精品解析：福建省莆田第十五中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

莆田第十五中学2024～2025学年第一学期第一次月考 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把答案填在答题卷的相应位置. 1. 76是等差数列4，7，10，13，…第（ ）项 A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】先求出该等差数列的通项公式，再代入，即可得到答案. 【详解】设该等差数列为， 由题意可知，首项为4，公差为3， 则 故， 得 故选：A 2. 在数列中，=1，，则的值为 A. 99 B. 49 C. 101 D. 102 【答案】C 【解析】 【详解】因为所以数列是以首项为1，公差是2的等差数列， = 3. 在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理以及等比数列下标和性质化简求解即可． 【详解】解：等比数列中，，是方程的两根， 所以， 因为 所以， 故选：A 4. 设是数列的前n项和，若，则（ ） A. -21 B. 11 C. 27 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】根据与的关系即可求解. 【详解】由得，，所以, 故选：B 5. 已知等差数列的前n项和为，若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】方法一：∵∴ ∴ ∴ ， 方法二：由于是二次函数,当时的函数值，根据二次函数的对称性，由可知，的关于对称，因此， 故选:B 6. 如果，，，，成等比数列，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式和下标和性质直接求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，则，， ，. 故选：C. 7. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 8. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为（ ） A. 1.5尺 B. 4.5尺 C. 3.5尺 D. 2.5尺 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解. 【详解】设等差数列为，公差为， ，解得， ∴立夏日影长为． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把答案填在答题卷的相应位置. 9. 已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，根据等比数列的通项公式的计算，求得，进而求得通项公式和的值，再由，，结合选项，即可求解. 【详解】因为，可得，即，解得或， 又由正项的等比数列，可得，所以，所以A正确； 数列的通项公式为，所以B正确； 则，所以C不正确； 由，则，，所以，所以D正确. 故选：ABD. 10. 设数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前10项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，可得，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，依次可判断A、B、C，再由裂项相消法判断D. 【详解】当时，由，得，解得， 当时，， 即， 即数列为以为首项，以为公比的等比数列， 则，，，所以A、C错误，B正确； 又， 数列的前10项和为： ，D正确. 故选：BD 11. 设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 当时，n的最小值为13 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，即， 又，解得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由选项C知，是递减数列，，而， 因此当时，n的最小值为13，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置. 12. 等比数列{an}满足an＞0，且a2a8＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________. 【答案】9 【解析】 【分析】由已知求出，再根据等比数列的下标性质即可求出. 【详解】由题意可得a2a8＝＝4，a5＞0，所以a5＝2，则原式＝log2(a1a2…a9)＝9log2a5＝9. 故答案为：9. 13. 已知数列均为等差数列，且其前n项和分别为和.若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和等差数列的前n项和公式化简，结合条件求出答案即可． 【详解】因为为等差数列，且， 所以 ， 故答案为：． 14. 数列的前项和为，若，则__． 【答案】 【解析】 【分析】，然后利用裂项求和法进行运算． 【详解】 ． 故答案为:． 【点睛】本题考查数列的求和，解题时要注意裂项求和法的合理应用． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请把答案填在答题卷的相应位置. 15. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求等差数列的通项公式； （2）求出数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和的值先计算得到和，从而得到等差数列通项公式. （2）根据等差数列前项和公式计算. 【小问1详解】 由题意，等差数列的公差，， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 . 所以数列的前项和. 16. 已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n. (1)求数列{an}的通项公式an；(2)求Sn的最小值及对应的n值． 【答案】(1) an＝4n－32，n∈N＋. (2)当n＝7或8时，Sn最小，且最小值S7＝S8＝－112. 【解析】 【分析】（1）根据数列的前n项和与通项的关系可求通项公式；（2）对于前n项和的最值可以用以下两种方法求解，方法一，利用二次函数的最值求法（对称轴法）求解；方法二，根据数列的单调性求解，先判断从第9项开始，有an>0，之前各项为负，故其前7项或前8项之和最小． 【详解】(1)∵Sn＝2n2－30n，∴当n＝1时，a1＝S1＝－28. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32 ∴an＝4n－32，n∈N＋. (2)方法一 Sn＝2n2－30n＝2(n－ )2－ ， ∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112. 方法二 ∵an＝4n－32，∴a1<a2<…<a7<0，a8＝0，当n≥9时，an>0. ∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值S7＝S8＝－112 【点睛】数列的前n项和的最值问题求解方法： （1）把前n项和看作是关于n的函数，利用具体函数的最值求法解决； （2）首先判断数列的单调性，确定它的正数项或负数项的开始位置，再求和． 17. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，数列为以为公差，以为首项的等差数列，即可得通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 根据题意，数列满足， 即， 所以根据题意，数列为以为公差的等差数列， 又，则， 所以； 【小问2详解】 根据题意，， 所以数列的前n项和为：. 18. 设正项数列{an}为等比数列，它的前n项和为Sn，a1＝1，且a1＋S2＝a3. （1）求数列{an}的通项公式； （2）已知是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由已知条件，利用等比数列的通项公式求出公比，由此能求出数列的通项公式； （2）由已知条件结合（2）得到，由此利用错位相减法能求出数列的前项和． 【详解】解：（1）设在等比数列中，公比为， ，，， ，即， 解得或（舍） 所以； （2）是首项为1，公差为2的等差数列， ， ，． ① ② ②①，得 ． 19. 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 小问1详解】 ，，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . 【小问2详解】 为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田第十五中学2024～2025学年第一学期第一次月考 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把答案填在答题卷的相应位置. 1. 76是等差数列4，7，10，13，…的第（ ）项 A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 2. 在数列中，=1，，则的值为 A. 99 B. 49 C. 101 D. 102 3. 在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 4. 设是数列的前n项和，若，则（ ） A. -21 B. 11 C. 27 D. 35 5. 已知等差数列的前n项和为，若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如果，，，，成等比数列，那么（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 7. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为（ ） A. 1.5尺 B. 4.5尺 C. 3.5尺 D. 2.5尺 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把答案填在答题卷的相应位置. 9. 已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 设数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前10项和为 11. 设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 当时，n的最小值为13 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置. 12. 等比数列{an}满足an＞0，且a2a8＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________. 13. 已知数列均为等差数列，且其前n项和分别为和.若，则________. 14. 数列的前项和为，若，则__． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请把答案填在答题卷的相应位置. 15. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求等差数列的通项公式； （2）求出数列前项和． 16. 已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n. (1)求数列{an}的通项公式an；(2)求Sn的最小值及对应的n值． 17. 已知数列满足，且. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 18. 设正项数列{an}为等比数列，它的前n项和为Sn，a1＝1，且a1＋S2＝a3. （1）求数列{an}的通项公式； （2）已知是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn. 19. 设等差数列公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$