专题05 切线的判定与性质、三角形的内切圆重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题05 切线的判定与性质、三角形的内切圆重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 有关切线的说法辨析 题型二 切线的判定定理 题型三 切线的性质定理 题型四 应用切线长定理求证 题型五 由三角形的内切圆求长度 题型六 由三角形的内切圆求角度 题型七 由三角形的内切圆求面积 题型八 由三角形的内切圆求最值 题型九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十 圆外切四边形模型 题型十一 三角形内心有关应用 题型十二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十三 三角形内切圆与外接圆综合 题型十四 圆的综合问题 知识点一 切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 知识点二 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 总结： 【经典例题一 有关切线的说法辨析】 【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等 D．同弧或等弧所对的圆周角相等 2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）下列说法： ①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有___________个．（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【经典例题二 切线的判定定理】 【例2】（2024·河北沧州·二模）已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P 为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线； ②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 1．如图，在中，，，点D为的中点，以2为半径作，则下列说法不正确的是（　　）    A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．与直线相切 D．与直线相交 2．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 3．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【经典例题三 切线的性质定理】 【例3】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，为的切线，切点为，连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．如图，、分别切于点，，点是上一点，且，则的度数为 ． 3．在中，为直径，为上一点．    (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 【经典例题四 应用切线长定理求证】 【例4】（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 1．如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 2．已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则 ． 3．已知点是外一点，分别与相切于点． (1)如图①，若，则______； (2)如图②，连接，若，则______°； (3)如图③，点是优弧上一点，连接，若，则______°． 【经典例题五 由三角形的内切圆求长度】 【例5】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（   ）    A．2 B．3 C． D． 1．如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（   ）    A．2 B．3 C． D． 2．如图，在中，，，，且的三边都与相切，则的半径为 ．    3．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，求的长． 【经典例题六 由三角形的内切圆求角度】 【例6】（2023春·江苏盐城·九年级统考期中）如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数（    ） A． B． C． D． 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点 是 的内心． （1）若，则的度数为 ； （2）连接 ，则 （填“”“”或“”）． 3．如图，在中，已知是直径，是的切线，点D是切点，点C是上一点，，连接，，． (1)求的度数； (2)已知，，求的长． 【经典例题七 由三角形的内切圆求面积】 【例7】（23-24九年级上·四川泸州·期中）设一个直角三角形的两直边的长分别是的两个实数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（　　） A．π B． C． D． 1．如图，在中，点为的内心，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，，则涂色部分(即四边形)的面积是 ． 3．如图，在中，是的内切圆，三个切点分别为点，．若．求的面积． 【经典例题八 由三角形的内切圆求最值】 【例8】（2023春•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　4πcm2．　． 1．如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 2．如图，在正方形中，是对角线点与点，不重合上的一个动点，过点作于点，于点，连接．    当，时， ； 若，则当矩形的面积最大时，的内心到边的距离是 ． 3．如图，AB是半圆形量角器的直径，点O为半圆的圆心，DA与半圆O相切于点A，点P在半圆上，且点P对应的示数为120°（60°），点C是上一点（不与点P重合）．连接DO交半圆O于点E，点E对应的示数为60°（120°）． (1)连接PC，AC，求∠PCA的度数； (2)连接AP，PB，求证：△DAO≌△APB； (3)若直径AB上存在一点M，使得EM＋PM的值最小，已知半圆O的半径是2，直接写出EM＋PM的最小值． 【经典例题九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例9】（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（　　） A．48 B． C．24 D． 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 2．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步． 3．已知，如图，在中，，请根据下列要求解决问题：    (1)利用尺规作出的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，内切圆的半径为1，求的周长． 【经典例题十 圆外切四边形模型】 【例10】（2011·陕西·中考真题）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 1．已知四边形ABCD，下列命题：①若，则四边形ABCD一定存在外接圆；②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则；③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则，其中，真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    3．如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，． （1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？ （2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题： ①求的值； ②求图③中线段所在直线的解析式． 【经典例题十一 三角形内心有关应用】 【例11】（2023·安徽安庆·模拟预测）如图，点为的内心，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 1．如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 3．