精品解析：山东省泰安第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

泰安一中新校区2024—2025学年第一学期高三学情检测 数学试题 2024年10月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则（ ） A B. 0 C. 2 D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形ABCD中，，点E为CD中点，点F满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数与可见叶片数进行分析研究，其关系可以用函数（为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（ ）（参考数据：，） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 7. 函数在R上单调，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，函数在区间上单调递增，在区间上恰有个零点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是， B. 满足的集合M的个数为4 C. 已知，，则 D. 已知正方形边长为1，则 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心 C. 若在上有两个实数根，则 D. 若的导函数为，则函数的最大值为 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数在上一定单调递增 B 当时，函数有两个零点 C. 当时，方程一定有解 D. 当时，在上恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为奇函数，则实数的值为__________. 13. 已知，，，则______. 14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四边形中，，，，. （1）求； （2）求. 16. 已知函数. （1）若的图像在点处的切线经过点，求； （2）为的极值点，若，求实数的取值范围. 17. 已知函数，，且将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数是奇函数，求的值； （3）若，当时函数取得最大值，求的值． 18. 在中，角所对的边分别为，满足. （1）求的值； （2）当与边上的中线长均为2时，求的周长； （3）当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 19 已知函数. （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1. （i）记为直线交点的横坐标，求证：； （ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰安一中新校区2024—2025学年第一学期高三学情检测 数学试题 2024年10月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的结果列出方程求解即得. 详解】集合，而，则， 经验证符合题意，所以. 故选：C 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设复数，由共轭复数的性质和复数的意义求出复数，再由复数的乘除计算即可得到结果； 【详解】设复数， 所以， 又因为复数满足， 所以， 整理可得，解得， 所以， 所以， 故选：A. 3. 在平行四边形ABCD中，，点E为CD中点，点F满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由，求解即可. 【详解】解：连接，如图所示： 因为 . 故选：A. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案． 【详解】若，，，则，充分性成立； 若，可能，，此时，所以必要性不成立． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 5. 在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到，结合余弦定理求得，求得，然后再利用正弦定理，即可求得外接圆的半径，得到答案. 【详解】因为，且， 所以， 由正弦定理，可得，即， 所以， 又因，所以，所以 外接圆的半径为. 故选：A. 6. 某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数与可见叶片数进行分析研究，其关系可以用函数（为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（ ）（参考数据：，） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数，由题意已知，求出待定系数，再用，去求解，当然这里面有取自然对数及取值计算. 【详解】由题意知，，则等式两边同时取自然对数得，， ．，，，， 故选：C． 7. 函数在R上单调，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解. 【详解】由题意，函数在上单调递增，当时，，依题需使恒成立，则； 当时，由在上递增，需使在上恒成立，则，即； 又由在上递增，可得，解得. 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 8. 已知函数，，函数在区间上单调递增，在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得，由在区间上恰有个零点，结合正弦函数图象得，最后根据函数在区间上单调递增，结合正弦函数的单调性得，最后确定的取值范围. 【详解】因为，得，又，则， 当时，， 因为在上只有个零点，所以，解得， 当时，， 因为，所以，， 又因为在上单调递增，所以，解得， 综上可得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是， B. 满足的集合M的个数为4 C. 已知，，则 D. 已知正方形的边长为1，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特称命题的否定判定A，利用集合的基本关系判定B，利用对数的运算法则判定C，利用向量的数量积运算律结合正方形性质可判定D. 【详解】根据特称命题否定形式可知： 命题“，”的否定是，，故A错误； 根据集合间的基本关系可知或或或， 故B正确； 利用对数的运算法则知，故C正确； 由正方形的性质可知， 而， 所以 ，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心 C. 若在上有两个实数根，则 D. 若的导函数为，则函数的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接由周期公式即可判断；对于B，直接代入检验即可；对于C，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D，求得后结合辅助角公式即可得解. 