串讲03 因式分解（考点串讲，9个常考点+5种重难点题型+2个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版2024）

七年级沪教版（2024）数学上册期中考点大串讲 串讲03 因式分解 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 九大常考点：知识梳理 五大题型典例剖析 二大易错易混经典例题 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 m(a+b+c ) (a+b)(a-b) (a+b)² (a-b)² （x+a）(x+b) 考点1 因式分解的定义 1. [新视角·结论开放题 2023 嘉兴]一个整式，把它因式分解后有一个因式为 ( x ＋1)，请你写出一个符合条件的整式： ⁠. x2－1(答案不唯一)　 考点透视 2. [2023·济宁]下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是(　C　) A. ( a ＋3)2＝ a2＋6 a ＋9 B. a2－4 a ＋4＝ a ( a －4)＋4 C. 5 ax2－5 ay2＝5 a ( x ＋ y )( x － y ) D. a2－2 a －8＝( a －2)( a ＋4) C 3. 对于① x －3 xy ＝ x (1－3 y )，②( x ＋3)( x －1)＝ x2＋2 x －3，从左到右的变形，表述正确的是(　C　) A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 C 考点2 公因式的定义 4. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为 ⁠. 2 a 　 5. 8 xmyn－1－12 x3 myn 各项的公因式是(　D　) A. xmyn B. xmyn－1 C. 4 xmyn D. 4 xmyn－1 D 8 xmyn－1与－12 x3 myn 这两项的系数是8与－12，它们的最大公因数是4；两项的字母部分 xmyn－1与 x3 myn 都含有字母 x 和 y ，其中 x 的最低次数为 m ， y 的最低次数为 n －1，所以4 xmyn－1是所求公因式. 6. [2024·南京外国语学校月考]4 a2 b ( a － b )－6 ab2( b － a )中，各项的公因式是 (　D　) A. 4 ab B. 3 ab C. ab ( a － b ) D. 2 ab ( a － b ) D 考点3 提公因式法分解因式 7.把 a2＋2 a 分解因式得(　A　) A. a ( a ＋2) B. a ( a －2) C. ( a ＋2)2 D. ( a ＋2)( a －2) A 8. [2023·温州]因式分解：2 a2－2 a ＝ ⁠. 9. [新考法·整体代入法 2023 深圳]已知实数 a ， b 满足 a ＋ b ＝6， ab ＝7， 则 a2 b ＋ ab2的值为 ⁠. ∵ a ＋ b ＝6， ab ＝7， ∴ a2 b ＋ ab2＝ ab ( a ＋ b )＝7×6＝42. 2 a ( a －1)　 42　 10. 用提公因式法分解因式： (1)9 x2－6 xy ＋3 x ；　 【解】 原式＝3 x ·3 x －3 x ·2 y ＋3 x ·1 ＝3 x (3 x －2 y ＋1). (2)( a － b )3－( a － b )2. 【解】 原式＝( a － b )2( a － b －1). 考点4 直接用平方差公式因式分解 11. 因式分解： x2－25 y2＝ ⁠. 12. [2023·杭州]因式分解：4 a2－1＝(　A　) A. (2 a －1)(2 a ＋1) B. ( a －2)( a ＋2) C. ( a －4)( a ＋1) D. (4 a －1)( a ＋1) ( x －5 y )( x ＋5 y )　 A 考点5 先提取公因式，再用平方差公式因式分解 13. [2023·北京]因式分解： x2 y － y3＝ ⁠. y ( x ＋ y )( x － y )　 考点6 完全平方式的特征 14. [2024·山西实验中学期中]下列多项式中，能用公式法因式分解的有(　A　) ①3 x2＋3 y2；②－ x2＋ y2；③－ x2－ y2； ④ x2＋ xy ＋ y2；⑤ x2＋2 xy － y2；⑥－ x2＋4 xy －4 y2. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 A 15. 若4 x2－( k ＋1) x ＋9能用完全平方公式因式分解，则 k 的值为(　C　) A. ±6 B. ±12 C. －13或11 D. 13或－11 C 考点7 用完全平方公式因式分解 16. [2023·恩施州]因式分解： a ( a －2)＋1＝ ⁠. 17. 因式分解：( m ＋ n )2－6( m ＋ n )＋9＝ ⁠. 利用整体思想，将 m ＋ n 看作一个整体，即可简便解题. ( a －1)2　 ( m ＋ n －3)2　 18. 把( a ＋ b )2－4( a2－ b2)＋4( a － b )2因式分解的结果为(　C　) A. (3 a － b )2 B. (3 b ＋ a )2 C. (3 b － a )2 D. (3 a ＋ b )2 C ( a ＋ b )2－4( a2－ b2)＋4( a － b )2 ＝( a ＋ b )2－2×2( a ＋ b )( a － b )＋[2( a － b )]2 ＝[( a ＋ b )－2( a － b )]2＝(3 b － a )2.故选C. 19. 用十字相乘法分解因式： (1) x2＋3x＋2； (2) x2－3x＋2； 解：原式＝(x＋1)(x＋2)； 解：原式＝(x－1)(x－2)； 考点8 十字相乘法因式分解 (3) x2－7x＋12； (4) x2－x－12； 解：原式＝(x－3)(x－4)； 解：原式＝(x＋3)(x－4)； 20. 用十字相乘法分解因式： (1)2x2－3x＋1； (2)3x2－7x－6； (3)a2＋2ab－8b2. 解：原式＝(2x－1)(x－1)； 解：原式＝(3x＋2)(x－3)； 解：原式＝(a－2b)(a＋4b)． 21.分解因式：6k2+9km–6mn–4kn． 解 6k2+9km – 6mn–4kn =(6k2+9km) – (6mn+4kn) =3k(2k+3m) –2n (3m+2k) = (2k+3m)(3k–2n). 22.分解因式：2x3–2x2y+8y–8x． 2x3–2x2y+8y–8x =2(x3–x2y+4y–4x) =2[(x3–x2y) +(4y–4x)] =2[x2(x-y)-4(x-y)] =2(x-y)(x2-4) =2(x-y)(x+2)(x-2). 考点9 分组分解法因式分解 23.如果a+b=0，求a3 –2b3+ a2b –2ab2的值． 解：原式= a3 +a2b- (2b3 +2ab2 ) = a2 (a +b)- 2b2 (a +b ) = (a +b) ( a2 - 2b2 ) =0 题型一：利用提公因式法分解因式计算 1. 利用简便方法计算： (1)3.2×202.4＋4.7×202.4＋2.1×202.4； 【解】 原式＝202.4×(3.2＋4.7＋2.1) ＝202.4×10＝2 024. 题型剖析 (2)36.8× ＋20.2× －2× . 【解】 原式＝ ×(36.8＋20.2－2) ＝ ×55＝13. 题型二：变形后利用提公因式法分解因式计算 2. 已知 x2－2 x －1＝0，则3 x3－10 x2＋5 x ＋2027的值等于 ⁠. 由 x2－2 x －1＝0，得 x2－2 x ＝1， 将所求式子变形为3 x ( x2－2 x )－4( x2－2 x )－3 x ＋2 027， 再整体代入计算即可. 2 023　 3. [新考法·整体代入法2022岳阳]已知 a2－2 a ＋1＝0， 求代数式 a ( a －4)＋( a ＋1)( a －1)＋1的值. 【解】 a ( a －4)＋( a ＋1)( a －1)＋1＝ a2－4 a ＋ a2－1＋1 ＝2 a2－4 a ＝2( a2－2 a ). ∵ a2－2 a ＋1＝0，∴ a2－2 a ＝－1.∴原式＝2×(－1)＝－2. 题型三：利用提公因式法将多项式分组分解 4. [新考法·选择阅读法]阅读下面因式分解的过程： 把 am ＋ an ＋ bm ＋ bn 因式分解. 解法一： am ＋ an ＋ bm ＋ bn ＝( am ＋ an )＋( bm ＋ bn ) ＝ a ( m ＋ n )＋ b ( m ＋ n )＝( m ＋ n )( a ＋ b )； 解法二： am ＋ an ＋ bm ＋ bn ＝( am ＋ bm )＋( an ＋ bn ) ＝ m ( a ＋ b )＋ n ( a ＋ b )＝( a ＋ b )( m ＋ n ). 请你选择一种方法因式分解： mx － my ＋ nx － ny ； 【解】 mx － my ＋ nx － ny ＝( mx － my )＋( nx － ny ) ＝ m ( x － y )＋ n ( x － y )＝( x － y )( m ＋ n ). 题型四：利用平方差公式因式分解及求值 5. [新考法·数形结合法]如图，学校劳动实践基地有两块边长 分别为 a ， b 的正方形秧田 A ， B ，其中不能使用的面积 为 M (图中阴影部分). (1)用含 a ， M 的式子表示 A 中能使用的面积： ⁠ ⁠； a2－M 　 (2)若 a ＋ b ＝10， a － b ＝5，求 A 比 B 多出的使用面积. 【解】 A 比 B 多出的使用面积为 ( a2－ M )－( b2－ M )＝ a2－ b2＝( a ＋ b )( a － b ) ＝10×5＝50. 题型五：利用平方差公式及整体思想巧求值 6. (1)[2022·苏州]已知 x ＋ y ＝4， x － y ＝6，则 x2－ y2＝ ⁠； (2)已知｜ a － b －3｜＋( a ＋ b －2)2＝0，求 a2－ b2的值 ； 【解】 因为｜ a － b －3｜＋( a ＋ b －2)2＝0， 所以 a － b ＝3， a ＋ b ＝2. 所以 a2－ b2＝( a ＋ b )( a － b )＝2×3＝6. 24　 (3)已知 m ， n 互为相反数，且( m ＋2)2－( n ＋2)2＝4，求 m ， n 的值. 【解】 因为( m ＋2)2－( n ＋2)2＝4，所以( m ＋2＋ n ＋2)( m ＋2－ n －2)＝4， 即( m ＋ n ＋4)( m － n )＝4. 又因为 m ＋ n ＝0，所以4( m － n )＝4，即 m － n ＝1， 所以 m ＝ ， n ＝－ . 易错点1 提公因式后因符号问题或漏项而出错 1. 下列因式分解正确的有(　B　) ①3 x2－6 xy ＋ x ＝ x (3 x －6 y )＝3 x ( x －2 y )； ②－5 x ＋5 xy ＝－5 x (1＋ y )； ③4 x3－2 x2 y ＝2 x2(2 x － y )； ④6 a3 b3＋4 a2 b2＋2 ab ＝2 ab (3 a2 b2＋2 ab ). A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 B 提公因式后，可以利用整式乘法检查是否正确.此外，当提取的公因式有 “－”号时，应注意括号内各项要变号. 易错易混 易错点2 分解不彻底导致出错 2. 因式分解：(2 x － y )2－(4 x ＋3 y )2＝ ⁠ ⁠. 【点拨】 因式分解要彻底. 原式＝[(2 x － y )＋(4 x ＋3 y )]·[(2 x － y )－(4 x ＋3 y )] ＝(6 x ＋2 y )(－2 x －4 y ) ＝－4(3 x ＋ y )( x ＋2 y ). －4(3 x ＋ y )( x ＋2 y )　 1.（2023秋•奉贤区期中）下列从左到右变形，是因式分解的是( ____ ) A.2x3-4x2+4=2x(x2-2x+2) B.(x+3y)(x-3y)=x2-9y2 C.-2x3y+2xy3=-2xy(x+y)(x-y) D.a(2a2+5ab-b2)=2a3+5a2b-ab2 【解析】解：2x3-4x2+4与2x(x2-2x+2)不相等，则A不符合题意； (x+3y)(x-3y)=x2-9y2，它是乘法运算，不是因式分解，则B不符合题意； -2x3y+2xy3=-2xy(x+y)(x-y)符合因式分解的定义，则C符合题意； a(2a2+5ab-b2)=2a3+5a2b-ab2，它是乘法运算，不是因式分解，则D不符合题意； 故选：C． C 押题预测 22 2.（2023秋•宝山区校级期中）因式分解：2(x-y)-3(y-x)2= __________ ． 【解析】解：原式=2(x-y)-3(x-y)2=(x-y)(2-3x+3y)， 故答案为：(x-y)(2-3x+3y)． (x-y)(2-3x+3y) 3.（2023秋•青浦区校级期中）分解因式：x2-5x-6= _______________ ． (x-6)(x+1) 【解析】解：x2-5x-6=(x-6)(x+1)． 4.（2023秋•松江区校级期中）因式分解：(x2+9)2-36x2． 【解析】解：原式=(x2+9+6x)(x2+9-6x)=(x+3)2(x-3)2． 23 5.（2023秋•浦东新区期中）阅读下列解题的过程． 分解因式：x4+64 解：x4+64=x4+16x2+64-16x2 =(x2+8)2-16x2 =(x2+8+4x)(x2+8-4x) 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)a4+4； (2)x4-43x2y2+81y4． 解：(1)(1)a4+4 =a4+4a2+4-4a2 =(a2+2)2-4a2 =(a2+2a+2)(a2-2a+2)； (2)x4-43x2y2+81y4 =x4-18x2y2+81y4-25x2y2 =(x2-9y2)2-25x2y2 =(x2-9y2+5xy)(x2-9y2-5xy) 24 $$