如图，等腰三角形内接于，，点是的内心，连接并延长交于点，点在的延长线上，满足．试证明： (1)所在的直线经过点I； (2)点D是的中点． 【经典例题十二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例12】（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 2．如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ． 3．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务： (1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 【经典例题十三 三角形内切圆与外接圆综合】 【例13】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 1．（2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，如图所示，则O到的三边距离之和是 ． 3．（2024·上海·模拟预测）已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 【经典例题十四 圆的综合问题】 【例14】（2024·山东淄博·一模）如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 1．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，点P为的中点，点Q为边上一动点，将绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点，旋转过程中的取值范围为 ． 3．（2024·四川达州·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 1．（2023·重庆潼南·模拟预测）如图，和是的两条切线，、是切点，连接交于点、，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D．4 2．（23-24九年级下·吉林延边·阶段练习）如图，是的直径，与切于点，点在上，连接与交于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（   ） A．2 B．2 C．3 D．2 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则直角梯形周长为（    ）． A．12 B．13 C．14 D．18 5．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）如图，的内切圆与相切于点D、E、F，已知，则的长是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ． 7．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则线段的长为 ． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知直线与相切于点，连接交于点． （1）如图①，点是优弧上一点，连接，若，则 °； （2）如图②，延长交于点，连接，若，则 °； （3）如图③，点是上一点，且，连接并延长交于点，连接，若，则 °． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，且，若，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点是外一点，分别与相切于点． （1）如图①，若，则 ； （2）如图②，连接，若，则 ； （3）如图③，点是优弧上一点，连接，若，则 °． 11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心O在边上，且与所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 12．（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 13．（2024·湖南·模拟预测） 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．    (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 14．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，D为的中点，的延长线交于点E，的切线与交于点F． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知直线与相切于点，连接交于点． (1)如图①，点是优弧上一点，连接，若，则______； (2)如图②，延长交于点，连接，若，则______； (3)如图③，点是上一点，且，连接并延长交于点，连接，若，则______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 切线的判定与性质、三角形的内切圆重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 有关切线的说法辨析 题型二 切线的判定定理 题型三 切线的性质定理 题型四 应用切线长定理求证 题型五 由三角形的内切圆求长度 题型六 由三角形的内切圆求角度 题型七 由三角形的内切圆求面积 题型八 由三角形的内切圆求最值 题型九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十 圆外切四边形模型 题型十一 三角形内心有关应用 题型十二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十三 三角形内切圆与外接圆综合 题型十四 圆的综合问题 知识点一 切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 知识点二 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 总结： 【经典例题一 有关切线的说法辨析】 【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等 D．同弧或等弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系判断即可． 【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意； C、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，故不符合题意； D、同弧或等弧所对的圆周角相等，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及到的知识点有切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）下列说法： ①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有___________个．（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆、弧、三角形外心的定义和性质以及切线的判定条件即可获得答案． 【详解】解：①弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确； ②不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确； ③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确； ④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确； ⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该说法正确． 故选：D． 【点睛】根据圆、弧、三角形外心的定义和性质以及切线的判定条件等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据圆的相关概念和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心，说法正确，不符合题意； ②过半径的末端，且与半径垂直的直线是圆的切线，原说法错误，符合题意； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等，原说法错误，符合题意； ④圆内接四边形有无数个，原说法错误，符合题意； 综上，②③④说法不正确． 故选C． 【点睛】本题考查垂径定理，切线的定义，等角对等弦，圆内接四边形．