专题训练4：利用空间向量求异面直线所成的角精练35题-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题训练4：利用空间向量求异面直线所成的角精练35题 一、单选题 1．（23-24高二下·山西晋城·期末）如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建厦门·期末）在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·吉林·期末）在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·浙江温州·期中）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知M，N 分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点 P 满足则DP与AB夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·河南开封·期末）在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）    A．CC1⊥BD B． C．夹角是60° D．直线与直线的距离是 11．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知正方体的棱长为1，动点M，N在对角线AC，上移动，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A．异面直线AC与所成的角为60° B．线段MN的最小值为 C．MN与平面不平行 D．存在，使得 12．（24-25高二上·河南漯河·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（    ） A． B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的余弦值为 13．（22-23高二上·新疆乌鲁木齐·期中）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．存在实数使得 三、填空题 14．（23-24高二上·河南·期末）在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 15．（22-23高二上·辽宁大连·期中）已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是 . 16．（13-14高三·全国·课后作业）设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是 ．        17．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 .    18．（23-24高二上·辽宁·期末）已知是平行六面体，，，，，为直线上一点，若，则 . 四、解答题 19．（23-24高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值． 20．（23-24高二下·甘肃酒泉·期中）四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，底面，与底面所成的角为，是的中点. (1)证明：平面； (2)求与所成角的正弦值. 21．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，，点在棱上，且，记. (1)用表示，并求； (2)求直线与所成角的余弦值． 22．（21-22高二上·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 23．（24-25高二上·江苏·假期作业）如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，，，平面． (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值． 24．（23-24高二下·甘肃金昌·期末）如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 25．（23-24高二下·上海·期末）如图所示，在三棱柱中，平面，，，是的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)若为的中点，求二面角的正切值． 26．（22-23高二下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点在线段上. (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 27．（23-24高一下·广东·期末）在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，M是PD的中点，且与平面所成角的正弦值为． (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)求平面与平面所成二面角的正弦值． 28．（23-24高三上·江苏南京·期中）如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 29．（23-24高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体中，． (1)证明：； (2)求的长； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 30．（23-24高二上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求二面角的正弦值； (2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离. 31．（23-24高二下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是矩形，，，，分别是线段，上的动点 (1)是否存在点，使得平面？若存在，试求；若不存在，请说明理由； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，试求二面角的平面角的余弦值. 32．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）如图所示，在梯形中，，，.四边形为矩形，且平面. (1)求证：平面； (2)若直线与所成角的正切值为，点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 33．（22-23高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为 . 34．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·浙江金华·期末）在四棱台中，，平面平面，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)若是的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练4：利用空间向量求异面直线所成的角精练35题 一、单选题 1．（23-24高二下·山西晋城·期末）如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解. 【详解】取的中点，连接, 四边形为的菱形，所以， 由于平面平面，且两平面交线为，,平面， 故平面,又四边形为正方形，故建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方形的边长为2，则, 故, 则，又 故， 故直线所成角的正弦值， 故选：C 2．（23-24高二下·福建厦门·期末）在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的夹角公式和数量积的运算律，即可求解异面直线夹角. 【详解】由题知，，令为与所成夹角， 则 . 故选：A 3．（23-24高一下·吉林·期末）在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：利用坐标法可得异面直线夹角余弦值；法二：根据异面直线夹角的定义可得角. 【详解】法一： 如图，以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 从而，， 故， 即异面直线与所成角的余弦值是； 法二： 如图所示，取中点，连接，，，， 由正方体可知， 则异面直线与所成角即为直线与所成角， 设，则，， 由正方体可知，平面， 即，， 则， 在中，由余弦定理， 则直线与所成角的余弦值为， 即异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 4．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得. 【详解】四棱锥的底面为直角梯形，，， 底面，且，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为，则， 直线与所成角的余弦值为． 故选：B 5．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则，， ， ， 所以， 故直线CE与DF所成的角为. 故选：D 6．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将四面体嵌在长方体中，由题意可得长方体的长宽高的大小，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，再求出直线，的方向向量的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，最后求出两条直线所成的角的余弦值． 【详解】将四面体放在如图所示的长方体中， 因为，， 设长方体的长，宽，高分别为，，， 则，可得，， 以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以的中点， 所以，， 所以， ，， 所以． 设直线，所成的角为，,， 所以,． 故选：A． 7．（23-24高一下·浙江温州·期中）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，． ∴． ∴． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 8．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知M，N 分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点 P 满足则DP与AB夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，表达出，进而求出，进而得到，，从而利用夹角余弦公式求出DP与AB夹角的余弦值. 【详解】设， 因为，所以 ， 设正四面体的棱长为1， 故 ， 又 ， 所以， 故， DP与AB夹角的余弦值为. 故选：A 9．（23-24高二下·河南开封·期末）在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选取为基底，将进行分解，可表示出：，，，进一步结合向量夹角公式即可求解. 【详解】如图所示，延长，使得，由题意点在线段上（不包含端点）， 选取为基底，由题意， 而， 从而， ， ， 所以， 设，因为，所以，而， 因为 ， 设，则，， 当且仅当，即，即时，的最小值为， 所以当且仅当时，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是表示出：，，，进一步得出，由此即可通过换元法得解. 二、多选题 10．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）    A．CC1⊥BD B． C．夹角是60° D．直线与直线的距离是 【答案】ABD 【分析】设，依题得运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项. 【详解】    如图，设， 则 对于A，因， 则，故A正确； 对于B，因，， 则，故B正确； 对于C，，则， 且 设夹角为，则，因，则，即C错误； 对于D,在平行六面体中，易得, 则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离. 因， 且， 则，故D正确. 故选：ABD. 11．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知正方体的棱长为1，动点M，N在对角线AC，上移动，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A．异面直线AC与所成的角为60° B．线段MN的最小值为 C．MN与平面不平行 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量方法依次运算求解再判断即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系， ，则， A项，， 又因为异面直线所成角的范围是，所以异面直线AC与所成的角为，故A正确； B项，，，即 ，，， 故，， 则，， 当时，取最小值，故B正确； C项，由， 则， 由空间向量共面定理知，共面， 又平面， 所以平面，故C错误； D项，若，则， 解得，故不存在，使得.故D错误. 故选：AB.    12．（24-25高二上·河南漯河·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（    ） A． B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BC 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到；B选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D选项，利用异面直线夹角公式进行求解. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， 则，A错误； B选项，平面的法向量为， ，设直线与平面所成角的大小为， 则，B正确； C选项，， 点到直线的距离为，C正确； D选项，， 设异面直线与所成角大小为， 则，D错误. 故选：BC 13．（22-23高二上·新疆乌鲁木齐·期中）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．存在实数使得 【答案】BD 【分析】建立空间直角坐标系，求出，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，先计算得，接着计算，再由和平面且结合锥体体积公式即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故C错误； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：建立坐标系解决立体几何中的问题是一种常用方法，它的思维量小，计算量虽多但是计算简单，解法直接自然和简单，本题根据正方体的结构特征建立了空间直角坐标系，接着计算所需向量坐标，从而根据各个问题的向量法理论公式直接计算即可判断求解. 三、填空题 14．（23-24高二上·河南·期末）在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 【答案】 【分析】由向量夹角的余弦公式运算即可. 【详解】设，所成角为， 则， 解得. 故答案为：. 15．（22-23高二上·辽宁大连·期中）已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，结合二次函数的性质求得长的取值范围. 【详解】设是的中点，则， 由于平面，平面，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设；设， 则， 设与所成角为，则， ， 整理得， 函数的开口向下，对称轴为， 所以函数在上递增， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 16．（13-14高三·全国·课后作业）设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求得，根据求得的取值范围. 【详解】由题设可知，以为坐标原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，， 则，得， 所以， ， 显然不是平角，所以为钝角等价于， 即，即， 解得，因此的取值范围是. 故答案为：        17．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 .    【答案】 【分析】补全正方体，建立空间直角坐标系，利用坐标法表示异面直线夹角余弦值，列出方程，解方程即可. 【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.    设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为， 所以，，，，，，，所以，， 则，， 设直线与直线所成角为， 则， 即，解得或（舍）. 故答案为： 18．（23-24高二上·辽宁·期末）已知是平行六面体，，，，，为直线上一点，若，则 . 【答案】 【分析】设，即，然后利用已知长度和夹角的一组基向量表示，然后求数量积，解出，然后得到的长. 【详解】设，即， 则， 因为且， 所以， 即， 即， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题 19．（23-24高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，再根据线面垂直判定定理证明线面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则， 则， 所以， 所以， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，，所以， 记直线与所成角为，则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 20．（23-24高二下·甘肃酒泉·期中）四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，底面，与底面所成的角为，是的中点. (1)证明：平面； (2)求与所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，即可说明，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，由线面角求出，再利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接，因为为菱形，对角线与相交于点，所以为的中点， 又是的中点， 则，且平面，平面， 所以平面. （2）因为为菱形，所以，又底面， 则两两互相垂直，以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图， 菱形中，，所以， 在中， 因为底面，所以与底面，所成的角为， 所以， 则 又是的中点，则， 于是，， 设与的夹角为，则有， 所以， 所以异面直线与所成角的正弦值为. 21．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，，点在棱上，且，记. (1)用表示，并求； (2)求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由向量的三角形法则求解结合向量的数量积的定义求解 （2）利用向量的数量积的运算，求解直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）因为，所以. 因为，，所以，， 所以． （2）因为是边长为2的正三角形， 所以. 因为， 所以，， 所以， 所以. 由（1）得， 所以=. 设直线与所成的角为， 则， 所以直线与所成角的余弦值为． 22．（21-22高二上·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 所以 ； （2）， 所以 ， ，, ， 故， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 23．（24-25高二上·江苏·假期作业）如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，，，平面． (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设直线与直线所成角为，利用向量夹角公式即可求解； （2）分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）由题意，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为． （2）因为平面，， 所以平面，因为平面， 所以，又，平面， 所以平面， 所以是平面的一个法向量， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，， 平面的法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 由图易知为钝角， 故二面角的平面角的余弦值为． 24．（23-24高二下·甘肃金昌·期末）如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）以O为原点，建立空间直角坐标系，设直线与所成的角为，计算，,通过计算即可； （2）由（1）得，设直线与平面所成的角为，计算平面法向量，则通过计算即可. 【详解】（1）以为原点，的方向分别作为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 设直线与所成的角为， 则， 即直线与所成角的余弦值是． （2）由（1）知，，， 设平面的法向量为，则 取，得，所以平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 25．（23-24高二下·上海·期末）如图所示，在三棱柱中，平面，，，是的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)若为的中点，求二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用公式，即可求解； （2）首先分别求平面和平面的法向量，再利用二面角的向量法，即可求解. 【详解】（1） 以点为原点，以向量分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设， ，，，， ，， 设异面直线与所成的角为， 则,所以, 异面直线与所成的角为； （2），，，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，， 所以平面的法向量为， 平面的法向量为， 设平面二面角的平面角为，由图可知为锐角， 则，， ， 二面角的正切值是． 26．（22-23高二下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点在线段上. (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线夹角； （2）设可得，利用空间向量求线面夹角结合二次函数分析运算. 【详解】（1）由题意可得：，平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 若为的中点，则，可得， 设异面直线与所成角，， 则. 故异面直线与所成角的余弦值为. （2）若动点在线段上，设， 则，可得，解得， 即，则， 由题意可知：平面的法向量为，    设与平面所成角为，， 则， 对于函数，开口向上，对称轴为， 可得当时，取到最小值， 所以的最大值为，因为， 故与平面所成角的正弦最大值为. 27．（23-24高一下·广东·期末）在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，M是PD的中点，且与平面所成角的正弦值为． (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，则，再由等边三角形三线合一的性质可得，然后由线在垂直的判定定理可证得结论； （2）取的中点，的中点，连接，可证得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解； （3）求出平面与平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：因为为矩形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 因为平面，所以, 因为侧面为正三角形，M是PD的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为矩形，的中点，的中点， 所以，所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，因为平面， 所以为与平面所成角， 所以，化简得， 令，则, 所以， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为； （3）因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以， 设平面与平面所成二面角为， 所以 所以平面与平面所成二面角的正弦值． 28．（23-24高三上·江苏南京·期中）如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，，再由线面垂直的判断定理即可； （2）以分别为轴建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，根据平面与平面的夹角余弦值计算，然后计算异面直线与夹角余弦值即可. 【详解】（1）因为四边形为矩形， 所以， 因为，即， 又， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）由题意可知，平面平面,平面平面, 且, 所以平面, 所以. 因为, 所以平面, 又因为平面，所以. 所以. 如图所示以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，且， 则， 所以， 设为平面的法向量， 则，取， 则. 因为平面,则为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得. 即,,, 所以异面直线与夹角余弦值为 .    29．（23-24高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体中，． (1)证明：； (2)求的长； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以，， 为基底表示出，，再利用向量的数量积即可证明； （2）以，， 为基底表示出，再利用向量的模即可求解； （3）利用向量的数量积即可求解. 【详解】（1）如图所示：以，， 为基底， 则由题意得：， 又， ， ，， ， 即 故 ； （2）由(1)知， 即 ， 故的长为； （3）， ， ； ； ； 即， 由题意可知直线与AC所成角为锐角， 故直线与AC所成角的余弦值为. 30．（23-24高二上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求二面角的正弦值； (2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角； （2）设，由空间向量法求异面直线所成的角得出，再由向量法求点面距． 【详解】（1）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 所以， 则. 设平面的法向量， 则，取得， 设平面的法向量， 则，取得， 设二面角的大小为，则 ， 所以. （2）设，则 . 因为异面直线与所成角的大小为， 所以，解得或（舍去）. 此时， 所以点到平面的距离. 31．（23-24高二下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是矩形，，，，分别是线段，上的动点 (1)是否存在点，使得平面？若存在，试求；若不存在，请说明理由； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，试求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)存在， (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可得线线垂直，进而得线面垂直即可求解， （2）根据线线角的向量法得，即可利用两平面法向量的夹角求解. 【详解】（1）存在，，证明如下： 如题图，取的中点为， 由于侧面底面，且两平面交线为平面，, 所以平面，平面，所以， 由于三角形是正三角形，且是的中点，所以, 平面，故平面，得证. （2）以为坐标原点，以为正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 设则，故, 由于直线与直线所成角的余弦值为， 所以，而 所以，从而，, 平面的法向量为， 设平面的法向量为，则，取，则， 所以， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为 32．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）如图所示，在梯形中，，，.四边形为矩形，且平面. (1)求证：平面； (2)若直线与所成角的正切值为，点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为线段的靠近的三等分点 【分析】（1）利用梯形的性质及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理即可求解； （2）利用线线角的定义，根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角与线面角的关系即可求解. 【详解】（1）因为四边形为梯形，，，， 所以，，则，即 又因为平面，面ABCD，所以. 因为、都在平面内，， 所以面. （2）取中点，连结，，由，知， 由（1）知，共面且不共线，所以， 故直线与所成角为. 由平面，面ABCD，所以，又， 在面内，且，故面， 所以面，面，则， 在中，，，所以， 在，易得， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示， 则，，， ，， 设为平面的法向量，则 ，即，取，则. 所以 由题可知，是平面的一个法向量， 所以. 因为，解得或（舍去）. 当点为线段的靠近的三等分点时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 33．（22-23高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】连接交于点，推导出平面，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得的值，求出点的坐标为，求出的最小值，即可求得的最大值. 【详解】连接交于点，平面，平面，则， 因为四边形为菱形，则， ，、平面，平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、， 易知平面的一个法向量为， 因为平面，所以，， 设点，其中，则， 由已知可得， 因为，解得，即点， 设点，则， 因为，则，可得，且，可得， 所以，点， 因为平面，、平面，，， 且， 所以，. 故答案为：. 34．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值的最大值． 【详解】取BD中点O，连接AO，CO，， 则，且，于是是二面角的平面角， 显然平面，在平面内过点作，则， 直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，设二面角的大小为，， 因此，，， 于是， 显然，则当时，， 所以的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，求出动点的坐标，利用向量建立函数关系是解题的关键. 35．（23-24高一下·浙江金华·期末）在四棱台中，，平面平面，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)若是的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）根据平行直线的传递性可得，然后根据线面平行的判定可得 （2）方法一，取中点，连，，，则，，所以就是直线与所成的角，然后在直角三角形中求出余弦即可，方法二，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用公式求出即可 （3）利用二面角的定义找出就是二面角的平面角，求出平面的法向量和平面的法向量，利用求解即可. 【详解】（1）连接，，， 是平行四边形，. 又面，面，故平面 （2）法一：取中点，连，，，则，， 所以就是直线与所成的角. 在梯形中，由已知可得， 又平面平面，是交线， 平面，平面，，， ， 所以，直线与直线所成角的余弦值为. 法二：在梯形中，由已知可得， 平面平面，是交线， 面， 如图，以A为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，，， ， . （3）法一：过作延长线的垂线于，连接，取中点，连接， 过作，连接. 易证面， 则就是二面角的平面角. ，， 所以， 故. 法二：，， 设是平面的法向量，则 令，得， 又是平面的法向量， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$