第一章 空间向量与立体几何（知识清单）数学人教B版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 知识点 具体内容 空 间 向 量 的 有 关 定 理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使________． 共线向量定理推论：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中________ （2）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在________的有序实数对，使 共面向量定理推论：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中________）． （3）空间向量基本定理：如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得________ 空 间 向 量 的 数 量 积 （1）空间两个向量的夹角的定义：已知两个________向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量的夹角，记，注意：共起点找夹角 范围：________，其中，当，； 或________ (为非零向量) （2）空间向量的数量积：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0 （3）数量积的运算：①________，；②(交换律)； ③________ (分配律). 空 间 向 量 的 坐 标 表 示 设，，则有以下运算： ①数量积：________ ②________ ③（均非零向量） ④________ ⑤ 直 线 的 方 向 向 量 和 平 面 的 法 向 量 （1）直线的方向向量:如图,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得________，即 （2）平面法向量的概念：如图，若直线，取直线的方向向量，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合________． （3）平面的法向量的求法： 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: ①设向量：设平面的法向量为 ；②选向量：选取两________向量 ③列方程组：由列出方程组； ④解方程组：解方程组 ⑤赋非零值：取其中一个为________（常取)； ⑥得结论：得到平面的一个法向量. 空 间 位 置 关 系 的 向 量 表 示 空间中直线、平面的平行与垂直 设直线,的方向向量分别为,,平面,的法向量分别为，，则 ①线线平行：⇔⇔________() ②线面平行：⇔________⇔________ ③面面平行：⇔⇔； ④线线垂直：⇔________ ⑤线面垂直：⇔________⇔________ ⑥面面垂直：⇔⇔________ 空 间 角 的 向 量 求 法 （1）异面直线所成角 设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法： 第一步：；第二步：________ （2）直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则第一步：；第二步：________. （3）平面与平面所成角（二面角） 设，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小，则 第一步：； 第二步：若二面角为________，则； 若二面角为________，则； 空 间 距 离 的 向 量 求 法 （1）点到直线的距离 设为直线l的________方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则________ （2）点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点，向量是向量在平面上的投影向量，则________ （3）线面距离与面面距离 距离求法：①首先确定直线与平面平行（平面与平面平行），然后可将问题转化成________的距离问题 易错01 空间直角坐标系建立不当 坐标系原点、坐标轴的选取不合理或错误，导致后续点的坐标计算复杂或出错。例如：在三棱锥中未选择 “三条两两垂直的棱” 作为坐标轴，导致顶点坐标含多个参数；在折叠问题中，未保留折叠前的垂直关系，误设坐标轴方向。 例1．如图，在三棱锥中，，，点在上，且，.    (1)若为线段的中点，求证：直线平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 变式1-1．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 变式1-2．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面.且是以为直角顶点的等腰直角三角形. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 变式1-3．如图，在四棱锥中，底面，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 易错02 空间点的坐标计算错误 在几何体中确定点的坐标时，因空间想象能力不足或几何关系分析疏漏，导致坐标写错。例如：在动态问题中，动点坐标参数化错误，忽略参数的几何约束；个别点不在坐标轴上可以通过空间向量的平行关系来处理 例2．如图，已知、均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且. (1)证明：； (2)若，，求平面与平面夹角的大小. 变式2-1．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值． 变式2-2．如图，三角形中，，，点在线段上，点在线段上，满足，，点、分别为、中点． (1)证明：、、三点共线； (2)现将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，若，，连接，求平面与平面夹角的正弦值． 变式2-3．如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，.点在底面的射影点在线段上. (1)在图中过作平面的垂线段，为垂足，并给出严谨的作图过程； (2)若.求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 易错03 证明线面平行或垂直时混淆向量求法 证明线面平行时，误将“直线方向向量与平面法向量平行”作为条件（正确应为垂直）； 证明线面垂直时，误将“直线方向向量与平面法向量垂直”作为条件（正确应为平行） 例3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，分别为棱，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 变式3-1．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于 . 变式3-2．三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 变式3-3．如图，在四棱锥中，底面，，为中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 易错04求线面角时注意正弦值 线面角是直线与平面所成的角，其定义为“直线与平面中垂直于该直线在平面内投影的角”，即是直线与平面法向量夹角的余角或，取锐角，故利用向量夹角求得线面角的的正弦值 例4．如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点．    (1)证明：四点共面． (2)证明：平面． (3)求直线与平面所成角的正弦值． 