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【经典例题二 切线的判定定理】 【例2】（2024·河北沧州·二模）已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P 为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线； ②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定等知识，根据切线的判定定理，分别证明，即可解答，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：甲正确， 理由：如图1中，连接， 根据题意可得， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 乙正确， 理由：为直径， ， ， 是的切线， 故选：A． 1．如图，在中，，，点D为的中点，以2为半径作，则下列说法不正确的是（　　）    A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．与直线相切 D．与直线相交 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由直角三角形的斜边上的中线定理得，进而得，，根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴．，故点A在圆外，点C在圆外， 故选项A正确，不符合题意；选项B不正确，符合题意， 连接，作于点E，    ∴，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故与直线相切； 故选项C正确，不符合题意， 过D作于F， ∴， ∴； ∴， 故与直线相交；故选项D正确，不符合题意， 故选：B． 2．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 3．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线； （2）根据圆周角定理和等边三角形的判定和性质，证出是等边三角形，进一步即可得到结论； 【详解】（1）证明：如图，连接， 则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线； （2）解： ∵线段是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【经典例题三 切线的性质定理】 【例3】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，为的切线，切点为，连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由切线的性质得出，由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：为的切线， ， ， ， ， ， ， ； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 1．如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形面积公式，由勾股定理求出，设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为，则，，，，再由等面积法得出，即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为， ， 则，，，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，、分别切于点，，点是上一点，且，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质和四边形内角和定理，先由圆周角定理得到，再由切线的性质得到，据此根据四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵、分别切于点，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．在中，为直径，为上一点．    (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，首先根据切线的性质得到，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据垂径定理可得，根据直角三角形两锐角互余求得，根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵与相切于点， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， ∴． （2）解：∵为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，三角形的外角性质等．解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形． 【经典例题四 应用切线长定理求证】 【例4】（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出，证明，进而得出，即可得到，同理可证，由得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，切点分别为，如图，连接， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 1．如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解． 【详解】解：∵是的切线，． ∴， 同理，， 三角形的周长． ， 故选：C． 2．已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则 ． 【答案】 【分析】连接，，，作，设，证是等边三角形，得出，证，，得出，得出是直径，再利用勾股定理列方程求出，即可． 【详解】解：连接，，，过点A作作于F，设， 同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，， ， ， 是等边三角形， ，， ，是的切线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， 得出：， ， ，， ， 是直径， ， ，，， ，， ， ， ， ， (负值已舍去）， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知识．作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 3．已知点是外一点，分别与相切于点． (1)如图①，若，则______； (2)如图②，连接，若，则______°； (3)如图③，点是优弧上一点，连接，若，则______°． 【答案】(1)1 (2)56 (3)60 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线． （1）根据切线长定理即可解答； （2）根据切线的性质得出，进而得出，即可解答； （3）连接，根据切线的性质得出，进而得出为等边三角形，推出，根据三角形的内角和定理和圆周角定理即可解答． 【详解】（1）解：∵分别与相切于点，， ∴， 故答案为：1． （2）解：是的切线， ， ， ， ， ． 故答案为：56． （3）解：连接，如图， 是的切线， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：60． 【经典例题五 由三角形的内切圆求长度】 【例5】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（   ）    A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，，，，，利用勾股定理可得，设，则，根据切线长定理可求得，设，根据，可得，即，问题随之得解． 【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，    根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点， ，，，， ，，， ， 设，则， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ． 故选：C． 1．如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（   ）    A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，，，，，利用勾股定理可得，设，则，根据切线长定理可求得，设，根据，可得，即，问题随之得解． 【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，    根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点， ，，，， ，，， ， 设，则， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．如图，在中，，，，且的三边都与相切，则的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，与的三边的切点分别为D、E、F，连接、、，，，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，掌握内切圆与内心和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设与的三边的切点分别为D、E、F，连接、、，，，    ∴，，，， 由勾股定理得，， ∴， 即， 解得，即的半径为， 故答案为：． 3．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出关于的方程是解题的关键． 由切线长定理可知：，设，则，然后根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点、、， ， 设，则． 根据题意得． 解得；． ∴， ∴． 【经典例题六 由三角形的内切圆求角度】 【例6】（2023春·江苏盐城·九年级统考期中）如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形内心的性质得，分别是角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图， 点O是的内心，， ，， ， ， 点O是的外心， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本题的关键． 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接、，如图： ， ， 是的内切圆，与、分别相切于点、， ，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2．如图，点 是 的内心． （1）若，则的度数为 ； （2）连接 ，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 /135度 < 【分析】本题考查三角形的内切圆，三角形内角和定理，根据三角形的内切圆的圆心是三条角平分线的交点，结合角平分线的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵点 是 的内心 ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图所示， ∵点 是 的内心 ∴点 是的三条角平分线的交点， ∴点 到三边的距离相等， 设点到三边的距离为， 则：， ∵， ∴； 故答案为：． 3．如图，在中，已知是直径，是的切线，点D是切点，点C是上一点，，连接，，． (1)求的度数； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据切线性质，平行线的性质，圆周角定理计算即可． （2）过点B作于点E，连接，．利用勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接． 是的切线，为的半径， ． ， ， ， ． （2）解：如图，过点B作于点E，连接，． ， ， 和都是等腰直角三角形． ，， ， ， ． 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查了切线性质，平行线的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【经典例题七 由三角形的内切圆求面积】 【例7】（23-24九年级上·四川泸州·期中）设一个直角三角形的两直边的长分别是的两个实数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（　　） A．π B． C． D． 【答案】A 【分析】设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b，由题意可得，由勾股定理得，，如图，则，即，可求，进而可求这个直角三角形的内切圆的面积． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b， ∵直角三角形的两直角边长是方程的两个实数根， ∴， 由勾股定理得，， 如图， ∴，即， 解得，， ∴这个直角三角形的内切圆的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的半径等知识．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的半径是解题的关键． 1．如图，在中，点为的内心，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的延长线于点，由点为的内心，，得，则，由，求得，根据三角形的面积公式可得到结论． 【详解】解：过点作的延长线于点， 点为的内心，， ， ， 则， ， ， ， ， 的面积， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含角的直角三角形的性质是解题的关键． 2．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，，则涂色部分(即四边形)的面积是 ． 【答案】4 【分析】利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形）的面积． 【详解】解：∵，，， ， 为直角三角形，， ∵，分别相切于点E，F， ∴，，， ∴四边形为正方形， 设，则， 的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，， ∴， ， ∴阴影部分（即四边形）的面积是． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质． 3．如图，在中，是的内切圆，三个切点分别为点，．若．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 【详解】解：设半径为 在四边形中，， 四边形为矩形． 又因为， 四边形为正方形． 则， 由切线长定理易知：，， ， 在中，， ． 整理，得：， 解得， ． ． 【经典例题八 由三角形的内切圆求最值】 【例8】（2023春•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　4πcm2．　． 【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：r（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形ABC的面积，可得r，求得圆的面积． 【解答】解：如图1所示， S△ABC•r•（AB+BC+AC）r×42＝21r， 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2， 设CD＝x， 由勾股定理得：在Rt△ABD中， AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2， ∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2， 解得：x＝9， ∴AD＝12， ∴S△ABCBC×AD7×12＝42， ∴21r＝42， ∴r＝2， 该圆的最大面积为：S＝πr2＝π•22＝4π（cm2）， 故答案为：4πcm2． 1．如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三点共圆，切线的判定，含的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确的作图，理解当P运动到圆上时，最大；过的中点Q作于P，由含的直角三角形的性质，可推出三点共圆，可证与圆Q相切于P，进而推出此时最大，再由勾股定理求解即可； 【详解】过的中点Q作于P，则， Q是的中点，， ， ， ，， ， ， 三点在以Q为圆心的圆上， ， 与圆Q相切与P， 此时最大， 在中，， 故选：． 2．如图，在正方形中，是对角线点与点，不重合上的一个动点，过点作于点，于点，连接．    当，时， ； 若，则当矩形的面积最大时，的内心到边的距离是 ． 【答案】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到，推出是等腰直角三角形，求得，设，则，根据二次函数的性质得到当，时，矩形的面积最大，求得，推出是等腰直角三角形，设的内心到边的距离为，根据切线的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，． 在和中， ， ≌． ， ，． ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：；    （2）四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当，时，矩形的面积最大， 即， ，点为的中点， ， 是等腰直角三角形， 设的内心到边的距离为， ， 故的内心到边的距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内接圆与内心，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 3．如图，AB是半圆形量角器的直径，点O为半圆的圆心，DA与半圆O相切于点A，点P在半圆上，且点P对应的示数为120°（60°），点C是上一点（不与点P重合）．连接DO交半圆O于点E，点E对应的示数为60°（120°）． (1)连接PC，AC，求∠PCA的度数； (2)连接AP，PB，求证：△DAO≌△APB； (3)若直径AB上存在一点M，使得EM＋PM的值最小，已知半圆O的半径是2，直接写出EM＋PM的最小值． 【答案】(1)60°； (2)见解析； (3)4 【分析】（1）连接AP，OP，根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半进行解答； （2）连接AP，OP，先证ΔBOP是等边三角形，再根据圆周角定理及切线的性质得到∠OAD =∠APB，最后证△DAO≌△APB； （3）作点E关于直线AB对称的对称点E'，连接E'O，PO，先证ΔΑΕΟ是等边三角形，再得到E'、O、P在同一条直线上，最后求得EM＋PM的最小值． 【详解】（1）连接AP，OP， 根据题意可知，∠AOP = 120° 所对的圆心角为∠AOP， ∴ ∠PCA=∠AOP = 60°； （2）连接PO， 根据题意可知，∠AOE= ∠BOP = 60°， ∵BO = PO， ∴ΔBOP是等边三角形， ∴PB = OB，∠ABP = ∠AOD = 60°， ∵AO = OB， ∴AO = BP ， ∵AB是直径， ∴∠APB = 90°， ∵AD是OO的切线， ∴∠OAD = 90°， ∴∠OAD =∠APB， 在ΔDAO和ΔAPB中 ∴； （3）作点E关于直线AB对称的对称点E'，连接E'O，PO， 根据对称性可知EO =E'O =2， 根据题意可知∠AOE= 60°， ∵AO = EO， ∴ΔΑΕΟ是等边三角形， ∴∠AEO = 60°， ∵ΕΕ'⊥AO， ∴∠ΟEE'= ∠AEO = 30°， ∴∠EE'O =∠OEE'= 30°， ∴∠EΟE'= 120°， ∵∠AOE =∠BOP = 60°， ∴∠EOP = 180°-∠AOE-∠BOP=60°， ∴∠EOP + ∠EOE'=180°， ∴E'、O、P在同一条直线上， ∴当点M与点O重合时，EM+PM为最小值，此时EM+PM = E'P = 2+ 2 = 4． 【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，以及对称线段之和最短问题，关键是熟练掌握切线的性并能灵活应用． 【经典例题九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例9】（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（　　） A．48 B． C．24 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及正方形的判定和性质． 设的半径为r，与的三边、、的切点分别为D、E、F，连接、、．先证四边形是正方形，则，根据勾股定理求出r．又由的周长内切圆半径，即可求出的周长． 熟练掌握“三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等”这一性质，并且能求出内切圆的半径是解题的关键． 【详解】解：如图，设的半径为，与的三边、、的切点分别为，连接、、，则，，，且， 又， ∴四边形是正方形， ， ， ， 解得， ， ， ，即的周长为， 故选：C． 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键． 连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接、、，，设半径为，   ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， 四边形是正方形， ， ， ，． 故选：C． 2．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形内切圆、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．首先根据勾股定理解得，设内切圆的半径为，根据三角形面积公式求得的值，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，，，， ∴， 设内切圆的半径为， ∵， ∴， 解得， ∴内切圆的直径是6步． 故答案为：6． 3．已知，如图，在中，，请根据下列要求解决问题：    (1)利用尺规作出的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，内切圆的半径为1，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内切圆，作角平分线，作垂线等知识．熟练掌握三角形角平分线的交点为三角形的内切圆的圆心是解题的关键． （1）根据三角形角平分线的交点为三角形的内切圆的圆心，确定圆心，然后作垂线确定半径，最后作圆即可； （2）如图1，连接，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，作的平分线，交点即为圆心，过作于，以为圆心，为半径画圆，即为的内切圆；        （2）解：如图1，连接， ∴，即， 解得，， ∴的周长为． 【经典例题十 圆外切四边形模型】 【例10】（2011·陕西·中考真题）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长． 【详解】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点， ∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上， ∴DF=DE，OF⊥DC， ∴GF⊥DC， ∴OG⊥AB， ∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径． 在等腰直角三角形DEH中，DE=2， ∴EH=DH==AE． ∴AD=AE+DE=+2． 故选C． 【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长． 1．已知四边形ABCD，下列命题：①若，则四边形ABCD一定存在外接圆；②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则；③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则，其中，真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①由和四边内角和，可得∠B+∠D=180º，可证四边形ABCD一定存在外接圆，用反证法过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，设BC或延长线交圆O于C'，连结DC'，根据圆内接四边形性质可得∠A+∠DC'B=180° 由∠A+∠C=180° 可得∠DC'B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C在圆上即可； ②由四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，可知A、B、C、D四点在同一圆上，由圆内接四边形性的性质∠A+∠C=∠B+∠D=180°即可； ③由四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等， 可证AB、BC、CD、DA是圆的切线，由切线的性质知AD=AF；BF=BG；CG=CH，DH=DE，可证AB+CD= =AD+BC． 【详解】①在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360º， ∵， ∴∠B+∠D=180º， 则四边形ABCD一定存在外接圆， 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，若点C在圆外，设BC交圆O于C'，连结DC'， 根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC'B=180°， ∵∠A+∠C=180°， ∴∠DC'B=∠C， 这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外， 类似地可证C不可能在圆内， ∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆， 若，则四边形ABCD一定存在外接圆是真命题， ②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等， ∴A、B、C、D四点在同一圆上， 由圆内接四边形的性质得∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°， ∴； 若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则是真命题； ③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，设点O到向四边作垂线，OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，OG⊥BC于G，OH⊥CD于H， 由题意知：OE=OF=OG=OH， ∴E、F、G、H四点在同一圆上， 由切线的判定定理知， AB、BC、CD、DA是圆的切线， 由切线的性质知AD=AF；BF=BG；CG=CH，DH=DE， AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=（AE+DE）+（BG+CG）=AD+BC， 则， 若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则是真命题． 故选择：D． 【点睛】本题考查命题真假问题，涉及圆内接四边形与圆外切四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质，并会推导证明，以及圆外切四边形的性质是解题关键． 2．如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【答案】 【分析】连接，由题意可知过点，，且，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，    ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内， ∴， ∵分别与，，，相切， ∴四边形是正方形， ∴过点，， 四边形为正方形， ，，． ． ． 设的直径为，则 ． ， ．， ， （） 解得：． 即的直径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键． 3．如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，． （1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？ （2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题： ①求的值； ②求图③中线段所在直线的解析式． 【答案】（1）甲600立方米，乙240立方米；（2）①；②． 【分析】（1）根据题意画出图形即可直接得出正方形的边长，即可求出容器甲的容积；连接，由圆周角定理的推论可知为直径，即，再在中，根据勾股定理即可求出EF和EH的长，即可求出容器乙的容积． （2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米． ①当时，根据题意即可求出此时的值，即得出M点坐标．由平行于横轴，即得出N点坐标，即6小时后高度差仍为米，由此即可列出关于a的等式，解出a即可． ②设注水b小时后，，根据题意可列出关于b的等式，解出b即得到P点坐标．设线段所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求出其解析式． 【详解】（1）由图知，正方形的边长， ∴容器甲的容积为立方米． 如图，连接， ∵， ∴为直径． 在中，，， 根据勾股定理，得，， ∴容器乙的容积为立方米． （2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米． ①当时，． ∵平行于横轴， ∴，． 由上述结果，知6小时后高度差仍为1.5米， ∴． 解得． ②设注水b小时后，，则有． 解得，即． 设线段所在直线的解析式为， ∵、在直线上， ∴， 解得：． ∴线段所在直线的解析式为． 【点睛】本题考查圆的内接和外切四边形的性质，圆周角定理，勾股定理以及一次函数的实际应用．根据题意画出图形求出两个容器的各边长和理解题意找出等量关系是解答本题的关键． 【经典例题十一 三角形内心有关应用】 【例11】（2023·安徽安庆·模拟预测）如图，点为的内心，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义． 过点作的延长线于点，根据点为的内心，，可得，所以，利用含度角的直角三角形可得的长，进而可得的面积． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点， 点为的内心，， ， ， ， ，， ， 的面积． 故选：B． 1．如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理．过点I作，，垂足分别为G，F，可得，，，设，，，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点I作，，垂足分别为G，F，    ∵点I为的内心， ∴以为半径的圆I是的内切圆， ∴，，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 2．如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 【答案】 【分析】连接、、、，作于，于，于，于，由圆周角定理得出，由勾股定理得出，由等面积法得出，由勾股定理得出，由角平分线的性质定理得出，结合，求出，由题意得出，证明四边形为矩形，得出，推出，再由得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、、、，作于，于，于，于， ， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分，平分， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质定理、三角形内心、矩形的判定与性质、等面积法等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．如图，等腰三角形内接于，，点是的内心，连接并延长交于点，点在的延长线上，满足．试证明： (1)所在的直线经过点I； (2)点D是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查圆周角定理、圆的内接三角形的定义、三角形的内心的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接、、、，可证明，得，则平分，再由点是的内心，证明平分，所以与在同一条直线上，即可证明所在的直线经过点； （2）连接，推导出，则，再证明，则，再推导出，则，由，，证明，则，所以，即可证明点是的中点． 【详解】（1）证明：连接、、、， ，，， ， ， 平分， 点是的内心， 平分， 与在同一条直线上， 所在的直线经过点． （2）证明：连接，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 点是的中点． 【经典例题十二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例12】（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的性质可得，由三角形的内角和定理可得，等量代换即可判断选项B；根据切线长定理可设设，，，由，，，可列出方程组，求解即可判断选项C；过点C作于点H，根据勾股定理得到，构造方程可求出，得到，设的半径为r，即，根据即可求出的半径，从而判断选项D；由，得到，用反证法即可证得不成立，从而判断选项A． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故B选项正确； ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∵，，， 设，，， ∴，解得， ∴，，，故C选项正确； 过点C作于点H， ∴， 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 连接，，，， 设的半径为r，即， ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∴， ∴，解得：， ∴，故D选项正确； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 若成立， 则，这与矛盾， ∴不成立，故A选项错误． 故选：A 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的内角和定理，圆周角定理等，综合运用相关知识是解题的关键． 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 2．如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆性质，圆的面积，先用勾股定理求得得长，再利用内切圆性质求得圆的半径，继而求得面积计算即可． 【详解】∵，，是边上的高， ∴，， ∴，， 设与的半径分别为x，y，则 ∴，， 解得， ∴与的面积比为， 故答案为：． 3．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务： (1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 【答案】(1)剩余步骤见解析，的内切圆的半径为 (2)1 【分析】本题考查实数的混合运算，三角形的内切圆，正方形的判定和性质，正确运用材料中的公式是解题的关键． （1）利用二次根式及有理数的运算法则计算出，再根据计算的内切圆的半径； （2）先利用勾股定理求出，进而求出的周长的一半和，根据即可求出的内切圆的半径，再证四边形是正方形，即可求解． 【详解】（1）解： ， 又的周长的一半， 的内切圆的半径． （2）解：如图，连接和， 在中，， ， 设，p为的周长的一半， 则，， 的内切圆的半径． ； 又为的内切圆， ，， ， 四边形是正方形， ． 故答案为：1． 【经典例题十三 三角形内切圆与外接圆综合】 【例13】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 1．（2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，如图所示，则O到的三边距离之和是 ． 【答案】12 【分析】 本题考查三角形的外接圆与外心、三角形的内心与内接圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 首先证明点O是的内心，由，即可解决问题． 【详解】 解：由题意点O是垂直平分线的交点， ，， 的垂直平分线经过B且平分，的垂直平分线经过A且平分， ∴O是的内心， 则， ∴点O到的三边的距离之和是， 故答案为12． 3．（2024·上海·模拟预测）已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，角平分线的性质，三角形的内心与外心，垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据三角形的内心点为角平分线的交点，根据尺规作图作角平分线的方法作平分，平分，，，，进而证明，即可证明，得为等边三角形； （2）由题意可知平分，作，，得，设边上的高为，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， 如图，作平分，平分，，，， 则， ∵， ∴， ∴，同理，，， ∵的外心也为O， 由垂径定理可知，，，， ∴，则， ∴为等边三角形， 即为所求； （2）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， ∴平分， 作，， ∴， 设边上的高为， 则， ∴， ∴． 【经典例题十四 圆的综合问题】 【例14】（2024·山东淄博·一模）如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理得到，可得点在以为直径的上，结合的半径为2，易得的半径为1，当点、、三点共线时，最长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵是的直径，为的中点， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵的半径为2， ∴的半径为1， 当点、、三点共线时，最长， 连接并延长，交于点， 故当点与点重合时，最长， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握垂径定理和圆的性质是解题的关键． 1．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【详解】解：∵E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴G一定在上， ∴，故③正确； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若，则，显然不可能，故④错误． 故选：D． 2．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，点P为的中点，点Q为边上一动点，将绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点，旋转过程中的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆的运动轨迹，过点C作于点H，先根据勾股定理求出的长，利用三角形面积求出的长，利用由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值，即可求出结果． 【详解】解：如图，过点C作于点H， ， ， ， ， 以点C为圆心为半径作圆， 为的中点， ， 由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值， 的最小值为， 由于上的点B距离C点最短， 能取最大值时，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值， 的最大值为， 旋转过程中的取值范围为 故答案为：． 3．（2024·四川达州·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，结合“直径所对的圆周角为直角”可得，即有，再结合切线的性质可得，进而可得，可证明，结合，易得，即可证明结论； （2）设，在中，根据勾股定理可得，代入数值并计算，即可获得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线，为半径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为2． 1．（2023·重庆潼南·模拟预测）如图，和是的两条切线，、是切点，连接交于点、，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】题目主要考查切线的性质，等角对等边及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，根据题意得出，，，再由等角对等边确定，连接，利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：和是的两条切线， ，，， ∵， ， ， ， 连接， 是的直径， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， 故选：A． 2．（23-24九年级下·吉林延边·阶段练习）如图，是的直径，与切于点，点在上，连接与交于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（   ） A．2 B．2 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，根据切线的性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答． 【详解】解：与切于点， ， ∵， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内接圆半径，令，根据选项中关系式计算比较判断即可． 【详解】解：为直角三角形， 令． 选项A：，选项B：，选项C：，选项D：， 只有D选项结果跟其他选项结果不一致， 表达式错误的是D选项， 故选：D． 4．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则直角梯形周长为（    ）． A．12 B．13 C．14 D．18 【答案】C 【分析】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．根据切线的性质知：，；根据的周长可求出正方形的边长；在中，利用勾股定理可将的长求出，进而可求出直角梯形的周长． 【详解】解：设的长为，正方形的边长为， 与半圆相切于点， ，， ， ， ， 正方形的边长为4； 在中，，即，解得：， ， 直角梯形周长为14． 故选：C． 5．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）如图，的内切圆与相切于点D、E、F，已知，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，接下来设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案．本题主要考查了圆内切三角形的性质，切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，切线长定理等，根据面积相等求出半径是解题的关键． 【详解】解：连接，，，，，． 根据题意可知，且，，， ∵ ∴ ∴是直角三角形 ∴ ∴， 即， 解得． 设， 则，，，得， 解得， ． 在中，， ，， 是的垂直平分线， ． ， 即， 解得， ． 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得， 即的长为4． 故答案为：4． 7．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】如图，作于H，证明，，四边形为矩形，可得，证明，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，作于H， ∵直径于H，，为的切线， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，分别切于C，B， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，关键是通过辅助线构造直角三角形，求出的长． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知直线与相切于点，连接交于点． （1）如图①，点是优弧上一点，连接，若，则 °； （2）如图②，延长交于点，连接，若，则 °； （3）如图③，点是上一点，且，连接并延长交于点，连接，若，则 °． 【答案】 40 30 40 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质． （1）连接由切线的性质得，再由圆周角定理得，再求解即可得出结论； （2）连接由是的切线，可得，从而得出，再由等腰三角形的性质可得，再求解即可得出结论； （3）连接由是的切线，可得，再由，可得，从而得出，再由，可得，再求解即可得出结论． 【详解】（1）如图①，连接 是的切线， ， ． 故答案为：40； （2）如图②，连接 是的切线， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：30； （3）如图③，连接 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：40 9．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，且，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据圆周角定理及切线的性质结合，证明是等腰直角三角形，再根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， 又， ， 是等腰直角三角形， 为的中线， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点是外一点，分别与相切于点． （1）如图①，若，则 ； （2）如图②，连接，若，则 ； （3）如图③，点是优弧上一点，连接，若，则 °． 【答案】 1 56 60 【分析】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，掌握切线长定理是解题关键． （1）根据切线长定理求解即可； （2）由切线可知，，，进而得到，再根据三角形内角和定理求解即可； （3）连接，由切线可知，，得出为等边三角形，从而得到，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：（1）分别与相切于点，， ， 故答案为：1； （2）分别与相切， ，， ， ， ， 故答案为：56； （3）如图，连接， 分别与相切， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 故答案为60 11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心O在边上，且与所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆，即为所求作； （2）过点O作于点H，根据角平分线性质得到，判定点H在上，是的切线，求出，根据，即可求得． 【详解】（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交于点D、E， 分别以点D、E为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F， 作射线交于点O， 以O为半径，以长为半径画圆， 即为所求作； （2）过点O作于点H， ∵， ∴， ∴是的切线， ∵平分， ∴， ∴点H在上，是的切线， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故的半径为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握基本作图，圆的切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积法求三角形高，是解决本题的关键． 12．（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件证得即可得到结论； （2）如图，过点O作于点H，则，构建矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点O作于点H， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在， ， ∴， ∴在， ， ∵是的直径， ∴， ∴在， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 13．（2024·湖南·模拟预测） 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．    (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)2． 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可； （2）由，得到，由（1）有，可得，从而，根据“等角对等边”证得； （3）在中，求得，又由（2）有，可得是等边三角形，从而，，因此在中，，根据“三线合一”可得，再求出，证得，从而． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，． ∵，平分， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形，平行线的判定与性质等知识．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 14．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，D为的中点，的延长线交于点E，的切线与交于点F． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，，根据切线的性质得到，于是得到； （2）根据，求得，得到，再求得，最后在中，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， 是的直径． 是的切线， ． 是的中点， ， ． ， ，， ， 是的平分线； （2）解：， ， ，即，故． ， ． 在中，，， ∴， 解得， 在中，， ∴，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的边角性质，等腰三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知直线与相切于点，连接交于点． (1)如图①，点是优弧上一点，连接，若，则______； (2)如图②，延长交于点，连接，若，则______； (3)如图③，点是上一点，且，连接并延长交于点，连接，若，则______． 【答案】(1)40 (2)30 (3)40 【分析】本题考查了切线的定义，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线． （1）连接，根据切线的定义得出根据圆周角定理得出，即可解答； （2）连接 根据切线的定义得出，几何圆周角定理得出，即可解答； （3）连接 易得，根据等边对等角得出，最后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：如图①，连接， 是的切线， ， ． 故答案为：40． （2）解：如图②，连接 是的切线， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：30． （3）解：如图③，连接 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：40． 学科网（北京）股份有限公司 $$