精品解析：山东省泰安市宁阳县第一中学2024-2025学年高二上学期阶段性考试（一）（10月）数学试题

高二上学期阶段性考试（一） 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解. 【详解】点关于z轴的对称点为B， 所以. 故选：A. 2. 以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，逐一检验即可. 【详解】若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，反之亦然， 对于A，由，，，得，即向量，，共面，不能构成空间基底； 对于B，令，则，不成立，即不共面，可构成基底； 对于C，令，则，即无解，即不共面，可构成基底； 对于D，令，则，即无解，即不共面，可构成基底. 故选：A 3. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 4. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 【答案】D 【解析】 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 5. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【详解】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 6. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 7. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点坐标可得重心与外心的坐标，进而得欧拉线方程. 【详解】由重心坐标公式可得：重心，即. 由，，可知外心在的垂直平分线上， 所以设外心，因为， 所以， 解得，即：， 则， 故欧拉线方程为：， 即：， 故选：A. 8. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系设点，利用以及两点的位置关系可得点的轨迹为四边形，求出该矩形周长即可得结果. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，， 设，则， ，可得； 当时，，当时，， 取， 连结， 则， 四边形为矩形，则， 即，又和为平面中的两条相交直线， 平面，又， 为的中点，则平面， 为使，必有点平面， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形， 又，则点的轨迹不是正方形， 则矩形的周长为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用线面垂直证明 过程中辅助线较为复杂，所以建立空间直角坐标系可简化求解过程，得出点的轨迹形状即可求得周长. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 当m＝1时，直线l的倾斜角为 C. 当m＝0时，直线l的斜率不存在 D. 当m＝2时，直线l与直线AB垂直 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，将代入，即可求得定点坐标；对于选项B、C、D，分别将m＝1、m＝0、m＝2代入，求斜率、倾斜角和判断两条直线垂直即可． 【详解】对于选项A，直线，令，解得直线l恒过定点，选项A错误； 对于选项B，当m＝1时，设直线l的方程为，斜率为，倾斜角为，选项B正确； 对于选项C，当m＝0时，直线l的方程化为，斜率为，斜率存在，选项C错误； 对于选项D，当m＝2时，直线，所以． 由，，可得，得， 所以直线l与直线AB垂直，选项D正确． 故选：BD． 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 11. 已知四面体满足，，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 点为直线上的动点，到距离的最小值为 D. 二面角平面角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将四面体放入长方体中，根据四面体的棱长求解长方体的长宽高，即可建立空间直角坐标系，结合选项利用向量法求解. 【详解】将四面体放入长方体中，（如图），设长方体的长宽高分别为， 则， 所以解得， 建立如图所示的空间直角坐标系，则, 故故， 所以直线与所成的角为，A错误， 由于，故， 直线与所成的角为，B正确， 对于C，点为直线上的动点，当位于的中点时，此时到距离的最小， 且最小值为长方体的高，即为，C正确， 对于D，取中点，连接,由于，， 所以,故为所求角， , 故，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】借助倾斜角与斜率的关系及三角函数值域即可得. 【详解】，故. 故答案为：. 13. 在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量的线性运算求得，即可解答. 【详解】因为 ， 又， 所以，，，所以. 故答案为：2 14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得，借助二次函数，求出最小时对应的的值，然后找出二面角的平面角,借助向量夹角公式计算求解即可. 【详解】以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 所以， 当时，最小，此时，为中点，则， 取的中点，连接，则， 因为，，所以，， 所以是平面与平面的夹角或其补角， 因为，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值是， 所以平面与平面夹角的正弦值是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知平面内两点，． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程． （2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线垂直的直线的斜率乘积为和点斜式求解即可； （2）求出线段垂直平分线的方程为，故点在直线上，设点为，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为建立等式求解即可． 【小问1详解】 由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即． 【小问2详解】 的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或， 所以点坐标为或， 则直线的方程为或． 16. 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在正四棱柱中，，，两两垂直，且， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，. 因为，分别为的中点，所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则有，，即， 因为，所以， 又平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系，求出空间向量与平面的法向量后，借助空间向量计算即可得； （2）求出空间向量与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， ， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 已知直线． （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）证明：直线，化为，当时，对任意实数，恒有， 所以直线过定点. （2），. 【解析】 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线经过一个定点. （2）先求得的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线的方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点， 而点分别在轴的正半轴上，即，于是， 则的面积为， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，，直线的方程的方程为. 18. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先在中，利用余弦定理求得，再由勾股定理可证，然后结合，利用线面垂直、面面垂直的判定定理，即可得证； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角的方法列出关于参数的方程，即可得解． 【小问1详解】 证明：在中，由余弦定理知，， 所以，即， 因为，且，、平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，， 所以，0，，，，，，，， ，0，，，，， 所以，0，，，，，， 设平面的法向量为，，，则， 即， 取，则，，所以，，， 设平面的法向量为，，，则，即， 取，则，，所以，，， 因为平面和平面夹角的余弦值为， 所以， 整理得，，即， 解得或， 因为，所以， 故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时． 19. 如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为． （1）求证：； （2）若，求三棱台的体积； （3）若到平面的距离为，求的值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接；如下图所示： 易知平面平面，且平面平面，平面平面； 所以，又因为， 可得四边形为等腰梯形， 且分别为的中点，所以， 因为，所以， 易知，且平面， 所以平面， 又平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得平面，可证明结论； （2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果； （3）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由二面角定义可得，二面角的平面角即为， 当时，即，因此可得平面， 可知即为三棱台的高，由可得； 易知三棱台的上、下底面面积分别为， 因此三棱台的体积为 【小问3详解】 由（1）知，，，二面角的平面角即为； 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 可得， 易知，可得； 则 设平面的一个法向量为， 所以， 令，则，可得； 显然， 由到平面的距离为，可得， 即，可得； 整理得，解得或； 又，可得. 【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法： （1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离； （2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期阶段性考试（一） 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 2. 以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 5. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 7. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）. A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 当m＝1时，直线l的倾斜角为 C. 当m＝0时，直线l的斜率不存在 D. 当m＝2时，直线l与直线AB垂直 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 11. 已知四面体满足，，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 点为直线上的动点，到距离的最小值为 D. 二面角平面角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角的取值范围是_________． 13. 在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数______. 14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知平面内两点，． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程． （2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 16. 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 17. 已知直线． （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 18. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为． （1）求证：； （2）若，求三棱台的体积； （3）若到平面的距离为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $