第05讲 有理数的乘除运算（3个知识点+5种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

第05讲 有理数的乘除运算（3个知识点+5种题型+过关检测） 知识点1．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点2．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点3．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 题型一、多个有理数的乘法运算 1．（2024·河北·模拟预测）如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ） A． B． C．1 D．3 2．（2024七年级上·全国·专题练习）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ （1）当时，若，则 0； （2）当时，若，则c 0； （3）已知a，b，c是非零有理数，则 ． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、有理数乘法的实际应用 4．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）100张我们现在考的这样的试卷纸的厚度最接近（   ） A．8毫米 B．8厘米 C．8分米 D．8米 5．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小龙家住在6楼，他从6楼乘坐电梯到地下1层的车库，假设每层的楼高为3米，则电梯一共下降的高度为 米． 6．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）某天上午，一出租车司机始终在一条南北走向的笔直马路上营运，（出发点记作为点0，约定向南为正，向北为负），期间一共运载6名乘客，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：，，，，，． (1)出租车在行驶过程中，离出发点O最远的距离是________千米； (2)将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点O多远？在O点的什么方向？ (3)出租车收费标准为：起步价（不超过3千米）为8元，超过3千米的部分每千米的价格为1.5元，求司机这天上午的营业额． 题型三、有理数的除法运算 7．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知：，且a，b，c都不等于0，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 8．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）已知有理数a、b满足，则 ． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）数学老师布置了一道思考题：“计算：”小明仔细思考了一番，用了一种特别的方法解决了这个问题： 原式的倒数为， 所以． 请你运用小明的方法计算：． 题型四、有理数除法的应用 10．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）下面各年份中，不是闰年的是（    ） A．1942 B．2000 C．2004 D．2020 11．（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）小英用小时走了千米，则小英行走的速度是每小时 千米． 12．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图①为种植行业常见的塑料大棚，塑料大棚有助于保持室内温度，为植物提供良好的生存环境，可以将其简化为图②所示的立体图形，上方为半圆柱体．已知 (1)这样一个塑料大棚的种植面积为多少平方米？ (2)围起一个这样的大棚需要多大面积的塑料薄膜？ (3)这样一个大棚的空间为多少立方米？ 题型五、有理数乘除混合运算 13．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若规定“！”是一种数学运算符号，，的值为（    ） A． B． C． D．1 14．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）我们把记作，记作． （1） （2） 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）【阅读材料】 当有理数不等于时， 把个相同的有理数的除法运算记作； 把个相同的有理数的除法运算记作； 把个相同的有理数x的除法运算记作； ； 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则______﹔ (2)_______； (3)计算：． 一、单选题 1．计算的结果是（　　） A．6 B．36 C． D．1 2．2022的倒数是（　　） A． B． C．2022 D． 3．下列说法正确的个数是（    ） ①的相反数是；②的绝对值是2022；③的倒数是2022． A．3 B．2 C．1 D．0 4．计算的结果是（    ） A．9 B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．的相反数是 B．的绝对值是 C．的倒数是 D．数轴上表示的点在表示的点的右侧 6．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ）    A． B． C． D． 7．已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，且，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 8．下列语句说法正确的个数是（    ） （1）几个数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正． （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数． （3）加上一个数等于减去这个数的相反数． （4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数． （5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．用简便方法计算计算时，最合适的变形是（    ） A． B． C． D． 10．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式的符号为正的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．的倒数的绝对值是 ． 12．两个非零有理数的商是，则他们的和为 ． 13．的倒数是 ；绝对值等于4的数是 ． 14．计算： ； 15． ； 16．计算： . 17．若是有理数，定义新运算：．例如：．试计算 ． 18．下列说法中：①若，则；②若，，则；③式子是七次三项式；④若，m是有理数，则；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数时积为负．其中说法正确的是 ． 三、解答题 19．已知． (1)若，求的值． (2)若，求的值． 20．快过年了，小刚的妈妈计划买1张餐桌和6把椅子来替换家里的旧餐桌和椅子，妈妈从甲、乙两商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为800元，椅子的报价每把均为80元．甲商场称：每购买一张餐桌赠送两把椅子；乙商场决定：餐桌、椅子均按报价的八五折销售，你认为小刚的妈妈应该到哪一家商场购买呢？ 21．已知有理数－16，－10，c在数轴上对应的点分别是A，B，C三点，BC－AB＝4． (1)请在数轴上画出点A，B，并求B，C两点间的距离； (2)求AC中点表示的数 22．快递员王师傅配送快件，在东西向某段路进行配送快递，若规定向东为正，向西为负，王师傅从单位出发配送的10户的里程如下：，，，，，，，，，（单位：千米） (1)请问王师傅最后所在的位置在单位的什么地方，距离单位多远？ (2)如果小电车每千米耗电量0.02度电，想问王师傅这一上午耗电量多少？ 23．一个多位数是整数，代表这个整数分出来的左边数，代表这个整数分出来的右边数，其中，两部分数的个数相同，若正好为剩下的中间数，则这个多位数就叫平衡数， 例如：357满足，357是平衡数；233241满足，233241是平衡数． (1)判断：468____平衡数；314567____平衡数；（填“是”或“不是” (2)证明任意一个三位平衡数一定能被3整除． 24．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．(单位：) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)在第_______次纪录时距A地最远？ (2)求检修小组收工时在A地的何处？距A地有多远？ (3)若每千米耗油0.15升，每升汽油需8元，问这天检修小组工作一天回到出车地时需汽油费多少元？ 25．“十一”长假期间，我市银杏公园7天中每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比9月日多的人数，负数表示比9月日少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化千人 (1)请判断7天内游客人数量最多和最少的各是哪一天？它们相差多少千人？ (2)如果9月日旅游人数为2千人，平均每人公园内消费元，请问银杏公园在此7天内总收入为多少万元？ 26．2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别为“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，在亚运会期间，某电商平台开启了为期一周的直播公益活动，活动如下：每销售一只亚运会吉祥物． 就从销售额里拿出一部分作为慈善基金捐赠给某希望中学用于购买学生体育用品．规定：当天吉祥物销售量超过300只的部分记为“”，不足300只的部分记为“”，下表是公益活动一周的销售量： 时间 销售量超过或不足部分（单位：只） (1)求这一周公益活动期间的吉祥物总销售量； (2)吉祥物的销售价格为每只80元，捐赠方案如下：每天销售量中不超过300只的部分，按每只销售价的捐赠：每天销售量中超过300只的部分，按每只销售价的捐赠．求直播公益活动期间一共捐赠了多少钱． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘除运算（3个知识点+5种题型+过关检测） 知识点1．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点2．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点3．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 题型一、多个有理数的乘法运算 1．（2024·河北·模拟预测）如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】根据题意，逐个判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积，进而判断出哪个的值不满足“和谐数组”条件即可． 此题主要考查了数字规律类“和谐数组”，解答此题的关键是判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积． 【详解】解：A、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； B、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； C、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； D、当时， ， ， ∵， ∴不满足“和谐数组”条件，故选项符合题意． 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ （1）当时，若，则 0； （2）当时，若，则c 0； （3）已知a，b，c是非零有理数，则 ． 【答案】 或 【知识点】绝对值的意义、两个有理数的乘法运算、多个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的运算： （1）根据有理数乘法的符号法则，得到，再根据绝对值的意义和有理数加法的符号法则，进行判断即可； （2）根据有理数乘法的符号法则，进行判断即可； （3）分a，b，c都是正数，a，b，c都是负数，a，b，c中有两个正数，一个负数，a，b，c中有两个负数，一个正数，四种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：时，， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， 故答案为：； （3）对a，b，c的取值情况分类讨论如下： 当a，b，c都是正数时， ； 当a，b，c都是负数时， ； 当a，b，c中有两个正数，一个负数时， 中有两个1，一个，所以和为1； 当a，b，c中有两个负数，一个正数时， 中有一个1，两个，所以和为； 的值为或， 故答案为：或． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加法运算律、多个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】（）根据有理数的加减法法则和加法运算律即可得出答案； （）根据有理数的加减法法则，化简绝对值和加法运算律即可得出答案； （）根据有理数的乘法法则和乘法运算律即可得出答案； （）根据有理数的加减法法则和加法运算律即可得出答案； 本题考查了有理数的混合运算及运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型二、有理数乘法的实际应用 4．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）100张我们现在考的这样的试卷纸的厚度最接近（   ） A．8毫米 B．8厘米 C．8分米 D．8米 【答案】A 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查长度单位，生活经验及有理数乘法的实际应用，根据生活经验可知我们现在考的这样的试卷纸的厚度，再乘以100求解即可． 【详解】解：根据长度单位的大小及生活经验可知我们现在考的这样的试卷纸的厚度最接近0.08毫米， 则100张的厚度为：毫米． 故选：A． 5．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小龙家住在6楼，他从6楼乘坐电梯到地下1层的车库，假设每层的楼高为3米，则电梯一共下降的高度为 米． 【答案】18 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算的应用，根据题意列出算式，进行计算即可． 【详解】解：他从6楼乘坐电梯到地下1层的车库时，需要下降的高度为： （米）． 故答案为：18． 6．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）某天上午，一出租车司机始终在一条南北走向的笔直马路上营运，（出发点记作为点0，约定向南为正，向北为负），期间一共运载6名乘客，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：，，，，，． (1)出租车在行驶过程中，离出发点O最远的距离是________千米； (2)将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点O多远？在O点的什么方向？ (3)出租车收费标准为：起步价（不超过3千米）为8元，超过3千米的部分每千米的价格为1.5元，求司机这天上午的营业额． 【答案】(1)12 (2)离出发点O12千米，在O点的北边 (3)司机这天上午的营业额为114元． 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算和乘法的应用，明确正负数的意义是解题的关键． （1）观察所给数据，几个数相加之后数值的绝对值越大，则离原点O越远； （2）将6个数字相加，即可得答案； （3）分别计算6次的起步费和超过3千米的距离之和，再乘以1.5，两者相加即可得答案． 【详解】（1）解：运载完第1位乘客后离出发点O的距离是7千米， 运载完第2位乘客后离出发点O的距离是（千米）， 运载完第3位乘客后离出发点O的距离是（千米）， 运载完第4位乘客后离出发点O的距离是（千米）， 运载完第5位乘客后离出发点O的距离是（千米）， 运载完第6位乘客后离出发点O的距离是（千米）， ∴出租车在行驶过程中，离出发点O最远的距离是12千米； 故答案为：12； （2）解：∵ ∴将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点O12千米，在O点的北边； （3）解：起步费总共为：（元） 超过3千米的部分的费用为：（元） ∴（元） ∴司机这天上午的营业额为114元． 题型三、有理数的除法运算 7．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知：，且a，b，c都不等于0，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算、有理数乘除混合运算、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数乘除的应用．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴a，b，c中最小的数是b． 故选：B 8．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）已知有理数a、b满足，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数的除法运算 【分析】本题考查绝对值与平方的非负性，有理数的除法等知识，掌握相关知识是解题关键． 首先根据绝对值与平方的非负性得到，，然后代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）数学老师布置了一道思考题：“计算：”小明仔细思考了一番，用了一种特别的方法解决了这个问题： 原式的倒数为， 所以． 请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，有理数乘法分配律，先根据分配律求出的结果，再仿照题意即可得到答案． 【详解】解： ， ∴． 题型四、有理数除法的应用 10．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）下面各年份中，不是闰年的是（    ） A．1942 B．2000 C．2004 D．2020 【答案】A 【知识点】有理数除法的应用 【分析】题目主要考查闰年的判断，普通年能被4整除且不能被100整除的为闰年，否则为平年，世纪年能被400整除的是闰年，否则为平年，熟练掌握闰年的判断方法是解题的关键． 【详解】解：A、1942不是4的倍数，1942年不是闰年，故符合题意； B、2000是400的倍数，2000年是闰年，故不符合题意； C、2012是4的倍数，2012年是闰年，故不符合题意； D、2020是4的倍数，2020年是闰年，故不符合题意． 故选：A． 11．（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）小英用小时走了千米，则小英行走的速度是每小时 千米． 【答案】 【知识点】有理数除法的应用 【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据速度路程时间即可求解，弄清路程、速度、时间三者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：， 12．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图①为种植行业常见的塑料大棚，塑料大棚有助于保持室内温度，为植物提供良好的生存环境，可以将其简化为图②所示的立体图形，上方为半圆柱体．已知 (1)这样一个塑料大棚的种植面积为多少平方米？ (2)围起一个这样的大棚需要多大面积的塑料薄膜？ (3)这样一个大棚的空间为多少立方米？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 (3)立方米 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】本题主要考查平面图形的面积，立体图形表面积，体积的计算， （1）根据长方形的面积计算公式即可求解； （2）根据立体图形表面积的计算方法即可求解； （3）根据立体图形体积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：， ∴种植面积为（平方米）； （2）解：根据题意，侧面的面积为， 顶部的面积为， ∴ ∴大棚需要平方米的塑料薄膜； （3）解：长方体的体积为， 顶部的题意为， ∴大棚的空间为立方米． 故答案为：． 题型五、有理数乘除混合运算 13．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若规定“！”是一种数学运算符号，，的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了乘除混合运算．理解题意，确定运算规则是解题的关键． 根据求解作答即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 14．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）我们把记作，记作． （1） （2） 【答案】 1 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是理解并掌握新定义及有理数乘除运算法则． （1）根据新定义列出算式，再根据有理数的除法运算法则计算可得； （2）根据新定义列出算式，再根据有理数的乘除法运算法则计算可得． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2） ， 故答案为：1． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）【阅读材料】 当有理数不等于时， 把个相同的有理数的除法运算记作； 把个相同的有理数的除法运算记作； 把个相同的有理数x的除法运算记作； ； 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则______﹔ (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的除法运算、有理数乘除混合运算 【分析】（）根据运算的定义即可得到答案； （）根据运算的定义计算即可得到答案； （）根据运算的定义和有理数的运算法则进行计算即可求解； 本题考查了有理数的除法新运算，有理数的乘除混合运算，理解新运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：原式 ， ， ． 一、单选题 1．计算的结果是（　　） A．6 B．36 C． D．1 【答案】B 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】将除法变为乘法，再约分计算即可求解． 【详解】解：原式 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘除法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 2．2022的倒数是（　　） A． B． C．2022 D． 【答案】D 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此即可求得答案，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】2022的倒数是， 故选：D． 3．下列说法正确的个数是（    ） ①的相反数是；②的绝对值是2022；③的倒数是2022． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数 【分析】根据相反数的定义判断①；根据绝对值的性质判断②；根据倒数的定义判断③． 【详解】解：①的相反数是2022，故①不符合题意； ②的绝对值是2022，故②符合题意； ③的倒数是，故③不符合题意； 正确的个数是1个， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，绝对值，倒数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值等于它的相反数，乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 4．计算的结果是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查的是乘法分配律的应用，直接利用乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】解： ； 故选C 5．下列说法正确的是（    ） A．的相反数是 B．的绝对值是 C．的倒数是 D．数轴上表示的点在表示的点的右侧 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义、绝对值的意义、倒数 【分析】根据相反数的定义，绝对值，倒数以及数轴上的点即可判断． 【详解】解：A. 的相反数是，选项错误，不符合题意；     B. 的绝对值是，选项正确，符合题意； C. 的倒数是，选项错误，不符合题意；     D. 数轴上表示的点在表示的点的左侧，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查相反数的定义，绝对值，倒数以及数轴，掌握相关概念是解题的关键． 6．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算 【分析】根据数轴上点的位置，先确定a、b对应点的数的正负和它们的绝对值，再逐个判断得出结论． 【详解】解：A．∵有理数a在数轴上的位置，位于的右边， ∴，该选项说法错误，不符合题意； B．∵， ∴，该选项说法错误，不符合题意； C．∵有理数a位于原点左边，所以，即， 同理，，即，故有，选项说法正确，符合题意； D．∵有理数a在数轴上的位置，位于b的左边， ∴，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴上的点与对应有理数的关系，用数轴表示有理数以及绝对值的定义，准确理解以上概念是解题的关键． 7．已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，且，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法运算、有理数的减法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，加法，减法，乘法运算结果的符号确定，观察数轴得：，再根据有理数的加减运算，乘法运算，逐项判断即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∵， ∴A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选B 8．下列语句说法正确的个数是（    ） （1）几个数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正． （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数． （3）加上一个数等于减去这个数的相反数． （4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数． （5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、多个有理数的乘法运算、绝对值的意义、倒数 【分析】本题考查了有理数的加法，乘除法，倒数，绝对值的意义，熟练掌握与有理数的基本知识点及运算法则是解决本题的关键． 根据有理数的加减乘除运算法则和倒数的概念，绝对值的意义依次分析即可． 【详解】解：（1）必须是几个非零数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正，故（1）不符合题意； （2）除以一个非零数等于乘以这个数的倒数，故（2）不符合题意； （3）加上一个数等于减去这个数的相反数，正确的，故（3）符合题意； （4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数，这句话是错误的，如， 但，此时，故（4）不符合题意； （5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数，正确的，故（5）符合题意． 故选：B． 9．用简便方法计算计算时，最合适的变形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】根据有理数的简便运算，利用分配律计算时，凑整已达到简便运算的目的 【详解】A.符合题意； B.， B选项错误， C.， C选项错误， D.直接利用分配律进行计算，比较复杂，没有A选项简便， 故选A 【点睛】本题考查了有理数的简便运算，掌握简便运算的技巧是解题的关键． 10．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式的符号为正的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的除法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，先根据数轴得到，，再根据有理数的四则运算法则求解即可． 【详解】解；由题意得，，， ∴， ∴四个选项中只有D选项中的式子符号为正， 故选：D． 二、填空题 11．的倒数的绝对值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、倒数 【分析】先求出的倒数，再求其绝对值． 【详解】解：的倒数为 故答案为： 【点睛】本题考查倒数和绝对值的定义．掌握二者的定义即可． 12．两个非零有理数的商是，则他们的和为 ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，除法运算，由得出互为相反数是解本题的关键． 【详解】解：设这两个有理数分别为a，b， ∵两个非零有理数的商是， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 13．的倒数是 ；绝对值等于4的数是 ． 【答案】 【知识点】绝对值的意义、倒数 【分析】根据倒数的定义：两数之积为1，以及绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：的倒数是；绝对值等于4的数是； 故答案为：，． 【点睛】本题考查倒数，绝对值．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 14．计算： ； 【答案】 /0.25 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】利用有理数的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查有理数的乘法和除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15． ； 【答案】/ 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，根据有理数乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16．计算： . 【答案】25 【知识点】有理数的除法运算 【分析】根据有理数除法的运算方法，进行运算，即可求得结果． 【详解】解： 故答案为：25． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握和运用有理数除法运算的方法是解决本题的关键． 17．若是有理数，定义新运算：．例如：．试计算 ． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】根据新定义列出算式计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是有理数的混合运算，根据新规定的运算法则列出算式是解题的关键． 18．下列说法中：①若，则；②若，，则；③式子是七次三项式；④若，m是有理数，则；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数时积为负．其中说法正确的是 ． 【答案】② 【知识点】绝对值的意义、两个有理数的乘法运算、多个有理数的乘法运算、多项式的项、项数或次数 【分析】利用乘方的意义对①进行判断；利用有理数乘法的运算法则对②进行判断；利用多项式的概念对③进行判断；利用等式的性质对④进行判断；利用零乘以任何数得零对⑤进行判断． 【详解】解：①若|a|=-a，则a≤0，所以①的说法错误； ②若a＜0，ab＜0，则b＞0，所以②的说法正确； ③式子是四次三项式，所以③的说法错误； ④若a=b，m≠0，则，所以④的说法错误； ⑤几个非零的有理数相乘，负因数的个数是奇数时积为负，所以⑤的说法错误； 综上分析可知，说法正确的有②． 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了多项式、有理数、绝对值、有理数的乘法，掌握其定义是解决此题的关键． 三、解答题 19．已知． (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】有理数的减法运算、有理数的除法运算、绝对值的意义、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的减法与除法运算、绝对值的性质； （1）先求得，，再根据条件求出、即可求解； （2）根据条件求得、，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得． 因为， 所以， 所以或． （2）因为， 所以或， 所以． 20．快过年了，小刚的妈妈计划买1张餐桌和6把椅子来替换家里的旧餐桌和椅子，妈妈从甲、乙两商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为800元，椅子的报价每把均为80元．甲商场称：每购买一张餐桌赠送两把椅子；乙商场决定：餐桌、椅子均按报价的八五折销售，你认为小刚的妈妈应该到哪一家商场购买呢？ 【答案】乙商场 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】该题主要考查了有理数混合运算的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的关系式求解． 分别算出从甲、乙两商场购买买1张餐桌和6把椅子的费用，再比较即可； 【详解】解：根据题意得：甲商场：元， 乙商场： 元， ∵， ∴选择乙商场． 21．已知有理数－16，－10，c在数轴上对应的点分别是A，B，C三点，BC－AB＝4． (1)请在数轴上画出点A，B，并求B，C两点间的距离； (2)求AC中点表示的数 【答案】(1)画图见解析，10 (2)AC中点表示的数为-8或-18． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数的除法运算 【分析】（1）画出数轴，求出AB的距离，根据BC-AB=4求出BC的距离． （2）根据第一问求出的BC距离确定C点位置，再求出AC中点表示的数即可． 【详解】（1）解：数轴如图所示： AB=-10-（-16）=6， ∵BC-AB=4， ∴BC=10． （2）当C点在B点右侧时，C点位置如图所示： AC=AB+BC=6+10=16， 16÷2=8， 此时中点对应的数为：-16+8=-8． 当C点在B点左侧时，C点位置如图所示： AC=BC-AB=10-6=4． 4÷2=2， ∴此时中点对应的数为：-16-2=-18． 故AC中点表示的数为-8或-18． 