精品解析：山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题

山东名校考试联盟 2024年10月高三年级阶段性检测 数学试题 本试卷共4面，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程与不等式求得集合，进而可求. 【详解】由，可得或，又，所以，所以； 由，可得，解得，所以， 所以. 故选：D. 2. 幂函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域及奇偶性判断图象即可. 【详解】幂函数的定义域为，故D选项错误； 因为,所以为偶函数，故A,C选项错误； 故选：B. 3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出等式，化简后即可求解. 【详解】由题意知是，， 代入公式，可得， 则，两边同时取对数得， 即，则，故C正确. 故选：C. 4. 如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为的正方形，已知该组合体的体积为，则其表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先利用棱锥体积公式求出正四棱锥的高，然后再求出其斜面上的高，即可求解. 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为， 长方体的体积为，则正四棱锥体积为， 所以正四棱锥的高为，所以正四棱锥斜面上的高， 所以正四棱锥的一个侧面积为， 所以组合体的表面积为，故B正确. 故选：B. 5. 若是一元二次方程的两个正实数根，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意及韦达定理可得，，从而得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由若是一元二次方程的两个正实数根， 所以，，则 所以 ， 当且仅当时取等号，故C正确. 故选：C. 6. 已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】分别设出为和的形式，由此求得，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列和等比数列的前项和分别为和， 当等比数列的公比时，，显然不合题意； 所以，等比数列为常数列，所以可设，，， 所以可得，故C正确. 故选：C. 7. 若是函数的极小值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，利用导数，分，，三种情况讨论可求实数的取值范围. 【详解】由， 可得， 若，当时，，当时，，故是的极大值点，不符合题意， 若时，令，可得，可得或， 若时，则，当时，，当时，， 故是的极大值点，不符合题意， 若时，则，由二次函数的图象可知， 要使是函数的极小值点， 需，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 8. 已知函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简得，由题意可得，求解即可. 【详解】 ， 因为，， 由函数在上有且仅有3个零点， 可得，解得，所以的取值范围是. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为数列的前项和，若，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，，解得；根据，可得当时，，从而得，即；根据B可求得；从而可求出. 【详解】A：当时，，解得，故A错误； B：因为，当时，， 将两式相减可得，即， 则，因，则， 数列为首项为，公比为的等比数列，故B正确； C：由B可得，所以，故C正确； D：，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用幂函数的定义结合过点，可求判断AC；进而可得函数的奇偶性判断B；解不等式可求解集判断D. 【详解】因为函数为幂函数，所以，解得， 当时，幂函数的图象不可能过点，故， 当，幂函数的图象过点， 则，解得，故A正确，C错误； 的定义域为，且，故为偶函数，故B正确； 函数在上单调递减， 由，可得， 所以，解得且，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若的图象关于直线对称，且，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 3为的一个周期 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的图象关于直线对称，则可得关于对称，可对A判断；由，从而可得关于对称，可对B判断；由关于对称，可得，故，从而得，即，可对C判断；由，两边求导得，可对D判断. 【详解】A：因为的图象关于直线对称，故将的图象向右平移2个单位后变为的图象， 此时关于对称，所以是偶函数，故A正确； B：因为是偶函数，所以关于对称且为常数，当时，， 又因为，，所以，所以关于对称，故B错误； C：因为关于对称，所以，所以， 所以①，故②，则①②两式相减得， 即，所以3是的一个周期，故C正确； D：因为，两边求导得，且的周期为3， 又因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：B中因为是偶函数，所以可得关于对称，从而可求出；D中可有，两边求导得，从而可知中连续项之和为零. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程是 _____. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出斜率，求出切点坐标，代入点斜式方程，即可得出答案. 【详解】因为，所以. 根据导数的几何意义可知，曲线在处的切线的斜率. 又， 所以，切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知且，函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，，方程有2个不相等的实数解，则当时，，此时方程只有1个实数解，对分类讨论，由的值域求实数的取值范围. 【详解】方程，即或， 当时，，由解得，由解得； 当时，，此时方程只有1个实数解， 若，则在上单调递减，， 此时和都有解，不合题意， 若，则在上单调递增，，则. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若，球的半径为，则三棱锥体积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为，球心为，由题意可得在同一直线上时，的面积最大，平面，三棱锥体积的最大值，求解即可. 【详解】设的中点为，球心为， 由题意可得，由题意可得， 当在同一直线上时，的面积最大，最大面积为， 设到平面的距离为，由题意可得到平面的距离也为， 当平面时，取最大值， 所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求在上的单调递增区间； （2）已知的内角的对边长分别是，若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式以及两角差的正弦公式逆用将函数化简，再根据正弦函数的单调性求出单调区间； （2）根据已知条件求出角，再结合余弦定理以及重要不等式可求得的最值，再根据三角形的面积公式求得面积的最值. 【小问1详解】 ， 令， 求得，又， 当时，， 所以在上的单调递增区间是； 【小问2详解】 由（1）可得，因为， 所以，化简得， 所以，因为，所以， 根据余弦定理，，， 所以，因为， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积， 则，面积的最大值为. 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 令，则， 令，则， 因为，所以， 所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解； （2）构造函数，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得，从而得证. 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【点睛】结论点睛：恒成立问题： （1）恒成立；恒成立． （2）恒成立；恒成立． （3）恒成立；恒成立； （4），，． 17. 已知函数． （1）若为奇函数，求的值； （2）当时，函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由为奇函数，可得，从而可求解； （2）当时，可得是单调增函数，从而可得即是函数的两个解，参数分离可得，利用换元法设，可得，且，再结合对勾函数性质从而可求解. 【小问1详解】 由，所以， 因为为定义域上的奇函数，所以， 即，化简得， 则，则得， 所以或. 【小问2详解】 当时，，所以是单调增函数， 由函数在上的值域为， 所以,， 即是函数的两个解，则得， 设，则，， 根据对勾函数性质可得在上单调递减，上单调递增， 其中在上的值域为，当时取最大值， 综上可得，所以的取值范围为. 18. 已知函数． （1）若在上单调递减，求的最大值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，则， 则， 所以曲线关于点对称，是中心对称图形. （3） 【解析】 【分析】（1）对求导得，令，再结合基本不等式从而可得，即可求解. （2）由，从而曲线关于点对称，即可求解. （3）分情况讨论求出，，然后再利用导数讨论，情况下，从而可求出的取值范围是. 【小问1详解】 由函数，所以， 令，因为若在上单调递减，则恒成立， 因为，当且仅当时取等号， 则，所以，即，得. 故的最大值为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 当时，则当时，，与矛盾，所以； 当，时，则当时，，与矛盾； 当，时，则当时，，与矛盾； 所以. 当，则当时，， 此时，矛盾； 当，则当时，， 此时，矛盾； 因此，所以， 当，由（1）可知在上单调递减，又， 所以当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减； 此时，符合题意； 当，则当时，， 此时，则，不合题意. 综上所述：的取值范围是. 【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 19. 若存在的一个排列，满足每两个相同的正整数之间恰有个正整数，则称数列为“有趣数列”，称这样的为“有趣数”．例如，数列为“有趣数列”，7为“有趣数”． （1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①；②． （2）请写出“有趣数列”的所有可能情形； （3）从中任取两个数和，记和均为“有趣数”的概率为，证明：． 【答案】（1）①不是；②是 （2）或 （3）证明：将“有趣数列”中数字第一次出现的项记作， 由题意可知数字第二次出现的项数为， 于是，则， 即，又因为为整数，故必有为整数， 当时，不可能为整数，不符合题意； 当时，为整数， 构造“有趣数列”为 ，符合题意； 当时，为整数，构造“有趣数列”为 ，符合题意； 这里是指将一直到的偶数按从大到小的顺序进行排列， 是指将一直到的奇数按从大到小的顺序进行排列， 故中的“有趣数列”为共个， 则所求概率为. 【解析】 【分析】（1）根据“有趣数列”定义逐项判断即可求解. （2）分当两个中间为，当两个中间为，当两个中间为，共3种情况从而可找到符合题意的“有趣数列”，即可求解. （3）先设“有趣数列”中数字第一次出现的项记作，从而可得，可求得，再分情况讨论当，，时符合“有趣数列”的情况，从而可得，即可求解. 【小问1详解】 ①中两个之间间隔数只有一个，故不是“有趣数列”， ②中两个之间间隔数有个，两个之间间隔数有个， 两个之间间隔数有个，故是“有趣数列”. 【小问2详解】 当两个中间为，不妨设右边两个中间可能为或， 则可能为或，不符合题意； 当两个中间为，两个中间可能为或， 则可能为或，符合题意； 当两个中间为，不妨设右边两个中间可能为或， 则可能为或，不符合题意； 综上所述：“有趣数列”可能为或. 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：本题主要是根据“有趣数列”定义，理解并应用，对于（3）中主要巧妙设出“有趣数列”中数字第一次出现的项记作项，由题意可知数字第二次出现的项为项，从而求出，从而可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东名校考试联盟 2024年10月高三年级阶段性检测 数学试题 本试卷共4面，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 幂函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 4. 如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为的正方形，已知该组合体的体积为，则其表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若是一元二次方程的两个正实数根，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 若是函数的极小值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为数列的前项和，若，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 10. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 不等式的解集为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若的图象关于直线对称，且，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 3为的一个周期 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程是 _____. 13. 已知且，函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是______． 14. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若，球的半径为，则三棱锥体积的最大值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求在上的单调递增区间； （2）已知的内角的对边长分别是，若，求面积的最大值. 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 17. 已知函数． （1）若为奇函数，求的值； （2）当时，函数在上的值域为，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）若在上单调递减，求的最大值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，求的取值范围． 19. 若存在的一个排列，满足每两个相同的正整数之间恰有个正整数，则称数列为“有趣数列”，称这样的为“有趣数”．例如，数列为“有趣数列”，7为“有趣数”． （1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①；②． （2）请写出“有趣数列”的所有可能情形； （3）从中任取两个数和，记和均为“有趣数”的概率为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $