精品解析：山东省新泰市第一中学北校2024-2025学年高三上学期第二次阶段性考试（12月）数学试题

新泰一中北校高三上学期第二次阶段性考试 数学试题 2024.12 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先解对数不等式得出集合B，再根据交集定义求解. 【详解】因为，所以, 所以，共3个元素. 故选：C． 2. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则求，再根据共轭复数的定义求，再根据复数的几何意义求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以复数在复平面上对应的点的坐标为， 复数在复平面上对应的点位于第四象限. 故选：D. 3. 已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义求. 【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有. 故选：C 4. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据模长公式可得，即可根据投影向量的定义求解. 【详解】，故， 所以向量在上的投影向量为， 故选：D 5. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等差数列和等比数列的性质分别求出和的值，再代入式子求解. 【详解】因为数列是等差数列，所以 数列是等比数列，所以 所以. 故选：C. 6. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（ ） （参考数据，） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列式求得，从而得到关于的不等式，利用对数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】依题意，当时，，解得， 所以，由得， 所以，则，故， 所以的最小整数值为. 故选：B. 7. 已知函数定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 8. 已知正数满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设且，构造、，利用导数、零点存在性定理判断在上的函数值符号，即可得答案. 【详解】由题设，则，且，则， 令且，故， 令，则在上递增，故， 所以在上递增，故， 所以在上递增，故， 即在上恒成立，故，A错，B对； 对于的大小关系，令且，而，， 显然在上函数符号有正有负，故的大小在上不确定， 即的大小在上不确定，所以C、D错. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知方程表示曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 若曲线是圆，则该圆半径为 B. 若曲线是椭圆，则 C. 若曲线是双曲线，则或 D. 若曲线是双曲线，则焦距为定值 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二元二次方程与圆、椭圆、双曲线标准方程的关系，得到关于的不等式组可判断ABC；分类讨论分别求得双曲线焦距可判断D. 【详解】对于A，若曲线是圆，则，解得， 所以方程为，所以圆的半径为，故A正确； 对于B，若曲线是椭圆，则， 解得且，故B错误； 对于C，若曲线是双曲线，则， 解得或，故C正确； 对于D，若曲线是双曲线，则或， 当时，，， 所以焦距为， 当时，，， 所以焦距为， 所以焦距不是定值，故D错误. 故选：AC. 10. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，计算出，得到；B选项，证明出四边形为平行四边形，故，从而得到线面平行；C选项，求出平面的法向量，由线面角的求解公式进行求解；D选项，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故， 故，所以， 故，A正确； B选项，因，，所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面，故平面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 又，故 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角不为，C错误； D选项，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 故点与平面距离为，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的图象经过点，将的部分图象沿轴折成直二面角（如图所示），若，则（ ） A. B. C. 将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象 D. 函数的单调递减区间为 【答案】AB 【解析】 【分析】由解析式得周期，结合图象可得，借助向量加法与数量积的运算表达，A项，由已知可待定系数A；B项，代入坐标，结合函数轴附近函数单调性求得；C项由三角函数平移可求得解析式；D项利用二倍角公式化简解析式，再利用整体代入法求单调区间即可得解. 【详解】如图，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为， 由题意可知平面平面，平面平面， 又平面，则平面， 平面，则， 则，， 由， 则的周期， A项，由图象可知， 所以 ， 由，解得； B项，由A项可知，， 则， 因为图象经过点，即，， ，或， 由函数图象可知， 则，所以，故B正确； C项，由AB可知，， 即将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象， ，故C错误； D项，， 由，解得， 故函数的单调递减区间为，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用面面垂直的性质定理，结合空间向量运算的性质进行判断求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题：“”为真命题，则的取值范围是______． 【答案】（] 【解析】 【分析】先讨论成立，然后讨论时，利用二次函数的图像求解即可. 【详解】因为命题“”为真命题，当时，成立， 当时，则，解得，故的取值范围是， 故答案为： 13. 已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得出棱柱的内切球的半径为，利用数量积的运算得，再求出范围，即可求出结果. 【详解】正三棱柱的高为，所以棱柱的内切球的半径为， 设棱柱内切球与上下底面的两个切点为，且切点为上下底面的中心， 设棱柱内切球的球心为，又是该棱柱内切球的一条直径，则， 则 ， 又点是正三棱柱表面上的动点， 当为内切球与正三棱柱的各面的切点时，的值最小，此时， 由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大， 连接，并延长交于， 因为正三棱柱的底边长为， 则， 此时， 得到，则的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设为右焦点，由题意，，利用椭圆和双曲线的性质有，最后用均值不等式即可求解． 【详解】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，，所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：． 【点睛】思路点睛： 关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设，，利用椭圆和双曲线的性质有，，结合，得到，利用基本不等式求的最小值即可． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义可得，结合，即可求实数的值； （2）由（1）知，根据导函数的符号，可求的单调区间和极值. 【小问1详解】 ， 由题意知，，所以 又因为，所以； 小问2详解】 由（1）知， 当时；当时，； 当时， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，取得极大值； 当时，取得极小值， 16. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ACDE是正方形，四边形FDCB是梯形，DF与BC为梯形上底与下底.是等腰直角三角形，直线平面ABC，. （1）求证：平面平面BEF； （2）求平面ABF与平面EBF夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可证平面平面ABC，进而可得平面DEF，结合垂直关系可得平面BFD，即可得面面垂直； （2）建系标点，分别求平面ABF与平面EBF夹角的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 因为，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC， 在正方形ACDE中，，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC. 因为，DE、平面DEF，所以平面平面ABC. 因为平面ABC，所以平面DEF. 因为平面DEF，所以. 因为，所以. 由题意知，，，则，所以. 因为，CD、平面BFD，所以平面BFD. 又平面BEF，所以平面平面BEF. 【小问2详解】 因为，平面ABC， 所以以A为原点，以AB，AC，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 可得，，. 设为平面ABF的法向量，则， 取，则为平面ABF的一个法向量， 设为平面BEF的法向量，则， 取，则为平面BEF的一个法向量， 可得. 所以平面ABF与平面EBF夹角的余弦值为. 17. 已知等差数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，问：是否存在，使得成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式列方程求得基本量，从而得解； （2）利用错位相减法求和得，再利用等比中项公式化简得，从而利用代数式的奇偶性推得矛盾，由此得解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由，， 可得，解得， 故. 【小问2详解】 ， 故, 则， 两式相减可得， 故 ， 因此， 假若存在，使得，，成等比数列，则， 即， 即， 故， 进而，即， 由于为奇数，而为偶数，因此不存在使得， 故不存在，使得，，成等比数列， 18. 设的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的周长； （3）如图，点是外一点，设，且，记的面积S，求S关于的关系式，并求S的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）由向量数量积运算律以及，结合余弦定理计算可得周长； （3）利用正弦定理表示出S关于的关系式，构造函数求导得出单调性可得S的取值范围. 【小问1详解】 由可得； 由正弦定理可知， 所以， 所以，即. 由余弦定理， 因此. 【小问2详解】 因为，所以等号两边同时平方可得； 即. 又，由（1）知， 所以，可得，所以， 因此的周长为. 【小问3详解】 由正弦定理可得，即， 且，即. 因为四边形的内角和为，且， 所以 所以. ， 记， 令， 则. 因为在中，所以，所以， 所以当时，单调递增. 当，即时，； 当，即时，， 则， 所以. 19. 现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. （1）若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； （2）已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），轨迹是以为圆心、为半径的圆 （2）（i）；（ii）存在，点 【解析】 【分析】（1）根据题设定义得到，再利用两点间的距离公式，即可求解； （2）（i）根据条件可得直线为圆和的公共弦所在直线，即可求解；（ii）根据题设得到圆的方程为，再根据题设有，联立，消可得，结合条件，利用根与系数的关系，即可求解. 【小问1详解】 设，因为点为圆的“上进点”， 所以，即，又，得到， 所以的轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心､为半径的圆. 【小问2详解】 （i）因为为圆“”的“牵连点”，所以同时为圆与圆的“上进点”， 由为圆的“上进点”，得，所以， 即点在圆上， 由为圆的“上进点”，由（1）知点在圆上， 所以点是圆和交点. 因为均为圆“”的“牵连点”， 所以直线为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，故直线的方程为. （ii）因为的圆心为，半径为， 又的圆心为，半径为， 所以直线的方程为，与联立得的中点坐标为， 点S到直线的距离为，则， 所以圆的方程为， 假设轴上存在点满足题意，设. 则，即，整理得. 将，代入上式可得， 整理得①， 联立，消可得，， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以， 故轴上存在点，满足题意恒成立. 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新泰一中北校高三上学期第二次阶段性考试 数学试题 2024.12 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（ ） （参考数据，） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 7. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 已知正数满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知方程表示曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 若曲线是圆，则该圆半径为 B. 若曲线是椭圆，则 C. 若曲线是双曲线，则或 D. 若曲线是双曲线，则焦距为定值 10. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 11. 已知函数的图象经过点，将的部分图象沿轴折成直二面角（如图所示），若，则（ ） A B. C. 将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象 D. 函数的单调递减区间为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题：“”为真命题，则取值范围是______． 13. 已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________. 14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值. 16. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ACDE是正方形，四边形FDCB是梯形，DF与BC为梯形上底与下底.是等腰直角三角形，直线平面ABC，. （1）求证：平面平面BEF； （2）求平面ABF与平面EBF夹角余弦值. 17. 已知等差数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，问：是否存在，使得成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 18. 设的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的周长； （3）如图，点是外一点，设，且，记的面积S，求S关于的关系式，并求S的取值范围. 19. 现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. （1）若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； （2）已知圆，且均为圆“”“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$