精品解析：山东省德州市夏津育中万隆中英文高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

夏津育中万隆中英文高级中学 高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，为原点，已知点，，则（ ） A. 点关于点的对称点为 B. 点关于轴的对称点为 C. 点关于轴的对称点为 D. 点关于平面对称点为 3. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 5. 若，，，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 过点且在轴截距相等的直线方程为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为60° D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 7. 直线过不同的两点，，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知空间单位向量，，两两互相垂直，设，，，则下列说法正确的有（ ） A. 与的夹角为 B. C. ，所成角的余弦值为 D. ，，其中任意两个都可以作为基底来表示另外一个向量 10. 给出下列命题正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 已知的顶点坐标分别为，，，则的面积为 D. 已知三点不共线，对于空间任意一点，若，则四点共面 11. 已知正方体棱长为2，则以下结论正确的是（ ） A. 若为线段上动点（包括端点），则点到平面的距离为定值 B. 正方形底面内存在点，使得 C. 若点在正方体的表面上运动，点是的中点，点满足，则点的轨迹的周长为 D. 当点为中点时，三棱锥的外接球半径 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线关于直线对称的直线方程是__. 13. 如图，在三棱锥中，，点在线段上，且，则直线与直线所成角的余弦值为__________． 14. 如图，在直角坐标系中，点，分别在射线和射线上运动，且的面积为，则、两点横坐标之积为______，周长的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且． （1）求c的值； （2）若与互相垂直，求实数k值． 16. 已知直线，，过点的直线分别与直线，交于，其中点在第三象限，点在第二象限，点； （1）若的面积为，求直线的方程； （2）直线交于点，直线交于点，若直线的斜率均存在，分别设为，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 17. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段、的中点. （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 19. 类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点． （1）求值； （2）直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：； （3）过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 夏津育中万隆中英文高级中学 高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用中点坐标公式运算求解. 【详解】因为，，所以中点的坐标为，即． 故选：A． 2. 在空间直角坐标系中，为原点，已知点，，则（ ） A. 点关于点的对称点为 B. 点关于轴的对称点为 C. 点关于轴的对称点为 D. 点关于平面的对称点为 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系的性质逐个选项判断即可. 【详解】点关于点的对称点为，A错； 点关于轴的对称点为，B错； 点关于轴的对称点为，C正确； 点关于平面的对称点为，D错. 故选：C 3. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，，根据向量在上投影向量为求解. 【详解】由题意得， 则向量在上的投影向量为. 故选：D． 4. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】求出已知二直线不相交时的a值，再验证作答. 【详解】依题意，直线与直线平行或重合时，， 解得或， 当时，直线与直线重合， 当时，直线与直线平行， 所以的值为. 故选：C 5. 若，，，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，，再根据点线距离向量公式即可求解. 【详解】，，则在上的投影向量的模为， 则点A到直线的距离为． 故选：A. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 过点且在轴截距相等的直线方程为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为60° D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线截距的概念、倾斜角与斜率之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于A，过点且在轴截距相等的直线方程为 或，故A不正确； 对于B，，令，可得，所以在轴上的截距为，故B正确； 对于C，， 则，所以直线的倾斜角为 ，故C不正确. 对于D，过点并且倾斜角为的直线方程为，故D不正确. 故选：B 7. 直线过不同的两点，，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，根据题意得到，利用斜率公式，求得，得出，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为是不同的两点，所以， 则直线斜率， 即，可得或， 所以直线的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 8. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点为，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量公式求解可得. 【详解】取中点为，连接， ，， 又侧面底面，侧面底面，平面， 底面， ，，，连接，则， 以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则， ， 设平面的法向量为， 则，可取， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知空间单位向量，，两两互相垂直，设，，，则下列说法正确的有（ ） A. 与的夹角为 B. C. ，所成角的余弦值为 D. ，，其中任意两个都可以作为基底来表示另外一个向量 【答案】CD 【解析】 【分析】在为基底的坐标系中，由向量数量积、平行、夹角的坐标运算判断A、B、C；通过判断，，共面可确定D正误. 【详解】由题设，若分别代表空间直角坐标系中轴正方向， 在为基底的坐标系中， ，故与的夹角为，A错； ，显然，故不成立，B错； ，C对； 由，故，，共面，所以，，其中任意两个都可以作为基底来表示另外一个向量，D对. 故选：CD 10. 给出下列命题正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 已知的顶点坐标分别为，，，则的面积为 D. 已知三点不共线，对于空间任意一点，若，则四点共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：由题意可得，进而判断线面关系；对于B：由题意可得，结合倾斜角和斜率关系分析判断；对于C：求三边长度，利用余弦定理结合面积公式运算求解；对于D：根据四点共面结论分析判断. 【详解】对于选项：因为，， 则，即 所以或，故A错误； 对于选项B：直线即为， 可得直线斜率．即，且， 当时，则； 当时，； 综上所述：倾斜角的取值范围为，故B正确； 对于选项C：由题可得：， ，． 由余弦定理可得． 且，则， 所以，故C正确； 对于选项A：因为三点不共线， 若，且，则四点共面，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知正方体的棱长为2，则以下结论正确的是（ ） A. 若为线段上动点（包括端点），则点到平面的距离为定值 B. 正方形底面内存在点，使得 C. 若点在正方体的表面上运动，点是的中点，点满足，则点的轨迹的周长为 D. 当点为中点时，三棱锥的外接球半径 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可得平面进而可判断A，利用坐标法结合向量垂直的条件可判断B，根据条件找出点的轨迹进而可判断C，利用线面垂直的判定定理可得平面，然后利用球的性质结合条件可判断D. 【详解】对于A，由题意可得：且，∴为平行四边形，则， 又平面，平面，∴平面， 又∵为线段上的点，则点到平面的距离为定值，故A正确； 对于B，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， 若，则，即与题意矛盾，所以B不正确； 对于C，取的中点为，取的中点为，取的中点为，取的中点为， 取的中点为，分别连接，，，，，， 连接，则，，由平面，平面， 所以平面， 故平面，平面，所以， 同理可得，且平面，所以平面， 由题意可得的轨迹为正六边形，其中， 所以点的轨迹的周长为，C正确； 对于D，当点为中点时，则，∵平面，平面， ∴，又，，平面，∴平面， 设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥的外接球的球心，半径为， 连接，，，则平面，且， 对于，，， ∴，则， 所以，则，∴，即，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线关于直线对称的直线方程是__. 【答案】 【解析】 【分析】在直线上任取一点，求该点关于的对称点的坐标，并代入直线即可得出所求方程. 【详解】设所求直线上任一点的坐标为，该点关于的对称点的坐标为， 则,得对称点的坐标为， 又点在直线上， 所以，即. 所以所求直线方程为. 故答案为：. 13. 如图，在三棱锥中，，点在线段上，且，则直线与直线所成角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】以为基底表示，利用向量的运算和夹角公式求解. 【详解】, , , ∵, , ∴ , ∵ ∴, ∵, ∴, ∴, ∴直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 如图，在直角坐标系中，点，分别在射线和射线上运动，且的面积为，则、两点横坐标之积为______，周长的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，可求出，设,分别算出和,结合三角形的面积列式，化简即可求出的值；再由基本不等式算出和的取值范围，即可求出周长的最小值. 【详解】因为的斜率，的斜率， 所以，可得. 设， 所以：，， 可得，解得：. 因为，所以， 又因为， 所以周长. 当且仅当时，即时， 周长取最小值，最小值为：. 故答案为:，. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，还涉及两直线的位置关系、两点间距离、三角形的面积与周长的计算. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且． （1）求c的值； （2）若与互相垂直，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据向量模长公式列出方程，求出； （2）分与两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k的值. 【小问1详解】 ， 所以，解得：； 【小问2详解】 当时， ， ， 因为与互相垂直， 所以，解得：， 当时，， 因为与互相垂直， 所以，解得：， 综上：. 16. 已知直线，，过点直线分别与直线，交于，其中点在第三象限，点在第二象限，点； （1）若的面积为，求直线的方程； （2）直线交于点，直线交于点，若直线的斜率均存在，分别设为，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 【答案】（1）（2）为定值，详见解析 【解析】 【分析】（1）设直线方程为，与直线，分别联立，可得的纵坐标，再由的面积为，解方程可得k，进而得到所求直线方程； （2）求得A，B的坐标，设，运用三点共线的条件：斜率相等，求得，，再由两点的斜率公式，化简整理，计算即可得到所求定值． 【详解】解：（1）设直线方程为， 与直线，分别联立， 可得的纵坐标分别为， ∵的面积为16， ∴ 即， 解得， ∴直线l的方程为； （2）由（1）可得， 又，设， 由共线，可得 ，解得， 即有， 由共线，可得 ，解得， 即有， 则， 即有为定值． 【点睛】本题考查直线方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线交点问题注意联立方程，考查三点共线的条件：斜率相等，以及斜率公式的运用，属于中档题． 17. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0． 【解析】 【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）证明： 直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）． （2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A，B（0，1＋2k）． 又且1＋2k＞0， ∴k＞0． 故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段、的中点. （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证； （2）利用空间向量法求点到面的距离； （3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域. 【小问1详解】 连接，因为为等边三角形，为中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 且，，平面，所以平面. 【小问2详解】 由题设知四边形为菱形，且，所以为正三角形， 又因为为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由平面，平面，可得，， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 因为， 设，，则， 可得，，，即， 可得， 由（2）知：平面，即平面的一个法向量 设平面的法向量，则， 令，则，，可得； 则， 令，则， 可得， 因为，则，可得， 所以锐二面角的余弦值的取值范围为 19. 类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点． （1）求的值； （2）直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：； （3）过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，即可证明平面平面，即二面角的大小为，求出，再由所给三面角余弦定理计算可得； （2）依题意可得，设平面内任一条直线为，分过点与不过点两种情况，当过点，记与的夹角为（），则，结合余弦函数的性质即可得证； （3）连接，，首先证明平面平面，从而得到平面平面，再由面面平行的性质得到，从而得到，即可得解. 【小问1详解】 连接，由已知得平面，， 又平面，所以平面平面， 所以二面角的大小为，因为为菱形，， 所以，又，所以， 在中，， 由三面角余弦定理可得 . 【小问2详解】 依题意可得，设平面内任一条直线为， 若过点时，记与的夹角为（）， 则，因为， 所以， 又，所以； 若不过点时，过点作使得，记与的夹角为（）， 则，因为， 所以， 又，所以； 综上可得. 【小问3详解】 连接，， 因为，平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面平面， 所以平面平面， 又平面平面，又平面平面， 所以，又即， 所以四边形为平行四边形， 所以，显然在的延长线上， 因为，所以， 所以，即. 【点睛】关键点点睛：对于新定义型知识，关键是理解并应用所给定义，第三问关键是由面面平行推导出线线平行. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$