变式4-1．在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 变式4-2．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，底面，，分别是的中点，点在线段上，且． (1)证明：平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式4-3．如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)证明：平面ACF； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求平面AFM与平面夹角的余弦值；若不存在，请说明理由. 易错05 混淆二面角与平面与平面的夹角的范围 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所成的角，范围为； 两个平面的夹角的定义：两个平面相交所成的最小角，范围为 例5．如图，在四棱锥中，平面， 分别为和的中点．    (1)求二面角的余弦值； (2)设点在上，且．判断四点是否共面，说明理由． 变式5-1．如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值． 变式5-3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且. (1)求证：； (2)若平面，，，求平面与平面所成角的余弦值. 1．如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为直角梯形，，，与相交于点，点满足，且. (1)求证：平面； (2)求的长度； (3)若点到平面的距离为，求与平面所成角的正弦值. 2．如图1，在直角梯形中，已知，现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2. (1)求证：； (2)求与平面所成的角的正弦值； (3)求二面角的平面角的余弦值. 3．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. (1)证明:⊥平面 ； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 4．如图，在圆锥中，为底面圆的内接四边形，对角线过圆心，圆锥母线长为，，. (1)若，平面与平面的交线为，证明：； (2)若，求平面与平面所成角的正弦值. 5．如图，在四棱台中，平面，底面为梯形，，，. (1)证明：为直角三角形； (2)证明：平面平面； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，且，求四棱台的体积. 6．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 7．如图一，在正方形中，，分别是，的中点.若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为（如图二）. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 8．如图，在多面体ABCDPE中，已知平面PDCE⊥平面ABCD，其中四边形PDCE为矩形， 底面四边形ABCD满足， AB ⊥AD，∥ (1)求证：平面 (2)求三棱锥 外接球的体积： (3)F为PA的中点，点Q在线段EF上，若直线BQ与平面PBC 所成角的大小为 求FQ的长． 9．如图，在三棱锥中，点分别是底边的中点，平面和平面相交于直线.    (1)求证：平面； (2)若平面平面是直线上的一点，，求直线与平面所成角的正弦值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 知识点 具体内容 空 间 向 量 的 有 关 定 理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 共线向量定理推论：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 （2）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 共面向量定理推论：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． （3）空间向量基本定理：如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 空 间 向 量 的 数 量 积 （1）空间两个向量的夹角的定义：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量的夹角，记，注意：共起点找夹角 范围：，其中，当，； 或 (为非零向量) （2）空间向量的数量积：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0 （3）数量积的运算：①，；②(交换律)； ③ (分配律). 空 间 向 量 的 坐 标 表 示 设，，则有以下运算： ①数量积： ② ③（均非零向量） ④ ⑤ 直 线 的 方 向 向 量 和 平 面 的 法 向 量 （1）直线的方向向量:如图,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 （2）平面法向量的概念：如图，若直线，取直线的方向向量，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． （3）平面的法向量的求法： 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: ①设向量：设平面的法向量为 ；②选向量：选取两不共线向量 ③列方程组：由列出方程组； ④解方程组：解方程组 ⑤赋非零值：取其中一个为非零值（常取)； ⑥得结论：得到平面的一个法向量. 空 间 位 置 关 系 的 向 量 表 示 空间中直线、平面的平行与垂直 设直线,的方向向量分别为,,平面,的法向量分别为，，则 ①线线平行：⇔⇔() ②线面平行：⇔⇔ ③面面平行：⇔⇔； ④线线垂直：⇔ ⑤线面垂直：⇔⇔ ⑥面面垂直：⇔⇔ 空 间 角 的 向 量 求 法 （1）异面直线所成角 设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法： 第一步：；第二步： （2）直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则第一步：；第二步：. （3）平面与平面所成角（二面角） 设，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小，则 第一步：； 第二步：若二面角为锐二面角，则； 若二面角为钝二面角，则； 空 间 距 离 的 向 量 求 法 （1）点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 （2）点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点，向量是向量在平面上的投影向量，则 （3）线面距离与面面距离 距离求法：①首先确定直线与平面平行（平面与平面平行），然后可将问题转化成点到平面的距离问题 易错01 空间直角坐标系建立不当 坐标系原点、坐标轴的选取不合理或错误，导致后续点的坐标计算复杂或出错。例如：在三棱锥中未选择 “三条两两垂直的棱” 作为坐标轴，导致顶点坐标含多个参数；在折叠问题中，未保留折叠前的垂直关系，误设坐标轴方向。 例1．如图，在三棱锥中，，，点在上，且，.    (1)若为线段的中点，求证：直线平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，在平面中，过点作，连接， 因为为线段的中点，所以， 又因为，，，所以， 由上可得，所以四边形是平行四边形， 所以，又，所以直线平面    （2）过点作交于点， 因为平面，所以平面 因为，所以 因为，所以两两互相垂直. 