专题02 整式的乘除（考题猜想，9种常考题型专项训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版2024）

专题02 整式的乘除（9种常考题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 幂的运算 整式的运算 幂的运算性质的逆用 整式的化简求值 利用乘法公式变形求值 数形结合思想 方程思想 转化思想 整体思想 题型一：幂的运算 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海·期中）在下列运算中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2024·上海·中考真题）计算： ． 3．（23-24七年级上·上海静安·期中）计算： ； 4．（2024七年级上·上海·专题练习）若，则 ． 5．（22-23七年级上·上海静安·期中）通过探究发现：当n为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 三、解答题 6．（2024七年级上·上海·专题练习）已知求的值． 7．（21-22七年级上·上海松江·期中）计算： 8．（21-22七年级上·上海杨浦·期中）计算：﹣a2b•a2b3•（﹣a2b2）2 9．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）计算：（﹣3a2）3+（4a3）2﹣a2•a4． 10．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）计算： 11．（2022七年级上·上海·专题练习）计算：． 12．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： 13．（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： 14．（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： 15．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： 题型二：整式的运算 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如果等式成立，那么m和n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（    ） A．11 B．13 C．8 D．7 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）若，则的值为（     ） A． B． C．5 D．1 4．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）下列运算中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）若、为整数，且，则不可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 7．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如果，那么 ． 8．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 9．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）乘积的计算结果是 ． 10．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）若，则 11．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 12．（23-24七年级上·上海·单元测试）已知，则单项式 ． 三、解答题 13．（21-22七年级上·上海·期中）计算： 14．（21-22七年级上·上海徐汇·期中）计算：﹣3xy（x﹣y）（﹣xy）2． 15．（23-24七年级上·上海松江·期中）计算： 16．（23-24七年级上·上海长宁·期中） 17．（23-24七年级上·上海长宁·期中），求的值． 18．（21-22七年级上·上海·期末）计算：． 19．（23-24七年级上·上海崇明·期末）计算：． 20．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算：． 21．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）计算：； 22．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 题型三：幂的运算性质的逆用 一、单选题 1．（22-23七年级上·上海静安·期中）的计算结果正确的是（  ） A． B．1 C． D．2 二、填空题 2．（22-23七年级·上海·假期作业）设，，，比较，，的大小，用号连接： ． 3．（23-24七年级上·上海·单元测试）计算： ， ． 4．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： ； 5．（22-23七年级上·上海青浦·期中）计算： ． 6．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，则 ． 7．（23-24七年级上·上海松江·期中）计算： ． 8．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）如果，则 ． 9．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，则x的值为 ． 三、解答题 10．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知：（都是正整数），用含或的式子表示下列各式： (1)； (2)． 11．（2022七年级上·上海·专题练习）已知，求的值． 12．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，求的值． 13．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，求的值． 14．（2022七年级上·上海·专题练习）已知，求x的值． 15．（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 题型四：整式的化简求值 1．（22-23七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中， 2．（21-22七年级上·上海·期末）化简求值：，其中，． 3．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）先化简，后求值：，其中． 4．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值：，其中． 5．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）先化简再求值：，其中，． 6．（2024春•碑林区校级月考）先化简，再求值：，其中， 7．（2024•广西模拟）先化简，再求值：，其中． 题型五：利用乘法公式变形求值 1．（23-24七年级下·甘肃张掖·阶段练习）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______； A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 2．（21-22七年级上·上海青浦·期中）已知：，若把与看成一个长方形的长和宽，求这个长方形的周长和面积． 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值； （3）已知，，求的值． 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知，求的值． 5．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图①，一个宽为a，长为的长方形，然后用四块小长方形拼成一个正方形（如图②）． (1)观察图②，请你用等式表示，，之间的数量关系：____； (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值． (3)如果，求的值． 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）（1）已知：、满足，求的值． （2）已知：，，求的值． 题型六：数形结合思想 1．（21-22七年级上·上海宝山·期末）已知并排放置的正方形和正方形如图，其中点在直线上，那么的面积和正方形的面积的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）（1）如图①，在边长为的大正方形纸片上减去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中的阴影部分的面积，方法①___________；方法②_________________； 由此可以验证的乘法公式为_________________________． （2）类似地，在棱长为的大正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积，方法①___________________方法②___________________，由此可得某个多项式因式分解的等式为_______________________．并用所学过的知识说明这个等式成立． （3）利用（2）得到的等式分解式：．    3．（23-24七年级下·甘肃白银·期中）阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 题型七：方程思想 1．（2022秋•无棣县期末）阅读与理解：已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为：，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： （1）若，则它的导出多项式　 　； （2）设是的导出多项式． ①若，求关于的方程的解； ②已知是关于的二次多项式，且关于的方程的解为整数，求正整数的值． 题型八：转化思想 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得：． 解答问题： (1)计算：； (2)化简：． 2．（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）． (1)上述操作能验证的等式是（    ）（请选择正确的一个）． A．；B．；C． (2)请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：． ③计算：． 题型九：整体思想 1．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）已知：，，化简的结果是 ． 2．（2023秋•安顺期末）阅读下列材料 若满足，求的值． 设，，则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 3．（2023秋•二道区校级期末）阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形． ①　　，　　；（用含的代数式表示） ②若长方形的面积为24，则阴影部分的面积为 　　． 4．（2023•建湖县校级模拟）【探究】 若满足，求的值． 设，，则，， ； 【应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； 【拓展】 （2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形． ①　 　，　　；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． $$专题02 整式的乘除（9种常考题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 幂的运算 整式的运算 幂的运算性质的逆用 整式的化简求值 利用乘法公式变形求值 数形结合思想 方程思想 转化思想 整体思想 题型一：幂的运算 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海·期中）在下列运算中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂，合并同类项，积的乘方，幂的乘方，利用法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 二、填空题 2．（2024·上海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·上海静安·期中）计算： ； 【答案】 【分析】先根据积的乘方计算，然后再根据同底数幂的积进行计算即可解答． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了积的乘方、同底数幂的积等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 4．（2024七年级上·上海·专题练习）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：， ， 解得． 故答案为：6． 5．（22-23七年级上·上海静安·期中）通过探究发现：当n为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 【答案】 【分析】所求式子可以变形为，根据积的乘方计算法则继续变形得到，由此根据题意求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，正确将所求式子变形为是解题的关键． 三、解答题 6．（2024七年级上·上海·专题练习）已知求的值． 【答案】64 【分析】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，整体思想，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法是解题的关键．根据幂的乘方以及整体思想，将转化成同底数幂的乘法和乘方公式进行计算． 【详解】解：∵ ∴， 又∵ ∴原式 7．（21-22七年级上·上海松江·期中）计算： 【答案】 【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及同底数幂的乘法法则计算，合并即可得到结果． 【详解】解： = = 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．（21-22七年级上·上海杨浦·期中）计算：﹣a2b•a2b3•（﹣a2b2）2 【答案】 【分析】先判断结果的符号，再计算系数，对于字母，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方运算进行计算即可． 【详解】﹣a2b•a2b3•（﹣a2b2）2 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键． 9．（21-22七年级上·上海浦东新·期中）计算：（﹣3a2）3+（4a3）2﹣a2•a4． 【答案】 【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果． 【详解】解：（﹣3a2）3+（4a3）2﹣a2•a4 = = = 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 10．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【分析】利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握这些运算法则． 11．（2022七年级上·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】直接利用幂的乘方与积的乘方运算法则、单项式乘单项式运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了积的乘方与幂的乘方运算以及单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 12．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘法和加法运算即可得到结果． 【详解】解：原式 【点睛】此题考查了整式的加法，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用．先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 14．（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用．先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 15．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算；先定符号再计算． 【详解】解： 题型二：整式的运算 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如果等式成立，那么m和n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：， ∴， 解得：，， 故选B． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（    ） A．11 B．13 C．8 D．7 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴的最大值为 故选：A 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）若，则的值为（     ） A． B． C．5 D．1 【答案】B 【详解】解： 故选：． 4．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）下列运算中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A. ，故正确； B. ，故错误； C. ，故错误； D. ，故错误； 故选：A． 5．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）若、为整数，且，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 即， 、为整数，， ，或，或，或，或，或，， 或或或或或， 即的值为，，，不可能为， 故选：B． 二、填空题 6．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如果，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）乘积的计算结果是 ． 【答案】 【详解】解： ； 故答案为：． 10．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）若，则 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（23-24七年级上·上海·单元测试）已知，则单项式 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴单项式， 故答案为：． 三、解答题 13．（21-22七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】原式； 14．（21-22七年级上·上海徐汇·期中）计算：﹣3xy（x﹣y）（﹣xy）2． 【答案】 【详解】解：原式＝﹣3xy·（x﹣y） ＝（x﹣y） ＝． 15．（23-24七年级上·上海松江·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 16．（23-24七年级上·上海长宁·期中） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先去括号，再合并同类项即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17．（23-24七年级上·上海长宁·期中），求的值． 【答案】4 【详解】解： ∵， ∴，解得： 18．（21-22七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式， ． 19．（23-24七年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握积的乘方和幂的乘方、单项式乘以单项式，多项式除以单项式法则是解题的关键； 先运算括号内的整式，再根据多项式除以单项式法则计算求解即可； 【详解】解： 20．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 21．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）计算：； 【答案】 【详解】解： ． 22．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、整式的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式，再计算整式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 题型三：幂的运算性质的逆用 一、单选题 1．（22-23七年级上·上海静安·期中）的计算结果正确的是（  ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算法则把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 二、填空题 2．（22-23七年级·上海·假期作业）设，，，比较，，的大小，用号连接： ． 【答案】 【分析】逆用幂的乘方，将这些幂化作指数相同的数，比较底数大小即可． 【详解】解：，，， 又， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，将所求数转化为同底数或同指数进行比较是解题关键． 3．（23-24七年级上·上海·单元测试）计算： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了带分数相乘、幂的乘方的逆用，积的乘方的逆用的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据幂的乘方和积的乘方的逆用，带分数相乘直接计算即可． 【详解】解：原式：， ， ， ， ； 原式， ， ， ． 故答案为，． 4．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： ； 【答案】 【详解】将拆分成和，再利用乘法分配律进行求解．本题考查同底数幂的乘法，熟记相关法则：底数不变，指数相加，是解题关键． 【分析】解： 故答案为： 5．（22-23七年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据积的乘方逆运算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查积的乘方法则的逆用．积的乘方法则：，逆运算法则为：．熟练记忆并应用法则是解题的关键． 6．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【详解】本题考查同底数幂乘法的逆用，根据求解即可． 【分析】解： 故答案为：6． 7．（23-24七年级上·上海松江·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】先把原式变形为，再利用积的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用． 8．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）如果，则 ． 【答案】 【分析】逆用幂的乘方与积的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了逆用幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 9．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故， 解得： 故答案为：3． 三、解答题 10．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知：（都是正整数），用含或的式子表示下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用积的乘方法则变形求解即可； （2）逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则变形求解即可． 【详解】（1）∵， ∴． （2）∵， ∴． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法‘积的乘方‘幂的乘方法则是解答本题的关键． 11．（2022七年级上·上海·专题练习）已知，求的值． 【答案】或 【分析】利用幂的乘方运算法则，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴或． 【点睛】本题考查了幂的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】将，根据，得出，求出m的值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方和幂的乘方运算法则，准确计算． 13．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【详解】本题考查同底数幂乘法的逆用，根据求解即可． 【分析】解：∵ 又∵， ∴ ∴ 解得 故答案为： 14．（2022七年级上·上海·专题练习）已知，求x的值． 【答案】4 【分析】利用同底数幂乘法与积的乘方运算法则，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， 又∵， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15．（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用． 先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型四：整式的化简求值 1．（22-23七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中， 【答案】， 【详解】解： 当，时， 原式 【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（21-22七年级上·上海·期末）化简求值：，其中，． 【答案】， 【详解】 ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． 3．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】化简结果，代数式的值为． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 4．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】首先根据整式的乘法混合运算法则化简，然后代入求解即可． 【详解】 ， ∵， ∴原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 5．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当，时 原式 ． 【点睛】本题考查了整式化简求值，含有乘方的有理数混合运算，掌握化简步骤是解题的关键． 6．（2024春•碑林区校级月考）先化简，再求值：，其中， 【分析】先利用完全平方公式及平方差公式化简去括号合并，后再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式， ， ， ， 当时， 原式， ， ． 【点评】本题考查了整式的混合运算与化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 7．（2024•广西模拟）先化简，再求值：，其中． 【分析】先算乘除，再合并同类项，化简后将的值代入计算即可． 【解答】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 题型五：利用乘法公式变形求值 1．（23-24七年级下·甘肃张掖·阶段练习）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______； A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1)C (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式与图形面积，平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题关键． （1）根据图1中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面即得出，图2的面积为：，即可得出等式； （2）①根据平方差公式计算即可； ②根据平方差公式可将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为：， 图2的面积为：， ∴上述操作能验证的等式是． 故选C． （2）解：①∵ ∴． ∵， ∴； ② ． 2．（21-22七年级上·上海青浦·期中）已知：，若把与看成一个长方形的长和宽，求这个长方形的周长和面积． 【答案】周长为，面积为． 【分析】根据矩形的周长公式求出周长，利用完全平方公式的变形公式求出矩形的面积， 本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式的变形式求矩形的面积是解题的关键． 【详解】解：（1）这个长方形的周长； （2）这个长方形的周长和面积 ． 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）121；（2）54；（3）40 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将所求式子变形，然后将，代入计算即可； （2）根据，，可以得到的值，再将所求式子变形，然后和的值代入计算即可； （3）根据，，可以得到的值，再将所求式子变形，然后和的值代入计算即可． 【详解】解：（1），， ； （2），， ， ， ； （3），， ， ， ． 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 5．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图①，一个宽为a，长为的长方形，然后用四块小长方形拼成一个正方形（如图②）． (1)观察图②，请你用等式表示，，之间的数量关系：____； (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值． (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景以及完全平方公式的应用，用不同的方法表示图形的面积，得出相等关系是关键，适当的变形是正确计算的前提． （1）表示出大、小正方形的边长和面积，根据面积之间的关系得出结论； （2）根据（1）中结论代入求出，进而可得答案； （3）利用完全平方公式变形求出，然后可得答案． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则大正方形的面积可以表示为：或， 因此有， 故答案为：； （2）由得：， ∴； （3）∵， ∴ ， ∴． 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）（1）已知：、满足，求的值． （2）已知：，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查完全平方公式变形求值； （1）配方后利用非负数的性质求解即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴． 题型六：数形结合思想 1．（21-22七年级上·上海宝山·期末）已知并排放置的正方形和正方形如图，其中点在直线上，那么的面积和正方形的面积的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为m、n，利用面积和差求出面积即可判断． 【详解】解：设正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为m、n， S1＝S正方形ABCD+S正方形BEFG﹣（S△ADE+S△CDG+S△GEF） ＝m2+n2﹣[m（m+n）+ m（m﹣n）+ n2] ＝n2； ∴S1＝S2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练用面积和差求三角形面积，准确进行计算． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）（1）如图①，在边长为的大正方形纸片上减去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中的阴影部分的面积，方法①___________；方法②_________________； 由此可以验证的乘法公式为_________________________． （2）类似地，在棱长为的大正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积，方法①___________________方法②___________________，由此可得某个多项式因式分解的等式为_______________________．并用所学过的知识说明这个等式成立． （3）利用（2）得到的等式分解式：．    【答案】（1）；；证明见解析；（2）；；，证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）仿照（2）中方法计算结果，利用多项式乘多项式法则验证即可． 【详解】（1）方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； （2）方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：等式右边 左边 ； （3）由（2）可得 3．（23-24七年级下·甘肃白银·期中）阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若满足，求的值． (2)，求． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)0 (3) 【分析】（1）设，，则可得出，根据代入计算即可得出答案； （2）设，，则可得出，由，可计算出的值，则代入计算即可得出答案； （3）根据题意可得，，，由已知条件可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得，设，，则可得出，由，即可算出的值，由代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）设，， 则， ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：根据题意可得，，， ， ， 设，， 则， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式，掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． 题型七：方程思想 1．（2022秋•无棣县期末）阅读与理解：已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为：，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： （1）若，则它的导出多项式　　； （2）设是的导出多项式． ①若，求关于的方程的解； ②已知是关于的二次多项式，且关于的方程的解为整数，求正整数的值． 【分析】（1）根据导出多项式的定义求解即可； （2）①根据导出多项式的定义可得，再解方程即可；②根据导出多项式的定义可得，然后根据的解为整数，求解正整数即可． 【解答】解：（1）若，则它的导出多项式； 故答案为：． （2）①， ， ， ， 解得：； ②， ， ， ， ， 有整数解， ， 为整数， 为正整数， 的值为或1，即的值为2或3． 又因为是关于的二次多项式， 所以，的值是2． 【点评】本题以新定义：导出多项式为载体，主要考查了一元一次方程的求解，正确理解新定义、熟练掌握一元一次方程的解法是关键． 题型八：转化思想 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得：． 解答问题： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2)当时，原式，当时，原式 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，平方差公式的应用，弄清题中的规律是解题的关键． （1）先整理，则原式为，再利用题中的规律进行计算，即可作答． （2）进行分类讨论，当或两种情况，利用题中的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：当时， 原式 当时， 原式 ． 综上：当时，原式，当时，原式． 2．（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）． (1)上述操作能验证的等式是（    ）（请选择正确的一个）． A．；B．；C． (2)请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：． ③计算：． 【答案】(1)A (2)①4；②1275；③ 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． （1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案； （2）①利用平方差公式化简计算即可； ②利用平方差公式将原式转化为即可． ③利用平方差公式将解答即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图2中的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：A； （2）解：①，，， ； ②原式 ； ③原式 ． 题型九：整体思想 1．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）已知：，，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用．先算乘法，再变形，最后整体代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 2．（2023秋•安顺期末）阅读下列材料 若满足，求的值． 设，，则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【分析】（1）设，，根据已知等式确定出所求即可； （2）①由正方形边长为，即可表示出与； ②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）设，，则，， ； （2）①，， 故答案为：；； ②， 阴影部分的面积． 设，，则，， ， ， 又， ， ． 即阴影部分的面积是28． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． 3．（2023秋•二道区校级期末）阅读材料： 若满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形． ①　　，　　；（用含的代数式表示） ②若长方形的面积为24，则阴影部分的面积为 　　． 【分析】（1）设，，分别得出，，进而得出答案； （2）①根据题意及图形解答即可； ②设，．则，，根据求妯的值，最后根据阴影部分面积为利用平方差公式即可得出答案． 【解答】解：（1）设，， ， ， ， ， 的值为29； （2）①由题意得：，， 故答案为：；； ②由题意得，，则， 设，．则，， ， ，， ， 阴影部分面积为． 【点评】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，牢记，，，，，，之间的关系并灵活切换是解题的关键． 4．（2023•建湖县校级模拟）【探究】 若满足，求的值． 设，，则，， ； 【应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； 【拓展】 （2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【分析】（1）仿照题中所给的解答方式进行求解即可； （2）①分析图形可知，，从而可得解； ②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）设，， 则，， ； （2）①四边形是长方形，，四边形是正方形， ，， ， ， 故答案为：，； ②长方形的面积是8， ， 阴影部分的面积． 设，，则，， ， ， 又， ， ． 即阴影部分的面积12． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． $$