专题03 因式分解全章11大常考题型汇总（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题03 因式分解 题型1 判断是否是因式分解（常考点） 题型7 综合运用公式法分解因式（重点） 题型2 已知因式分解的结果求参数（重点） 题型8 因式分解在有理数简算中的应用（重点） 题型3 公因式 题型9 十字相乘法（难点） 题型4 提公因式法分解因式（重点） 题型10 分组分解法（难点） 题型5 平方差公式分解因式（重点） 题型11 因式分解的应用（难点） 题型6 完全平方公式分解因式（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断是否是因式分解（共3小题） 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）下列变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海静安·期末）关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数（共4小题） 4．（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）一个整式可因式分解为，那么这个整式是 ． 6．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 题型三 公因式（共3小题） 8．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 10．（24-25七年级上·上海·期中）整式的公因式是 ． 题型四 提公因式法分解因式（共2小题） 11．（24-25七年级上·上海·期末）把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解： ． 题型五 平方差公式分解因式（共3小题） 13．（24-25七年级上·上海·期末）已知，，则 ． 14．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 15．（22-23七年级上·上海·期末）分解因式：． 题型六 完全平方公式分解因式（共4小题） 16．（24-25七年级上·上海松江·期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·上海·期末）如果，那么的值为 ． 18．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解：． 19．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 题型七 综合运用公式法分解因式（共3小题） 20．（22-23七年级上·上海·期末）若，则 ． 21．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）因式分解：． 22．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）因式分解：． 题型八 因式分解在有理数简算中的应用（共3小题） 23．（22-23七年级上·上海·期末）已知，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 24．（22-23七年级上·上海青浦·期末）计算： 25．（25-26七年级上·上海·期中）简便计算： 题型九 十字相乘法（共5小题） 26．（22-23七年级上·上海·期末）要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 27．（24-25七年级上·上海·期末）分解因式： ． 28．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）因式分解： ． 29．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 30．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 题型十 分组分解法（共5小题） 31．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ． 32．（22-23七年级上·上海·期末）分解因式： ． 33．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 34．（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：． 35．（24-25七年级上·上海·期末）（1）因式分解：； （2）因式分解： 题型十一 因式分解的应用（共4小题） 36．（23-24七年级上·上海·期末）已知，，，则M与N的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 37．（24-25七年级上·上海·期末）现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长、宽为a、b的长方形C型纸片，丽丽同学选取了5张A型纸片，10张B型纸片，27张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 （用含a、b的代数式表示） 38．（22-23七年级上·上海宝山·期末）如果的三边长满足等式，试判断此的形状并写出你的判断依据． 39．（25-26七年级上·上海·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． $专题03 因式分解 题型1 判断是否是因式分解（常考点） 题型7 综合运用公式法分解因式（重点） 题型2 已知因式分解的结果求参数（重点） 题型8 因式分解在有理数简算中的应用（重点） 题型3 公因式 题型9 十字相乘法（难点） 题型4 提公因式法分解因式（重点） 题型10 分组分解法（难点） 题型5 平方差公式分解因式（重点） 题型11 因式分解的应用（难点） 题型6 完全平方公式分解因式（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断是否是因式分解（共3小题） 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）下列变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，不属于因式分解，不符合题意； 、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原选项不是因式分解，则A不符合题意； B. 是乘法运算，则B不符合题意； C. 符合因式分解的定义，则C符合题意； D. 等号右边不是积的形式，则D不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海静安·期末）关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键． 【详解】解：①没有降次，不属于因式分解； ②，属于因式分解； 所以①不是因式分解，②是因式分解 故选：D． 题型二 已知因式分解的结果求参数（共4小题） 4．（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 【答案】C 【知识点】已知因式分解的结果求参数、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了因式分解，多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．根据多多项式的乘法法则把等号右边化简，可得、，然后对a、b的值讨论可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴、， 若、，则； 若、，则； 若、，则； 若、，则； 故选：C． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）一个整式可因式分解为，那么这个整式是 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的法则计算即可得出答案． 【详解】解： ， 所以这个整式是， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解的意义．由题意可得式，则，，根据m、p，q都为整数确定m的值即可． 【详解】解：由题意可得， 则，， ∵m、p，q都为整数， ∴，或，， 则或， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 题型三 公因式（共3小题） 8．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】公因式 【分析】找到系数的最大公因数，再找到因式的公共部分即可． 【详解】解：由于3和9的公因数是3，和的公共部分为, 所以．和的公因式为. 故选A． 【点睛】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键． 9．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式定义，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可． 【详解】解：和的最大公因式是， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海·期中）整式的公因式是 ． 【答案】/ 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查了求公因式，公因式是指：数字的最大公约数，相同字母的最低次幂的乘积，据此求解即可． 【详解】解：整式的公因式是， 故答案为：． 题型四 提公因式法分解因式（共2小题） 11．（24-25七年级上·上海·期末）把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确找出公因式．直接提取公因式即可分解． 【详解】解：， 故选：D． 12．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式即可分解因式． 【详解】解：； 故答案为： 题型五 平方差公式分解因式（共3小题） 13．（24-25七年级上·上海·期末）已知，，则 ． 【答案】7 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方差公式分解因式、加减消元法 【分析】本题考查了平方差公式、解二元一次方程组，利用平方差公式因式分解是解题的关键．由变形得，结合可得，再利用二元一次方程组解得、的值，即可解答． 【详解】解：， ， 又， ， ， 解得：， ． 故答案为：7． 14．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是掌握利用平方差公式进行因式分解． 15．（22-23七年级上·上海·期末）分解因式：． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 题型六 完全平方公式分解因式（共4小题） 16．（24-25七年级上·上海松江·期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，熟记能用公式法进行因式分解的式子的特点是解题的关键． 根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； B：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； C：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； D：，故此选项符合题意． 故选：D ． 17．（24-25七年级上·上海·期末）如果，那么的值为 ． 【答案】/0.25 【知识点】完全平方公式分解因式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查因式分解、非负数的性质、代数式求值，根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方式的非负性求得x、y值，进而代值求解即可． 【详解】解：由得， 即， ∵，， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 18．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查利用公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解，注意要分解彻底． 【详解】解： 19．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法公式法，，即可． 【详解】 ． 题型七 综合运用公式法分解因式（共3小题） 20．（22-23七年级上·上海·期末）若，则 ． 【答案】1 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】先将转换成，再将代入求解即可． 【详解】 ∵ ∴原式 故答案为：1． 【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握因式分解的方法是解题的关键． 21．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解：分组分解法、公式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先去括号，再分组，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 22．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【详解】解： 题型八 因式分解在有理数简算中的应用（共3小题） 23．（22-23七年级上·上海·期末）已知，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】先将因式分解为(a-b)(a-c)，再将其值代入计算即可． 【详解】∵，，， ∴=a(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a-c) =(2017x+2016-2017x-2017)×(2017x+2016-2017x-2018)=-1×(-2)=2． 故选：A． 【点睛】考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将因式分解为(a-b)(a-c)的形式． 24．（22-23七年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】80 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】提公因式，再利用平方差公式分解，进行简便计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了利用因式分解简便计算，掌握因式分解的方法是解题的关键． 25．（25-26七年级上·上海·期中）简便计算： 【答案】 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式因式分解的应用，根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解： 题型九 十字相乘法（共5小题） 26．（22-23七年级上·上海·期末）要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】十字相乘法 【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，分别分析得出即可． 【详解】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6， ∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1， ∴整数m的值有4个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键． 27．（24-25七年级上·上海·期末）分解因式： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查了用十字相乘法因式分解，要注意利用是解决问题的关键． 利用十字相乘法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 28．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）因式分解： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】， 故答案为：． 29．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查的是因式分解，利用十字乘法分解因式即可． 【详解】解： ； 30．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、十字相乘法 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，多项式乘法． 利用十字相乘法分解因式，重新组合，按照多项式乘法计算，再用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 题型十 分组分解法（共5小题） 31．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查了因式分解—分组分解法，先把原式中一二两项分成一组，三四两项分成一组，每组分别提取公因式，最后组与组之间提取公因式即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 32．（22-23七年级上·上海·期末）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、分组分解法 【分析】前两项一组，提取公因式x，后两项一组，提取公因式a，然后两组之间再提取公因式整理即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 33．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、分组分解法 【分析】此题考查了因式分解中的分组分解法，解题的关键是合理分组后提取公因式． 首先将原式变形为，然后利用分组分解法分别提公因式得到，进一步提公因式分解即可． 【详解】 ． 34．（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．利用分组分解法因式分解即可． 【详解】解：原式 35．（24-25七年级上·上海·期末）（1）因式分解：； （2）因式分解： 【答案】（1）（2） 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法、分组分解法 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式先分组，再运用因式分解法分解即可； （2）把看作整体，运用十字相乘法分解为，再分别运用完全平方公式和十字相乘法分解即可． 【详解】解：（1） （2） 题型十一 因式分解的应用（共4小题） 36．（23-24七年级上·上海·期末）已知，，，则M与N的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式的加减运算、因式分解的应用、不等式的性质 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式比较大小，因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．多项式比较大小，采用“作差法”，将多项式因式分解，再根据已知条件判断的符号． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 又， ， 即． 故选：C． 37．（24-25七年级上·上海·期末）现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长、宽为a、b的长方形C型纸片，丽丽同学选取了5张A型纸片，10张B型纸片，27张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 （用含a、b的代数式表示） 【答案】/ 【知识点】因式分解的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式的混合运算及因式分解，解题的关键是掌握正方形，长方形的面积公式及因式分解．根据题意表示出长方形的面积，利用因式分解转化为多项式与多项式的积，即可确定长方形的长和宽，继而得到长方形的周长． 【详解】根据题意，长方形的面积为 ∴边长为和， ∴周长为； 故答案为： 38．（22-23七年级上·上海宝山·期末）如果的三边长满足等式，试判断此的形状并写出你的判断依据． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】利用因式分解得出三边长的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：是等边三角形 证明：∵， ∴． ∴， 即， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练进行因式分解，得出三角形的三边关系． 39．（25-26七年级上·上海·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，熟记完全平方公式，并灵活运用是解答的关键． （1）利用公式和已知求解即可； （2）先分组分解因式，再把，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴ ． $