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 根据题意，. 所以 设平面的一个法向量为， 所以即可取． 平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为， 所以即可取． 可得平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则 所以平面与平面的夹角为.    变式1-1．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）设中点为，连接，因为为等边三角形，故， 由题意，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故， 又M为的中点，为等边三角形，则， 因为，平面，所以平面. （2） 由（1）知平面，平面，故， 连接，，则， 即四边形为平行四边形，故，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成角为θ，，则. 变式1-2．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面.且是以为直角顶点的等腰直角三角形. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又，面，所以平面. （2）取中点，连接， 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，则， 由（1）知平面，又面，所以， 又，面，所以面， 又，且，又，所以四边形为平行四边形， 所以，则面，又面，则， 建立如图所示的空间直角坐系， 又，所以， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，得，所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，得，所以， 所以， 设二面角的大小为，则. 变式1-3．如图，在四棱锥中，底面，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 因为底面，底面，所以， 又因为⊥，平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 因为棱的中点，则得， 因，，由，可得， 又平面，所以平面； （2）由（1）易得，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又平面的法向量， 因， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 易错02 空间点的坐标计算错误 在几何体中确定点的坐标时，因空间想象能力不足或几何关系分析疏漏，导致坐标写错。例如：在动态问题中，动点坐标参数化错误，忽略参数的几何约束；个别点不在坐标轴上可以通过空间向量的平行关系来处理 例2．如图，已知、均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且. (1)证明：； (2)若，，求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接， ∵，均为正三角形，为的中点，∴，， 平面，，∴平面， 平面，∴， ，，平面，∴平面， 平面，∴. （2）∵平面平面，平面平面， ，，平面，平面， ∴平面，平面， 故以为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，∴， ，且平面，平面，平面， 由平面，则，又，， 平面，∴平面，∴， 设平面的法向量为，则 令得是平面的一个法向量， 显然平面的一个法向量为，∴， 故所求角为. 变式2-1．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点为，连接， 由是边长为2的等边三角形，是以的等腰三角形， 所以，，， 所以，，所以， 所以平面平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 当点是内一动点，且，则点在以为直径的圆上， 当线段的长最小时，点在与圆的交点处，所以， 所以， 设直线与直线所成角为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 变式2-2．如图，三角形中，，，点在线段上，点在线段上，满足，，点、分别为、中点． (1)证明：、、三点共线； (2)现将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，若，，连接，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为点在线段上，满足，为的中点， 所以，， 因为为的中点，所以， 因为点在线段上，，即， 即，故，所以， 所以、、三点共线. （2）因为，，，，故，， 因为为的中点，所以， 将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，则， 因为，、平面，故平面， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，， 由余弦定理可得， 所以，故， 因为，故， 以点为原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、 、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 所以， 故. 因此，平面与平面夹角的正弦值为. 变式2-3．如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，.点在底面的射影点在线段上. (1)在图中过作平面的垂线段，为垂足，并给出严谨的作图过程； (2)若.求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【详解】（1） 连接，有平面，所以. 在中，. 同理，在中，有. 又因为，所以， 所以，，故，即. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 过作垂直于点，因为平面平面，平面平面， 且平面，有平面. （2） 依题意，，故为C，的交点，且. 所以，. 过作直线的平行线，则，，，两两垂直， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则：，，，， 所以，，， . 设平面的法向量为， 则取. 设平面的法向量为， 则，取， 所以， 故所求锐二面角余弦值为. 易错03 证明线面平行或垂直时混淆向量求法 证明线面平行时，误将“直线方向向量与平面法向量平行”作为条件（正确应为垂直）； 证明线面垂直时，误将“直线方向向量与平面法向量垂直”作为条件（正确应为平行） 例3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，分别为棱，的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在四棱锥中，平面，， 则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 从而，设平面的法向量， 则，取，得， 又，所以，即，所以平面； （2）设平面的法向量，， 则，取，得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 变式3-1．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于 . 【答案】 【详解】由可得，， 所以可得，即， 故答案为：. 变式3-2．