精品解析：广东省珠海市香洲区珠海市第九中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024—2025学年度第一学期九年级数学大练习一试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程x2-x-3＝0的一次项系数，常数项分别是（ ） A. 1，3 B. -1，3 C. -1，-3 D. 1，-3 3. 已知是一元二次方程的两根，那么的值为（ ） A. 5 B. C. D. 3 4. 抛物线，，，的图象开口最大的是（ ） A. B. C. D. 5. 将方程配方后，所得到的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线与x轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数有（ ） A. 最大值5 B. 最小值5 C. 最大值-3 D. 最小值-3 8. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 9. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 10. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，设图中，连接，若与的面积相等，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解为______． 12. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为______ 13. 已知二次函数的图象上有两点，且，则和的大小关系是_______． 14. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：____________ 15. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 三、解答题（一）（每小题6分，共24分） 16. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）． 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一个根是，求的值； （2）若方程有两个实数根，求的取值范围． 19. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 20. 若抛物线与x轴的两个交点为和，且过点， （1）求抛物线的解析式； （2）求出这条抛物线上纵坐标为的点的坐标． 21. 已知抛物线与直线交于点． （1）求和的值； （2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）对于二次函数，当在什么范围时，随的增大而减小 22. 如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底的长为，下底长为，上下底相距，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的，（提示：梯形的中位线是连接梯形两腰中点的线段，其长度等于两底和的一半） （1）梯形的中位线长是____________m； （2）梯形花坛的面积是____________； （3）甬道的宽应是多少米？ 五、解答题（三）（每小题12分，共24分） 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程是倍根方程． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则______． （2）判断方程是不是倍根方程？并说明理由． （3）若是倍根方程，求代数式的值． 24. 等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S． （1）求出S关于t的函数关系式； （2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？ （3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期九年级数学大练习一试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断即可． 【详解】∵一元二次方程：等式两边都是等式，只含一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程， ∴A、属于一元二次方程，符合题意； B、不是等式方程，不符合题意； C、含有个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，学会识别一元二次方程． 2. 一元二次方程x2-x-3＝0的一次项系数，常数项分别是（ ） A. 1，3 B. -1，3 C. -1，-3 D. 1，-3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且a≠0）中，叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是-1，-3． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式及相关概念． 3. 已知是一元二次方程的两根，那么的值为（ ） A. 5 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根，且，，， ∴． 故选：A． 4. 抛物线，，，的图象开口最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数中的值越小，函数图象的开口越大进行求解． 【详解】解：∵二次函数中的值越小，函数图象的开口越大，且， ∴抛物线的图象开口最大， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是明确二次函数图象的特点，知道的值越小，函数图象开口越大． 5. 将方程配方后，所得到的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先移项，再在方程的两边都加上，进行配方，从而可得答案. 【详解】解： 移项得： 配方得： 故选：A 【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤与方法是解题的关键. 6. 已知抛物线与x轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把两点的坐标代入中，求得,即可求得抛物线的对称轴． 【详解】∵抛物线与x轴的交点为， ∴把两点的坐标代入中，得， 两式相减得, 则此抛物线的对称轴是直线，即为直线． 故选：C． 【点睛】本题考查了由抛物线上对称的两点求抛物线的对称轴，把两点代入二次函数解析式中求得a与b的关系是关键． 7. 二次函数有（ ） A. 最大值5 B. 最小值5 C. 最大值-3 D. 最小值-3 【答案】A 【解析】 【分析】先把二次函数配方变为顶点式，由于，该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是即可． 【详解】解：．由于， 所以该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是． 所以该抛物线有最大值，且最大值是5． 故选择：A． 【点睛】本题考查二次函数图像性质．会用配方法把抛物线变为顶点式就出最大值是解题关键． 8. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根， ∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0， 解得k≤且k≠0， 故选：C． 【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 9. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的性质由得到图象开口向下，当时，可求图像与y轴的交点，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，从而可判断抛物线增减性． 【详解】解：对于二次函数的图象， 当时，，图像与y轴交点坐标为，A选项说法不正确； 抛物线对称轴为直线，B选项说法不正确； 抛物线顶点坐标为，C选项说法不正确； ∵， ∴图像开口向下， 当时，y随x的增大而增大，D选项说法正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图像性质，解题的关键是掌握相关性质，利用数形结合思想． 10. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，设图中，连接，若与的面积相等，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算；根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去），再求出的值即可． 【详解】解：∵图中，， ∴ ∵与的面积相等， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去）， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键． 12. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为______ 【答案】y=3（x+2）2﹣1 【解析】 【详解】解：抛物线y=3x2的图象向左平移2个单位所得函数图象的关系式是：y=3(x+2)2；抛物线y=3(x+2)2的图象向下平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y=3(x+2)2﹣1， 故答案为y=3(x+2)2﹣1． 