精品解析：山东省聊城市高唐县第一实验中学2024-2025学年 九年级上学期数学月考试题

九年级上册数学学科质量评估（一） 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图,在中,,,,将沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆，测得，，则建筑物的高为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ） A. 200tan70°米 B. 米 C. 200sin70°米 D. 米 7. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ） A. 米 B. 4sinα米 C. 米 D. 4cosα米 8. 河堤的横断面如图所示，堤高BC=5m，迎水坡的坡比为，则AB的长是（ ） A. 10m B. 5m C. D. 9. 如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( ) A. n mile B. 60 n mile C. 120 n mile D. n mile 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是________． 12. 在中，若∠A、∠B满足|cosA－|＋(sinB－)2＝0，则∠C＝____． 13. 如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为_____． 14. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是_____． 15. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且D E∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△DOB＝1：3，则当S△ADE＝2时，四边形DBCE的面积是________ ． 16. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边上，．若，则的长为___________________________________． 三、计算题（本大题共6小题，共64分） 17. 计算： （1） （2）． 18. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 如图，已知点O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，－1），（2，1）． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的△OBꞌCꞌ； （2）若△OBC内部一点M的坐标为（a，b），则点M对应点M′的坐标是 ； （3）求出变化后△OBꞌCꞌ的面积 ． 20. 如图，学校教学楼上悬挂一块长为的标语牌，即．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点到地面的距离．测角仪支架高，小明在处测得标语牌底部点的仰角为，小红在处测得标语牌顶部点的仰角为，，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点到地面的距离的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点，，，，，，在同一平面内） （参考数据：，， 21. 如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度运动，如果P、Q分别从A、B同时出发，4秒后停止运动．则在开始运动后第几秒，△BPQ与△BAC相似？ 22. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上册数学学科质量评估（一） 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定； C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 2. 如图,在中,,,,将沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可. 【详解】解:A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符题意; B. 两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项不符题意； C. 两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项符合题意. D. 阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本不符题意; 所以选C选. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，需充分掌握三角形判断相似的定理. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键． 4. 如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得． 【详解】解：∵四边形EFGH是正方形， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴． 设AN=x，则EF=FG=DN=60-x， ∴ 解得：x=20 所以，AN=20． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键． 5. 如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆，测得，，则建筑物的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值． 【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵BE=1.2 m，AB=1.6 m，BC=18.4 m， ∴AC=20， ∴， ∴CD=15m． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键． 6. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ） A. 200tan70°米 B. 米 C. 200sin70°米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长． 【详解】解：在Rt△PQT中， ∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°， ∴∠PTQ=70°， ∴， ∴， 即河宽米， 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键． 7. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ） A. 米 B. 4sinα米 C. 米 D. 4cosα米 【答案】B 【解析】 【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．在Rt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 8. 河堤的横断面如图所示，堤高BC=5m，迎水坡的坡比为，则AB的长是（ ） A. 10m B. 5m C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长． 【详解】解：∵Rt△ABC中，BC=5米，迎水坡AB的坡比为1：， ∴BC：AC=1：， ∴AC=•BC=5（米）， ∴AB==10（米） 故选A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答． 9. 如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD． 【详解】∵∠C=90°， ∴， ∵， ∴AB=5， 根据勾股定理可得BC==3， ∵， ∴cos∠DBC=cosA=， ∴cos∠DBC==，即= ∴BD=， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键． 10. 如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( ) A. n mile B. 60 n mile C. 120 n mile D. n mile 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长． 【详解】过C作CD⊥AB于D点， ∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60． 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴CD=AC•cos∠ACD=60×． 在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD=30， ∴AB=AD+BD=30+30． 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile． 故选D． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是________． 【答案】（-1，2）或（1，-2） 【解析】 【详解】解：根据位似变换的位似比 ，可直接求A′的坐标为（-1，2）．或（1，-2） 故答案为（-1，2）或（1，-2） 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，解题时根据位似比直接由相似的性质求解即可，此题比较简单，是常考题． 12. 在中，若∠A、∠B满足|cosA－|＋(sinB－)2＝0，则∠C＝____． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性与偶次幂即可cosA =，sinB=，利用特殊角的三角函数可得∠A=60°，∠B=45°，从而即可得解． 【详解】解：∵|cosA－|＋(sinB－)2＝0， ∴cosA =，sinB= ∴∠A=60°，∠B=30° ∴∠C＝180°-60°-30°=90°， 故答案为90°． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性与偶次幂、特殊角的三角函数以及三角形的内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 13. 如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE， 【详解】解：∵AE=2，BE=，AB=5， ∴AE2+BE2=AB2， ∴△ABE是直角三角形， ∴sinA==． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，此题解题的关键是能合理作出辅助线，组成直角三角形． 14. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是_____． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可． 【详解】解：由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5， ∴∠EFC+∠AFB=90°， ∵∠B=90°， ∴∠BAF+∠AFB=90°， ∴∠EFC=∠BAF，cos∠BAF=， ∴cos∠EFC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，余弦的概念． 15. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且D E∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△DOB＝1：3，则当S△ADE＝2时，四边形DBCE的面积是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由S△DOE：S△DOB＝1：3得到 再利用相似三角形的性质得到，再利用相似三角形的性质得到，从而可得答案． 【详解】解： S△DOE：S△DOB＝1：3， 四边形DBCE的面积是 故答案为： 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质的应用，掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边上，．若，则的长为___________________________________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质．先根据“两角对应相等，两三角形相似”证明，则可得，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 三、计算题（本大题共6小题，共64分） 17. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2）6.5 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合计算： （1）将特殊角三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角三角函数值代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：， ． 18. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论； 根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】证明：（1）略． 解：（2）∵， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴在中，． 又∵， ∴， ∴． 【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 19. 如图，已知点O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，－1），（2，1）． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的△OBꞌCꞌ； （2）若△OBC内部一点M的坐标为（a，b），则点M对应点M′的坐标是 ； （3）求出变化后△OBꞌCꞌ的面积 ． 【答案】 （1）如下图，△OBꞌCꞌ为所作； （2）（－2a，－2b）；（3）10 【解析】 【分析】（1）把B、C的横纵坐标都乘以-2得到B′、C′的坐标，然后描点即可； （2）利用（1）中对应点的关系求解； （3）先计算△OBC的面积，然后利用相似的性质把△OBC的面积乘以4得到△OBꞌCꞌ的面积． 【详解】（1） 略 （2）点M对应点M′的坐标为（－2a，－2b）； （3）． 【点睛】本题考查了作图、位似变换，熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形． 20. 如图，学校教学楼上悬挂一块长为的标语牌，即．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点到地面的距离．测角仪支架高，小明在处测得标语牌底部点的仰角为，小红在处测得标语牌顶部点的仰角为，，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点到地面的距离的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点，，，，，，在同一平面内） （参考数据：，， 【答案】能，点到地面的距离的长约为． 【解析】 【分析】延长交于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【详解】能， 理由如下：延长交于， 则， ， ， 设，则， ， 在中，，则， ， 解得，， 则， 答：点到地面的距离的长约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 21. 如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度运动，如果P、Q分别从A、B同时出发，4秒后停止运动．则在开始运动后第几秒，△BPQ与△BAC相似？ 【答案】当x=0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似． 【解析】 【分析】设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意表示出AP，PB，BQ，分两种情况考虑：当∠BPQ=∠C，∠B=∠B时，△PBQ∽△CBA；当∠BPQ=∠A，∠B=∠B时，△BPQ∽△BAC，分别由相似得比例，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果． 【详解】解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似， 由题意得：AP=2xcm，PB=（8-2x）cm，BQ=4x， 分两种情况考虑： 当∠BPQ=∠C，∠B=∠B时，△PBQ∽△CBA， ∴，即， 解得：x=0.8， 当x=0.8秒时，△BPQ与△BAC相似； 当∠BPQ=∠A，∠B=∠B时，△BPQ∽△BAC， ∴，即， 解得：x=2， 当x=2秒时，△BPQ与△BAC相似． 综上，当x=0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 22. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过作于，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解； （2）过作于，过作于，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图1，过作于， ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，，即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为． 【小问2详解】 解：过作于，过作于， ， 则， 四边形为矩形， ， ， ， 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 在中，， 即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $