第六章 反比例函数（压轴专练）（六大题型）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第六章 反比例函数（压轴专练）（六大题型） 题型1：存在性问题 1．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且． (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)点、是轴上的动点(在上方)且满足，连接，，求的最小值； (3)点是双曲线上一个动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)点P的横坐标为：，， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，相似三角形的性质与判定； （1）运用一次函数与反比例函数的交点坐标即可求解； （2）根据，求得点的坐标，再把将军饮马模型在坐标系中直接运用，根据勾股定理求解即可； （3）根据题意画图分析，根据平行求相关函数关系式，再求两条线的交点解方程组，即可得解． 【解析】（1）解：根据题意可知点，在直线和双曲线的图象上， ，解得， 点的坐标为，代入双曲线得： ， 由图象可知点与点关于原点对称， ∴； （2）过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，作点关于轴的对称点点，并向下平移一个单位记为，连接， 则，， ， ， ，，，， ，， ，即点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上， ，， 的最小值即为； （3）当时，当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 由（2）可知：，， 解得， ， 当时，，解得， ， ，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得：， ， ， 由是直线与反比例函数的交点可得： 解得， 此时点在第三象限，不符合题意， 当在轴上方时，则与下方的关于轴对称， 可得直线的解析式为：， 联立得， 此时点在第一象限，两个都符合题意， 点的横坐标为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是第一象限内一点，连接，，使轴，轴，连接，．若点在轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点的坐标； (3)在直线上有一动点M，过M点做y轴的平行线交反比例函数于点N，当以M、N、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标； (4)在平面内是否存在两点H、Q，使得四边形是矩形，且该矩形面积为15？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)存在，或 【分析】（1）根据点，在一次函数的图象上求出、的值，得出、两点的坐标，再运用待定系数法解答即可； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，构建矩形，根据，设点，根据反比例函数的几何意义解答即可； （3）先求出直线的函数关系式为，设，再分为当点M在线段延长线上时及当点M在线段上时，两种情况进行分类讨论求解即可； （4）分为当点H在直线的上方时及当点H在直线的下方时，两种情况分类讨论求解即可． 【解析】（1）解：点，在一次函数的图象上， ，， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：延长交轴于点，延长交轴于点， 轴，轴， 则有轴，轴，点的坐标为 四边形为矩形，且，， ， 设点的坐标为， 则， ， 点的坐标为或． （3）解：设直线的函数关系式为， 点的坐标为， ， ， 直线的函数关系式为， 设， 如图，当点M在线段延长线上时， 以M、N、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形， 且， 由可得， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， 解得：或（舍去）， ， 当点M在线段上时， ， 解得：或（舍去）， ， 综上所述，或； （4）解：存在， 如图，当点H在直线的上方时， 过点H作，交的延长线于点R， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， 矩形面积为15， ，即， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点H在直线的下方时， 则点H与点关于点B对称， 设， ， ， ； 综上所述，或． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及与几何结合问题，涉及的知识有：直线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，矩形的性质与判定及相似三角形的判定与性质，作出恰当的辅助线是解本题的关键． 3．如图，一条直线与反比例函数的图象交于、两点，与x轴交于D点，轴，垂足为C． (1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标； (2)如图乙，若点E在线段上运动，连接，作，交于F点． ①试说明； ②当为等腰三角形时，直接写出F点坐标． 【答案】(1)①，②， (2)①见解析；②或或 【分析】（1）①把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得函数的解析式，②根据反比例函数的解析式，求得B的坐标，即可得到n的值，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式，进而求得与x轴的交点D的坐标； （2）①根据题意易证是等腰直角三角形，利用两角对应相等的两个三角形相似即可证得；②分三种情况，利用等腰三角形的性质，即可求得的长，则F的坐标可以求得． 【解析】（1）解：①把代入得：， 解得：， 则反比例函数解析式是：； ②把代入得：， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入，得：， 解得：， 则直线的解析式是：， 令，解得：， 则D的坐标是：； （2）解：①∵轴， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ②∵为等腰三角形分三种情况．如图乙： 当时，， 又∵， ∴A，F重合，则F的坐标是； 当时，， ∴是等腰直角的角平分线， ∴E是的中点，， ∴， ∴F是的中点， ∴， ∴F的坐标是：； ③当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴F的坐标是：． 综上，点F的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形相似的判定条件坐标与图形，等腰三角形的存在问题，综合性性强． 4．如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点（点在点左边），过两点作直线，与双曲线的另一交点为，过作直线的平行线交双曲线于点． (1)则点坐标为 ，点坐标为 ，并求直线的解析式； (2)如图2，点在轴负半轴上，连接，交直线于点，连接，且，将线段在轴上移动，得到线段（如图3），请求出的最大值； (3)如图4，点在轴上，在平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）联立方程组即可得出点的坐标，利用待定系数法先求出直线的解析式，再求出的解析式即可； （2）设，先表示出，再求出，结合，求出，从而得出，将点向上平移4个单位长度，得到点，设点、关于轴对称，则，连接并延长交轴于点，即可得解； （3）设，，分三种情况：当为对角线时，当为边时，菱形为时，当为边时，菱形为时；分别利用菱形的性质结合勾股定理求解即可． 【解析】（1）解：联立方程组， 解得：或， ∵点在点左边， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为：， 将代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵点、关于原点对称，， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴设， 令直线交轴于， ， 在中，当时，，即， ∴， ∴， 联立， 解得：或， ∴， ∴， 作于，连接、，则，， 设，， 由勾股定理得：，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，则， 如图，将点向上平移4个单位长度，得到点，则，则为平行四边形， ∴， 设点、关于轴对称，则，连接并延长交轴于点， ， ∴的最大值为； （3）解：由（2）可得：，， 设，， ∵以点为顶点的四边形是菱形， ∴当为对角线时，， 解得：，即， 当为边时，菱形为时，， 解得：或，即或； 当为边时，菱形为时，， 解得：或（不符合题意，舍去），即； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理、菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 题型2：动点问题 5．已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，求的最小值和此时M点的坐标； (3)在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最小值为； (3)或或 【分析】（1）利用反比例函数解析式求出A、B坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出点M的横坐标，则；如图所示，过点B作，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，则当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为，利用勾股定理得到，则的最小值为；求出直线解析式为，进而可得； （3）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，如图3-1所示，当点P在x轴上时，则，可得轴，则点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得，设，由勾股定理得到，解方程得到，同理可得直线解析式为，则直线与x轴，y轴分别交于，，由等边对等角得到，则当点P在射线（不包括A）上时都满足题意，再由P在坐标轴上，可得点P的坐标为或． 【解析】（1）解：在中，当时，；当时，， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵直线轴， ∴点M的横坐标为1， ∵轴， ∴； 如图所示，过点B作，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； （3）解；由（2）知， ∵点M与点Q关于原点对称， ∴， ∵， ∴轴， 如图3-1所示，当点P在x轴上时， ∵， ∴， ∴轴， ∵， ∴点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得， 设， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，；当时，， ∴直线与x轴，y轴分别交于，， ∵， ∴，即， ∴当点P在射线（不包括A）上时都满足题意， 又∵P在坐标轴上， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等边对等角，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 6．如图1，已知双曲线经过的、两点，且点，，．    (1)求双曲线和直线对应的函数关系式； (2)如图2，点在双曲线上，点Q在y轴上，若以点、、、为顶点的四边是平行四边形，请直接写出满足要求的所有点的坐标； (3)如图3，以线段为对角线作正方形，点是边（不含点、）上一个动点，点是的中点，，交于点．当在上运动时，的度数是否会变化？若会的话，请给出你的证明过程．若不是的话，只要给出结论． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；直线DC的函数关系式为 (2)满足要求的所有点的坐标为：、、 (3)的度数不会变化，等于 【分析】（1）把代入求出值，可得反比例函数解析式，根据平行四边形的性质得出点坐标，利用待定系数法即可得出直线解析式； （2）可分两种情况：为边、为对角线讨论，然后运用中点坐标公式即可解决问题； （3）过点作于，作于，连接、，根据正方形的性质及角平分线的性质可得，利用可证明，得出，由此可得，即可得到是等腰直角三角形，因而为定值． 【解析】（1）解：∵双曲线经过的、两点，且点，，， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴， 设直线的函数关系式为：，则， 解得：， ∴直线DC的函数关系式为：． （2）解：由（1）知：反比例函数的解析式为：， ∵点P在双曲线上，点Q在y轴上， ∴设，， ①如图1，当为边时，    若四边形为平行四边形，则， 解得：， ∴， ∴， ∴中点坐标为，， ∴， 解得：， ∴． 如图2，若四边形为平行四边形，    ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴． ②如图3，当AB为对角线时，    ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 综上所述，满足要求的所有点的坐标为：、、． （3）解：当在上运动时，的度数不会变化，等于，理由如下： 过点作于，作于，连接，，如图所示，    ∵， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，除用中点坐标公式外，也可通过构造全等三角形来解决第（1）题和第（2）题． 7．已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ (3)是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴，交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为时，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先推出，则，由反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此求出，则，再由，即可得到． 【解析】（1）解：把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当时，反比例函数的值大于正比例函数的值 ； （3）解：，理由如下： ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∵点A和点M都在反比例函数图象上， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型3：旋转问题 8．如图①，一次函数的图像交反比例函数图像于点，，交轴于点，点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图②，点为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图像于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图③，将一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先确定点坐标，然后根据待定系数法求反比例解析式即可； （2）设点的坐标为，则点，根据题意，是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上，易得，解得的值，进而确定点，的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）设一次函数的图像与轴交于点，过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，，设，易得，求解即可确定点坐标，进而可利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与反比例函数解析式，求解即可获得答案． 【解析】（1）解：对于一次函数， 当时，可有， ∴点， 将点的坐标代入反比例函数表达式， 可得 ， 即反比例函数表达式为； （2）设点的坐标为，则点， 若是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上， 则有 ， 解得（舍去）或， ∴，， 则； （3）设一次函数的图像与轴交于点，过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，如下图， 对于一次函数， 令，可有，即的坐标为， 令，可有，解得，即的坐标为， 由题意可知，一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设， ∵ ，， ∴，，，， ∴可有，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与反比例函数解析式， 可得，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 9．已知反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象在同一坐标系中． (1)如图1，当反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点时，求n的值； (2)如图2，当直线经过点A时，它与反比例函数的另一个交点记为B，在y轴上找一点M，使的周长最小，求出M的坐标及周长的最小值； (3)如图3，点P是反比例函数图象上A点左侧一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转，点P的对应点Q恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最小值为，点M的坐标为 (3) 【分析】（1）联立反比例函数与一次函数的解析式，根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）将代入反比例函数的解析式求得，再将代入，即可求解出n的值，联立反比例函数与一次函数的解析式，求出点B的坐标，作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴与点M，连接，此时的周长最小，为的长，利用两点的距离公式解答即可，设直线解析式为，利用待定系数法求出解析式，令，即可求出点M的坐标； （3）过点作x轴的垂线，与过点作轴的平行线，分别交于点，设点，证明，根据，得到，进而得出，根据点在反比例函数上，代入解析式，求解即可． 【解析】（1）解：根据题意，则， 即， 反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点， ，即， ； （2）解：反比例函数的图象经过点， ， ， ， 将代入，则， ， 一次函数的解析式为：， 联立反比例函数与一次函数的解析式得，则， 即， ， 当时，， 根据题意得：， 作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴与点M，连接， 则， ， ， 此时的周长最小，为的长， ， ； 设直线解析式为， 则，解得， 直线解析式为， 令，则， 点M的坐标为； （3）解：过点作x轴的垂线，与过点的轴的平行线，分别交于点， 设点， ， ， ， 由旋转知：， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数上， ，即， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称求最短距离，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．利用待定系数法确定一次函数的解析式；熟练掌握对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 题型4：新定义题 10．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为含边界， 当时，区域的整点个数为______ ； 当区域的整点个数为时，点横坐标满足，直接写出纵坐标的取值范围：______ ； 直线过一个定点，若点为此定点， 问题：______ ，______ ； 问题：这条直线将分成两部分，直线上方不包含直线的区域记为，直线下方不包含直线的区域记为，当1的整点个数之差不超过时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③问题一：，问题二： 【分析】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键． （1）根据点在的图象上，可求出的值． （2）①标出区域，再统计区域内的整数点即可． ②结合图象可找出这4个整数点，便可得出的取值范围． ③问题一：过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于0，便可解决问题． 问题二：利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可． 【解析】（1）因为双曲线经过点， 所以． 即的值为4． （2）①当时，由图1可知， 上的整点有4个， 上的整点有4个， 双曲线上段的整点有3个， 区域内部的整点有3个， 又点，，都被算了2次， 所以区域的整点个数为：． 故答案为：11． ②因为区域的整点个数为4，如图所示， 又，则区域的4个整点如图所示：，，，． 故纵坐标的取值范围是：． 故答案为：． ③问题一：由题知， ， 则不论为何值，时，， 即直线过定点， 所以． 故答案为：5，4． 问题二：如图所示，当时，区域内的整点共有15个． 又被分成的区域和的整点个数之差不超过2， 则当直线经过点时，的整点个数是7，的整点个数是5，满足要求． 此时，得． 当直线过点时，的整点个数是5，的整点个数是8，不满足要求．故当点在直线上方时，即可． 此时，得． 故的取值范围是：． 11．如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． 备用图 (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点的坐标； (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做"美丽四边形"．在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，点的坐标为或或或 【分析】此题属于反比例函数与一次函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，面积问题，平行四边形存在性问题，三角函数的性质，利用了分类讨论的思想，理解新定义是解本题第三问的关键． （1）把分别代入两个解析式计算即可； （2）设，表示出和的面积，再根据列方程计算即可； （3）设，分四种情况：当时，利用平移的性质可得；当时，运用平移的性质可得；当时，通过构造全等三角形建立方程即可得出；当时，利用平移的性质可得． 【解析】（1）解：（1）直线经过点， ， 解得：， ； 双曲线经过点， ， 解得：， ； （2）如图，设直线交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 上点的坐标为， ， 又， ，， 在中，令，得， 解得：， ， ， 设，且， ， ，即， ， ，即， 解得：， ； （3）平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形． ，，， ，， ， ，， ， 是直角三角形，， 设，当时，如图， 则，，． 解得：， ； 当时，如图， 则，，， 解得：， ； 当时，如图，设直线交轴于点，过点作轴于，作轴，过点作于， 则，， 由（2）知：， ，， ， ，， 是等腰直角三角形，， 轴， ， ， ，即， ，， ， ，， ，， ，， ； 当时，如图， 则，， ， 解得：， ； 综上所述，平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，点的坐标为或或或． 题型5：情景探究题 12．【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第________象限内的公共点坐标． （2）画出函数图象 ①画函数的图象； ②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移________个单位长度得到． （3）研究函数图象 平移直线，观察两函数的图象； ①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长的值为________； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为的矩形的周长的取值范围为________． 【答案】（1）一；（2）①见解析；②；（3）① ；； ②见解析，个交点时，；个交点时，；个交点时，；（4） 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移、解一元二次方程等知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据x、y是边长求解即可； （2）①利用描点法画函数 的图象即可；②利用描点法画函数的图象，的图象即可，根据图象平移规则：上加下减求解即可； （3）①联立方程组，根据一元二次方程根的判别式求解即可； ②由①并结合图象可求解； （4）仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可． 【解析】解：（1），都是边长，周长为， ，，， 满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标． 故答案为：一； （2）①的图象如图所示： ②的图象如图所示， 与轴的交点为， 的图象可以看成是由的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：； （3）①联立方程组可得：， 整理得：， 两图象有唯一交点， ， ， ， 解得：， 交点坐标为，周长， 故答案为：，； ②由①知：个交点时，；个交点时，；个交点时，； （4）设相邻的两边长为、，则，，即，， 联立方程组可得， 整理得：， 两函数有交点， ， ， 故答案为：． 13．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： (2)探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． (3)运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 【答案】(1)①1；②见解析；③见②图 (2)的图象关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； (3)①或；②或；③或． 【分析】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． （1）①把代入解析式即可得的值；②③按要求描点，连线即可； （2）观察函数图象，可得函数性质； （3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案；③观察函数图象即得答案． 【解析】（1）解：①列表：当时，， 故答案为：1； ②描点，③连线如下： （2）观察函数图象可得：的图象关于轴对称，当时，y随x的增大而增大； 故答案为：的图象关于轴对称；当时，y随x的增大而增大； （3）①观察函数图象可得：当时，或， ∴方程的解是或， 故答案为：或； ②观察函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集或， 故答案为：或； ③观察函数图象可得，当或时，， 不等式与的解集或， 故答案为：或． 14．在图形的变换中，对称是一种常见的全等变换，我们需要掌握如何画对称点以及对称图形，并能求出一些对称点的坐标以便帮助我们解决相关问题。 【初步感知】 （1）图①中点关于轴的对称点的坐标是______； 图②中点关于直线的对称点的坐标是______． 【理解运用】 （2）如图③所示，直线，直线，请画出直线关于直线的对称直线并求出该直线的关系式； 【拓展提升】 （3）①已知函数关于直线的对称图象为，直线与相交于点、点，点是直线下方图象上一个动点，请求出面积的最大值： ②若将第①问中的改成，已知点，点，点是函数图象上的一点，当变化时，点关于直线的对称点也在不断变的运动路径和直线围城的区域记为，请画出点到点的最短路径并求出轨迹长． （说明：路径只能在直线右上方画，且不能穿过区域） 【答案】（1），；（2）图见解析，；（3）①面积的最大值为；②点到点的最短路径长为． 【分析】（1）关于轴的对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，可求；连接，，过点作轴交于，过作轴交于，通过证明，求； （2）设直线与轴的交点为，点关于直线的对称点为，连接交直线于点，连接，设，则，再由①，②，联立①②可得，再联立方程组，求出两直线的交点，利用待定系数法求直线的解析式即可； （3）①取函数上的点，设点关于的对称点为，由（2）可知，，，能求出对称点，则函数的函数解析式为；联立方程组，可求交点，，则，设经过点与平行的直线为，联立方程组，当时，点到直线的距离最短，可求，再求直线与轴的交点为，过点作交于点，利用等腰直角三角形的性质求出，则，即可求面积的最大值为； ②由题可知在以为圆心，为半径的半圆上，在直线上，可求线段与半圆的交点为，，结合函数图象可求点到点的最短路径长为． 【解析】解：（1）， 点关于轴的对称点为； 连接，，过点作轴交于，过作轴交于， 点与关于对称， ，， ， ，， ， ，， ； 故答案为：），； （2）设直线与轴的交点为，点关于直线的对称点为， 连接交直线于点，连接， 由对称性可知，，点是的中点， 设，则， ①， 又②， 联立①②可得，， ， 联立方程组， 解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ； （3）①取函数上的点，设点关于的对称点为， 由（2）可知，， ， ， ，， ， 函数的函数解析式为； 联立方程组， 解得或， ，， ， 设经过点与平行的直线为， 联立方程组， 整理得，， 当时，点到直线的距离最短， ， 解得或（舍）， ， 解得， ， 与轴的交点为， 过点作交于点， ， ， ， ， 面积的最大值为； ②由①可知，， 在以为圆心，为半径的圆上， ， 的轨迹为半圆， 点，点， 在直线上， 线段与半圆的交点为，， ，， 点到点的最短路径长为． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，熟练掌握函数的对称性，利用点的对称性求函数的解析式，数形结合是解题的关键． 题型6：反比例函数的实际应用 15．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．    【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．    （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【解析】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得；    （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；    把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 16．某果农今年试种了一种新品种的水果，5月份开始上市．根据其它相似产品的销售经验，若设该水果上市第t天的销售单价为（元/千克），则与之间满足如下关系： t 1 2 3 4 5 6 … P（元/千克） 120 60 40 30 24 20 … 而该水果每天的销售量（千克）与t之间满足的函数关系如下图所示：    (1)猜想销售单价P与t之间满足我们学过的哪种函数关系？并直接写出销售单价P与t之间的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； (2)求每天的销售量s（千克）与t之间的函数关系式，并求上市第几天销售量最大，最大销售量是多少千克？ (3)当每天的销售收入低于600元时，该水果将失去生产销售的价值．该水果最只能上市销售几天？最低销售单价是多少元？（销售收入＝销售单价P×销售量S） (4)当每天的销售量不低于200千克时，这种水果的最低售价是多少元？ 【答案】(1)反比例函数；； (2)，当上市15天时，销售量最大，最大销售量是225千克 (3)该水果最多只能上市销售25天，最低销售单价是4.8元 (4)6元 【分析】（1）根据可得销售单价P与t满足反比例函数，再变形即可得出解析式． （2）设，代入，计算即可求出解析式，再配方后求出最大值即可； （3）根据销售收入＝销售单价P×销售量S列出函数解析式，再根据每天的销售收入低于600元列出不等式即可解题． （4）根据“每天的销售量不低于200千克”求出的范围，再根据求出的最小值即可． 【解析】（1）P与t满足反比例函数关系．关系式为 （2）设， 根据题意得，解得， ∴． ∴当时，． ∴S与t的函数关系式为，当上市15天时，销售量最大，最大销售量是225千克． （3）根据题意得， 即，∴． ∵P随t的增大而减小，∴（元）． ∴该水果最多只能上市销售25天，最低销售单价是4.8元． （4）当时，即． 解方程得，， ∴当时，． ∵P随t的增大而减小， ∴当，（元）． ∴水果的最低售价是6元． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，根据题意列出对应的函数或不等式是解题关键． 17．为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法，列表： x … 1 2 3 4 5 … y … 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示： (1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； (2)已知点在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若，则_______；若，则_____；（填“＞”，“＝”，“＜”）． (3)某农户积极响应厕所改造工程，要建造一个图2所示的长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为1米．已知下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元． ①请写出y关于x的函数关系式； ②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？ 【答案】(1)作图见详解 (2)>；< (3)①y与x的函数关系式为： ②水池底面一边的长x应控制在≤x≤2． 【分析】(1)用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可； (2)利用图象法解决问题即可； (3)①总造价=上盖的造价+底面的造价+侧面的造价，构建函数关系式即可； ②转化为一元二次不等式，结合第(1)小题的图象法，解决问题即可． 【解析】（1）如图，作出函数的图像； （2）因为点(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，根 据函数图象和表格容易得到： 若0<x1<x2≤1，则y1> y2 若1<x1 <x2，则y1 < y2 故答案为：>，< （3）①底面面积为1平方米，一边长为x米， ∴与之相邻的另一边长为米， ∴水池侧面面积的和为：平方米； ∵下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米； ∴y=1+1.5+ 即：y与x的函数关系式为： ②∵该农户预算不超过5千元，即y≤5 ∴ 根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时， ≤x≤2， 因此，该农户预算不超过5千元，则水池底面一边的长x应控制在≤x≤2． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用函数图像解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 反比例函数（压轴专练）（六大题型） 题型1：存在性问题 1．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且． (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)点、是轴上的动点(在上方)且满足，连接，，求的最小值； (3)点是双曲线上一个动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是第一象限内一点，连接，，使轴，轴，连接，．若点在轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点的坐标； (3)在直线上有一动点M，过M点做y轴的平行线交反比例函数于点N，当以M、N、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标； (4)在平面内是否存在两点H、Q，使得四边形是矩形，且该矩形面积为15？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，一条直线与反比例函数的图象交于、两点，与x轴交于D点，轴，垂足为C． (1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标； (2)如图乙，若点E在线段上运动，连接，作，交于F点． ①试说明； ②当为等腰三角形时，直接写出F点坐标． 4．如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点（点在点左边），过两点作直线，与双曲线的另一交点为，过作直线的平行线交双曲线于点． (1)则点坐标为 ，点坐标为 ，并求直线的解析式； (2)如图2，点在轴负半轴上，连接，交直线于点，连接，且，将线段在轴上移动，得到线段（如图3），请求出的最大值； (3)如图4，点在轴上，在平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 题型2：动点问题 5．已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，求的最小值和此时M点的坐标； (3)在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 6．如图1，已知双曲线经过的、两点，且点，，．    (1)求双曲线和直线对应的函数关系式； (2)如图2，点在双曲线上，点Q在y轴上，若以点、、、为顶点的四边是平行四边形，请直接写出满足要求的所有点的坐标； (3)如图3，以线段为对角线作正方形，点是边（不含点、）上一个动点，点是的中点，，交于点．当在上运动时，的度数是否会变化？若会的话，请给出你的证明过程．若不是的话，只要给出结论． 7．已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ (3)是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴，交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为时，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 题型3：旋转问题 8．如图①，一次函数的图像交反比例函数图像于点，，交轴于点，点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图②，点为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图像于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图③，将一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，，求点的坐标． 9．已知反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象在同一坐标系中． (1)如图1，当反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点时，求n的值； (2)如图2，当直线经过点A时，它与反比例函数的另一个交点记为B，在y轴上找一点M，使的周长最小，求出M的坐标及周长的最小值； (3)如图3，点P是反比例函数图象上A点左侧一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转，点P的对应点Q恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标． 题型4：新定义题 10．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为含边界， 当时，区域的整点个数为______ ； 当区域的整点个数为时，点横坐标满足，直接写出纵坐标的取值范围：______ ； 直线过一个定点，若点为此定点， 问题：______ ，______ ； 问题：这条直线将分成两部分，直线上方不包含直线的区域记为，直线下方不包含直线的区域记为，当1的整点个数之差不超过时，求的取值范围． 11．如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． 备用图 (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点的坐标； (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做"美丽四边形"．在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型5：情景探究题 12．【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第________象限内的公共点坐标． （2）画出函数图象 ①画函数的图象； ②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移________个单位长度得到． （3）研究函数图象 平移直线，观察两函数的图象； ①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长的值为________； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为的矩形的周长的取值范围为________． 13．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： (2)探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． (3)运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 14．在图形的变换中，对称是一种常见的全等变换，我们需要掌握如何画对称点以及对称图形，并能求出一些对称点的坐标以便帮助我们解决相关问题。 【初步感知】 （1）图①中点关于轴的对称点的坐标是______； 图②中点关于直线的对称点的坐标是______． 【理解运用】 （2）如图③所示，直线，直线，请画出直线关于直线的对称直线并求出该直线的关系式； 【拓展提升】 （3）①已知函数关于直线的对称图象为，直线与相交于点、点，点是直线下方图象上一个动点，请求出面积的最大值： ②若将第①问中的改成，已知点，点，点是函数图象上的一点，当变化时，点关于直线的对称点也在不断变的运动路径和直线围城的区域记为，请画出点到点的最短路径并求出轨迹长． （说明：路径只能在直线右上方画，且不能穿过区域） 题型6：反比例函数的实际应用 15．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．    【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．    （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 16．某果农今年试种了一种新品种的水果，5月份开始上市．根据其它相似产品的销售经验，若设该水果上市第t天的销售单价为（元/千克），则与之间满足如下关系： t 1 2 3 4 5 6 … P（元/千克） 120 60 40 30 24 20 … 而该水果每天的销售量（千克）与t之间满足的函数关系如下图所示：    (1)猜想销售单价P与t之间满足我们学过的哪种函数关系？并直接写出销售单价P与t之间的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； (2)求每天的销售量s（千克）与t之间的函数关系式，并求上市第几天销售量最大，最大销售量是多少千克？ (3)当每天的销售收入低于600元时，该水果将失去生产销售的价值．该水果最只能上市销售几天？最低销售单价是多少元？（销售收入＝销售单价P×销售量S） (4)当每天的销售量不低于200千克时，这种水果的最低售价是多少元？ 17．为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法，列表： x … 1 2 3 4 5 … y … 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示： (1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； (2)已知点在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若，则_______；若，则_____；（填“＞”，“＝”，“＜”）． (3)某农户积极响应厕所改造工程，要建造一个图2所示的长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为1米．已知下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元． ①请写出y关于x的函数关系式； ②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$