【详解】由题意可得，故A正确； ，所以不是图象的一个对称中心，故B错误； 令，由得， 根据题意可转化为直线与曲线，有两个交点， 数形结合可得，故C正确； 设为的导函数， 则，其中， 当且仅当，即当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：ACD． 11 已知函数，则（ ） A. 当时，函数在上一定单调递增 B. 当时，函数有两个零点 C. 当时，方程一定有解 D. 当时，在上恒成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，根据导函数正负判断单调性和极值最值，判断AB正确，C错误；构造函数，求导，求出最小值，得其最小值大于2，判断D正确. 【详解】对于时，，所以在上一定单调递增，故选项正确； 对于B，当时，，令，得，故在区间上单调递减，上单调递增，，又，所以在上各有一个零点，共两个零点，故选项B正确； 对于，取，则， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 所以，故选项C错误. 对于，当时，，此时，令在递增，，由零点定理，在上存在，使①，从而在递减，递增，所以，由①，所以（因为在上，所以等号不成立），故选项正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为奇函数，则实数的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，即， 故， 解得. 故答案为： 13. 已知，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦的差角公式先求，从而可得，根据角的范围结合同角三角函数的基本关系确定，再利用正切的差角公式计算即可. 【详解】由题意可知，所以， 即， 又，所以， 则， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】结合解析式可知当时，；当时，. 因为，所以. 令，得，则， 故. 令，则， 令得；令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 因为，所以. 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四边形中，，，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求解，然后由平方关系求解即可； （2）由（1）求出，进而求出，然后利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 中，由正弦定理得：； . 【小问2详解】 ， 所以， 所以 16. 已知函数. （1）若的图像在点处的切线经过点，求； （2）为的极值点，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解作答. （2）利用极值点的意义，结合韦达定理、根的判别式列出不等式，求解作答. 【小问1详解】 函数，求导得， 于是函数的图象在点处的切线方程为， 即，而切线过点， 因此，整理得，解得或， 所以或. 【小问2详解】 由（1）知，方程，即有两个不等实根，则，解得， 且，于是 ， 由，得，解得，因此， 所以实数的取值范围是. 17. 已知函数，，且将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数是奇函数，求的值； （3）若，当时函数取得最大值，求的值． 【答案】（1），． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）用二倍角公式、降幂公式及辅助角公式进行化简，再利用求解即可得到最小正周期；结合正弦函数的单调递增区间，用整体的思想求解即可； （2）先根据平移变换求出的表达式，在根据题意列出等式求解即可； （3）当时函数取得最大值，由此可得，代入化简；又，因此可求出，再求出，再根据两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，则其最小正周期， 令，解得， 则其单调递增区间为． 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则， 若函数是奇函数，则,即 因为，所以时，． 【小问3详解】 由题知，则，从而，，因此， 因为，且，所以， 因此，， 所以， 所以． 18. 在中，角所对的边分别为，满足. （1）求的值； （2）当与边上的中线长均为2时，求的周长； （3）当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理及向量化求出，即可得解； （3）先利用等面积法求出与的关系，再结合余弦定理可求出与的关系，再结合基本不等式及三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又由，得. 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得， 即，① 设中点为，则， 则， 则，② 由①②得， 联立，解得， 所以，即的周长为； 【小问3详解】 由（1）得， 由内切圆半径为1，得，即， 由余弦定理得，所以， 得，因为，所以， 解得或， 又因为的面积大于其内切圆面积，即， 得，所以， 当且仅当时，的面积取到最小值. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 19. 已知函数. （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1. （i）记为直线交点的横坐标，求证：； （ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）分离参数，设，利用导数研究单调性，求解函数的最值即可求解； （2）（i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，利用导数的几何意义求出两切线方程，联立可得，构造函数，利用导数求解函数最值即可证明； （ii）结合导数的几何意义将问题转化为有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为，由得，从而有两个不等实根，设，利用导数研究的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由于，则， 设，则，，且在上单减， 令得，令得， 所以在单调递增，单调递减， 所以，则. 【小问2详解】 （i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为， 有，即， 此时，切线为：， 相减得， 所以， 设，，所以在上单调递减. 故当时，，所以； 当时，，所以，则. （ii）由题意得：存在实数，使在处的切线和在处的切线重合， 所以，即， 则， 又因为，所以， 题目转化为有两个不等实根，且互为倒数， 不妨设两根为， 则由得， 化简得， 所以， 所以，（也可写为）. 代入中得：有两个不等实根， 即， 设， 由于在上单调递减且， 所以在单调递增，单调递减， 而无限趋近于0时，无限趋向于负无穷大， 无限趋近于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，， 所以，即. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： （1）、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$