三湘名校教育联盟·2025届高三第一次大联考数学试题

羽天喜 机密★启用前 三湘名校教育联盟·2025届高三第一次大联考 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知=2-2则= A.2 4 C.1 2.底面半径为，3，侧面展开图的扇形圆心角为行的圆维侧面积为 A.9π B.6π C.43π D.33x 3.设集合A={nn=3k,k∈Z},B={nn=4k,k∈Z},C={nn=6k,k∈Z},则 A.A∩B=C B.BUC=A C.C年A∩B D.B∩C=A∩B 4.3(x一1)”的展开式中的常数项为 A.45 B.55 C.105 D.75 5.若函数f(x)=log.(8一ax)在区间(2,4)上单调递增，则a的取值范围是 A.(0,2) B.(0,4] C.(0,2] D.(2,4] 6.已知tand,tan(-0)是方程x2+2m.x-3=0的两个实根，则m= 3 A.-23 B.2√3 C.-43 D.43 7.已知函数f(x)=cosx十3x2-a,若f(x)≥0在R上恒成立，则a的最大值为 A.0 B.1 C.2 D.3 【高三数学试题第1页（共4页）】 8.若函数f(x)=(x2-22x十a)sin(ax- )a>0)在[0.4上有3个零点.则a的取值范周是 A C2u[2,） D.[)U(2.) 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知正数a,b满足a十2b=4,则 A.ab≤2 B.log2a+log2b≥1 C.a+4wb≤6 贴+号>9 10.已知0<a<9<受，且3oa+/10cos9=3,3sina-0sing=2.则 A.cos(a+B)-3 B.sin(a+8)=-3V10 10 C.tan(2a+28=2 DgE() 11.已知曲线y=e,y=lnx与直线l1:y=a1x十b,分别相切于点A(x1y1),B(x2y2),x1>x2,与 直线l2:y=a2x+b2分别相切于点C(xa,ya),D(x4,y1),且l1,l2相交于点P(xo,ya),则 A.=-In2 B.e"=1-1 x1+2 2e2 C.a1+a2>2 D.xo十yo< e'一1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.命题“Vx≥2024，lgx<√x”的否定为 13.在2024年8月8日召开的中国操作系统产业大会上，国产操作系统银河麒麟发布了首个人工智 能版本，该系统通过多项技术创新实现了人工智能与操作系统的深度融合，可广泛应用于自动驾 驶、医疗健康、教育等多个领域，标志着中国在自主操作系统领域实现新突破，某新能源车企采用 随机调查的方式并统计发现市面上可以实现自动驾驶的新能源汽车上可为乘客提供的功能数目 y与汽车上所安装的人工智能芯片个数x线性相关，且根据样本点(i,y,)(i=1,2,3,4,5)求得的 回归直线方程为少=写x十à，若(5,2)在回归直线上.则空，一 14.棱长为2的正方体ABCD-AB1C,D1中，P为△A,BD内一点，且AP=2,则BP+C1P的最 大值为 【高三数学试题第2页（共4页）】 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=(1十x-x2)e. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求f(x)的最大值. 16.(15分)已知函数f(x)=√3sinx十cos.x. (1)求f(x)的单调递减区间： (2)将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的2（纵坐标不变），再向右平移。个单位，得到函 数g)的图象，若ga)=-8且a∈（仁百，）求cos2a-)的值 17.(5分)已知函数了)子6是定义城为R的奇两数。 (1)求a,b: (2)若方程f(4十1)+f(t×2+2)=0恰有两个不相等的实数根，求1的取值范围. 【高三数学试题第3页（共4页）】 8,.7分)过双曲线C:-21右焦点F4,0)的直线与C的左、右支分别交于点A,B,与圆@ x2十y2=4交于M,N(异于A,B)两点. (1)求直线AB斜率的取值范围： (2)求|AB·MN|的取值范围. 19.(17分)记数列{am}中前k项的最大值为be,则数列{b.}称为{am}的“最值数列”，由所有b,的值 组成的集合为C.设{am}的“最值数列”{bm}的前n项和为Sm, (①)若a.=(n十a)(9)’,且C中有3个元素，求a的取值范围： (2)若数列{a.},{bn}都只有4项，{bn}为{an的“最值数列”，满足a4∈{2,4,6,8}(k=1,2,3,4) 且存在i∈{1,2,3,4}，使得b,=8,求符合条件的数列{bm}的个数： (3)者a,=sm求S,SSS(m≥3)中能被2整除且不能被4整除的个数 【高三数学试题第4页（共4页）】同无喜 三湘名校教育联盟·2025届高三第一次大联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】B 【解析】由×-2-2 8 2.【答案】A ,得圆锥母线长/一 3.【答案】D 【解析】由题意可得AOB=nn=12k,EZ ,AOB二C,故A、C均错误;BOC=n-12k,bEZ),BOC AOB,D正确;3A,3B,3C.B错误.故选D 4.【答案】C 3(r-1) 【解析】由二项式定理展开式可得 -的展开式中的常数项为3C(-1)一105.故选C. 5.【答案】C 【解析】f(x)一log。(8一ax)在区间(2,4)上单调递增,则g(x)一8一ax在区间(2,4)上单调递减且恒为正,所 以a>0且g(4)-8-4a0,所以0a<2.故选C. 6.【答案】A 【解析】因为tan?,tan({-。)是方程x*+2x-3-0的两个实根,所以tan9+tan({-) --2. tan+tan(o) tanotan(-)-3.所以 1-tan(an(o) ___tan 3 1一(-3) 7.【答案】B 【解析】由题意可转化为acosx十3x恒成立,令函数g(x)一cosx十3x,g(x)为偶函数. 故考虑xo时,g'(x)=-sinr+6x,令h(x)=-sinx+6x,..h'(x)=-cosx十6>0. 即g(x)在(0,十oo)上单调递增,则g'(x)>g'(0)一0,则g(x)在(0,+o)上单调递增,在(一oo,0)上单调递 减,故g(x)一g(0)-1,故a<1,故选B 8.【答案】D 【解析】令f(x)-0,则x*-2v2x+a=0或sinax-)-0.由△-(-22){-4a=0得a=2,当a>2时 【高三数学试题参考答案 第1页(共5页)】 即2 5π 3 值范围是[()故选D. 9.【答案】ACD 2V a=2b一2时等号成立,故A正确;对于B,由A及题意可知0 ab<2,当且仅当a一2b-2时等号成立,所以由 y-logx是增函数得loga+logb-log。(ab)<log。2-1,故B错误;对于C,由a+26-4得a-4-2b,又由 $0、>0得0<<2即0<2,所以a+4-4-26+4--2\-1)+6<6,当v=1即=1时 10.【答案】BD 【解析】因为3cosa+10cos③=3,3sina-10sin3=2,两式平方后相加可得9+10+610(cosacos$- 10 2tan(a十) tan(2a十2{)一 11.【答案】ACD f()一g(x。) -.即 21一)。 .1-ln: 一一 一2 r-ln:2 人er二 整理得_十1 x:一22 e: AB.CD关于直线y二x对称,则点P就是直线AB与直线y一x的交点,直线AB方程为y一e=e(x-x) (-)e (x-1)e 2(x-1)e; 一,所以x。一y一 与一:联立得x二 一,所以x。十y一 一,由e一 ,1 一1 一1 e- 2e{ 所以:。十y二 【高三数学试题参考答案 第2页(共5页)】 12.【答案】x二2024,lgx二、/ 【解析】由命题否定的定义,可知命题“Vx2024,lgx<:”的否定是“x2024,lgx:”.故答案为:x 2024,lgx二/:. 13.【答案】6 【解析】由题意,点(5.2)在回归直线上,所以2-1+ā,a-1,-3,由(v,y)在回归直线上,得y- 14.【答案】2/6 D 2/2 ,因为AP-/2,所以OP一。 ,A:BD是边长为2/2的正 C 三角形,其内切圆半径,二 3 ,所以点P在△ABD内切圆上,因为AC 平面 43 {,所以C.P一()()# 一6,当点P为AD的 15.【解析】(1)因为f(x)=(1十x-x)e,故f(0)-1,且f'(x)=(-x}-x十2)e,f'(0)-2,故曲线y=f() 在点o....)...方........................................分 (2)易得f'(x)-(-x-x十2)e=-(x-1)(x+2)e, 所以当x(-2,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x(1,+)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以当xE (-2,................ ............................................................. .1分. 又xé(-oo,-2]时,f(x)-(1十x-r*)e<0<e,所以f(x)的最大值为e. .................. 十2乙 .............分. ..................5分 ..........分 所以g(x)-2sin #2(-)#)一2sin(2x一)# sin(2-)-)由(-5), 2(-2),sin(2-) ..................分 所以2-(-),) co(2-)一1(-o)#- 【高三数学试题参考答案 第3页(共5页)】 17.【解析】(1)由/(x)-3 3/1+6 3+b 1-3 1-3 1-31 =-f(-1)-- 则f(x)= 1-3 36,于(1)= 3{+6 3^{+b ,解得-3,则/(x)= 1-33-1 经检验:f(一x)- 1-3{- (2)由于f(x)- ..................................8分 则由((4+1)十f(7×2)一0恰有两个不同的实根,由于f(x)是定义域为R的奇函数且单调递减, 则4十1十×2-0有两个不同根即可.则(2)②+14×2-0有两个不同根即可................10分 令2=q0.与x个数一.一对应,转化为q{+4ta+1-0(q0)有两个不同正根即可.............11分 △-16/*-40 满足 ,解得 .......15. -40 <0 18.【解析】:(1)设A(x,y),B(x。,y),由题意可得直线AB的斜率存在且不为零,设直线AB的方程为x=m 412 =1联....m.)..4.......................................2.分. 24n 所以3m{-1-0,△-144(n*+1)>0,y1+y-- 36 3n-1'313:= 3n*-1' ..................................5分 3: .............................分 圆O的方程为r*十y-4,点O到直线AB的距离d一一 4 n十T 由d2得n>3,由 >3. .............10... (2)由(1)可得1AB|-v1+m{y.-y-v1+n{}·(y+y)-4y1y。 247n 36 12(m士1) 一41 13分 3n2-1 3n2-1 MN1一24-一. n-3 12(m+1)4vm-316v(3m+3)(3m{-9) ,所以|AB.|MN一 3n一1 3n-1 .___ n十1 ............................................................................................................. .15分 16/(t十4)(1-8) 设t-3m-1,t8,则AB.|MN= E (0,16.).........值范....儿.)...............................1.分.. 19.【解析】(1)因为a,-(nta)()所以a.一(n+十1+ao()-(nta)()-() .............................................. C中有3个元素,所以.a.aa.即..-.o..-o..................................................5分 【高三数学试题参考答案 第4页(共5页)】 6-a>0. 所以! ,解得5 a6,所以a的取值范围是[5,6). ................................................6分 15-<0. (2)若a一8,则.一8,。)有1个, ①若a子8且a。一8,则6一b一b一8,b有3种可能,(。)有3个, ②若a:≠8且a-8,a。-8,则b-b-8. 若$=a-6,则b。-6,若b=a=4,b:的值可能是4或6. 若6=a一2,b。的值可能是2或4或6,符合条件的(。)有6个, ③若........均不为..则..-...8............................................................................. 10分 b.,:的值可能分别为:2,2,2;2,2,4;2,2,6;2,4,4;2,4,6;2,6,6;4,4,4;4,4,6;4,6,6;6,6,6,符合条件 .有........................................分. 1+3十6十10-20,综上得符合条件的(.有20个. ................................................................ ..分 [0.n-2,N. (3)由题意得a。-n,n-4-3,bCN. 一n,n-4-1,N. 所以b-4-3,4-3n4,N*. 所以S-4(1+5+.+4-3)-4(2k-1),能被4整除 S.-,-S-b-S-4十3,不能被2整除 S-S-b-b-1-S-2(4-3)-S-4(2 -1)+2,能被2整除,不能被4整除. S.--S-3(4-3)-S-4(3k-2)+1,不能被2整除, ...................................... .. 所以.....,...能被2.整除.但不能被整除的有........................................17分.. 【高三数学试题参考答案 第5页(共5页)】三湘名校教育联盟·2025届高三第一次大联考 在题的内,是匹的亮要 在各目的答到确内等,题达铅的 数学 答题卡 15(本小题分1分 161小题满分15分 贴条形码区 1.,已 _ 。 上的位,是大的完笔担位位, 超 :到步 班听 。 。 生.日 工短结t :本到上 4.,县. 选择题(请用2铅笔) 1[A]s]10](0) s[][][c]p] 知[] n)(nc(o 2[限]知0] Tp a]][n] 3[8[n]] [p] 7][n]] 8]】C1D 11n][]n] 4[][8]1C1 [D] 选题1请读用05来给用色字答字笔书写 12(5分) 13.(5) 14(5分) 请高题旨的然区内实,比到显实域的黑无 在各题位的,别技定域的去 在目的过声答,比过过的其 高三数学 第1页(共页 请各挂的答球,出融达铅艺答 在各目的答题过现内,铅注比程结的答实 在各时的答题过内,铅影留的答 17.(8小%满分15分) 18.(本小题满分17分) 19(本小题满分17分) 这耻死比,形站去站无 各指的的,指跳过的 在目的延内,比第射里过地的 高三数学 第页(共页