第一章 空间向量与立体几何（单元测试·提升卷）数学人教B版2019选择性必修第一册

2025-2026学年高二上学期数学单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 2．已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 4．已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 5．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 6．已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D．16 7．已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（    ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知空间单位向量两两互相垂直，设，则下列说法正确的有（    ） A．与的夹角为 B． C．夹角的余弦值为 D．不可以作为基底来表示空间中的任意一个向量 10．如图，已知正四棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 4，点 ， 分别为 的中点，则（   ） A． B．平面 平面 C．三棱锥 的体积为 D．四面体 的外接球的表面积为 11．如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，，，若，则的值为 . 13．如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 14．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点.（i）异面直线与所成角的余弦值为 ；（ii）若点在线段上运动，则到直线的距离的最小值为 .    四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 16．（15分）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 17．（15分）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， 侧棱的长为2，且，在线段、、、分别取、、、四点且，，，.求： (1)证明：； (2)的长； (3)直线与平面所成角的余弦值. 18．（17分）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． (1)若是的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)若点到平面的距离为，求的长． 19．（17分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，，平面平面. (1)求证：； (2)如图，且，求点M到平面PBC的距离；    (3)设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二上学期数学单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 2．已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 4．已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 5．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 6．已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D．16 7．已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（    ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知空间单位向量两两互相垂直，设，则下列说法正确的有（    ） A．与的夹角为 B． C．夹角的余弦值为 D．不可以作为基底来表示空间中的任意一个向量 10．如图，已知正四棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 4，点 ， 分别为 的中点，则（   ） A． B．平面 平面 C．三棱锥 的体积为 D．四面体 的外接球的表面积为 11．如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，，，若，则的值为 . 13．如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 14．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点.（i）异面直线与所成角的余弦值为 ；（ii）若点在线段上运动，则到直线的距离的最小值为 .    四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 16．（15分）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 17．（15分）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， 侧棱的长为2，且，在线段、、、分别取、、、四点且，，，.求： (1)证明：； (2)的长； (3)直线与平面所成角的余弦值. 18．（17分）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． (1)若是的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)若点到平面的距离为，求的长． 19．（17分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，，平面平面. (1)求证：； (2)如图，且，求点M到平面PBC的距离；    (3)设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第5页（共4页） 试题 第6页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二上学期数学单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何·能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B A C B D A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 CD BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）根据题意，，则， 若，设， 3分 又由，则， 解可得，故或. 6分 （2）根据题意，， 则， 9分 则，故， 11分 故. 13分 16【详解】（1）因点分别是的中点， 则，， 4分 则. 6分 （2）以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 则，，， 9分 得，则， 11分 则， 故的面积为. 13分 （3）设平面的法向量为 则，令，则， 平面的一个法向量为. 15分    17．【详解】（1），， 故，故； 3分 （2）, 故 ； 6分 （3）由，，， 故， 又， 故, 又平面，且, 故平面，即是平面的法向量， 9分 令直线与平面所成角为， 则， 又， 故 ， 12分 故 ， 即. 15分 18．【详解】（1）证明：设，交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以是中点， 又因为是的中点，所以在中，， 2分 因为平面，平面， 所以平面． 4分 （2）因为直线垂直于梯形所在的平面，，平面，， 所以，，两两垂直， 5分 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示坐标系， 由题意可知，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，则， 取可得平面的一个法向量， 7分 设直线与平面所成角为， 则， 9分 所以， 故直线与平面所成角的余弦值为． 12分 （3）在（2）所建空间直角坐标系中， 设， 14分 由（2）可知平面的一个法向量， 所以点到平面的距离，解得， 又因为，所以， 即的长为． 17分 19．【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴， 又平面，平面，∴∥平面， 2分 又平面，平面平面， ∴； 4分 （2）取BC中点N，连接ON，则， ∵平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， ∴，， 6分 ∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 于是，，，， 设平面的一个法向量为， 则，得，故可取， 8分 ∴点M到平面PBC的距离为． 10分 （3）存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为， ∵，且平面ABCD为正方形， ∴点Q在平面上的射影是ABCD的中心， 可设，则， ∴，解得． 即，， 12分 设，， ∴，，， 设平面AEC的一个法向量为， 则，得， 取， 14分 设直线与平面AEC所成的角为， ∴， 化简得，∴或， ∴当或时，直线与平面AEC所成角的正弦值为． 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二上学期数学单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 2．已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在直三棱柱中以B为顶点，BA为x轴，在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴，为z轴建立空间直角坐标系如图所示：   ， ，， 设异面直线与所成角为， 则. 故选：A 3．正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 所以，， 所以在方向上的投影向量的模为， 所以点到直线的距离. 故选：B. 4．已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在空间直角坐标系中，、、， 则，，， 因为、、、四点共面，设， 即， 可得，消去、可得，即， 故选：A. 5．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示： 因为，，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， 故，则线段的长度为． 故选：C． 6．已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D．16 【答案】B 【详解】由题设，易得点P在平面上，且， 则，得． 由直四棱柱的性质，得平面，平面， 所以，则． 因为， 所以的最小值为． 故选：B 7．已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， 设， 则． 又，，，四点共面，所以，解得， 所以，，得． 故选：D 8．如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图1，分别取的中点为，的中点为， 则，，连接，    因为底面为直角梯形，，，， 所以四边形为正方形，， 因为平面，， 所以平面，平面， 所以， 所以， 而平面，平面，则， 所以， 又为的中点，所以， 所以点到三棱锥各个顶点的距离均为， 故为三棱锥的外接球球心， 如图2，以为原点，所在直线分别作轴，建立空间直角坐标系，    因为平面，平面，则， 与底面所成的角为，则为等腰直角三角形，， 则，，，， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，可取， 因为， 所以点到平面的距离， 设截面圆的半径为，则， 所以截面圆的面积为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知空间单位向量两两互相垂直，设，则下列说法正确的有（    ） A．与的夹角为 B． C．夹角的余弦值为 D．不可以作为基底来表示空间中的任意一个向量 【答案】CD 【详解】A选项，因为空间单位向量两两互相垂直， 所以， 故 ，故与的夹角为，A错误； B选项，， 又，设， 则，所以，无解， 故与不平行，B错误； C选项， ， 其中， 则，同理得， 故夹角的余弦值为，C正确； D选项，设，即， 则，解得， 故，所以共面， 不可以作为基底来表示空间中的任意一个向量，D正确. 故选：CD 10．如图，已知正四棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 4，点 ， 分别为 的中点，则（   ） A． B．平面 平面 C．三棱锥 的体积为 D．四面体 的外接球的表面积为 【答案】BD 【详解】 如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 对A，不是0，所以A不正确； 对B，设平面的法向量为，， 所以，令，则. 设平面的法向量为，， 所以，令，则. 所以，所以平面平面，故B正确； 对于C：，故C不正确； 对于D：三棱锥的外接球球心为，由， 四面体 的外接球的表面积为 ，故D正确. 故选：BD. 11．如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】ACD 【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 设，且. 对于A，， 当时，.故A正确； 对于B，正方体中，∥，平面，平面， 所以∥平面，因为，所以点P到平面的距离是等于点到平面的距离, 设到平面的距离为，由得，，得，故B不正确； 设，且. 对于C，，， 设直线与BD的所成角为， 则 令，则， 函数，在上单调递减，在上单调递增，所以 ，所以，故C正确； 对于D，设平面的法向量，则 取，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： 因为在上单调递增 ，故D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，，，若，则的值为 . 【答案】 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 13．如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点.（i）异面直线与所成角的余弦值为 ；（ii）若点在线段上运动，则到直线的距离的最小值为 .    【答案】 【详解】    因为为正方体，建立如图所示以为坐标原点， 以、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，设直线与所成角为， 则.    过点作于，过作于，过作于， 因为为正方体，所以平面， 又因为平面，所以， 平面，平面，， 所以，且平面， 在底面中，，，所以， ，，所以， 设，，因为，所以， 所以，所以，所以，所以， 在中，， 在中，，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 设点到直线的距离为，，， 根据空间点到直线距离公式有：， 所以， 整理得，， 所以当时，到直线的距离最小，最小值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【详解】（1）根据题意，，则， 若，设， 3分 又由，则， 解可得，故或. 6分 （2）根据题意，， 则， 9分 则，故， 11分 故. 13分 16．（15分）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 【详解】（1）因点分别是的中点， 则，， 4分 则. 6分 （2）以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 则，，， 9分 得，则， 11分 则， 故的面积为. 13分 （3）设平面的法向量为 则，令，则， 平面的一个法向量为. 15分    17．（15分）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， 侧棱的长为2，且，在线段、、、分别取、、、四点且，，，.求： (1)证明：； (2)的长； (3)直线与平面所成角的余弦值. 【详解】（1），， 故，故； 3分 （2）, 故 ； 6分 （3）由，，， 故， 又， 故, 又平面，且, 故平面，即是平面的法向量， 9分 令直线与平面所成角为， 则， 又， 故 ， 12分 故 ， 即. 15分 18．（17分）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． (1)若是的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)若点到平面的距离为，求的长． 【详解】（1）证明：设，交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以是中点， 又因为是的中点，所以在中，， 2分 因为平面，平面， 所以平面． 4分 （2）因为直线垂直于梯形所在的平面，，平面，， 所以，，两两垂直， 5分 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示坐标系， 由题意可知，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，则， 取可得平面的一个法向量， 7分 设直线与平面所成角为， 则， 9分 所以， 故直线与平面所成角的余弦值为． 12分 （3）在（2）所建空间直角坐标系中， 设， 14分 由（2）可知平面的一个法向量， 所以点到平面的距离，解得， 又因为，所以， 即的长为． 17分 19．（17分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，，平面平面. (1)求证：； (2)如图，且，求点M到平面PBC的距离；    (3)设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴， 又平面，平面，∴∥平面， 2分 又平面，平面平面， ∴； 4分 （2）取BC中点N，连接ON，则， ∵平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， ∴，， 6分 ∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 于是，，，， 设平面的一个法向量为， 则，得，故可取， 8分 ∴点M到平面PBC的距离为． 10分 （3）存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为， ∵，且平面ABCD为正方形， ∴点Q在平面上的射影是ABCD的中心， 可设，则， ∴，解得． 即，， 12分 设，， ∴，，， 设平面AEC的一个法向量为， 则，得， 取， 14分 设直线与平面AEC所成的角为， ∴， 化简得，∴或， ∴当或时，直线与平面AEC所成角的正弦值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$