13. 已知二次函数的图象上有两点，且，则和的大小关系是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断二次函数的对称轴为直线 可得在对称轴的左侧即 随的增大而减小，从而可得答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线 ∴在对称轴的左侧即 随的增大而减小， ∵， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，利用二次函数的增减性比较函数值的大小是解本题的关键． 14. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，根据计划安排15场比赛建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛， 由题意得：， 故选：． 15. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 三、解答题（一）（每小题6分，共24分） 16. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）运用公式法进行求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键． 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2）无实数根 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 ， ∴原方程无实数根． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一个根是，求的值； （2）若方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根的定义把代入中进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得：． 19. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 【答案】9． 【解析】 【分析】设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每个支干长出x小分支，根据题意可得：1+x+x2=91， 解得：x1=9，x2=﹣10（不合题意舍去）， 答：每个支干长出9小分支． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 20. 若抛物线与x轴的两个交点为和，且过点， （1）求抛物线的解析式； （2）求出这条抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，代入点，求出a的值即可得出答案； （2）把代入抛物线的解析式，求出x的值，即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴的两个交点为和， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：把代入抛物线的解析式得： ， 解得：， ∴这条抛物线上纵坐标为的点的坐标为． 21. 已知抛物线与直线交于点． （1）求和的值； （2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）对于二次函数，当在什么范围时，随的增大而减小 【答案】（1）， （2）顶点坐标为，对称轴为轴 （3）时，随的增大而减小 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点综合，抛物线函数图像性质，函数交点坐标求函数解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）先将代入到可求得的值，再将点代入到即可求得的值； （2）由（1）可得抛物线解析式，将其化为顶点式即可解题； （3）根据抛物线函数图像性质，即可解题． 【小问1详解】 解：抛物线与直线交于点， ，解得：， ， 将代入得：， 解得：， ，； 【小问2详解】 解：由（1）可得：抛物线即， 其顶点坐标为，对称轴为轴； 【小问3详解】 解：由（1）可得：抛物线， ， 函数图像开口向上， 对称轴为直线， 在时，随的增大而减小． 22. 如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底的长为，下底长为，上下底相距，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的，（提示：梯形的中位线是连接梯形两腰中点的线段，其长度等于两底和的一半） （1）梯形的中位线长是____________m； （2）梯形花坛的面积是____________； （3）甬道的宽应是多少米？ 【答案】（1）70 （2）4200 （3）甬道的宽度为5米 【解析】 【分析】本题考查梯形的中位线，梯形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据梯形的中位线的计算方法进行求解即可； （2）根据梯形的面积公式进行计算即可； （3）设甬道的宽度为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：花坛上底的长为，下底长为， ∴梯形的中位线为：； 故答案为：70； 【小问2详解】 ∵花坛上底的长为，下底长为，上下底相距， ∴梯形花坛的面积为：； 故答案为：4200． 【小问3详解】 设甬道的宽度为米，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：甬道的宽度为5米． 五、解答题（三）（每小题12分，共24分） 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程是倍根方程． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则______． （2）判断方程是不是倍根方程？并说明理由． （3）若是倍根方程，求代数式的值． 【答案】（1）2 （2） 不是，理由如下： ， 解得， ∴ ∴方程不是“倍根方程”； （3）0 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程是“倍根方程”，得到即可得到结论； （2）求出方程的解即可判断出结论； （3）解方程得，由方程两根是2倍关系，得到或4，代入解方程即可得到结论． 【小问1详解】 ∵一元二次方程是“倍根方程”， 又 ∴ ∴ 故答案为：2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解方程得， ∵方程两根是2倍关系， ∴或4， 当时，即代入代数式得 当时，即代入代数式得 综上， 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程． 24. 等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S． （1）求出S关于t的函数关系式； （2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？ （3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论． 【答案】（1）S=（t<10），（t>10）； （2）； （3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变 证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M 在Rt△APE和Rt△QCM中 ∵∠A=45°，∠QCM=∠ACB=45° ∴∠A=∠QCM ∵AP=QC=t, ∠QMC=∠AEP=90° ∴△APE≌△QCM ∴AE=PE=CM=QM=t， ∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半 又∵EM=AC=10 ∴DE=5 ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变 同理，当点P在点B右侧时，DE=5 综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． 【解析】 【分析】（1）由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系， (2)根据s△ABC=AB•BC＝50，设P运动的时间为t秒，分别分析当t＜10秒时，以及当t＞10秒时得出t的值即可； (3) 根据当t＜10秒时，P在线段AB上，得出△APE≌△QCF，以及当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，得出DE的长． 【详解】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，此时CQ=t，PB=10-t S△PCQ=CQ•PB． ∴s=×t×(10−t)=(10t−t2) 当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上如图2，此时CQ=t，PB=t-10 S△PCQ=CQ•PB． ∴s=×t×(t−10)=(t2−10t) （2）∵S△ABC=AB•BC=50 ∴当t＜10秒时，S△PCQ=(10t−t2)=50 整理得t2-10t+100=0无解 当t＞10秒时，S△PCQ=(t2−10t)=50 整理得t2-10t-100=0解得x=5±5（舍去负值） ∴当点P运动5+5秒时，S△PCQ=S△ABC. （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $