专题03 因式分解（考题猜想，6种常考题型专项训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版2024）

专题03 因式分解（6种常考题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 因式分解的意义 公式法因式分解 因式分解在有理数简算中的应用 十字相乘法 分组分解法 因式分解的应用 题型一：因式分解的意义 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（    ） （1）    （2） （3）        （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 6．（2022七年级上·上海·专题练习），则 7．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 题型二：公式法因式分解 一、单选题 1．（21-22七年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2024·上海嘉定·三模）因式分解： 4．（2024·上海·模拟预测）因式分解： 三、解答题 5．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解：． 6．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 8．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：． 9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 题型三：因式分解在有理数简算中的应用 1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 2．（22-23七年级上·上海青浦·期末）计算： 3．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 题型四：十字相乘法 一、填空题 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）因式分解： ． 2．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：= ． 3．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： ． 4．（23-24七年级上·上海·单元测试）分解因式： ， ． 5．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： ． 二、解答题 6．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：． 7．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 8．（23-24七年级上·上海·单元测试）因式分解：． 9．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 题型五：分组分解法 一、填空题 1．（21-22九年级下·上海徐汇·期中）因式分解： ． 2．（2024·上海·模拟预测）因式分解： . 二、解答题 3．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 4．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：； 5．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：. 6．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：； 7．（23-24七年级上·上海崇明·期末）分解因式：． 8．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式： ． 9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 10．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 11．（2022七年级上·上海·专题练习）因式分解： 题型六：因式分解的应用 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(   ) A． B．5 C．1 D． 二、填空题 2．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）与之积等于的因式为 ． 3．（2022七年级上·上海·专题练习）当时，代数式 4．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知，则的值为 5．（23-24七年级上·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 6．（23-24七年级下·上海静安·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ． 三、解答题 7．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知a，b，c三个数两两不等，且有，试求m的值． 8．（22-23七年级上·上海青浦·期中）证明： $$专题03 因式分解（6种常考题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 因式分解的意义 公式法因式分解 因式分解在有理数简算中的应用 十字相乘法 分组分解法 因式分解的应用 题型一：因式分解的意义 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．右边不是整式的积的形式，不是因式分解； B、选项是整式的乘法，不是因式分解； C、选项是整式的乘法，不是因式分解； D、选项是因式分解． 故选：D． 2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（    ） （1）    （2） （3）        （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：（1），属于整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； （2），等式右边不是整式的乘积形式，不属于因式分解，不符合题意； （3），等式左边不是多个项的整式，不属于因式分解，不符合题意； （4），属于因式分解，符合题意． 故选：A． 3．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断． 【详解】A．把一个多个项的整式转化成几个次数更低整式的积的形式，是因式分解，故此选项符合题意； B．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C．结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； D．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变． 4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到系数的最大公因数，再找到因式的公共部分即可． 【详解】解：由于3和9的公因数是3，和的公共部分为, 所以．和的公因式为. 故选A． 【点睛】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键． 二、填空题 5．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】设，根据整式的乘法得出，，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 解得：，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，熟练掌握因式分解以及整式的乘法的关系是解题的关键． 6．（2022七年级上·上海·专题练习），则 【答案】9 【分析】展开，再根据等式的性质列式求得m、n的值，即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴9+n=8，m=9n， ∴n=-1，m=-9， ∴mn=-9×(-1)=9． 故答案为：9． 7．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式定义，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可． 【详解】解：和的最大公因式是， 故答案为：． 题型二：公式法因式分解 一、单选题 1．（21-22七年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】公式法分解因式，主要是平方差公式，完全平方公式，立方公式，由此即可求解． 【详解】解：选项，是平方差公式因式分解，不符合题意； 选项，是完全平方因式分解，不符合题意； 选项，不可以用公式法因式分解，符合题意； 选项，是平方差公式因式分解，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查利用公式法因式分解，掌握公式法中的平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； B．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； C．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； D．，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点． 二、填空题 3．（2024·上海嘉定·三模）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查运用分组分解法和公式法分解因式，原式先去括号，再运用公式法进行因式分解即可 【详解】解： 故答案为： 4．（2024·上海·模拟预测）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法和公式法分解因式，首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，正确运用乘法公式分解因式是解题的关键． 【详解】解： ． 三、解答题 5．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查利用公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解，注意要分解彻底． 【详解】解： 6．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法公式法，，即可． 【详解】 ． 7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【答案】． 【分析】此题考查了公式法分解因式和十字相乘法分解因式，先利用平方差公式分解因式，然后根据十字相乘法和完全平方公式即可求解，解题的关键是熟练掌握公式法因式分解及其应用． 【详解】解：原式， ， ， ． 8．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练的分组是解本题的关键． 【详解】解： ． 9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握利用公式法与十字乘法分解因式是解本题的关键，本题先把看作是整体，计算乘法运算，再利用十字乘法与公式法分解因式即可． 【详解】解： . 题型三：因式分解在有理数简算中的应用 1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 【答案】8016 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算． 【详解】解：， 故答案为：8016． 2．（22-23七年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】80 【分析】提公因式，再利用平方差公式分解，进行简便计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了利用因式分解简便计算，掌握因式分解的方法是解题的关键． 3．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式因式分解；根据平方差公式去括号化简即可． 【详解】解：原式 ． 4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 题型四：十字相乘法 一、填空题 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：= ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握及十字相乘法的分解方法是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案：． 3．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握十字相乘法进行因式分解． 【详解】解： ∵， ∴． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·上海·单元测试）分解因式： ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 先将拆成，进而可化为两个多项式相乘的形式即可，对进行两次提取公因式即可． 【详解】解：原式：， ， ； 原式：， ， ． 故答案为：，． 5．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，利用十字相乘法分解因式即可；解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【详解】． 故答案为：． 二、解答题 6．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查的是十字相乘法因式分解．先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 7．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解； 利用十字相乘法进行因式分解，注意要分解彻底． 【详解】解： 8．（23-24七年级上·上海·单元测试）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查十字相乘因式分解．熟练掌握以上知识是解题的关键． 将原式化为，从而因式分解为两个多项式相乘的形式． 【详解】解：， ， ， ． 9．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．设，原式可分解得，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解：设， 则原式 ， ∴ ． 题型五：分组分解法 一、填空题 1．（21-22九年级下·上海徐汇·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用分解分组法，得，再进行提公因式，得，即可作答． 【详解】解： 故答案为：． 2．（2024·上海·模拟预测）因式分解： . 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法进行因式分解成为解题的关键. 将分成，然后各组分别因式分解，最后提取公因式即可. 【详解】解： 故答案为： 二、解答题 3．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解和分组进行因式分解； 先对原式进行变形，分组提公因式即可． 【详解】解：原式 ． 4．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：； 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 5．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：. 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．先分组提公因式，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 6．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：； 【答案】 【分析】本题租用考查了分解因式，先分组得到，进而提取公因式得到，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 7．（23-24七年级上·上海崇明·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式，进一步提取公因式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ． 8．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法成为解题的关键． 先将分组成，然后再运用提取公因式、公式法求解即可． 【详解】解： ． 9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【答案】． 【分析】此题考查了分组分解法分解因式，直接将后三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案，解题的关键是熟练掌握分组分解法分解因式，公式法因式分解及其应用． 【详解】解：原式， ， ， ． 10．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据分组分解法和提取公因式法进行分解即可，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ． 11．（2022七年级上·上海·专题练习）因式分解： 【答案】 【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则求解，再分组，利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可得到结论． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查因式分解，涉及到整式乘法运算、分组分解因式和公式法分解因式，根据代数式结构特征准确分组，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解决问题的关键． 题型六：因式分解的应用 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(   ) A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可． 【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次整式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为，乙为，丙为， 则甲与丙相减的差为：； 故选：D 二、填空题 2．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）与之积等于的因式为 ． 【答案】/ 【分析】根据平方差公式将分解因式，并变形为，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴与之积等于的因式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 3．（2022七年级上·上海·专题练习）当时，代数式 【答案】 【分析】原式先提取x，再分组，利用因式分解，代入数值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握分组分解法以及提公因式法分解因式是解题的关键． 4．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知，则的值为 【答案】 【分析】先根据完全平方公式的变形求出，再把所求式子提取公因式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，正确得到是解题的关键． 5．（23-24七年级上·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用立方差公式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·上海静安·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第9个智慧优数是， 故答案为：． 三、解答题 7．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知a，b，c三个数两两不等，且有，试求m的值． 【答案】或 【分析】，得，移项后因式分解得到，由a，b，c三个数两两不等，则，得到①，同理可得②，③，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c三个数两两不等， ∴， ∴①， 同理可得②，③， 当时， ①＋②＋③得，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时， ∵a，b，c三个数两两不等， ∴a，b，c三个数中至少一个不是0， 设， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上可知，m的值为或． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是基础，分类讨论是解题的关键． 8．（22-23七年级上·上海青浦·期中）证明： 【答案】见解析 【分析】根据完全平方公式进行计算得出即可得证． 【详解】解：∵ ， ， ∴， 即， 整理得， ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键． $$