专题训练2：用基底法表示空间向量小题精练31题-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题训练2：用基底法表示空间向量小题精练31题 一、单选题 1．（22-23高二上·河南郑州·期中）空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形和题设条件，利用向量的加减数乘运算即得. 【详解】 如图，连结，因，点为的中点，则， 于是，. 故选：B. 2．（21-22高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案. 【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则， ∴． 故选:B． 3．（23-24高二下·湖南·阶段练习）平行六面体中，为的中点，设，，，用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行六面体的结构特征，由空间向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】平行六面体中，    有 故选：A． 4．（23-24高二下·江苏南京·期中）四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理，利用基底表示即可. 【详解】. 故选：A 5．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示向量. 【详解】在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点， 则. 故选：A 6．（21-22高二上·湖北·阶段练习）在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，分别是，的中点， 所以，， 所以 . 故选：C 7．（23-24高二下·江苏南京·期中）在三棱柱中，记，，，点P满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算求出结果． 【详解】三棱柱中，记，，， 如图所示：    故 ． 故选：D． 8．（23-24高一下·天津·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理列出关于的方程组，可求得答案. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B 9．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 10．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 11．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四面体中，是棱上靠近的三等分点，分别是的中点，设，，，用，，表示，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合图形的几何性质将向量分解成，，的线性组合即可. 【详解】由题意 . 故选：D. 12．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在四面体中，M点在线段上，且，G是的重心，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合重心的性质以及空间向量的线性运算求解. 【详解】因为G是的重心， 则， 由，得， 所以. 故选：C. 13．（23-24高二下·上海闵行·期末）如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】因为为与的交点， 则 故选：C. 14．（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加、减、数乘运算，将所求向量用表示即可求解. 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 因此. 故选：A. 15．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】依题意可得 . 故选：C 16．（22-23高二上·河南郑州·期末）在直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加减法法则结合题意直接求解即可. 【详解】因为直三棱柱中，若， 所以， 故选：B． 17．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）已知平行六面体的底面为矩形，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积计算即得. 【详解】由，得，， 而，则，又， 所以. 故选：A 18．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果． 【详解】在三棱锥中，点N为棱的中点，点M在棱PC上，且满足 故， 所以， 点N为棱的中点， 所以， 故. 故选：B． 二、多选题 19．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合几何体，利用向量的线性运算法则，利用基底表示向量. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC 20．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知三棱锥如图所示，G为重心，点M，F为中点，点D，E分别在上，，（），以下说法正确的是（    ）    A．若，则平面∥平面 B． C． D．若M，D，E，F四点共面，则 【答案】ABC 【分析】对于A，由中位线得，结合线面平行、面面平行的判定定理即可得证；对于BC，直接由图形的性质分解向量即可；对于D由B中结论变形为，由四点共面的充要条件即可判断. 【详解】对于A，若，即分别为的中点，又点为的中点， 所以， 又面，面， 所以面，同理可证面， 又面， 所以平面∥平面，故A正确； 对于BCD，如图所示：    设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 所以 ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 因为， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得，故D错误. 故选：ABC. 21．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知四棱柱的底面为菱形，且，，，为的中点，为线段上的动点，则下列命题正确的是（    ） A．可作为一组空间向量的基底 B．可作为一组空间向量的基底 C．直线平面 D．向量在平面上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】选项A，找到，容易判断共面，从而做出判断即可；选项B，先找到含有两个向量的平面，判断与平面的关系即可；选项C，证明平面平面即可；选项D，证明垂直平面即可. 【详解】如图所示，四棱柱， 对于选项A，，三个向量都在平面， 即三个向量共面，则也共面， 不可作为一组空间向量的基底，选项A错误； 对于选项B，两个向量都在平面， 显然直线与平面是相交关系，不与平面平行， 故三个向量不共面，可作为一组空间向量的基底，选项B正确； 对于选项C，由于，， 易得平面，平面， 从而有平面平面，且平面， 所以直线平面，选项C正确； 对于选项D，取作为一组空间向量的基底， ， ， ， 其中， 因为底面为菱形，且，，， 得，， 所以，即，， 其中， 显然， ， 所以，即，， 因为，，且平面，平面，， 所以平面， 所以向量在平面上的投影向量为，选项D正确； 故选：BCD. 22．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．． B． C．若，则向量共面 D．若，则 【答案】ACD 【分析】结合空间向量线性运算利用表示，结合空间向量基本定理求，判断A，表示，结合模的性质及数量积运算律求其模长，判断B，表示，结合向量共面定理判断C，由，可得，化简可求，判断D. 【详解】延长交与点，因为为的重心， 所以， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以， 所以，A正确； 因为， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以，，， 所以， 所以，B错误； 因为， ，， 设，则，，， 所以，， 所以，所以向量共面，C正确； 因为， ， 由可得，， 又，，， 所以， 所以， 所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 23．（23-24高二上·上海·期中）已知是空间不共面的一组向量，是空间不共面的另一组向量，若向量在下的坐标为，则向量在下的坐标是 ． 【答案】 【分析】由向量相等列出方程组，求解即可. 【详解】由向量在下的坐标为，则，设向量在下的坐标是，则， 则，解得， 所以向量在下的坐标是， 故答案为： 24．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示 . 【答案】 【分析】根据几何图形，应用向量加法、数乘的几何意义用，，表示出即可. 【详解】. 故答案为： 25．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）    【答案】 【分析】根据向量线性运算直接求解即可. 【详解】为中点，； ，； . 故答案为：. 26．（22-23高二上·河北保定·期末）如图，在平行六面体中，是的中点，设，，.则 .（用，，表示） 【答案】 【分析】根据题意结合空间向量的线性运算分析求解即可. 【详解】由题意可知：. 故答案为：. 27．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以为基底，用基向量表示，再空间向量基本定理待定系数即可. 【详解】在平行六面体中, 因为点M是的中点，点是上的点, 所以 . 又， 由空间向量基本定理得，， 则. 故答案为：. 28．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再借助空间向量基本定理求解即得. 【详解】在四面体中，由分别为线段的中点， 得， 而，由空间向量基本定理得：， 所以. 故答案为：. 29．（23-24高二上·浙江金华·期末）如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则 ． 【答案】 【分析】由题意首先得四边形为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求解. 【详解】因为，所以，同理， 所以四边形为平行四边形， 所以 . 故答案为： . 30．（23-24高二上·广东·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：D 31．【多选】（23-24高二上·福建南平·期末）如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，根据重心性质得到，求出；B选项，，利用向量数量积公式得到，得到垂直关系；C选项，，故两者不平行；D选项，利用向量数量积公式得到，得到. 【详解】A选项，底面为等边三角形，为的重心， 故， 又，故 ，A正确； B选项，，故 ， 故，B正确； C选项，， 又， 设，即，无解，故与不平行，C错误； D选项， ， 故，D正确. 故选：ABD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练2：用基底法表示空间向量小题精练31题 一、单选题 1．（22-23高二上·河南郑州·期中）空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖南·阶段练习）平行六面体中，为的中点，设，，，用表示，则（    ） A． B． C． D．    4．（23-24高二下·江苏南京·期中）四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（     ） A． B． C． D． 6．（21-22高二上·湖北·阶段练习）在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江苏南京·期中）在三棱柱中，记，，，点P满足，则（    ） A． B． C． D．    8．（23-24高一下·天津·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 11．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四面体中，是棱上靠近的三等分点，分别是的中点，设，，，用，，表示，则 （   ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在四面体中，M点在线段上，且，G是的重心，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·上海闵行·期末）如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 15．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 16．（22-23高二上·河南郑州·期末）在直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）已知平行六面体的底面为矩形，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 18．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，若，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知三棱锥如图所示，G为重心，点M，F为中点，点D，E分别在上，，（），以下说法正确的是（    ）    A．若，则平面∥平面 B． C． D．若M，D，E，F四点共面，则 21．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知四棱柱的底面为菱形，且，，，为的中点，为线段上的动点，则下列命题正确的是（    ） A．可作为一组空间向量的基底 B．可作为一组空间向量的基底 C．直线平面 D．向量在平面上的投影向量为 22．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．． B． C．若，则向量共面 D．若，则 三、填空题 23．（23-24高二上·上海·期中）已知是空间不共面的一组向量，是空间不共面的另一组向量，若向量在下的坐标为，则向量在下的坐标是 ． 24．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示 . 25．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）    26．（22-23高二上·河北保定·期末）如图，在平行六面体中，是的中点，设，，.则 .（用，，表示） 27．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则 . 28．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则 ． 29．（23-24高二上·浙江金华·期末）如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则 ． 30．（23-24高二上·广东·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 31．【多选】（23-24高二上·福建南平·期末）如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$