三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）以点为原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，设平面的一个法向量为， ∵，， 令，∴，∵，∴， 又∵平面，所以平面. （2）∵， 设平面的一个法向量为，则， 令，设直线与平面所成角为θ， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3），平面的法向量为， 设点到平面的距离为d，， 又， ，. 变式3-3．如图，在四棱锥中，底面，，为中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意知底面，， 故以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 则， 故，，即， 而平面， 故平面； （2）由（1）可得， 设平面的法向量为，则, 即，令，可取， 平面的法向量可取为， 设平面与平面夹角为，则. 易错04求线面角时注意正弦值 线面角是直线与平面所成的角，其定义为“直线与平面中垂直于该直线在平面内投影的角”，即是直线与平面法向量夹角的余角或，取锐角，故利用向量夹角求得线面角的的正弦值 例4．如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点．    (1)证明：四点共面． (2)证明：平面． (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【详解】（1）连接．因为分别为的中点， 所以易得， 所以，所以四点共面． （2）因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，平面， 则，又因为，平面， 所以平面．因为平面，所以． 连接，因为分别为的中点，所以， 因为，所以易得四边形为正方形，则，所以， 因为，平面，所以平面． （3）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，． 由（2）易得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 变式4-1．在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【详解】因为，所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 变式4-2．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，底面，，分别是的中点，点在线段上，且． (1)证明：平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在三棱柱中，因为分别是的中点， 根据三棱柱的性质，且，所以四边形为平行四边形, 所以， 又因为平面平面， 所以平面． （2）由题意，底面是边长为的正三角形，侧棱，则． 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 因为，所以，， 所以． 设平面的法向量为， 则令，则． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 变式4-3．如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)证明：平面ACF； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求平面AFM与平面夹角的余弦值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以C为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 于是，， ，， 而和AF是平面ACF内两条相交直线， 所以平面ACF. （2）设点存在，，， ， 设平面法向量为，则， 取，得， 设与平面所成角为，， 由，解得， 即为中点，坐标为， ，设面AFM法向量， 则，取，得， 设平面AFM与平面的夹角为，则， 所以平面AFM与平面夹角的余弦值. 易错05 混淆二面角与平面与平面的夹角的范围 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所成的角，范围为； 两个平面的夹角的定义：两个平面相交所成的最小角，范围为 例5．如图，在四棱锥中，平面， 分别为和的中点．    (1)求二面角的余弦值； (2)设点在上，且．判断四点是否共面，说明理由． 【答案】(1)； (2)共面，理由见解析. 【详解】（1）由题意，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，又分别为和的中点，则， 设平面的法向量为，则，令，则， 易知平面的一个法向量为， 二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （2）由（1），，则， 可得，则， 因为平面的一个法向量为，而， 又点在平面内，故在平面内，即四点共面. 变式5-1．如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 变式5-2．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）由题意以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 所以， 设平面、平面的法向量分别为， 则，， 令，解得， 故可取， 所以， 所以二面角的正弦值为. 变式5-3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且. (1)求证：； (2)若平面，，，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1） 设相交于点，连接， 因为四边形是菱形，所以互相垂直且平分， 所以， 因为，是中点，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2） 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设为平面的法向量， 则，令，解得， 故可取， 设为平面的法向量， 而， 从而，取，解得， 故可知， 所以； 由图可知平面与平面所成的角为锐角， 故所求角的余弦值为. 1．如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为直角梯形，，，与相交于点，点满足，且. (1)求证：平面； (2)求的长度； (3)若点到平面的距离为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为底面为直角梯形，且，所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 过点可以作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面. （2）由（1）可知平面，平面，所以， 在梯形中，由∥,得， 所以， 所以∥， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以， 可得， 又因为，所以，即. （3）以为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设， ，，，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 点到平面的距离为，解得， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设与平面所成角为， 则，即与平面所成角的正弦值为. 2．如图1，在直角梯形中，已知，现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2. (1)求证：； (2)求与平面所成的角的正弦值； (3)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，则， 可得，则. 