第18章 正比例函数和反比例函数 章节整合练习（20个知识点+40题练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第18章 正比例函数和反比例函数 章节整合练习（20个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 知识点8．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点9．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 知识点10．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点11．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点12．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点13．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点14．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点15．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点16．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 知识点17．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点18．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点19．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 知识点20．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 章节题型整合练习 一．常量与变量 1．（2020春•迁西县期末）圆周长公式中，下列说法正确的是　　 A．、是变量，2为常量 B．、为变量，2、为常量 C．为变量，2、、为常量 D．为变量，2、、为常量 二．函数的概念 2．（2022秋•青浦区校级期中）下列各图象中，不能表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 三．函数关系式 3．（浦东新区期末）初二（2）班共有38名学生，其中参加读书活动的学生人数为，且为整数），参与率为，那么关于的函数解析式为　 　． 4．（长宁区期末）弹簧挂上物体后会伸长（物体重量在千克范围内），测得一弹簧的长度（厘米）与所挂物体的质量（千克）有如下关系： （千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 （厘米） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 （1）此弹簧的原长度是　　厘米； （2）物体每增加一千克重量弹簧伸长　 　厘米； （3）弹簧总长度（厘米）与所挂物体的重量（千克）的函数关系式是　 　． 四．函数自变量的取值范围 5．(上海期末）函数的自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 6．（2024•奉贤区二模）函数的定义域是　　． 7．（2021秋•浦东新区校级月考）已知函数，则自变量的取值范围是　　． 五．函数值 8．（2023秋•虹口区校级期末）已知函数，那么　　． 9．（2023秋•普陀区校级月考）如果函数，那么　　． 六．函数的图象 10．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，水槽底部叠放着两个实心圆柱，现向无水的水槽中注水直至注满．水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是下列图象中的　　 A． B． C． D． 11．（2022秋•浦东新区校级月考）如图反映某公司的销售收入与销量的关系，反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当公司盈利时销量必须 　　． 12．（2022秋•金山区校级月考）、两地相距25千米，甲于某日12时30分骑自行车从地出发前往地，乙也于同日下午骑摩托车从地出发前往地．图中的折线和线段分别反映了甲和乙所行驶的路程与该日下午的时间的函数关系．根据图象提供的信息回答下列问题： （1）甲出发后几小时乙才出发？ （2）乙行驶多少分钟后追上甲？这时两人离地还有多少千米？ （3）甲乙两人分别在下午几点到达地？ （4）甲从下午1时到2时半的速度是每小时多少千米？ （5）乙的速度是每小时多少千米？ 七．动点问题的函数图象 13．（长宁区二模）如图，边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，阴影部分面积为，那么与的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 14．（松江区期中）如图，已知边长等于8个单位长度的两个完全相同的正方形、有公共边，且与均在直线上，将正方形沿直线以1单位秒向右平移，设移动时间为秒，正方形在移动过程中与正方形重叠的面积为，试求： （1）当点移动到线段上时，写出与的函数解析式，并写出定义域． （2）在整个移动过程中，当点移动到线段上时（不与、重合），写出与的函数解析式，并写出定义域． 八．正比例函数的定义 15．（2021秋•宝山区校级期中）下列问题中，两个变量成正比例的是　　 A．圆的面积与它的半径 B．三角形面积一定时，某一边和该边上的高 C．正方形的周长与它的边长 D．周长不变的长方形的长与宽 16．（2023秋•静安区校级期末）已知是正比例函数，则　　． 九．正比例函数的图象 17．（松江区期中）在水管放水的过程中，放水的时间（分与流出的水量（立方米）是两个变量．