分门别类 搞定导数：导数专题之函数极值问题

函数的极值：当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．（提示：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．） 函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题. 归纳起来常见的命题角度有：(1)知图判断函数极值；(2)已知函数求极值；(3)已知极值求参数. 类型一：知图判断函数极值 1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 类型二：已知函数求极值 2．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数 满足 ＝2a， ＝－b，其中常数a，b∈R.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设g(x)＝ e－x，求g(x)的极值． (2)由(1)知 ，则 ， 令 得x＝0或x＝3，于是函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增， 在(3，＋∞)上单调递减．所以函数g(x)在x＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x＝3处取得极 大值g(3)＝ .[来源:学§科§网] 类型三：已知极值求参数 3．已知函数f(x)＝x. ，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝－ln x－＋ (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间和极值． 解析　(1)对f(x)求导得 ＝，－－ 由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ x知＝－. －a＝－2，解得a＝ (2)由(1)知f(x)＝ ，则－ln x－＋＝ ，令＝0，解得x＝－1或x＝5. 因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0,5)时， <0，故f(x)在(0,5)内为减函数； 当