【点睛】本题考查的是利用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上中点对应的数的表示，掌握“数轴上两点之间的距离公式”是解本题的关键. 22．快递员王师傅配送快件，在东西向某段路进行配送快递，若规定向东为正，向西为负，王师傅从单位出发配送的10户的里程如下：，，，，，，，，，（单位：千米） (1)请问王师傅最后所在的位置在单位的什么地方，距离单位多远？ (2)如果小电车每千米耗电量0.02度电，想问王师傅这一上午耗电量多少？ 【答案】(1)王师傅最后所在的位置在单位东边，距离单位8千米； (2)一上午耗电量为度 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算以及乘法的应用． （1）求出各有理数的和，即可得出离单位地的距离以及方向； （2）求出各有理数的绝对值的和与0.02的积，即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴王师傅最后所在的位置在单位东边，距离单位8千米； （2）解： （千米） （度） 答：一上午耗电量为度． 23．一个多位数是整数，代表这个整数分出来的左边数，代表这个整数分出来的右边数，其中，两部分数的个数相同，若正好为剩下的中间数，则这个多位数就叫平衡数， 例如：357满足，357是平衡数；233241满足，233241是平衡数． (1)判断：468____平衡数；314567____平衡数；（填“是”或“不是” (2)证明任意一个三位平衡数一定能被3整除． 【答案】(1)是；不是 (2)见解析 【知识点】有理数的除法运算、整式加减的应用 【分析】（1）根据平衡数的定义即可判断； （2）设出这个三位平衡数，化简即可验证，即可求解． 【详解】（1）解：， 是平衡数； ， 不是平衡数； 故答案为：是；不是； （2）证明：设这个三位平衡数为：， ， 一定能被3整除， 即任意一个三位平衡数一定能被3整除． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减，理解新定义是解题的关键． 24．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．(单位：) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)在第_______次纪录时距A地最远？ (2)求检修小组收工时在A地的何处？距A地有多远？ (3)若每千米耗油0.15升，每升汽油需8元，问这天检修小组工作一天回到出车地时需汽油费多少元？ 【答案】(1)四 (2)西边， (3)57.6元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查有理数运算的实际应用： （1）分别写出各次记录时距离A地的距离，然后判断即可； （2）将行驶记录全部相加即可判断； （3）把所有行驶记录的绝对值相加，再乘以每千米耗油及汽油单价即可得解． 【详解】（1）解：第一次纪录距A地的距离为：， 第二次纪录距A地的距离为：， 第三次纪录距A地的距离为：， 第四次纪录距A地的距离为：， 第五次纪录距A地的距离为：， 第六次纪录距A地的距离为：， 第七次纪录距A地的距离为：， 所以在第四次纪录时距A地最远， 故答案为：四 （2）解：， 答：检修小组收工时在A地西边，距离A地； （3）解： ， （元）． 答：检修小组工作一天需汽油费约为57.6元． 25．“十一”长假期间，我市银杏公园7天中每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比9月日多的人数，负数表示比9月日少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化千人 (1)请判断7天内游客人数量最多和最少的各是哪一天？它们相差多少千人？ (2)如果9月日旅游人数为2千人，平均每人公园内消费元，请问银杏公园在此7天内总收入为多少万元？ 【答案】(1)3日的人数的最多，5日的人数的最少，它们相差万人 (2)元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的加减法的应用，有理数的乘法．熟练掌握正负数的意义，以及有理数的运算法则，是解题的关键． （1）根据表格可知：3日的人数的最多，5日的人数的最少，两个数据的差值，即为它们相差的人数； （2）利用总收入等于平均每人消费乘以总人数，进行计算即可． 【详解】（1）解：由表格可知：3日的人数的最多，5日的人数的最少， 它们相差：（万人）； 答：3日的人数的最多，5日的人数的最少，它们相差万人； （2）解：7天总人数为：（万人）， ∴总收入为：（元）； 答：风景区在此7天内总收入为元． 26．2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别为“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，在亚运会期间，某电商平台开启了为期一周的直播公益活动，活动如下：每销售一只亚运会吉祥物． 就从销售额里拿出一部分作为慈善基金捐赠给某希望中学用于购买学生体育用品．规定：当天吉祥物销售量超过300只的部分记为“”，不足300只的部分记为“”，下表是公益活动一周的销售量： 时间 销售量超过或不足部分（单位：只） (1)求这一周公益活动期间的吉祥物总销售量； (2)吉祥物的销售价格为每只80元，捐赠方案如下：每天销售量中不超过300只的部分，按每只销售价的捐赠：每天销售量中超过300只的部分，按每只销售价的捐赠．求直播公益活动期间一共捐赠了多少钱． 【答案】(1)2760只 (2)1680元 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查正数和负数以及有理数的混合运算，此题的关键是读懂题意，列式计算． （1）根据一周公益活动期间每天销售量相加计算即可； （2）7天里每天销售量中不超过300只的部分捐赠金额为，7天里每天销售量中超过300只的部分捐赠金额为，求和即可． 【详解】（1）解： ， ∴这一周公益活动期间的吉祥物总销售量2760只； （2）解：根据题意，得 ∴直播公益活动期间一共捐赠了1680元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$