已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程共持续10分钟，则关于的函数图象是　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•黄浦区期中）下列各图象中，表示函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 一十．正比例函数的性质 19．（嘉定区期中）下列说法正确的个数是　　 ①不是的函数； ②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成正比例； ③在函数中，随的增大而增大； ④已知，则直线经过第二、四象限． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2023秋•长宁区校级期中）如果正比例函数，随的增大而减小，那么的取值范围是 　　． 一十一．待定系数法求正比例函数解析式 21．（2022秋•浦东新区校级期中）已知与成正比例，若时，，则与的函数关系式是 　　． 22．（2023秋•黄浦区校级期中）已知与成正比例关系，当时，，求：当时的值． 一十二．反比例函数的定义 23．（2023秋•青浦区校级期中）下列函数表达式中，表示反比例函数的是　　 A． B． C． D． 24．（2021秋•杨浦区期中）已知与成反比例，比例系数为，与成正比例，比例系数为，和是已知数，且，则关于成 　　比例．（填“正”或“反” 一十三．反比例函数的图象 25．（2023秋•浦东新区校级期末）设，那么函数和函数在同一坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 26．（2023秋•长宁区校级期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 一十四．反比例函数的性质 27．（2023秋•长宁区校级期中）对于反比例函数，下列说法不正确的是　　 A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象与轴、轴没有交点 D．随的增大而增大 28．（2023秋•普陀区校级期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么常数的取值范围是 　　． 一十五．反比例函数系数k的几何意义 29．（闵行区期末）如图，为反比例函数的图象上的点，过分别向轴和轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，这个反比例函数解析式为　　． 30．（闵行区期末）如图，过轴上任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若点为轴上任意一点，连接、，则的面积为　　． 一十六．反比例函数图象上点的坐标特征 31．（2020秋•闵行区校级月考）点，在函数图象上，那么，的符号和大小关系是　　 A． B． C． D． 32．（2023秋•长宁区校级期中）在直角平面坐标系中，直线与双曲线相交于点，将原点绕点逆时针旋转得到对应点． （1）求、的值； （2）求点的坐标； （3）联结，直线与双曲线相交于点，求的值． 一十七．待定系数法求反比例函数解析式 33．（2020秋•松江区校级月考）如图，反比例函数的图象过点，轴，且的面积为2，则该反比例函数解析式为 　　． 34．（2023秋•静安区校级期末）如图，已知线段，点在平面直角坐标系内． （1）用直尺和圆规在第一象限内作出点，使点到两坐标轴的距离相等，且与点的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，点的坐标为，求过点的反比例函数的解析式，并写出该函数的增减性． 一十八．反比例函数与一次函数的交点问题 35．（2023秋•青浦区期中）已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 36．（2023秋•浦东新区校级期末）在平面直角坐标系中，直线经过点，反比例函数的图象经过点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直线上有一点，使得，直接写出点的坐标． 一十九．反比例函数的应用 37．（黄浦区期末）已知一个矩形的面积为，其长为 ，宽为 ，则与之间的函数关系的图象大致在　　 A．第一、三象限，且随的增大而减小 B．第一象限，且随的增大而减小 C．第二、四象限，且随的增大而增大 D．第二象限，且随的增大而增大 38．（2022秋•徐汇区期末）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量（微克）与服用的时间成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量（微克）与服用的时间成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）抗生素服用　4　小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有　　微克； （2）根据图象求出药物浓度达到最高值之后，与之间的函数解析式及定义域； （3）求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量． 二十．反比例函数综合题 39．（2023秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在轴上，且，反比例函数图象上有一点，且，求点坐标． 40．（2022秋•青浦区校级期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． （1）求直线的函数解析式； （2）求点到直线的距离； （3）若点是直线上一点，且是以为斜边的直角三角形，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 正比例函数和反比例函数 章节整合练习（20个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 知识点8．