第一章 习题课 平面的法向量的应用（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

习题课　平面的法向量的应用 [学习目标]　1.熟练掌握求平面法向量的方法.2.会利用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直． 一、利用空间向量证明线面平行 例1　如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由． 解　由题意知，AB＝PA，以A为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Axyz， ∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， 设E(0，y，z)， 则＝(0，y，z－1)， ＝(0,2，－1)， ∵∥， ∴(－1)×y－2(z－1)＝0，① ∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量， 又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB， ∴⊥， ∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0.② 联立①②解得y＝1，z＝， 即E， ∴存在点E，当点E为PD的中点时， CE∥平面PAB. 反思感悟　应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线． (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示，即用平面向量基本定理证明线面平行． 跟踪训练1　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB＝1，BC＝2，PA＝1，AB⊥BC，N为PD的中点． 求证：AN∥平面PBC. 证明　过A作AE⊥CD于点E，则DE＝1， 以A为原点，，，AP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(0,1,0)，E(2，0,0)， D(2，－1,0)，C(2，1,0)，P(0,0,1)， ∵N为PD的中点，∴N. ∴＝，＝(0，－1,1)， ＝(2，0,0)． 设平面PBC的一个法向量为m＝(x，y，z)，则 令y＝1，则x＝0，z＝1，∴m＝(0,1,1)， ∴·m＝－＋＝0，即⊥m， 又AN⊄平面PBC，∴AN∥平面PBC. 二、利用空间向量证明线面垂直 例2　如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点． 求证：AB1⊥平面A1BD. 证明　如图所示，取BC的中点O，连接AO. 因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC. 因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)． 所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)． 方法一　因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0，·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0， 所以⊥，⊥， 即AB1⊥BA1，AB1⊥BD. 又因为BA1∩BD＝B，BA1，BD⊂平面A1BD， 所以AB1⊥平面A1BD. 方法二　设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则有n⊥，n⊥， 故⇒ 令x＝1，则y＝2，z＝－， 故n＝(1,2，－)为平面A1BD的一个法向量， 又＝(1,2，－)，所以＝n， 所以∥n，故AB1⊥平面A1BD. 反思感悟　用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：(1)建立空间直角坐标系． (2)将直线的方向向量用坐标表示． (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量． (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系． (2)将直线的方向向量用坐标表示． (3)求出平面的法向量． (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 跟踪训练2　如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E是PC的中点，求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明　(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(1，，0)，D，P(0,0,2)，E， 所以＝，＝， 所以·＝－1×＋×＋0×1＝0， 所以CD⊥AE. (2)由(1)，得＝，＝(2,0,0)，＝， 设向量n＝(x，y，z)是平面ABE的一个法向量，则 由得 取y＝2，则n＝(0,2，－)， 所以＝n，所以PD∥n， 所以PD⊥平面ABE. 三、利用空间向量证明面面平行 例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 解　以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2， 则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)． 设Q(0,2，c)，∴＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,1)，＝(－2,0，c)． 设平面PAO的一个法向量为n1＝(x，y，z)， 则⇒ 令x＝1，则y＝1，z＝2， ∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)． 若平面D1BQ∥平面PAO， 则n1也是平面D1BQ的一个法向量． ∴n1·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1， 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 反思感悟　证明面面平行的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行，然后用向量共线进行证明． 跟踪训练3　已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点． 求证：平面ADE∥平面B1C1F. 证明　以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)， B1(2,2,2)， 所以＝(2,0,0)，＝(0,2,1)． 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的一个法向量， 则n1⊥，n1⊥， 即得 令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)． 因为＝(2,0,0)，＝(0,2,1)， 设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量． 由n2⊥，n2⊥， 得得 令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)， 因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F. 四、利用空间向量证明面面垂直 例4　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝a，E，F分别是BB1，CC1上的点，且BE＝a，CF＝2a，求证：平面AEF⊥平面ACF. 证明　以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 不妨设a＝2，则A(0,0,0)，E(，1,2)，F(0,2,4)， ∴＝(，1,2)，＝(0,2,4)． ∵x轴⊥平面ACF，∴可取平面ACF的一个法向量为m＝(1，0,0)． 设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 取z＝1，得n＝(0，－2,1)． ∵m·n＝0， ∴m⊥n， ∴平面AEF⊥平面ACF. 反思感悟　证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 跟踪训练4　如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. 求证：平面PQC⊥平面DCQ. 证明　如图，设DA＝1，以D为坐标原点，为x轴的正半轴，为y轴的正半轴，为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)， 则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)， 所以·＝·＝0，所以⊥，⊥，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC， 因为DQ∩CD＝D，故PQ⊥平面DCQ. 又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. 1.知识清单： (1)利用空间向量证明线面平行． (2)利用空间向量证明线面垂直． (3)利用空间向量证明面面平行． (4)利用空间向量证明面面垂直． 2．方法归纳：数形结合、转化与化归． 3．常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面平行、垂直时的关系，容易混淆． 1．直线l的一个方向向量为(2,4,5)，平面α的一个法向量为(1,2，t)，若l⊥α，则实数t等于(　　) A. B．1 C．－2 D．－ 答案　A 解析　因为l⊥α， 所以直线l的方向向量与平面的法向量平行， 可得＝＝(t≠0)，解得t＝. 2．已知a为直线l的方向向量，m，n分别为两个不同平面α，β的法向量，则下列说法正确的是(　　) A．若a⊥m，m∥n，则l∥β B．若a∥m，a∥n，则α⊥β C．若a⊥m，a⊥n，则α∥β D．若a∥m，a⊥n，则α⊥β 答案　D 解析　因为a⊥m，m∥n，所以a⊥n，则l∥β或l⊂β，故A错误；因为a∥m，a∥n，所以m∥n，所以α∥β，故B错误；因为a⊥m，a⊥n，所以m，n可能平行，也可能不平行，所以α∥β或α，β相交，故C错误；因为a∥m，a⊥n，所以m⊥n，所以α⊥β，故D正确． 3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x等于(　　) A．－4 B．－8 C．4 D．8 答案　A 解析　因为a·b＝x－2＋6＝0，所以x＝－4. 4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________． 答案　平行 解析　以C1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由于A1M＝AN＝， 则M，N，＝. 又C1D1⊥平面BB1C1C， 所以＝(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量． 因为·＝0， 所以⊥， 又MN⊄平面BB1C1C， 所以MN∥平面BB1C1C. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥α，则x的值为(　　) A．－2 B．－ C. D．± 答案　D 解析　由题意知，－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±. 2．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　) A．(1,0，－2) B．(1,0,2) C．(－1,0,2) D．(2,0，－1) 答案　C 解析　由题意知＝(－1，－1，－1)， ＝(2,0,1)，＝(x，－1，z)， 又PA⊥平面ABC，所以·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0， 得－x＋1－z＝0.① ·＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0， 得2x＋z＝0，② 联立①②得x＝－1，z＝2， 故点P的坐标为(－1,0,2)． 3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，y,2)，b＝(x,2，－3)，x>0，y>0，且α⊥β，当＋取得最小值时，x的值是(　　) A．－3 B．3 C．2 D．－4 答案　C 解析　∵a·b＝x＋2y－6＝0， ∴＋＝1，又∵x>0，y>0， ∴·1＝ ＝＋＋＋≥＋2＝. 当且仅当 即时，＋可以取得最小值． 4．已知空间直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的法向量n＝(2,3,3)．若l⊥α，则a＋b等于(　　) A．2 B．3 C．5 D．4 答案　A 解析　因为l⊥α，所以m＝λn(λ≠0)， 即所以 则a＋b＝2. 5．(多选)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n1＝(1,2，x)，n2＝(x，x＋1，x)，则x的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案　CD 解析　由题意可知，n1·n2＝(1,2，x)·(x，x＋1，x)＝x＋2x＋2＋x2＝x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1或x＝－2. 6．设α，β是不重合的两个平面，α，β的法向量分别为n1，n2，l和m是不重合的两条直线，l，m的方向向量分别为e1，e2，那么α∥β的一个充分条件是(　　) A．l⊂α，m⊂α，且e1⊥n1，e1⊥n2 B．l⊂α，m⊂β，且e1∥e2 C．e1∥n1，e2∥n2，且e1∥e2 D．e1⊥n1，e2⊥n2，且e1∥e2 答案　C 解析　对于选项C，根据条件可推得n1∥n2，则α∥β，易验证选项A，B，D均不能推出α∥β. 7．(5分)已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________． 答案　x＋2y－3z＝0 解析　由题意得e⊥， 则·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0， 故x＋2y－3z＝0. 8．(5分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．则平面AED与A1FD1的位置关系是________． 答案　垂直 解析　如图，以点D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)， ∴＝＝(2,0,0)，＝(2,2,1)，＝(0,1，－2)． 设平面AED的一个法向量为n1＝(x，y，z)． 由 得 令y＝1，得n1＝(0,1，－2)． 同理，平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1)． ∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0， ∴n1⊥n2， ∴平面AED⊥平面A1FD1. 9．(10分)如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点． 求证：平面DEA⊥平面ECA. 证明　以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA＝2， 则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)． 所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)，＝(0,2，－1)． 分别设平面ECA与平面DEA的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)， 则 即解得 即解得 不妨取n1＝(1，－，0)，n2＝(，1,2)， 因为n1·n2＝0，所以两个法向量相互垂直， 所以平面DEA⊥平面ECA. 10．(12分)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证： (1)PB∥平面EFG；(6分) (2)平面EFG∥平面PBC.(6分) 证明　(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直． 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)． 方法一　＝(0,1,0)，＝(1,2，－1)， 设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，则n＝(1,0,1)为平面EFG的一个法向量， ∵＝(2,0，－2)， ∴·n＝0，∴n⊥， ∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG. 方法二　＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)， ＝(1,1，－1)． 设＝s＋t， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， ∴解得s＝t＝2. ∴＝2＋2， 又与不共线，∴，与共面． ∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG. (2)由(1)知，＝(0,1,0)，＝(0,2,0)， ∴＝2，∴BC∥EF. 又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴EF∥平面PBC， 同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PBC. 11．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则直线SC与BC所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　D 解析　如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz， 则由AC＝2，BC＝， SB＝， 得B(－，2,0)，S(0,0，2)，C(0,2,0)， ＝(0,2，－2)，＝(－，0,0)． ∵·＝0，∴SC⊥BC. ∴SC与BC所成的角为90°. 12．已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为(　　) A．－1,2 B．1，－2 C．1,2 D．－1，－2 答案　A 解析　c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)， 由c为平面α的法向量，得得 13．(5分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________． 答案　垂直 解析　以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)， P(0,0,1)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， 则E，F， ∴＝， 易得平面PBC的一个法向量为n＝(0,1,1)． ∵＝－n，∴∥n， ∴EF⊥平面PBC. 14．(5分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当＝________时，D1E⊥平面AB1F. 答案　 解析　如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，DF＝t,0≤t≤2， 则A(2,0,0)，F(0，t,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，E(1,2,0)，∴＝(1,2，－2)， ＝(－2，t,0).＝(0,2,2)， 若D1E⊥平面AB1F，则 即 解得t＝1，∴＝. 15．(5分)已知点P(0,2,0)，O(0,0,0)，A(1,2,4)，B(－1,2,4)，过点P作PH⊥平面OAB，H为垂足，则点H的坐标是________． 答案　 解析　设H(a，b，c)，则＝(a，b－2，c)， ＝(1,2,4)，＝(－1,2,4)， 因为PH⊥平面OAB，OA，OB⊂平面OAB， 所以PH⊥OA，PH⊥OB， 则 解得a＝0，b＝2－2c，所以H(0,2－2c，c)， 因为PH⊥平面OAB，H为垂足， 所以O，A，B，H四点共面， 则存在唯一实数对(x，y)使得＝x＋y，即(0,2－2c，c)＝(x－y,2x＋2y,4x＋4y)， 所以 解得x＝y＝，c＝， 所以H. 16．(12分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD；(6分) (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．(6分) (1)证明　以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 设正方体棱长为a，则B(a，a,0)，D(0,0,0)，A1(a,0，a)． 设E(0，a，e)(0≤e≤a)． ＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a,0)， ·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0， 所以⊥，即A1E⊥BD. (2)解　设平面A1BD，平面EBD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)． 因为＝(a，a,0)，＝(a,0，a)，＝(0，a，e)， 所以 取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)， n2＝. 由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2. 所以2－＝0，即e＝， 所以当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 学科网（北京）股份有限公司 $