第六章 反比例函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第六章 反比例函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数：①；②；③；④；⑤.反比例函数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（    ） A． B． C． D． 3．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．随着的增大而增大 B．图象分布在一三象限 C．当时， D．若在该图象上，则也在该图象上 4．已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 5．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（    ） A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1 6．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示，当气体的密度为时，体积是（    ）． A．1 B．2 C．4 D．8 7．关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图像大致是（    ） A． B． C． D． 8．如图，菱形AOBC的边BO在x轴正半轴上，点A(2，)，反比例函数图象经过点C，则k的值为(　　) A．12 B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图像经过上的点、，且，的面积为18，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中随的增大而增大的是 （填序号）． 12．若函数是关于的反比例函数，则的值为 ． 13．某厂计划建造一个容积为的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积与其深度的函数关系式是 ． 14．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ． 15．已知正比例函数和反比例函数交于，则 ． 16．若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣4的值为 ． 17．反比例函数y＝，当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝ ． 18．如图，已知点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连结，过点作交轴于点，连结，则的面积为 ．    三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 20．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（2，-3）． （1）求函数表达式； （2）当x=-4时，求函数y的值； （3）当x≤1且x≠0时，直接写出y的取值范围． 21．已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值． 22．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 23．如图，已知一次函数的图像与双曲线（为常数，）的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△的面积． 24．某中学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温（℃）和通电时间（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温都为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题： （1）分别求出当和时，和之间的关系式； （2）求出图中的值； （3）下表是该中学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：40时能喝到不超过40℃的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源．（不可以用上课时间接通饮水机电源） 时间 节次 上午 7：30 到校 8：00～8：40 第一节 8：50～9：30 第二节 …… …… 25．设函数，函数（，，b是常数，，）． (1)若函数和函数的图象交于点，点， ①求函数，的表达式：   ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． (2)若点在函数的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 26．如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，，连接交轴于点． (1)求； (2)设点的横坐标为，点的纵坐标为，求的值； (3)连接、，当时，求的坐标． 27．已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 反比例函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 1．下列函数：①；②；③；④；⑤.反比例函数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义，对每个函数进行判断即可. 【解析】解：①是正比例函数；②是一次函数；③，④，⑤是反比例函数； 故选择：D. 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记定义. 2．若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数中，系数k=xy解答即可． 【解析】解：∵反比例函数的图象经过点（3，-4）， ∴k-1=3×（-4）=-12， 符合题意的只有C：k-1=-12×1=-12． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是熟练运用k=xy解决问题． 3．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．随着的增大而增大 B．图象分布在一三象限 C．当时， D．若在该图象上，则也在该图象上 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项． 【解析】解：中，， （1）在每个象限内，随的增大而增大，故A错误， （2）图象分布在二、四象限，故B错误， （3）当时，；当时，，故C错误， （4）图象关于原点对称，故若在该图象上，则也在该图象上，故D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析． 4．已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，会利用反比例函数在象限内的增减性判断函数值的大小是解答的关键．根据反比例函数的增减性求解即可． 【解析】解：， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ， ∴， 故选：A． 5．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（    ） A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1 【答案】D 【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【解析】解：由图可知，当y1＞y2，的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关系是根据函数图象的位置关系确定x的取值范围． 6．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示，当气体的密度为时，体积是（    ）． A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据图象求出反比例函数解析式，再代入求值即可． 【解析】解：∵密度是体积的反比例函数， ∴设解析式为，把代入得， ， 解得，，解析式为， 把代入得，， 解得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是根据图象上的坐标，求出反比例函数解析式． 7．关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据反比例函数图象所经过的象限判断出k的符号；然后由k的符号判定一次函数图象所经过的象限，图象一致的选项即为正确选项． 【解析】解：A、反比例函数（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y=kx-k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项正确； B、反比例函数（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y=kx-k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项错误； C、反比例函数（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．所以一次函数y=kx-k的图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴．故本选项错误； D、反比例函数（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y=kx-k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点：①反比例函数的图象是双曲线；②当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；③当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 8．如图，菱形AOBC的边BO在x轴正半轴上，点A(2，)，反比例函数图象经过点C，则k的值为(　　) A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可求出菱形的边长．再根据边BO在x轴正半轴上，即可判断轴，从而可求出C点坐标，代入反比例函数解析式求解即可． 【解析】解：∵点A(2，)， ∴， ∴菱形的边长为4，即． ∵边BO在x轴正半轴上， ∴轴， ∴，， ∴C(6，)． 将C(6，)代入，得： 解得：． 故选C． 【点睛】本题考查两点的距离公式，菱形的性质，坐标与图形以及求反比例函数解析式．利用数形结合的思想是解题关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【解析】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图像经过上的点、，且，的面积为18，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝18，推出S△EOF＝S△AOE＝9，可得S△FME＝3，由此即可解决问题． 【解析】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M． ∵AN∥FM，AF＝FE， ∴MN＝ME， ∴FM＝AN， ∵A，F在反比例函数的图象上， ∴S△AON＝S△FOM， ∴ON•AN＝•OM•FM， ∴ON＝OM， ∴ON＝MN＝EM， ∴ME＝OE， ∴S△FME＝S△FOE， ∵AD平分∠OAE， ∴∠OAD＝∠EAD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE， ∴AE∥BD， ∴S△ABE＝S△AOE， ∴S△AOE＝18， ∵AF＝EF， ∴S△EOF＝S△AOF＝9， ∴S△FME＝3， ∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6， ， ∵点F在第二象限， ∴k＝-12． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，解题的关键是证明BD∥AE，利用等积法求出三角形面积． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中随的增大而增大的是 （填序号）． 【答案】②⑥/⑥② 【分析】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，根据性质逐个分析即可． 【解析】解：①，∵，∴在每个象限随的增大而增大，故不符合题意； ②，∵，∴随的增大而增大，故符合题意； ③∵，∴随的增大而减小，故不符合题意； ④，∵，∴随的增大而减小，故不符合题意； ⑤，∵，∴随的增大而减小，故不符合题意； ⑥，∵，∴随的增大而增大，故符合题意； 故答案为：②⑥． 12．若函数是关于的反比例函数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据反比例函数的定义可得关于m的一元一次方程，解方程求出m的值即可得答案． 【解析】∵函数是关于的反比例函数， ∴， 解得：m=1， 故答案为：1 【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题关键． 13．某厂计划建造一个容积为的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积与其深度的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的关系式，解题的关键是根据题意确定函数解析式． 根据体积底面积高即可列出反比例函数关系． 【解析】解：由体积公式知：， 故底面积与其深度的函数关系式是． 故答案为：． 14．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质：，图象位于第一、三象限，，图象位于第二、四象限，可知，解出即可得出的取值范围． 【解析】反比例函数的图象位于第二、四象限， ， ． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数图像经过象限与的关系是解题的关键． 15．已知正比例函数和反比例函数交于，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，把分别代入正比例和反比例函数中，求出的值，进一步求出代数式的值即可． 【解析】解：把代入正比例函数和反比例函数中，得：， ∴； 故答案为：4． 16．若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣4的值为 ． 【答案】-9 【分析】由点A在反比例函数图象上，可得出ab=-5，将其代入代数式ab-4中即可得出结论． 【解析】解：∵点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上 ∴ab=-5 ∴ab-4=-5-4=-9． 故答案为：-9． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出ab=2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可． 17．反比例函数y＝，当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝ ． 【答案】6或-6， 【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可． 【解析】解：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小， ∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4， ∴a=3（a-4）， 解得a=6， ∴k=6； 当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大， ∴设x=1时y=b，则当x=3时，y=b+4， ∴b=3（b+4）， 解得b=-6， ∴k=-6； ∴k=6或-6， 故答案为：6或-6． 【点睛】此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，以及正确解一元一次方程． 18．如图，已知点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连结，过点作交轴于点，连结，则的面积为 ．    【答案】3 【分析】设A（，m），B（，m），则AB＝−＝，连接OB，由平行线间的距离处处相等，得△AOC的面积和△AOB的面积相等，再由三角形的面积公式求得△AOB的面积便可． 【解析】解：设A（，m），B（，m），则AB＝−＝， 连接OB，    ∵BC∥OA， ∴S△AOC＝S△AOB＝AB•m＝וm＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，三角形的面积计算，平行线间的距离处处相等，解答本题的关键是正确作辅助线，转化三角形的面积计算． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19．（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数 【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数： （1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可； （2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可． 【解析】解：（1）由题意得：， ∴， ∴y是x的反比例函数； （2）由题意，得， ∴y是x的反比例函数． 20．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（2，-3）． （1）求函数表达式； （2）当x=-4时，求函数y的值； （3）当x≤1且x≠0时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式； （2）把x=-4代入函数解析式求得相应的y值即可； （3）根据反比例函数图象的性质作答． 【解析】解：（1）∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（2，-3）， ∴k=2×（-3）=-6， ∴反比例函数为y=-； （2）当x=-4时，y=-=-=； （3）∵k=-6＜0， ∴反比例函数图象在二、四象限， 把x=1代入y=-，得y=-6， ∴当x≤1且x≠0时，y＞0或y≤-6． ． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 21．已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，则有，然后把当时，；当时，代入求解即可； （2）由（1）可直接把x=3代入求解． 【解析】解：（1）设，由可得：， ∴把，和，代入得： ，解得：， ∴y与x的函数解析式为：； （2）由（1）可把x=3代入得： ． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义及函数解析式，熟练掌握反比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键． 22．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，图见解析 (2)或； 【分析】 （1）将点A、点B的坐标代入反比例函数的解析式可求得m、n的值，利用待定系数法求得一次函数的表达式，再用描点法作图即可； （2）不等式的解集为直线位于反比例函数上方部分时，自变量x的取值范围． 【解析】（1） 解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， 解得， ∴，， ∵一次函数的图象过A点和B点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为， 描点作图如下： ； （2） 解：由（1）中的图象可得， 不等式的解集为：或； 【点睛】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，会利用待定系数法求解析式，利用数形结合思想解不等式是解题关键． 23．如图，已知一次函数的图像与双曲线（为常数，）的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△的面积． 【答案】(1)； (2)4 【分析】（1）点代入反比例函数中求出系数，即可得出结论；代入反比例函数中求出数值，利用代入系数法将，代入一次函数中，联立方程组即可得出结论． （2）由（1）可知一次函数的解析式，求得点，以为底边将△拆分为△，△，利用，的纵坐标、三角形面积公式进行计算即可求解． 【解析】（1）双曲线过点， ，双曲线． 当时，， ． ， ． （2）由（1）知一次函数的解析式为， 当时，，． ，， △的面积△△， 即△的面积． 【点睛】本题考查函数解析式中反比例函数与一次函数的求法，直角三角形面积的计算公式的理解与运用能力．恰当采用待定系数法、转化思想（利用图形面积的和差）是解题的关键． 24．某中学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温（℃）和通电时间（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温都为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题： （1）分别求出当和时，和之间的关系式； （2）求出图中的值； （3）下表是该中学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：40时能喝到不超过40℃的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源．（不可以用上课时间接通饮水机电源） 时间 节次 上午 7：30 到校 8：00～8：40 第一节 8：50～9：30 第二节 …… …… 【答案】（1）当时，；当时，； （2）； （3）7：30～7：40或7：58～8：00 【分析】（1）由函数图象可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得y与x的关系式； （2）将y=20代入，即可得到a的值； （3）要想喝到不超过40℃的热水，让解析式小于等于40，则可得x的取值范围，再由题意可知开饮水机的时间． 【解析】解：（1）当时，设， 将，代入， 得，， 所以当时，； 当时，设， 将代入，得， 所以当时，； 故当时，；当时，； （2）将代入， 解得； （3）∵， ∴， ∵， ∴． 所以生活委员应该在这天早上7：30～7：40时间段，或7：58～8：00将饮水机电源打开． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出两个函数的解析式． 25．设函数，函数（，，b是常数，，）． (1)若函数和函数的图象交于点，点， ①求函数，的表达式：   ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． (2)若点在函数的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 【答案】(1)①，；②； (2) 【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式； ②利用函数图象分析比较； （2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解． 【解析】（1） 解：①把点代入， ， 解得：， ∴函数的表达式为， 把点代入，解得， 把点，点代入， ， 解得， ∴函数的表达式为； ②由图知，当时，； （2） 解：由平移，可得点D坐标为， ∴， 解得：， ∴n的值为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数，理解反比例函数和一次函数的图象性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想是解题的关键． 26．如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，，连接交轴于点． (1)求； (2)设点的横坐标为，点的纵坐标为，求的值； (3)连接、，当时，求的坐标． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数，即可得出答案； （2）首先表示出，的坐标，再利用证明，得，从而得出的纵坐标； （3）根据，得，则，由知，，代入解关于的方程即可． 【解析】（1）解：点是反比例函数图象上的点， ； （2）解：点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， 的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 轴，轴， ， ，， 又， ， ， ∴， 整理得， ∴； （3）解：如图，连接、、， ，， ， ，， ， 由（2）知，， ， 解得或， 当时，舍去， 当时，， ． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键． 27．已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②m与k的关系式为（） (3)存在，，或， 【分析】（1）利用两直线平行得到，从而得到点，设点，根据的面积求出a的值，从而得到点A的坐标，根据待定系数法即可求出m的值； （2）①设，（其中，），由得到，根据三角形的面积公式可推出，而，即可求解； ②由得到，进而有，联立与得，根据根与系数的关系得到，，代入后得到，从而； （3）过点B作轴于点N，，可证明，根据相似三角形的性质得到，即，变形得到，利用得到，进而，由（2）有，，代入后得到，求解即可得到m，k的值，从而可解答． 【解析】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， 对于直线，令，则， ∴， ∴， 设， ∵，即， ∴， ∴， ∵点在函数的图像上， ∴； （2）解： ①设，（其中，） ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②对于直线，令，则， ∴， ∴， 由①有， ∴，即， 联立与得， ∴，， ∴，即， ∴m与k的关系式为（）． （3）解：存在k，m，使得为直角三角形，且． 过点B作轴于点N， 若，则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 由（2）有，， ∴，解得，， 当时，； 当时，； ∴存在k，m，使得为直角三角形，且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定及性质，三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征和一次函数图像上点的坐标特征；会求反比例函数与一次函数的交点坐标，灵活运用根与系数的关系；会利用相似比计算线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$