又因为平面平面，且平面平面平面， 可得平面， 且平面，所以. （2）法一（几何法）：过点作，交于点. 因为，则为的中点， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接，则为与平面所成的角. 由（1）知， 因为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值. 法二（空间向量法）：过点作，交于点. 因为，则为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，所在的直线为轴，过且平行于所在的直线为轴，所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量可为， 可得. 直线与平面所成的角的正弦值为. （3）法一（几何法）：由（2）知平面平面，所以. 过作交于点，连接， 因为，平面，所以平面， 且平面，所以， 可知为二面角的平面角. 在中，，则， 可得， 所以二面角的平面角的余弦值为； 法二（空间向量法）：由（2）知， 则. 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 所以平面的一个法向量为， 且平面的一个法向量可为.可得， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为. 3．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. (1)证明:⊥平面 ； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为⊥平面，平面， 所以⊥.又⊥，且，平面， 所以⊥平面. 因为，所以⊥平面； （2）作⊥，垂足为.则，又， 所以四边形是平行四边形，又⊥， 所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形， 且，，所以. 由（1）知⊥平面，又平面，所以⊥. 又，所以，在Rt中，. 在Rt中，. 以B为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 则， 所以，，，， 设平面的法向量为， 由，得， 解得，令，则，故， 设平面的法向量为， 由，得， 令得，， 可得， 因此. 故平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为. 4．如图，在圆锥中，为底面圆的内接四边形，对角线过圆心，圆锥母线长为，，. (1)若，平面与平面的交线为，证明：； (2)若，求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明，平面，平面， 平面， 平面平面，平面， . （2）由题意知，，， ，，，， 方法一：向量法 为矩形，因此可建立如图所示空间直角坐标系，过点平行于竖直向上为轴， ，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为. 则，所以，令，， ，所以，令，可得， ， 平面与平面所成角的正弦值为. 方法二：几何法： 过点分别向、引垂线，垂足分别为、，连接， 由（1）知，所以，， 为平面与平面所成角的平面角， ，， 根据余弦定理得：， 平面与平面所成角的正弦值为. 5．如图，在四棱台中，平面，底面为梯形，，，. (1)证明：为直角三角形； (2)证明：平面平面； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，且，求四棱台的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题可得，，， 则在中，由余弦定理得 . 所以，所以， 所以为直角三角形. （2）由（1）可知， 又，所以. 因为平面，平面， 所以. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （3）由（2）可知， 又平面，所以，，两两垂直. 以为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，. 则，，，，. 因为，所以， 所以. 则， 所以，，. 设平面的法向量为， 则， 取，得，. 所以. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或（舍）. 即. 设梯形与梯形的面积分别为，， 则. 因为梯形，与梯形相似，且， 所以，所以. 所以四棱台的体积 . 6．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【详解】（1）连接BD，， 因为，底面ABCD为矩形， 所以底面ABCD为正方形，所以， 在直四棱柱中，底面ABCD，则， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以． （2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 则，，, 设平面的法向量为， 则 令，得, 由，， 所以， 所以点F到平面的距离， 解得或． 7．如图一，在正方形中，，分别是，的中点.若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为（如图二）. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意得， 又，平面，平面， 平面； （2）取的中点为，连接，， ，分别是，的中点 ，， ，， 平面，平面， 是二面角的平面角， 平面，平面， ， 设正方形的边长为， ，，，， 在中，， ， 即二面角的正弦值为. 8．如图，在多面体ABCDPE中，已知平面PDCE⊥平面ABCD，其中四边形PDCE为矩形， 底面四边形ABCD满足， AB ⊥AD，∥ (1)求证：平面 (2)求三棱锥 外接球的体积： (3)F为PA的中点，点Q在线段EF上，若直线BQ与平面PBC 所成角的大小为 求FQ的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为四边形为矩形， 所以，因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）知平面， 平面，所以， 所以Rt的外心为的中点， 所以，所以平面， 因为，所以Rt的外心为的中点， 所以点为三棱锥外接球的球心， ， 所以外接球的半径， 则三棱锥外接球的体积为； （3）因为平面， 所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以 设线段上存在一点，使得与平面所成角的大小为， 设， 则， 所以， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 则，因为与平面所成角的大小为， 所以， 即，整理得， 所以，此时点与点重合， 所以，则． 9．如图，在三棱锥中，点分别是底边的中点，平面和平面相交于直线.    (1)求证：平面； (2)若平面平面是直线上的一点，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）证明：因为点分别是底边的中点，所以，. 因为平面平面PAB，所以平面， 因为平面和平面的交线为，平面， 所以， 因为平面平面ABC， 所以平面. （2）因为，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又. 所以以为原点，分别以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，所以，又， 则， 由（1）可知，因为， 若，又，所以，所以 若，又，所以，所以 因为，设平面PBC的法向量为， 则，不妨取，解得， 设直线与平面所成角为， 当点的坐标为时，. 则；. 当点的坐标为时，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为或. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$