分门别类 搞定导数：导数专题之不等式恒成立问题

导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题. 利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 类型一：证明不等式 例1．已知f(x)＝(1－x)ex－1.(1)求函数f(x)的最大值； (2)设g(x)＝，x＞－1，且x≠0，证明：g(x)＜1. (2)证明：由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1. 当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于f(x)＞x.设h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝－xex－1. 当x∈(－1,0)时，0＜－x＜1,0＜ex＜1，则0＜－xex＜1，[来源:学科网] 从而当x∈(－1,0)时，h′(x)＜0，h(x)在(－1,0]上单调递减． 当－1＜x＜0时，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1.综上，总有g(x)＜1. 类型二：不等式恒成立问题 例2．已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，ln x＞恒成立． － 解：(1)由题意知2xln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立， 则a≤2ln x＋x＋， (x＞0)，则h′(x)＝，设h(x)＝2ln x＋x＋ ①当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， ②当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4， 对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.即a的取值范围是(－∞，4] (2)证明：问题等价于证明xln x>(x∈(0，＋∞))．又f(x)＝xln x，f′(x)＝ln x＋1， － 当x∈ 时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈ 时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)min＝f ＝－， (x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝－.设m(x)＝ 易知m(x)max＝m(1)＝－恒成立． －，从而对一切x∈(0，＋∞)，ln x＞