到 又f'(2m)=-e-2x<0 故∈(0，)，使得f()=0,五∈(，2)，使得(x)=0 于是可得： 当x∈(0，)时，f(因<0，f(四单调递减，当x∈(：，)时，()>0，f单调递增，当 x(,2m时，f()<0,f(x)单调递诚， ra0r)e学+0，微 第24页/共29页 6学科网6组卷网 清0.）e学，0，)小>经0，)度 f(B)=0 又f(2m)=c+1>0,所以两数/()在区间x∈(3,2)上无零点： 故函数在x∈(0,2m)上有两个零点a,B,且21 <a<元<B<3 2 由f(a)=f(B)=0可得： e0+cosu=0dP+cosf=0,所以osu=-t,cosB=-en 又aB→l-al-B→e">e-B→-ea<-en 所以cosa<cosB=cos(2m-P) 根据2 <π<BK2,可得： <a<元T<2π-B<π ,2 ,兀 并且函数y=cosx在2 上单调递减，所以a>2π-B,即a+B>2π， 故f() 的两个零点之和大于2π 【解析】 【分析1(1)要确定'()的极值点情况，则需要判断其导函数的单调性，设(x)=∫()，对8() 进行变形处理，即名'()=e*“(-cosr,即判断面数()=1-eosr的取值情况，即可得g(x) 第25页/供29页 6学科网命组卷网 的取值情况，从而确定函数（的极值点取值个数， (2)结合∫'（的单调性，确定其零点，从而得函数(：）的极值点分布，根据函数()单调性结合零 点存在定理即可确定函数(：)的零点个数及范围，利用三角函数与指数函数的单调性即可判断()的 所有零点之和与2π的大小关系。 【小问1详解】 略。 【小问2详解】 略。 【点睛】关键点睛：本题考查函数的极值点、零点与导数的关系，涉及到三角函数与指数函数混合运算， 难度较大解决本题中证明极值点个数问题的关键是，将指数函数与三角函数的加减运算，变形成乘除运算， 这样避免求导数过程中，导函数的零点无法解含指数与三角函数的方程问题，例如本题中对函数 g(x)=e-cosx直接求其导数无法消除指数运算，将其转化为8'()=e(1-ecos) 其影响正 负的部分 1-e*-cosx 的导函数零点可求，其单调性与极值点即可确定；解决本题中原函数零点之和的问题 的关键是确定零点范围为2 <a<π<B< 2之后，结合零点所满足的等式关系 e-a +cosa =0,e+cosB=0 根据指数函数比较大小，利用诱导公式转化并结合余弦函数'=C0Sx 在 2元 上的单调性，即可确定零点之和+B与2π的大小关系 f(x), la b] a,b) 19.定理：如果函数在闭区间，上的图象是连续不断的曲线，在开区间 内每一点存在导数， 第26页/共29页 6学科网列组卷网 且f@=f) 那么在区间a,b 内至少存在一点C,使得'@=0 这是以法国数学家米歇尔罗尔的 名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用 4)设/)=-x-2x-4),记闭的导数为)，试用上述定理，说明方程 '(x)=0 根的 个数，并指出它们所在的区间： (2如果()在闭区间，1上的图象是连续不断的曲线，且在开区 (a,b) 内每一点存在导数，记 f(x) f'(x) ,试用上述定理证明：在开区间 a,b) 的导数为 内至少存在一点‘，使得 f(b)-f(a)=f(c)(b-a) a+b (3)利用(2)中的结论，证明：当0<a<b时，(a+b)e2<ae“+be.(e为自然对数的底数) 【答案】(1) f'(x)= 0的根有3个，且分别位于0，D.(L2）,2刊这三个区间内，说明如下 注意到f0)=f0=f(2)=f(4)=0,则由罗尔定理， 在@，D内存在，使f)=0.在，2)内存在，使f)=0:在2，内存在，使)=0. 综上，f八()= 0的根有3个，且分别位于QD.4,2),24)这三个区间内： (2)证明： e5黄P创-1)fo-f6@k-j b-a 则F'(=f(x)-fb)-f@) b-a一注意到F(a)=F(b)=0,由罗尔定理， 则在a,)上至少存在点e,使F(o)=(@-f6f回-0 b-a 第27页/供29页 6学科网6组卷网 →fc)=f6)-fa) b-a ，即在开区间(a,b)内至少存在一点c, 使得f6)-f@=feb-d (3)证明： 0<a<a+b 当0<a<b时， 2下6 由(2)，因函数3(c为R上连续函数.8'()=(x+)e 又2<2. a+b 在a,2上存在4， t2go-g-。--0+0e22 2 a+b<b a+b 又2 ·则在2， 上存在2 t8)0生）=ga0-g2）户e-a生2e-0+6小e2 2 又令h(=(x+e→N(=(x+2e,当x>0时，N()=(x+2)e>0 则h()在(0，+o)上单调递增， x5>4→6)>6→0+6e62≥0+)62 之之 2ae(a+bea a+b 【解析】 【分析】(4山注意到0)=f0=f(②)=f(4)=0,结合罗尔定理可得答案 第28页/共29页 6学科网组卷网 ②构2f黄F=f创-fa-fO@(x- b-a 后利用罗尔定理可证明结论： (3)注意到a+Me2<ac+be台be-a+be曾、a+b。 atb 2 2 b。2-ae,后由(2)中结论可证明 【小问1详解】 f'(x)= 的根有3个，且分别位于0，D,2）,(24)这三个区间内，说明略： 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题关键为理解题干信息罗尔定理，第一问为定理的直接运用；第二问关键在与由所 需证明结构构造出相应函数； 第三问关键为对所需证明结构变形，使之能够利用第二问的结论 第29页/共29页