精品解析：山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题

济宁市实验中学2025届高三第一学期10月月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合或，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的结果，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以，解得． 所以，实数的取值范围是. 故选：D. 2. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系 【详解】因为是幂函数且在上是减函数， 故，故， 故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用和差公式、二倍角公式及平方关系化简，再把正弦余弦转化为正切即可求解. 【详解】 . 故选：. 5. 函数y＝lg的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数y＝lg的定义域,可排除A，C,再代入x＝9,求出y值,结合选项得出答案. 【详解】函数y＝lg的定义域为{x|x≠－1}，由此排除A，C.当x＝9时，y＝lg＝－1＜0.由此排除B. 故选:D 【点睛】本题考查函数的图象,考查函数的性质,考查学生的识图能力,属于基础题. 6. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 7. 已知函数，则使有零点的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断，此时可得的单调性，依题意可得，令，结合函数的单调性及零点存在性定理得到存在使得，从而得到有零点的充要条件为，即可判断. 【详解】因为， 当时，，所以，没有零点，故A错误； 当时与在上单调递增，所以在上单调递增， ，要使有零点，则需， 即，令，则在上单调递减， 且，，， 所以存在使得， 所以有零点的充要条件为， 所以使有零点的一个充分条件是. 故选：D 8. 已知函数，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，然后结合的单调性，即可得到结果. 【详解】因为且，所以， 令且，则， 当时，，故函数单调递增， 当时，，故函数单调递减； 所以， 所以在上单调递增， 令，则， 所以在上单调递减，， 即，则，即. 故选：D 二、多选题 9. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 10. 若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值4 D. 有最小值 【答案】AD 【解析】 【分析】求得最值判断选项A；求得最大值判断选项B；求得最小值判断选项C；求得最小值判断选项D. 【详解】选项A：由（当且仅当时等号成立）， 得，故有最大值.判断错误； 选项B： （当且仅当时等号成立）， 则，则有最大值.判断正确； 选项C：（当且仅当时等号成立）， 故有最小值4，判断正确； 选项D：（当且仅当时等号成立）， 所以有最小值.判断错误. 故选：AD. 11. 函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ） A. 函数的值域为R B. 函数的单调减区间为 C. 当时，则方程有4个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】先分析函数的单调性和函数值情况并作出函数的图象，对于A和B，由分析以及图象即可得解；由对于C和D，由方程得解为与，再根据条件树形结合依次分析两解对应的根的情况即可得解. 【详解】①当时，， 则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. ②当时，，， 当，在单调递增；当，在单调递减， 故，且恒有，综上①②可知，， 综上，作出函数大致图象，如下图： 对于A，由上可知函数的值域为，故A错误； 对于B，函数的单调减区间为，故B正确； 对于C，当时，则方程，解得或， 由，得或，有两个实数根； 由图象可知，由得此时有不相等的实数根，且均不为，也不为， 所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误； 对于D，若关于x的方程有3个不相等的实数根， 即方程与方程共有3个不相等的实数根， 又因为已有两个不等的实数根， 则方程有且仅有1个根，且不为. 所以与有且仅有1个公共点， 由图象可知，满足题意，即m的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：先研究函数的单调性以及函数值的分布情况，接着作出函数的图象，数形结合使得问题更直观，进而即可进一步研究函数的性质情况：研究方程的根的个数问题，可先解方程得与，再根据条件依次分析两解对应的根的情况并树形结合即可得解. 三、填空题 12. 设正实数满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算法则与性质化简即可得解. 【详解】由，得． 所以． 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则__________. 【答案】4048 【解析】 【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解. 【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称， 所以，从而得，所以函数为周期为4函数， 因为，所以，则， 因关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以， 又因为，又因为，所以， 所以. 故答案为：4048. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的奇偶性得到函数的周期，再求出一个周期内的值，最后求和即可. 14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】结合解析式可知当时，；当时，. 因为，所以. 令，得，则， 故. 令，则， 令得；令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 因为，所以. 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15. 函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B． （Ⅰ）求集合A，B； （Ⅱ）若集合A，B满足，求实数a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由一元二次不等式的求解方法可求得A集合，由指数函数的值域可求得集合B； （Ⅱ）由，得， 根据集合的子集关系可得实数a的取值范围． 【详解】（Ⅰ）A=， B=． （Ⅱ）∵，∴， 显然，， ∴或， ∴或，即a的取值范围是． 【点睛】本题考查集合的表示和化简，集合的交集运算，集合间的子集关系，属于中档题. 16. 已知， （1）求和的值 （2）若，，求的大小． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得，以及求值； （2）条件等式由诱导公式可得，即可由和差公式求得，结合范围即可. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ， ， ∵，∴. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 18. 如图，在扇形中，，半径.在弧上取一点C，向半径、分别作垂线，与线段、分别相交于D、E，得到一个四边形. （1）设，将四边形的面积S表示成x的函数； （2）求四边形的面积S的最大值. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形面积公式得到，然后利用二倍角公式，辅助角法化简求解. （2）由（1）知：，利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）， ， ， ， ，要得到四边形则. （2）由（1）知：， 因为 所以， 所以当，即时，四边形的面积S的最大值为. 【点睛】本题主要考查三角函数的平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 【答案】（1）的减区间为，增区间为. （2） （3）证明如下： 取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性. （2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有， 所以在上为减函数，所以. 综上，. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济宁市实验中学2025届高三第一学期10月月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合或，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A B. C. D. 5. 函数y＝lg大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知函数，则使有零点的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 10. 若正实数a，b满足，则下列说法错误是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值4 D. 有最小值 11. 函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ） A. 函数的值域为R B. 函数单调减区间为 C. 当时，则方程有4个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 三、填空题 12. 设正实数满足，则__________． 13. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则__________. 14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 四、解答题 15. 函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B． （Ⅰ）求集合A，B； （Ⅱ）若集合A，B满足，求实数a的取值范围． 16. 已知， （1）求和的值 （2）若，，求的大小． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 18. 如图，扇形中，，半径.在弧上取一点C，向半径、分别作垂线，与线段、分别相交于D、E，得到一个四边形. （1）设，将四边形的面积S表示成x的函数； （2）求四边形的面积S的最大值. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $