专题训练7：利用空间向量求点线距、线线距精练35题-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题训练7：利用空间向量求点线距、线线距精练35题 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，已知，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知直四棱柱，底面为矩形，，，且，若点到平面的距离为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江·期中）已知正方体的棱长为1，若点P满足，则点P到直线AB的距离为（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山西朔州·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 6．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在正三棱柱中，，点D是棱BC的中点，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广东·期末）在三棱锥中，，，且，若满足，则到的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·北京昌平·期末）如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）    A．CC1⊥BD B． C．夹角是60° D．直线与直线的距离是 13．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（    ） A． B．异面直线，所成角为 C．点到直线的距离为 D．的面积是 14．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（    ） A．若为的中点，则 B．若为的中点，则到的距离为 C．若，则平面 D．的周长的最小值为 15．（23-24高一下·浙江衢州·期中）已知正方体的棱长为2，点为平面内一动点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在棱上运动，则的最小值为 B．若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为 C．若点满足，则动点的轨迹是一条直线 D．若点在直线上运动，则到棱的最小距离为 三、填空题 16．（23-24高二上·福建莆田·期中）如图，在平行六面体中，，，E为的中点，则点E到直线的距离为 ． 17．（23-24高二上·广东广州·期末）在棱长为的正方体中，点、分别是梭、的中点，是侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长为 ，点到直线的距离的最小值为 . 18．（23-24高二上·广东江门·期末）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 . 19．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则点A到直线的距离为 . 20．（23-24高三下·广东深圳·期中）在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 . 四、解答题 21．（22-23高三上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点. (1)若，求证：平面； (2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由. 22．（2023·天津北辰·模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)求点到PD的距离. 23．（21-22高一下·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，异面直线与所成的角为 .    (1)在平面内是否存在一点M，使得直线平面，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的大小为 ，求P到直线的距离. 24．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，，，设，． (1)若与互相垂直，求的值； (2)求点到直线的距离． 25．（23-24高二上·浙江温州·期中）如图，在直三棱柱中，．    (1)求证：； (2)求点到直线的距离． 26．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到直线的距离； 27．（23-24高二上·辽宁本溪·期中）如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，，，为棱的中点.    (1)求到的距离； (2)求与平面所成角的正弦值. 28．（23-24高三上·河南周口·期末）如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，. (1)若，求证： ； (2)若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离. 29．（23-24高三上·天津·期末）如图，已知平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到直线的距离. 30．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 31．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 32．（23-24高一下·福建莆田·期中）三棱锥的底面是以AC为底边的等腰直角三角形且，各侧棱的长均为3，点E为棱PA的中点点Q是线段CE上的动点. (1)求点E到平面ABC的距离； (2)设点Q到平面PBC的距离为，Q到直线AB的距离为，求的最小值. 33．（2023·江苏盐城·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.    (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离. 34．（23-24高二上·上海黄浦·期中）《九章算术商功》：“斜解立方，得两斩堵.斜解暂堵，其一为阳马，一为鳖臑期马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣，”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑中，侧棱底面； (1)若，，，，求异面直线与所成角的余弦值； (2)若，，点在棱上运动.求面积的最小值. 35．（23-24高二上·北京·期中）如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（    ） A． B．点D到平面的距离为 C．点D到直线的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练7：利用空间向量求点线距、线线距精练35题 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得. 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 2．（22-23高二下·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，已知，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用空间向量法求出高，运用锥体体积公式进而求出体积 【详解】如图所示，正方体边长为1，建立坐标系， 则.则四面体为正三棱锥. 底面为等边，且边长为.则面积为. ，.设平面法向量为， 则，故. 则到平面的距离为． 则四面体的体积为. 故选：A 3．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知直四棱柱，底面为矩形，，，且，若点到平面的距离为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法求解即得. 【详解】直四棱柱，建立如图所示的空间直角坐标系， 由底面为矩形，，，且， 得，令，则， ，设平面的法向量， 则，令，得，而， 由点到平面的距离为，得，解得， 于是，，而， 向量在向量方向上的投影长为， 所以点到直线的距离为. 故选：D 4．（23-24高二上·浙江·期中）已知正方体的棱长为1，若点P满足，则点P到直线AB的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】点作平面于点，过作于点，连接，则为所求，联立即可求解. 【详解】如图，过点作平面于点，过作于点，连接，则线段的长即为点P到直线AB的距离， 因为正方体的棱长为1，且， 所以，，， 所以. 故选：B. 5．（23-24高二上·山西朔州·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出点到直线距离，求出最小值. 【详解】取的中点为，连接，，，因为，为的中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以， 又底面是矩形，所以， 以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 由，，，得， 所以，，， 则，设， 则，， ， ， 因此点到直线的距离 ， 故当时，取最小值， 即线段上的动点到直线的距离的最小值为． 故选：C． 6．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在正三棱柱中，，点D是棱BC的中点，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取AC的中点O，取的中点E， O以为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的向量求法可得答案. 【详解】取AC的中点O，取的中点E，连接OE，则，所以平面ABC， 连接OB，因为是等边三角形，所以，因为OB，平面ABC， 所以OB，AC，OE两两垂直，所以O以为坐标原点，OB所在直线为x轴， OC所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所 示．又，所以，，， ，所以，所以，， 所以， 所以点到直线的距离. 故选：A．    7．（23-24高二上·广东·期末）在三棱锥中，，，且，若满足，则到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】∵， ， ， 到的距离. 故选：D 8．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量结合二次函数求解作答. 【详解】在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则有，则， 设点， 则点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 9．（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量法求点到直线的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得，，， ，，设向量与的夹角为， ， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 10．（23-24高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形重心为，所以，计算出和，得到在上的投影，根据勾股定理计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，， 三角形重心为，所以，，， 所以在上的投影为：， 所以点到直线的距离为：. 故选：B 11．（23-24高二上·北京昌平·期末）如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合，利用两点间距离公式，求出的长即可． 【详解】取的中点，连接， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为是的中点，所以， 所以，而， 所以，即，所以点到的距离就是， 因为， 所以，即， 所以，即， 所以的中点到的距离为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发现，再利用整体法即可得解. 二、多选题 12．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）    A．CC1⊥BD B． C．夹角是60° D．直线与直线的距离是 【答案】ABD 【分析】设，依题得运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项. 【详解】    如图，设， 则 对于A，因， 则，故A正确； 对于B，因，， 则，故B正确； 对于C，，则， 且 设夹角为，则，因，则，即C错误； 对于D,在平行六面体中，易得, 则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离. 因， 且， 则，故D正确. 故选：ABD. 13．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（    ） A． B．异面直线，所成角为 C．点到直线的距离为 D．的面积是 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算证明线线平行、求异面直线的夹角、点到直线的距离、再根据空间中三角形面积公式逐一求解判定各选项即可． 【详解】由题可得：，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则,0,，,2,，,0,，,2,，,0,， 对于A，因为，分别是线段，的中点，所以,1,，,1,， 所以,0,，,0,，又，不共线，所以，故A正确； 对于B，,1,，,,，设异面直线，所成角为， 则， 又因为，所以，即异面直线，所成角为，故B正确； 对于C，由,,，,0,，得， 所以点到直线的距离为，故C不正确； 对于D，因为，所以到的距离即为到的距离， 所以的面积．故D正确． 故选：ABD． 14．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（    ） A．若为的中点，则 B．若为的中点，则到的距离为 C．若，则平面 D．的周长的最小值为 【答案】BCD 【分析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，结合选项依次判断即可. 【详解】解：以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 可得平面的一个法向量为． 若为的中点，则， ，， 则到的距离，A不正确，B正确． 若，则，则， 因为平面，所以平面，C正确． 将平面沿着翻折至与平面共面， 当三点共线时，的周长最小，此时， 翻折前，故的周长的最小值为，D正确． 故选：BCD 15．（23-24高一下·浙江衢州·期中）已知正方体的棱长为2，点为平面内一动点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在棱上运动，则的最小值为 B．若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为 C．若点满足，则动点的轨迹是一条直线 D．若点在直线上运动，则到棱的最小距离为 【答案】BCD 【分析】化折线为直线，即可判断A，取的中点，连接,即可证明四边形即为平面截正方体所得截面，从而求出截面周长，即可判断B，根据线面垂直判断C，利用空间向量法判断D. 【详解】对于A：如图将平面展开与平面处于一个平面， 连接与交于点， 此时取得最小值，即，故A错误； 对于B：如图取的中点，连接、、， 因为点是棱的中点，所以且， 又且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以四边形即为平面截正方体所得截面， 又，，， 所以截面周长为，故B正确； 对于C：如图，，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，因为平面平面， 平面，平面， 又，所以在直线上，即动点的轨迹是一条直线，故C正确； 对于D：如图建立空间直角坐标系，则，，设， 所以 所以到棱的距离， 所以当时，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 16．（23-24高二上·福建莆田·期中）如图，在平行六面体中，，，E为的中点，则点E到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】 根据空间向量的运算求出以及，即可求得，进而求出，根据点E到直线的距离为，即可求得答案. 【详解】 设，， ， ，则， 又， 则， ， 则，而， ，， 又E是的中点，故， 则点E到直线的距离为， 故答案为： 17．（23-24高二上·广东广州·期末）在棱长为的正方体中，点、分别是梭、的中点，是侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长为 ，点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法求出点的轨迹方程，可求得点的轨迹长度，利用空间向量法可求得点到直线距离的最小值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如下图所示： 则、、、， 因为点是侧面上的动点，设点， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得，且， 因为平面，则，即， 可得，分别取线段、的中点、， 所以，点的轨迹为线段， 故点的轨迹长为， ，由，可得， ， 所以，点到直线的距离为 ， 因为函数在上为增函数， 所以，当时，取最小值，且. 故答案为：；. 18．（23-24高二上·广东江门·期末）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 . 【答案】/ 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到直线的距离的最小值，即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因动点在线段上，则令， 即有点，所以，则， 从而， 因此点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号， 所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为， 又因为， 所以面积的最小值. 【点睛】关键点点睛：求出点到直线的距离的最小值是解决本题的关键. 19．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则点A到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】先建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；再求出平面与平面的法向量及交线的方向向量；最后根据点到直线距离的向量计算方法即可求解. 【详解】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，， 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，得. 设平面的法向量为， 则，即，令，得. 设交线的方向向量为， 则，即，令，得. 因为，点， 则，， 所以点A到直线的距离为. 【点睛】关键点睛：本题考查点到直线距离的求法.解题关键在于：建立空间直角坐标系，先求出设平面的法向量及平面的法向量，再求出交线的方向向量，最后利用点到直线距离的向量计算方法求解. 20．（23-24高三下·广东深圳·期中）在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 . 【答案】 / 【分析】由题意，根据线面平行的判定定理和面面平行的判定定理可证得平面平面，由面面平行的性质确定点的轨迹为线段，且当取最小值时，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点线距离即可. 【详解】如图所示，因为且，故四边形为平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面，因为平面， 所以平面平面，因为平面，要使得平面， 则平面，因为平面平面， 故点的轨迹为线段，当取最小值时，，则为的中点， 则. 以为原点，的方向分别为，轴建立空间直角坐标系， 易知， 取， 则， 所以点到直线的距离为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过平面平面确定点的轨迹为线段，即当时取最小值，注重考查学生的数学运算和逻辑推理能力. 四、解答题 21．（22-23高三上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点. (1)若，求证：平面； (2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)线段上存在点，为靠近或靠近的三等分点 【分析】（1）过点作，交于点，连接，通过证明四边形为平行四边形得出，然后利用线面平行的判定定理即可得出结论； （2）证明出平面，过点作交于点，并以点为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合二面角的余弦值为，求出的值，再利用空间中点到直线的距离公式即可得出结论. 【详解】（1）（1）过点作，交于点，连接， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， 所以四边形为平行四边形，则， ∵平面，平面， ∴平面； （2）由异面直线与成角，即， ∵，，∴平面， ∵，过点作交于点， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为，、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 可得平面的一个法向量为， 由于二面角的余弦值为， 则，解得， 则， 假设线段上存在点，使得点到直线的距离为， 设， ∴， 则， ∴，， ∴点到直线的距离为， 解得或， 所以线段上存在点，为靠近或靠近的三等分点时，使得点到直线的距离为. 22．（2023·天津北辰·模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)求点到PD的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）如图，取中点，连接       因为为中点，，，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为为中点，为中点，则， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面，故平面． （2）    根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由条件可得，， 则， 设平面的法向量为， 则，解得， 取，则，所以平面的一个法向量为， 设直线PB与平面所成角为， 则. 所以直线PB与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）可知，， 所以点到PD的距离为. 23．（21-22高一下·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，异面直线与所成的角为 .    (1)在平面内是否存在一点M，使得直线平面，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的大小为 ，求P到直线的距离. 【答案】(1)存在，在平面可以找到一点，使得直线平面 (2) 【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，即，故，从而找到点M的位置； （2）先求出是二面角的平面角，大小为，得到，设，则，建立空间直角坐标系，求出方向上的单位向量，求出P到直线的距离. 【详解】（1）延长交直线于点， 点为的中点， ， ， ∴， ，即， 四边形为平行四边形，即. ， ∴，故， 平面平面， 平面， 平面， 平面， 故在平面内可以找到一点，使得直线平面；    （2）如图所示，，即， 且异面直线与所成的角为，即， 又平面， 平面. 平面， 又平面， 平面， 平面， ， 因此是二面角的平面角，大小为. . 不妨设，则. 以A为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， ， ，方向上的单位向量坐标为， 则在上的投影的绝对值为， 所以到直线的距离为. 24．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，，，设，． (1)若与互相垂直，求的值； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求得与的坐标，再根据与互相垂直求解； （2）由求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以，． 又与互相垂直， 所以，解得． （2）由（1）知，， 所以， 所以点到直线的距离． 25．（23-24高二上·浙江温州·期中）如图，在直三棱柱中，．    (1)求证：； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建系，再由向量垂直的充分必要条件直接得出空间异面直线垂直. （2）由向量法求空间距离公式直接得出点到直线的距离. 【详解】（1）建立直角坐标系，其中为坐标原点，以边所在直线为轴，以边所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示    依题意得， 因为， 所以． （2） 26．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到直线的距离； 【答案】(1)证明见解析； (2) (3). 【分析】（1）证明：取的中点，连接，，证明出且，判断出四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理即可证明平面； （2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量法求出二面角的余弦值，再求正弦值； （3）用向量法求点到直线的距离； 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， 因为四边形为矩形， 则且， 因为，分别是，的中点， 则且， 又是正方形的中心， 则， 所以且， 则四边形是平行四边形， 故， 又平面，平面， 故平面； （2）因为平面平面，且平面平面， 平面，，所以平面， 且，平面，所以平面， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，所以，， 设平面的法向量为， 则，即，不妨令，则， 因为平面， 则平面的一个法向量为， 所以， 则二面角的正弦值为； （3）因为，，， 则，， 所以， 所以点到直线的距离为； 27．（23-24高二上·辽宁本溪·期中）如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，，，为棱的中点.    (1)求到的距离； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）以为坐标原点，建系，由向量法得出到的距离； （2）由向量法得出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）解：以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 则，， ， 所以到的距离. （2）设平面的一个法向量，则，即 令，解得，，故. 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 28．（23-24高三上·河南周口·期末）如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，. (1)若，求证： ； (2)若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，推出，即可证明平面，根据线面垂直的性质定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用直线与平面所成的角为，求出P点坐标，再根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知平面平面，平面平面， ，且平面，故平面， 又平面，故； 又，且平面， 故平面，而平面， 故； （2）以O为坐标原点，所在直线为轴，过点O作平面的垂线作为z轴， 建立空间直角坐标系，如图： 由于，， 则，设,则， 则， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，则可得， 由于直线与平面所成的角为， 故， 解得，结合，则， 故， 由，则， 故点到直线的距离为. 29．（23-24高三上·天津·期末）如图，已知平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，证明，即可解决； （2）写出平面的法向量，设平面与平面的夹角为，通过，即可求解； （3）利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ，，， 设平面的一个法向量为，则 ，取，则，， 所以， ， 所以平面，且平面， 所以平面. （2）由题知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即平面与平面的夹角的余弦值为. （3），， 设点到直线的距离为， 则， 即点到直线的距离为. 30．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 31．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，连接，可证得，，则平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论； （2）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 所以， 所以，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直， 所以以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 所以， . 因为，则， 设平面的法向量为， 则即 取， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， ， 化简整理得 解得，或（舍去）， 所以， 又因为， 所以. 设点到直线的距离为，则， 所以. 32．（23-24高一下·福建莆田·期中）三棱锥的底面是以AC为底边的等腰直角三角形且，各侧棱的长均为3，点E为棱PA的中点点Q是线段CE上的动点. (1)求点E到平面ABC的距离； (2)设点Q到平面PBC的距离为，Q到直线AB的距离为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点，连接，通过得出平面可求出到平面的距离； （2）以为原点建立空间直角坐标系设，利用向量关系表示出，求导可求出最小值. 【详解】（1）取AC中点O，连接PO，BO， 因为，，所以，且， 因为是等腰直角三角形，所以，且，又， 满足， 所以，因为，平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC， 因为点E为棱PA的中点，所以E到平面ABC的距离为； （2）如图， 以为原点建立空间直角坐标系，设， 则， 则， 设，则可得， 则，则， 所以， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 则， 所以， 所以，令，解得， 令，则， 所以在单调递增， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即的最小值为. 【点睛】方法点睛：立体几何中的距离范围（最值）问题解法： ①几何法：根据图形特征，寻找两点之间的距离的范围；②坐标法：建立空间直角坐标系，利用坐标结合函数性质求范围. 33．（2023·江苏盐城·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.    (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过作，交底面弧于，连接，有为平行四边形，根据题设可得，即，再由线面垂直的性质可得，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论. （2）构建如下图示空间直角坐标系，令半圆柱半径为，高为，确定相关点坐标，进而求平面、平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得，即可求出点到直线的距离. 【详解】（1）过作，交底面弧于，连接，易知：为平行四边形， 所以，又为弧的中点，则是弧的中点， 所以，而由题设知：，则， 所以，即，由底面，平面，则，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. （2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系， 令半圆柱半径为，高为，则，，，， 所以，，，， 若是面的一个法向量，则，令，则， 若是面的一个法向量，则，令，则， 所以， 整理可得，则，又， 由题设可知，此时点，，， 则，， 所以点到直线的距离.   . 34．（23-24高二上·上海黄浦·期中）《九章算术商功》：“斜解立方，得两斩堵.斜解暂堵，其一为阳马，一为鳖臑期马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣，”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑中，侧棱底面； (1)若，，，，求异面直线与所成角的余弦值； (2)若，，点在棱上运动.求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：分别取、、中点、、，可知异面直线与的夹角即为直线与直线的夹角，在，由余弦定理得，所以异面直线与的夹角余弦值为；法二：建立空间直角坐标系，利用坐标法求异面直线夹角； （2）利用坐标法设，过点作，可得与，进而可得，所以当时，. 【详解】（1）法一：分别取、、中点、、， 连接，，，， 则，，且，， 所以异面直线与的夹角即为直线与直线的夹角， 平面， ，， ， ， 又， ，， ，， 在中，由余弦定理得， 直线与直线夹角的余弦值为， 即异面直线与的夹角余弦值为； 法二： 如图所示，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， 异面直线与的夹角余弦值为； （2） 如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 过点作，则设， ，，，， 则，， 设， ，， 又，即， ，， 则， 的面积为， 当时，取最小值为. 35．（23-24高二上·北京·期中）如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（    ） A． B．点D到平面的距离为 C．点D到直线的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出图1中点 A,B,D,M的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点A,B,D,M 的坐标，再逐项判断作答. 【详解】在图1中，由，得，，，， 在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，得，A正确． 设平面的法向量为，， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量， 所以点D到平面的距离为，B正确． 取，， 则，，所以点D到直线的距离为，C错误． 平面的一个法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值为，D正确. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$