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点9．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 知识点10．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点11．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点12．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点13．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点14．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点15．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点16．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 知识点17．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点18．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点19．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 知识点20．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 章节题型整合练习 一．常量与变量 1．（2020春•迁西县期末）圆周长公式中，下列说法正确的是　　 A．、是变量，2为常量 B．、为变量，2、为常量 C．为变量，2、、为常量 D．为变量，2、、为常量 【分析】根据变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量，常量是指在程序的运行过程不发生变化的量，可得答案． 【解答】解：在圆周长公式中，2、是常量，，是变量． 故选：． 【点评】本题考查了常量与变量，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量，常量是指在程序的运行过程不发生变化的量，注意是常量． 二．函数的概念 2．（2022秋•青浦区校级期中）下列各图象中，不能表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【解答】解：、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故不符合题意； 、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故不符合题意； 、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示是的函数，故符合题意； 、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 三．函数关系式 3．（浦东新区期末）初二（2）班共有38名学生，其中参加读书活动的学生人数为，且为整数），参与率为，那么关于的函数解析式为　，且为整数）　． 【分析】根据概率的定义列出函数关系式即可． 【解答】解：依题意得：，且为整数） 故答案为：，且为整数）． 【点评】考查了函数关系式，列函数关系式的依据：参与率． 4．（长宁区期末）弹簧挂上物体后会伸长（物体重量在千克范围内），测得一弹簧的长度（厘米）与所挂物体的质量（千克）有如下关系： （千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 （厘米） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 （1）此弹簧的原长度是　12　厘米； （2）物体每增加一千克重量弹簧伸长　 　厘米； （3）弹簧总长度（厘米）与所挂物体的重量（千克）的函数关系式是　 　． 【分析】（1）观察表格，当所挂物体质量为0时，即是弹簧不挂物体时的长度； （2）根据当时，，即可解答； （3）根据表格数据可得与成一次函数关系，设，取两点代入可得出与的关系式； 【解答】解：（1）弹簧的原长度是12厘米，故答案为12； （2）时，， 物体每增加一千克重量弹簧伸长（厘米）， 故答案为：0.5； （3）设， 将点，代入可得 解得： 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数关系式及函数值的知识，解答本题的关键是观察表格中的数据，得出与的函数关系式． 四．函数自变量的取值范围 5．(上海期末）函数的自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数，解得； 根据分式有意义的条件，，解得． 所以，．故选：． 【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 6．（2024•奉贤区二模）函数的定义域是　　． 【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，解得的范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0． 7．（2021秋•浦东新区校级月考）已知函数，则自变量的取值范围是　　． 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 五．函数值 8．（2023秋•虹口区校级期末）已知函数，那么　　． 【分析】本题将代入中，即可得到答案． 【解答】解：将代入中，得 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数值的求法，解决本题的关键是熟练运用代入法将的值代入． 9．（2023秋•普陀区校级月考）如果函数，那么　　． 【分析】把代入并化简即可． 【解答】解：把代入，得． 故答案为：． 【点评】本题考查函数值，掌握求函数值的方法是解题的关键． 六．函数的图象 10．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，水槽底部叠放着两个实心圆柱，现向无水的水槽中注水直至注满．水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是下列图象中的　　 A． B． C． D． 【分析】分成3段分析可得答案． 【解答】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选：． 【点评】本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢． 11．（2022秋•浦东新区校级月考）如图反映某公司的销售收入与销量的关系，反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当公司盈利时销量必须 　　． 【分析】观察函数图象得到时，的图象都在的上方，即销售收入大于销售成本． 【解答】解：根据图象得到当时，． 故答案为． 【点评】本题考查了函数图象：函数图象直观的反映了两变量之间的变化规律；学会从函数图象中获取信息． 12．（2022秋•金山区校级月考）、两地相距25千米，甲于某日12时30分骑自行车从地出发前往地，乙也于同日下午骑摩托车从地出发前往地．图中的折线和线段分别反映了甲和乙所行驶的路程与该日下午的时间的函数关系．根据图象提供的信息回答下列问题： （1）甲出发后几小时乙才出发？ （2）乙行驶多少分钟后追上甲？这时两人离地还有多少千米？ （3）甲乙两人分别在下午几点到达地？ （4）甲从下午1时到2时半的速度是每小时多少千米？ （5）乙的速度是每小时多少千米？ 【分析】利用图象信息，一一判断即可． 【解答】解：（1）从图中信息可知，甲出发半小时后乙才出发． （2）从图中信息可知，当乙出发小时（即40分钟）后追上甲， 这时两人离地的路程是（千米）． （3）从图中信息可知，甲在下午2时30分到达地，乙在下午2时到达地． （4）（千米时） 所以，甲下午1时到2时半的速度是10千米时． （5）（千米时） 所以乙的速度是25千米时． 【点评】本题考查函数图象，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 七．动点问题的函数图象 13．（长宁区二模）如图，边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，阴影部分面积为，那么与的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】小正方形运动过程中，与的函数关系为分段函数，即当时，函数为，当时，函数为，当时，，即按照自变量分为三段． 【解答】解：小正方形未穿大正方形之前，阴影部分面积最大，即大正方形的面积； 开始穿入时，随时间的增加而减小； 完全穿入之后，最小，即为大正方形的面积小正方形的面积，且保持一段时间不变， 开始离开后，随时间的增加而增加，直到最大． 故选：． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象．关键是理解图形运动过程中的几个分界点． 14．（松江区期中）如图，已知边长等于8个单位长度的两个完全相同的正方形、有公共边，且与均在直线上，将正方形沿直线以1单位秒向右平移，设移动时间为秒，正方形在移动过程中与正方形重叠的面积为，试求： （1）当点移动到线段上时，写出与的函数解析式，并写出定义域． （2）在整个移动过程中，当点移动到线段上时（不与、重合），写出与的函数解析式，并写出定义域． 【分析】（1）根据题意画出图形得出重叠部分是长为、宽为8的矩形，据此可得； （2）根据题意画出图形得出重叠部分是长为、宽为8的矩形，据此可得． 【解答】解：（1）如图1，当点移动到线段上时，，， ； （2）如图2，当点移动到线段上时，， 则， ， 则． 【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，根据图形的变化情况画出图形、分类讨论是解题的关键． 八．正比例函数的定义 15．（2021秋•宝山区校级期中）下列问题中，两个变量成正比例的是　　 A．圆的面积与它的半径 B．三角形面积一定时，某一边和该边上的高 C．正方形的周长与它的边长 D．周长不变的长方形的长与宽 【分析】根据正比例函数的定义计算． 【解答】解：、圆的面积半径，不是正比例函数，故此选项不符合题意； 、三角形面积一定时，它的底边和底边上的高的关系，不是正比例函数，故此选项不符合题意； 、正方形的周长边长，是正比例函数，故此选项符合题意； 、设周长为，则依题意得，则与不是正比例关系，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查正比例函数的定义．解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地，两个变量，之间的关系式可以表示成形如为常数，且的函数，那么就叫做的正比例函数． 16．（2023秋•静安区校级期末）已知是正比例函数，则　　． 【分析】利用正比例函数的定义得到且，然后解不等式和方程可得到满足条件的的值． 【解答】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． 九．正比例函数的图象 17．（松江区期中）在水管放水的过程中，放水的时间（分与流出的水量（立方米）是两个变量．已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程共持续10分钟，则关于的函数图象是　　 A． B． C． D． 【分析】根据“水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程共持续10分钟”列出函数关系式，然后确定函数的图象即可． 【解答】解：水管每分钟流出的水量是0.2立方米， 流出的水量和放水的时间的函数关系为：， 放水的过程共持续10分钟， 自变量的取值范围为， 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的图象，解题的关键是能够根据实际问题列出函数关系式，难度不大． 18．（2023秋•黄浦区期中）下列各图象中，表示函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】由于正比例函数的图象是一条经过原点的直线，由此即可确定选择项． 【解答】解：， 函数的值随自变量的增大而增大，且函数为正比例函数， 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的图象，正确地理解题意是解题的关键． 一十．正比例函数的性质 19．（嘉定区期中）下列说法正确的个数是　　 ①不是的函数； ②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成正比例； ③在函数中，随的增大而增大； ④已知，则直线经过第二、四象限． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据函数的概念、等腰三角形的性质、一次函数的性质判断即可． 【解答】解：①不是的函数，正确； ②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比例，错误； ③在函数中，随的增大而减小，错误； ④已知，则直线经过第一、三象限，错误； 故选：． 【点评】此题考查正比例函数的性质，关键是根据函数的概念、等腰三角形的性质、一次函数的性质判断． 20．（2023秋•长宁区校级期中）如果正比例函数，随的增大而减小，那么的取值范围是 　　． 【分析】根据正比例函数的性质即可得到关于的不等式，解不等式即可． 【解答】解：正比例函数，随着的增大而减小， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数中，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大是解题的关键． 一十一．待定系数法求正比例函数解析式 21．（2022秋•浦东新区校级期中）已知与成正比例，若时，，则与的函数关系式是 　　． 【分析】设，把，代入即可得到一个关于的方程，求得的值，从而得到答案． 【解答】解：设， 时，， ， 解得， 与的函数关系式是； 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确理解正比例的定义是关键． 22．（2023秋•黄浦区校级期中）已知与成正比例关系，当时，，求：当时的值． 【分析】设，将，代入可求得的值，继而可得出函数解析式，再将代入可求出的值． 【解答】解：，将，代入得：， 解得：， 函数解析式为：， 当时，． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，属于基础题，注意掌握待定系数法的运用． 一十二．反比例函数的定义 23．（2023秋•青浦区校级期中）下列函数表达式中，表示反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】反比例函数解析式的一般形式，也可转化为的形式，特别注意不要忽略这个条件，据此判断即可． 【解答】解：、是正比例函数，故本选项错误； 、符合反比例函数的定义，故本选项正确； 、不符合反比例函数的定义，故本选项错误； 、是正比例函数，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义和方程式的变形，涉及的知识面比较广，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（2021秋•杨浦区期中）已知与成反比例，比例系数为，与成正比例，比例系数为，和是已知数，且，则关于成 　反　比例．（填“正”或“反” 【分析】根据反比例函数的定义得出，根据正比例函数的定义得出，求出，再根据反比例函数的定义得出答案即可． 【解答】解：与成反比例，比例系数为， ， 与成正比例，比例系数为， ， ， 和是已知数，且， 关于成反比例， 故答案为：反． 【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数的定义，能熟记正比例函数与反比例函数的定义是解此题的关键． 一十三．反比例函数的图象 25．（2023秋•浦东新区校级期末）设，那么函数和函数在同一坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数和正比例函数的性质判断即可． 【解答】解：， ， 函数过二，四象限，函数在一、三象限， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点： ①反比例函数的图象是双曲线； ②当时，它的两个分支分别位于第一、三象限； ③当时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 26．（2023秋•长宁区校级期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据，则，判断正比例函数和反比例函数所处的象限，对比后即可得出结论． 【解答】解：、， ， 函数的图象经过第一、三象限， 该选项不符合题意； 、， 反比例函数图象在第二、三象限， 该选项不符合题意； 、， ， 反比例函数图象在第二、四象限，数的图象经过第一、三象限， 该选项符合题意； 、，反比例函数图象在第二、四象限， 该选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，属于基础题，主要理解一次函数和反比例函数中的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 一十四．反比例函数的性质 27．（2023秋•长宁区校级期中）对于反比例函数，下列说法不正确的是　　 A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象与轴、轴没有交点 D．随的增大而增大 【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、，点在反比例函数的图象上，故本选项正确； 、，反比例函数的图象在二、四象限，故本选项正确； 、函数是反比例函数，此函数的图象与轴，轴没交点，故本选项正确； 、，此函数在每一象限内随的增大而增大，故本选项错误． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键， 28．（2023秋•普陀区校级期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么常数的取值范围是 　　． 【分析】根据反比例函数图象的性质得出，解不等式即可求解． 【解答】解：反比例函数的图象在第二、四象限， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，在中，当时，函数的图象在一、三象限，当时，反比例函数的图象在二、四象限，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 一十五．反比例函数系数k的几何意义 29．（闵行区期末）如图，为反比例函数的图象上的点，过分别向轴和轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，这个反比例函数解析式为　　． 【分析】因为过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积是个定值，即． 【解答】解：过分别向轴和轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2， ， 反比例函数的图象在第二象限，， ， 此反比例函数的解析式为． 【点评】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向两坐标轴引垂线，所得矩形的面积为． 30．（闵行区期末）如图，过轴上任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若点为轴上任意一点，连接、，则的面积为　2　． 【分析】连接、，根据反比例函数系数与所成三角形面积的关系得：，，求出的面积为2，根据同底等高的两个三角形面积相等得：． 【解答】解：连接、， 在反比例函数上， ， 在反比例函数上， ， ， 轴， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了反比例函数比例系数和面积的关系，明确在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 一十六．反比例函数图象上点的坐标特征 31．（2020秋•闵行区校级月考）点，在函数图象上，那么，的符号和大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【解答】解：， 函数图象在第二、四象限， ， 函数图象在第二象限， 当时，随的增大而增大，， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标，牢记反比例函数的性质是解题的关键． 32．（2023秋•长宁区校级期中）在直角平面坐标系中，直线与双曲线相交于点，将原点绕点逆时针旋转得到对应点． （1）求、的值； （2）求点的坐标； （3）联结，直线与双曲线相交于点，求的值． 【分析】（1）将点代入，得，再将点代入，得，由此可得出答案； （2）过点作轴于，过点作轴于，的延长线于的延长线交于，过点作轴于，的延长线交于，则，，，证明△和△全等得，，由此可得点的坐标； （3）先求出直线表达式为，解方程组得点，则，由反比例函数比例系数的几何意义得，再由可得出答案． 【解答】解：将点代入，得：， 点的坐标为， 将点代入，得：； 双曲线的表达式为：， 故，； （2）过点作轴于，过点作轴于，的延长线于的延长线交于，过点作轴于，的延长线交于，如图所示： ，， 四边形，四边形，四边形均为矩形， ，，，， ， 由旋转性质得：，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ，， 点的坐标为； （3）设直线的表达式为：， 将点代入，得：， 解得：， 直线的表达式为：， 解方程组：，得：，， 点的坐标为：， ，， ，， ， 点，在双曲线上， ， 又， ． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 一十七．待定系数法求反比例函数解析式 33．（2020秋•松江区校级月考）如图，反比例函数的图象过点，轴，且的面积为2，则该反比例函数解析式为 　　． 【分析】根据的面积为2，可以得到的面积也是2，再根据反比例函数的几何意义和所在的象限，确定的值即可． 【解答】解：连接，由题意得，轴， ， ， ， 又图象位于第二象限， ， 该反比例函数解析式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的系数的几何意义和图象所在的象限是解决问题的关键． 34．（2023秋•静安区校级期末）如图，已知线段，点在平面直角坐标系内． （1）用直尺和圆规在第一象限内作出点，使点到两坐标轴的距离相等，且与点的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，点的坐标为，求过点的反比例函数的解析式，并写出该函数的增减性． 【分析】（1）根据角平分线的性质即可用直尺和圆规在第一象限内作出点，使点到两坐标轴的距离相等，且与点的距离等于； （2）在（1）的条件下，根据，点的坐标为，利用勾股定理即可求点的坐标． 【解答】解：（1）如图，点即为所求； （2）由（1）可得是角平分线，设点， 过点作轴于点，过点作轴于点，于点， ，点的坐标为， ，， 根据勾股定理，得 ， ， 解得，（舍去）． 点的坐标为， 过点的解析式为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小． 【点评】本题考查了作图复杂作图、坐标与图形的性质、角平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质． 一十八．反比例函数与一次函数的交点问题 35．（2023秋•青浦区期中）已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据两个函数没有交点，确定的符号，再根据函数的增减性，进行判断即可． 【解答】解：函数经过一、三象限，反比例函数的图象与函数的图象没有交点， 反比例函数的图象在二、四象限， 、、在这个反比例函数的图象上， 点、在第二象限，点在第四象限， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数和正比例函数的图形与性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 36．（2023秋•浦东新区校级期末）在平面直角坐标系中，直线经过点，反比例函数的图象经过点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直线上有一点，使得，直接写出点的坐标． 【分析】（1）先依据题意，把点代入求出，再把点的坐标代入求出即可； （2）依据题意，连接、，分别过，作于，作于，先求出点的坐标，再结合，可得，进而可以计算得解； （3）依据题意，点可能在的上方或下方两种情形，进而分析计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，直线经过点， ． ． ． 反比例函数的图象经过点， ． ． 反比例函数解析式为． （2）如图，连接、，分别过，作于，作于． 在反比例函数上， ． ． ， ． ． （3）由题意，作图如下． ①在上方．作于． ， ． ． ． ，， ． ． ，． ． ②当在下方时，作． ， ． ． ，， ． ． ，． ． 综上，或． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 一十九．反比例函数的应用 37．（黄浦区期末）已知一个矩形的面积为，其长为 ，宽为 ，则与之间的函数关系的图象大致在　　 A．第一、三象限，且随的增大而减小 B．第一象限，且随的增大而减小 C．第二、四象限，且随的增大而增大 D．第二象限，且随的增大而增大 【分析】根据与之间的函数图象为反比例函数，即可求解． 【解答】解：根据题意有：； 且根据，实际意义、应大于0，其图象在第一象限，且随的增大而减小． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 38．（2022秋•徐汇区期末）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量（微克）与服用的时间成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量（微克）与服用的时间成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）抗生素服用　4　小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有　　微克； （2）根据图象求出药物浓度达到最高值之后，与之间的函数解析式及定义域； （3）求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量． 【分析】（1）由图象可得到结论； （2）由待定系数法可求得与之间的函数解析式，由图象可得函数定义域； （3）把代入反比例函数解析式可求得． 【解答】解：（1）由图象可知，抗生素服用4小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有6微克， 故答案为：4，6； （2）设与之间的函数解析式为， 把时，代入上式得：， 解得：， 则； （3）当时，（微克）， 答：该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量为2.4微克． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，根据题意求出函数解析式是解决问题的关键． 二十．反比例函数综合题 39．（2023秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在轴上，且，反比例函数图象上有一点，且，求点坐标． 【分析】（1）根据正比例函数图象上点的坐标特征求出，利用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）根据等腰三角形的性质分别求出、、，证明，根据相似三角形的性质列式计算求出，得到答案． 【解答】解：正比例函数的图象经过点， ， 点的坐标为，， ， 反比例函数的解析式为； （2）作轴于，轴于， 设点的坐标为， ，轴， ，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得，（舍去），， 则点的坐标为． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 40．（2022秋•青浦区校级期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． （1）求直线的函数解析式； （2）求点到直线的距离； （3）若点是直线上一点，且是以为斜边的直角三角形，求点的坐标． 【分析】（1）用中点坐标公式求出点的横坐标，进而求解； （2）由，即可求解； （3）是以为斜边的直角三角形，则，即可求解． 【解答】解：（1）设点的坐标为，， 点是的中点，则， 解得：， 当时，，即点， 同理由中点坐标公式得，点， 将点的坐标代入得：， 解得：， 故直线的表达式为：； （2）由点、、的坐标得，， 设点到直线的距离为， 则，即， 解得：， 即点到直线的距离为：； （3）设点， 是以为斜边的直角三角形，则， 即， 解得：， 即点，． 【点评】本题考查了反比例函数综合运用，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、面积的计算方法、勾股定理得运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 学科网（北京）股份有限公司 $$