（易错讲义）第三单元 倍数与因数（19个易错点+10个常考点+15个突破点）-2024-2025学年五年级上册数学小马虎错题本（北师大版）

小马虎错题本 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 数学核心素 养 会用数学眼光观察现实世界； 抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。数学眼光提供了观察、探究世界的新视野，能将实际情境抽象为数学问题，能体会数学知识的实际意义。 会用数学思维思考现实世界； 运算能力、推理意识或推理能力。数学为人们提供了理解、解释现实世界的思维途径，在逻辑推理中体会数学的严谨性。 会用数学语言表达现实世界。 数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。数学建模与数据分析可以作为工具广泛应用于其他学科，体现了数学具有应用的广泛性。 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年五年级上册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年五年级上册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年五年级上册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、单元讲义。常考易错点归纳，边学边练。 2、单元综合。单元整体综合，融会贯通。 3、专项训练。题型专项和知识点专项，吃透考点。 4、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年五年级上册数学小马虎错题本 第三单元 倍数与因数 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 十九大易错小知识点 3 十大常考易错点 5 易错点1：误认为倍数和因数是单独存在的。 5 易错点2：误认为求一个数的倍数,就是让这个数乘一个任意数。 5 易错点3：没有理解偶数的意义。 5 易错点4：误认为一个数小,它的倍数就小。 6 易错点5：受2，5的倍数的特征的影响，误以为3的倍数也看个位上的数。 6 易错点6：误认为一个数的因数一定 比它的倍数小。 6 易错点7：没有按一定的顺序找一个数的因数。 7 易错点8：误认为所有偶数都是合数。 7 易错点9：误认为1是质数。 7 易错点10：误认为所有奇数都是质数。 7 十五大易错突破点 8 突破点一因数和倍数的认识 8 突破点二找一个数的倍数及倍数的特征 9 突破点三根据倍数的特征解决问题 10 突破点四2、5的倍数的特征 11 突破点五奇数和偶数 12 突破点六运算性质（奇数和偶数） 12 突破点七3的倍数特征 13 突破点八2、5、3的倍数特征 14 突破点九9的倍数特征 15 突破点十找一个数的因数及因数的特征 16 突破点十一根据因数的特征解决问题 17 突破点十二倍数和因数的综合应用 18 突破点十三质数和合数的认识 18 突破点十四质因数的认识 19 突破点十五分解质因数 20 易错知识点 十九大易错小知识点 1、倍数与因数的意义。 在乘法算式ａ×ｂ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ 都是不为0 的自然数）中，ｃ是ａ和ｂ的倍数，ａ和ｂ是ｃ的因数。倍数和因数是相互依存的，不能单独说一个数是倍数或因数。 2、找一个数的倍数的方法。 用这个数分别乘1，2，3，4，…所得的积就是这个数的倍数，一个数的倍数的个数是无限的。 判断两个数成倍数关系的方法: （1）列乘法算式，用积判断。 （2）列除法算式，如果商是整数且没有余数就是倍数关系，反之不是。 3、倍数与因数的关系。 倍数与因数是乘法算式中积和乘数的关系，是相互依存的，没有倍数就不存在因数，没有因数也不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。 4、找一个数的因数的方法。 方法一：想这个数可以写出哪些乘法算式，算式中的因数就是这个数的因数。 方法二：想一个数（0除外）除以几得非零自然数（无余数），除数和商就是这个数的因数。 一个数因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1。 5、因数与倍数是相互依存的，不能单独说某一个数是倍数或因数。 6、只在自然数（0除外）范围内研究倍数与因数，所以小数之间不存在倍数与因数的关系。 7、不是所有能除尽的算式都存在倍数与因数关系。 8、找一个数的因数时不要忘记了１和它本身这两个因数。 9、0是2的倍数，0也是偶数，自然数中最小的偶数是0，没有最大的偶数。 10、1—9每个数的倍数都是有规律的，可以牢记这个规律，也可以用麻烦的办法去求。 11、2的倍数一定是偶数，各个数位上数字之和是3的倍数的数一定是3的倍数。 12、同时是2，3的倍数的特征，个位上的数必须是0，2，4，6，8且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是3和5的倍数的特征，个位上必须是0或5，且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数的特征，各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0。 13、奇数与偶数的意义。 像2，4，6，8，…这样的数，是2的倍数，叫作偶数。 像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，叫作奇数。 14、找一个数的全部因数，看哪两个数相乘等于这个数，这两个数就是这个数的因数。 15、写出一个数的全部因数要按顺序从小到大写出，做到不重复，不遗漏。 16、因数在实际生活中应用很多，如装修房子时粘地板砖，需要根据地板砖的大小计算粘几行、几列；学生们站队的时候要计算站几行，每行几人等。 17、质数与合数的意义。 一个数只有１和它本身两个因数，这个数叫作质数，最小的质数是2。 一个数除了１和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数，最小的合数是4。 18、判断一个数是质数还是合数的方法。 看这个数的因数的个数，只有2个因数的数是质数，有3个或3个以上因数的数是合数。 19、100以内的质数。 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个。 易错点剖析 十大常考易错点 易错点1：误认为倍数和因数是单独存在的。 判断：5是因数,15是倍数。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在没有正确理解因数和倍数的含义。倍数和因数是互相依存的关系，不能单独存在,必须说明谁是谁的因数,谁是谁的倍数。5×3=15,可以说5是15的因数,15是5的倍数,单独的5和15不能说是因数或倍数,而且只在自然数(0除外)范围内研究倍数与因数,小数之间不存在倍数和因数的关系。 【正确解答】错误 易错点2：误认为求一个数的倍数,就是让这个数乘一个任意数。 判断：因为8×1.5=12,所以12是8的倍数。 【错误答案】正确 【错解分析】1.5不是自然数而是一个小数,没有非0自然数与8相乘等于12,所以12不是8的倍数。 【正确解答】错误 易错点3：没有理解偶数的意义。 判断：3个连续的自然数,一定有两个偶数。 【错误答案】正确 【错解分析】=错误解答错在没有理解偶数和奇数的含义。把自然数按是不是2的倍数分类,可以分为奇数和偶数。在连续的自然数中，总是偶数和奇数交替出现，如3，4，5，6就是奇数，偶数，奇数,偶数。可见连续的3个自然数中可能有两个偶数,也可能有两个奇数。应该说3个连续的自然数,一定有一个偶数,一个奇数。 【正确解答】错误 易错点4：误认为一个数小,它的倍数就小。 判断：2的倍数一定比5的倍数小。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在误认为2比5小,就以为2的倍数一定比5的倍数小，一个数的倍数是无限的,没有最大的倍数,所以无法比较。 【正确解答】错误 易错点5：受2，5的倍数的特征的影响，误以为3的倍数也看个位上的数。 判断：3，6，9 是3的倍数,所以个位上是3，6，9的数都是3的倍数。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在没有正确掌握3的倍数的特征。由于在概括2和5的倍数的特征时,只观察个位,所以在概括3的倍数时,也会很自然地寻找个位上的数的特征。但通过计算发现个位上是3，6，9的数并不都是3的倍数。如13，16，26，29等。根据3的倍数的特征：一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数,这个数是3的倍数。 【正确解答】错误 易错点6：误认为一个数的因数一定 比它的倍数小。 判断：一个数的因数一定比它的倍数小。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在没有正确掌握因数和倍数的意义。一个数的因数最大是它本身，最小是1;一个数的倍数最小是它本身，没有最大的倍数，所以一个数的因数小于或等于它的倍数。 【正确解答】错误 易错点7：没有按一定的顺序找一个数的因数。 60 的全部因数有（ ） 【错误答案】1，60，6，10，30，2，4，5 【错解分析】在找一个数的因数时，很容易出现遗漏的现象，一个原因是没有想到这个数会是它的因数，另一个原因是口算时算错了，还有一个原因是没有按顺序想，出现了遗漏的现象。 【正确解答】1，60，2，30，3，20，4，15，5，12，6，10 易错点8：误认为所有偶数都是合数。 判断：偶数都是合数。 【错误答案】正确 【错解分析】解决此类问题一定要明确概念,只有1和它本身两个因数的数是质数,除了1和它本身外还有别的因数的数是合数。同时还要考虑到特殊情况：1既不是质数也不是合数,最小的质数是2,最小的合数是4。此题应该说除了2以外的偶数都是合数。 【正确解答】错误 易错点9：误认为1是质数。 两个质数的和是18,这两个质数是( )和( )。 【错误答案】1,17 【错解分析】错误解答错在忘记了1只有1个因数,它既不是质数,也不是合数。解决这个问题可以先写出18以内的所有质数,再看哪两个质数的和是18。 【正确解答】5,13或1,17 易错点10：误认为所有奇数都是质数。 判断:所有的奇数都是质数。 【错误答案】正确 【错解分析】质数中除了2以外都是奇数,但不能说所有的奇数都是质数，因为奇数中还有很多数不是质数,如1，91......区分质数和合数要看这个数的因数个数。 【正确解答】错误 易错题突破 十五大易错突破点 突破点一因数和倍数的认识 1． 在上面的算式中，20是（    ）和（    ）的倍数，（    ）和（    ）是20的因数。 2．如图，五个小朋友围成一圈，从“3”开始按顺时针方向依次报数。若笑笑第一个报数，则 最先报到“5”的倍数。 3．在中，（ ）和（ ）是（ ）的因数；自然数a、b、c（都不为0），在中，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。 突破点二找一个数的倍数及倍数的特征 4．一个数比20小，它是2的倍数，又是7的倍数，这个数是（ ）。 5．找出27的全部因数和100以内7的全部倍数。 27的全部因数： 。 100以内7的全部倍数： 。 6．为了培养学生的节约意识，锻炼社会实践能力，学校举办了“跳蚤市场”活动。同学们把家里闲置的旧书和旧玩具等用品带来售卖。 突破点三根据倍数的特征解决问题 7．爱心人士带香蕉到养老院看望老人。香蕉数量在70根到80根之间，分给13位老人，每人分得同样多，一共有（ ）根香蕉。 8．耳顺：六十岁，古稀：七十岁。奶奶已过耳顺之年，未及古稀之年，且年龄是8的倍数，那么奶奶今年是（ ）岁。 9．一辆公交车早晨6：00发出第一班，以后每隔15分钟发一班。第8班车的发车时间是（ ）。 突破点四2、5的倍数的特征 10．40的因数有（ ），这些因数中，是2的倍数的有（ ）个，是5的倍数的有（ ）个，奇数有（ ）个。 11．在12、15、18、29、45、30、17、72、58、43、75、100中，2的倍数有（ ），5的倍数有（ ），既是2的倍数又是5的倍数有（ ）。 12．从0、2、5、9这4个数中，任意选出三个数字组成三位数，组成的三位数中，既是2的倍数，又是5的倍数的数中，最大的是（ ）。 突破点五奇数和偶数 13．一个偶数，也是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18，这个数字是（ ）。 14．甲、乙、丙三人分别在朋友圈集赞。一段时间以后，三人获得的点赞数为连续的偶数，他们获得的点赞数的和是150，则三人中最少的点赞数是（ ）。 15．过年了，奶奶给笑笑和弟弟每人准备了一个红包，一共是166元。如果弟弟拿到的红包钱数是偶数，那么笑笑拿到的红包钱数是（ ）（选填“偶数”或“奇数”）。你的理由是（ ）。 突破点六运算性质（奇数和偶数） 16．在括号里填上“奇”或“偶”。 奇数－奇数＝（ ）数    奇数＋偶数＝（ ）数 奇数×奇数＝（ ）数    奇数×偶数＝（ ）数 17．相邻的两个自然数相加，和一定是（ ）数，相邻的两个自然数相乘，积一定是（ ）数。（填“奇数或偶数”）举例验证：（ ）。 18．若一个正方形的边长是一个奇数，则这个正方形的周长是（ ）数。 突破点七3的倍数特征 19．247至少减去（ ）才是3的倍数，至少要加上（ ）才是5的倍数。 20．从下面的四张数字卡片中选出两张组成一个两位数，使这个两位数同时是2，3和5的倍数。这个数是（ ）。 21．爸爸买了一块手表送给茜茜，送之前想考考她。爸爸说：“手表的价格是一个以元为单位的三位数，这个三位数同时是3和5的倍数。”这块手表的价格至少是（ ）元。 突破点八2、5、3的倍数特征 22．既是3的倍数，又是2和5的倍数的最小两位数是（ ），最大两位数是（ ）。 23．用下面卡片上的数字按要求组成一个四位数。 0     2     3     7 最大的奇数：（ ）；     最小的偶数：（ ）； 同时是2，3倍数的最大的四位数：（ ）； 同时是5，3倍数的最小的四位数：（ ）； 同时是2，3，5倍数的最大的四位数：（ ）。 24．阅读下面的资料并按要求填空。 去年12月我国成功发射北斗系统第57、58颗导航卫星，标志着中国北斗三号全球卫星导航系统的新里程碑，国产北斗基本产品已出口137个国家和地区，全国已有超过790万辆道路营运车辆应用北斗卫星导航系统，2589处水库应用北斗短报文通信服务水文监测，650处变形滑坡体设置了北斗监测站点，搭载国产北斗高精度定位芯片的共享单车覆盖全国450余座城市，基于北斗高精度的车道级导航功能已在8个城市成功试点，并逐步向全国普及。 在上面划横线的数据中，偶数有（ ）个，奇数有（ ）个，质数是（ ），同时是2、3、5的倍数的是（ ）。 突破点九9的倍数特征 25．在□内填入合适的数． （1）24□，□内填（ ）既是3的倍数又是5的倍数。 （2）5□0，□内填（ ）既是2的倍数又是3的倍数。 （3）□69，□内填（ ）既是3的倍数又是9的倍数。 26．四个连续自然数，它们从小到大依次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。要使这四个连续自然数的和最小，这四个连续的自然数分别是（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 27．一个三位数47□，要使它是9的倍数，□里应填（ ）；一个三位数52□，要使它是4的倍数，□里可以填（ ）。 突破点十找一个数的因数及因数的特征 28．一个数既是42的因数，又是6的倍数，这个数最大是（ ），最小是（ ）。 29．大数学家毕达哥拉斯研究发现：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如，6有4个因数1、2、3、6，除去它本身6外，其余三个数相加，1＋2＋3＝6， 所以6就是“完全数”。按照这样推理，28 “完全数”。（填“是”或“不是”）。 30．写出54的所有因数，笑笑写了7个：1，54，2，3，18，6，9，按照笑笑的思考方法，她漏写了排在（ ）后面的（ ）。 突破点十一根据因数的特征解决问题 31．五年级有45名同学参加队列表演，这个队伍可以是（ ）行（ ）列，也可以是（ ）行（ ）列，最多可以排成（ ）个不同的队伍。 32．小明用18个边长1厘米的小正方形拼成长方形，可以把18个放一排，拼成长方形的长（ ）厘米，宽（ ）厘米；还可以拼成长（ ）厘米，宽（ ）厘米；还可以拼成长（ ）厘米，宽（ ）厘米的长方形，小明发现这些数都是18的（ ）。 33．一盒棋子共有36粒，如果不一次拿出，也不一粒一粒地拿出，但每次拿出的粒数要相同，最后一次正好拿完，共有（ ）种拿法。 突破点十二倍数和因数的综合应用 34．一个数既是18的倍数，也是18的因数，这个数是（ ），这个数的因数有（ ）个。 35．一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是40的因数，又是5的倍数。这个旅行团一共有（ ）人。    36．猜电话号码。 0871－ABCDEFG 提示：A－8的最小倍数；B－最小的自然数；C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数；E－它的所有因数是1、2、3、6；F－它的所有因数是1、3；G－它只有1个因数。这个电话号码是0871－（ ）。 突破点十三质数和合数的认识 37．猜幸运号码。 （1）我们俩的幸运号码之和是20，我的比较小。我是 。我们俩的幸运号码都是质数，积是91。我是 。 （2）我的幸运号码是50以内最大的质数。我是 。 38．某个成年人的心脏约为克。这个三位数既是2的倍数，又是5的倍数；十位上的数是5的倍数，百位上的数是最小的质数。这个成年人的心脏约为（ ）克。 39．五（1）班的踢毽子比赛中，小红踢了37个，小芳踢了40个，小丽踢了52个，小彤踢了73个，苗苗踢了29个。在这些数中，质数有 ，合数有 。 突破点十四质因数的认识 40．42＝6×7，6（ ）42的质因数，7（ ）42的质因数。（填“是”或“不是”） 41．最小的质数是（ ），一个数的最大因数是51，这个数是（ ），把这个数分解质因数是（ ）。 42．选择合适的词语填在下面的括号中，使表达准确。（每个词语只能用一次） 质因数、奇数、偶数、质数、合数。 这个学期，我们又进一步学习了有关非0自然数的知识。比如：4个连续自然数的和是（ ），任意两个奇数相乘的积一定是（ ）；2和3都是18的（ ）；最小的（ ）与最小的两位数的积是20；几个质数相乘的积一定是（ ）。 突破点十五分解质因数 43．三个小朋友的年龄一个比一个大1岁，他们三个人的年龄相乘的积是1320，其中最小的一个是（ ）岁。 44．两个正整数A和B满足：①A（A＋1）是B（B＋1）的倍数；②A和（A＋1）都不是B或者（B＋1）的倍数；那么A＋B的最小值是（ ）。 45．把一个合数用质因数连乘的形式表示出来，叫作分解质因数，如：12＝2×2×3。请把下列各数分解质因数。 24＝ 60＝ 210＝ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$小马虎错题本 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 数学核心素 养 会用数学眼光观察现实世界； 抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。数学眼光提供了观察、探究世界的新视野，能将实际情境抽象为数学问题，能体会数学知识的实际意义。 会用数学思维思考现实世界； 运算能力、推理意识或推理能力。数学为人们提供了理解、解释现实世界的思维途径，在逻辑推理中体会数学的严谨性。 会用数学语言表达现实世界。 数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。数学建模与数据分析可以作为工具广泛应用于其他学科，体现了数学具有应用的广泛性。 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年五年级上册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年五年级上册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年五年级上册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、单元讲义。常考易错点归纳，边学边练。 2、单元综合。单元整体综合，融会贯通。 3、专项训练。题型专项和知识点专项，吃透考点。 4、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年五年级上册数学小马虎错题本 第三单元 倍数与因数 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 十九大易错小知识点 3 十大常考易错点 4 易错点1：误认为倍数和因数是单独存在的。 4 易错点2：误认为求一个数的倍数,就是让这个数乘一个任意数。 5 易错点3：没有理解偶数的意义。 5 易错点4：误认为一个数小,它的倍数就小。 5 易错点5：受2，5的倍数的特征的影响，误以为3的倍数也看个位上的数。 6 易错点6：误认为一个数的因数一定 比它的倍数小。 6 易错点7：没有按一定的顺序找一个数的因数。 6 易错点8：误认为所有偶数都是合数。 7 易错点9：误认为1是质数。 7 易错点10：误认为所有奇数都是质数。 7 十五大易错突破点 8 突破点一因数和倍数的认识 8 突破点二找一个数的倍数及倍数的特征 9 突破点三根据倍数的特征解决问题 10 突破点四2、5的倍数的特征 11 突破点五奇数和偶数 12 突破点六运算性质（奇数和偶数） 13 突破点七3的倍数特征 14 突破点八2、5、3的倍数特征 15 突破点九9的倍数特征 17 突破点十找一个数的因数及因数的特征 18 突破点十一根据因数的特征解决问题 19 突破点十二倍数和因数的综合应用 21 突破点十三质数和合数的认识 22 突破点十四质因数的认识 24 突破点十五分解质因数 25 易错知识点 十九大易错小知识点 1、倍数与因数的意义。 在乘法算式ａ×ｂ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ 都是不为0 的自然数）中，ｃ是ａ和ｂ的倍数，ａ和ｂ是ｃ的因数。倍数和因数是相互依存的，不能单独说一个数是倍数或因数。 2、找一个数的倍数的方法。 用这个数分别乘1，2，3，4，…所得的积就是这个数的倍数，一个数的倍数的个数是无限的。 判断两个数成倍数关系的方法: （1）列乘法算式，用积判断。 （2）列除法算式，如果商是整数且没有余数就是倍数关系，反之不是。 3、倍数与因数的关系。 倍数与因数是乘法算式中积和乘数的关系，是相互依存的，没有倍数就不存在因数，没有因数也不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。 4、找一个数的因数的方法。 方法一：想这个数可以写出哪些乘法算式，算式中的因数就是这个数的因数。 方法二：想一个数（0除外）除以几得非零自然数（无余数），除数和商就是这个数的因数。 一个数因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1。 5、因数与倍数是相互依存的，不能单独说某一个数是倍数或因数。 6、只在自然数（0除外）范围内研究倍数与因数，所以小数之间不存在倍数与因数的关系。 7、不是所有能除尽的算式都存在倍数与因数关系。 8、找一个数的因数时不要忘记了１和它本身这两个因数。 9、0是2的倍数，0也是偶数，自然数中最小的偶数是0，没有最大的偶数。 10、1—9每个数的倍数都是有规律的，可以牢记这个规律，也可以用麻烦的办法去求。 11、2的倍数一定是偶数，各个数位上数字之和是3的倍数的数一定是3的倍数。 12、同时是2，3的倍数的特征，个位上的数必须是0，2，4，6，8且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是3和5的倍数的特征，个位上必须是0或5，且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数的特征，各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0。 13、奇数与偶数的意义。 像2，4，6，8，…这样的数，是2的倍数，叫作偶数。 像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，叫作奇数。 14、找一个数的全部因数，看哪两个数相乘等于这个数，这两个数就是这个数的因数。 15、写出一个数的全部因数要按顺序从小到大写出，做到不重复，不遗漏。 16、因数在实际生活中应用很多，如装修房子时粘地板砖，需要根据地板砖的大小计算粘几行、几列；学生们站队的时候要计算站几行，每行几人等。 17、质数与合数的意义。 一个数只有１和它本身两个因数，这个数叫作质数，最小的质数是2。 一个数除了１和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数，最小的合数是4。 18、判断一个数是质数还是合数的方法。 看这个数的因数的个数，只有2个因数的数是质数，有3个或3个以上因数的数是合数。 19、100以内的质数。 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个。 易错点剖析 十大常考易错点 易错点1：误认为倍数和因数是单独存在的。 判断：5是因数,15是倍数。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在没有正确理解因数和倍数的含义。倍数和因数是互相依存的关系，不能单独存在,必须说明谁是谁的因数,谁是谁的倍数。5×3=15,可以说5是15的因数,15是5的倍数,单独的5和15不能说是因数或倍数,而且只在自然数(0除外)范围内研究倍数与因数,小数之间不存在倍数和因数的关系。 【正确解答】错误 易错点2：误认为求一个数的倍数,就是让这个数乘一个任意数。 判断：因为8×1.5=12,所以12是8的倍数。 【错误答案】正确 【错解分析】1.5不是自然数而是一个小数,没有非0自然数与8相乘等于12,所以12不是8的倍数。 【正确解答】错误 易错点3：没有理解偶数的意义。 判断：3个连续的自然数,一定有两个偶数。 【错误答案】正确 【错解分析】=错误解答错在没有理解偶数和奇数的含义。把自然数按是不是2的倍数分类,可以分为奇数和偶数。在连续的自然数中，总是偶数和奇数交替出现，如3，4，5，6就是奇数，偶数，奇数,偶数。可见连续的3个自然数中可能有两个偶数,也可能有两个奇数。应该说3个连续的自然数,一定有一个偶数,一个奇数。 【正确解答】错误 易错点4：误认为一个数小,它的倍数就小。 判断：2的倍数一定比5的倍数小。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在误认为2比5小,就以为2的倍数一定比5的倍数小，一个数的倍数是无限的,没有最大的倍数,所以无法比较。 【正确解答】错误 易错点5：受2，5的倍数的特征的影响，误以为3的倍数也看个位上的数。 判断：3，6，9 是3的倍数,所以个位上是3，6，9的数都是3的倍数。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在没有正确掌握3的倍数的特征。由于在概括2和5的倍数的特征时,只观察个位,所以在概括3的倍数时,也会很自然地寻找个位上的数的特征。但通过计算发现个位上是3，6，9的数并不都是3的倍数。如13，16，26，29等。根据3的倍数的特征：一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数,这个数是3的倍数。 【正确解答】错误 易错点6：误认为一个数的因数一定 比它的倍数小。 判断：一个数的因数一定比它的倍数小。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在没有正确掌握因数和倍数的意义。一个数的因数最大是它本身，最小是1;一个数的倍数最小是它本身，没有最大的倍数，所以一个数的因数小于或等于它的倍数。 【正确解答】错误 易错点7：没有按一定的顺序找一个数的因数。 60 的全部因数有（ ） 【错误答案】1，60，6，10，30，2，4，5 【错解分析】在找一个数的因数时，很容易出现遗漏的现象，一个原因是没有想到这个数会是它的因数，另一个原因是口算时算错了，还有一个原因是没有按顺序想，出现了遗漏的现象。 【正确解答】1，60，2，30，3，20，4，15，5，12，6，10 易错点8：误认为所有偶数都是合数。 判断：偶数都是合数。 【错误答案】正确 【错解分析】解决此类问题一定要明确概念,只有1和它本身两个因数的数是质数,除了1和它本身外还有别的因数的数是合数。同时还要考虑到特殊情况：1既不是质数也不是合数,最小的质数是2,最小的合数是4。此题应该说除了2以外的偶数都是合数。 【正确解答】错误 易错点9：误认为1是质数。 两个质数的和是18,这两个质数是( )和( )。 【错误答案】1,17 【错解分析】错误解答错在忘记了1只有1个因数,它既不是质数,也不是合数。解决这个问题可以先写出18以内的所有质数,再看哪两个质数的和是18。 【正确解答】5,13或1,17 易错点10：误认为所有奇数都是质数。 判断:所有的奇数都是质数。 【错误答案】正确 【错解分析】质数中除了2以外都是奇数,但不能说所有的奇数都是质数，因为奇数中还有很多数不是质数,如1，91......区分质数和合数要看这个数的因数个数。 【正确解答】错误 易错题突破 十五大易错突破点 突破点一因数和倍数的认识 1． 在上面的算式中，20是（    ）和（    ）的倍数，（    ）和（    ）是20的因数。 【分析】观察图片，可以看到每行有5只小老鼠，一共有4行。那么小老鼠的总数就是每行的数量乘行数即可；在非0自然数中，a×b＝c，a和b是c的因数，c是a和b的倍数，据此解答。 【解答】老鼠的只数：4×5＝20（只） 在上面的算式中，20是4和5的倍数，4和5是20的因数。 （答案不唯一） 2．如图，五个小朋友围成一圈，从“3”开始按顺时针方向依次报数。若笑笑第一个报数，则 最先报到“5”的倍数。 【分析】一共有5个小朋友，根据报数方法，从笑笑第一个报数可知，晴晴最先报到5，由于一个数的最小倍数是它本身，所以晴晴最先报到“5”的倍数。 【解答】根据分析可知，如图，五个小朋友围成一圈，从“3”开始按顺时针方向依次报数。若笑笑第一个报数，则晴晴最先报到“5”的倍数。 3．在中，（ ）和（ ）是（ ）的因数；自然数a、b、c（都不为0），在中，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。 【分析】根据因数和倍数的意义：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。据此解答即可。 【解答】由可得，，所以13和2是26的因数； 自然数a、b、c（都不为0），在中，b是a和c的倍数。 【点评】此题主要考查因数和倍数的认识，充分理解因数和倍数的意义是解题关键。 突破点二找一个数的倍数及倍数的特征 4．一个数比20小，它是2的倍数，又是7的倍数，这个数是（ ）。 【分析】先分别找出2的倍数和7的倍数，从中找出满足是2的倍数又是7的倍数的数，且这个数要比20小，据此解答。 【解答】2的倍数有：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，… 7的倍数有：7，14，21，… 比20小，且是2的倍数，又是7的倍数的数是14。 因此一个数比20小，它是2的倍数，又是7的倍数，这个数是14。 5．找出27的全部因数和100以内7的全部倍数。 27的全部因数： 。 100以内7的全部倍数： 。 【分析】找27的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找； 找100以内7的倍数，给这个数乘自然数：1、2、3、4…，所得到的数都是这个数的倍数，据此解答即可。 【解答】27＝1×27＝3×9 所以27的全部因数：1、3、9、27； 100以内所有的7的倍数：7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98。 【点评】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握求一个数的因数和倍数的方法。 6．为了培养学生的节约意识，锻炼社会实践能力，学校举办了“跳蚤市场”活动。同学们把家里闲置的旧书和旧玩具等用品带来售卖。 【分析】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出50以内14的倍数，50以内最大的倍数就是女孩收入的钱数。 【解答】14×1＝14（元） 14×2＝28（元） 14×3＝42（元） 14×4＝56（元） 50以内14的倍数有：14、28、42 女孩收入的钱数是42元。 突破点三根据倍数的特征解决问题 7．爱心人士带香蕉到养老院看望老人。香蕉数量在70根到80根之间，分给13位老人，每人分得同样多，一共有（ ）根香蕉。 【分析】根据题意，每人分得同样多，说明香蕉的总数是13的倍数，先求出70到80之间13的倍数，即可求出一共有多少根香蕉。 【解答】13×5＝65（根） 13×6＝78（根） 13×7＝91（根） 65＜70＜78＜80＜91 爱心人士带香蕉到养老院看望老人。香蕉数量在70根到80根之间，分给13位老人，每人分得同样多，一共有78根香蕉。 8．耳顺：六十岁，古稀：七十岁。奶奶已过耳顺之年，未及古稀之年，且年龄是8的倍数，那么奶奶今年是（ ）岁。 【分析】由题意可知：奶奶的年龄在60~70之间，且是8的倍数。列乘法算式找一个数的倍数，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。据此解答即可。 【解答】8×7＝56，8×8＝64，8×9＝72，其中60＜64＜70，所以奶奶今年64岁。 【点评】此题考查了找一个数的倍数的方法。 9．一辆公交车早晨6：00发出第一班，以后每隔15分钟发一班。第8班车的发车时间是（ ）。 【分析】根据题意可知一辆公交车早晨6：00发出第一班，以后每隔15分钟发一班。求第8班车的发车时间，那么可知一共是7个间隔，求出7个15分钟就行。 【解答】7×15＝105（分钟） 105分钟＝1时45分钟 6时＋1时45分钟＝7∶45 【点评】间隔问题是生活中常见的数学问题，第8班车的发车时间前面有7个时间间隔。 突破点四2、5的倍数的特征 10．40的因数有（ ），这些因数中，是2的倍数的有（ ）个，是5的倍数的有（ ）个，奇数有（ ）个。 【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数．因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，这些因数中，是2的倍数的有2、4、8、10、20、40，共计6个，是5的倍数的有5、10、20、40，共计4个，奇数有1、5，共计2个。 【点评】本题主要考查了因数、奇数的意义及能够被2、5整除数的特征，要灵活掌握。 11．在12、15、18、29、45、30、17、72、58、43、75、100中，2的倍数有（ ），5的倍数有（ ），既是2的倍数又是5的倍数有（ ）。 【分析】根据2的倍数特征：个位上是0、2、4，6，8的数都是2的倍数；5的倍数特征：个位上的数是0或5的数，是5的倍数，既是2的倍数又是5的倍数，个位上的数是0；据此解答。 【解答】12、15、18、29、45、30、17、72、58、43、75、100中， 2的倍数有：12、18、30、72、58、100。 5的倍数有：15、45、30、75、100。 既是2的倍数又是5的倍数有：30、100。 在12、15、18、29、45、30、17、72、58、43、75、100中，2的倍数有12、18、30、72、58、100，5的倍数有15、45、30、75、100，既是2的倍数又是5的倍数有30、100。 【点评】熟练掌握2、5的倍数特征是解答本题的关键。 12．从0、2、5、9这4个数中，任意选出三个数字组成三位数，组成的三位数中，既是2的倍数，又是5的倍数的数中，最大的是（ ）。 【分析】2的倍数特点：个位上是0、2、4、6、8；5的倍数特点：个位上是0、5；根据既是2的倍数，又是5的倍数的特征，这个数的个位上是0，要求最大是多少，再选出另外2个较大的数，将数字按从高到低排列即可。 【解答】从0、2、5、9这4个数中，任意选出三个数字组成三位数，组成的三位数中，既是2的倍数，又是5的倍数的数中，最大的是950。 【点评】本题考查2和5的倍数特点，要重点掌握。 突破点五奇数和偶数 13．一个偶数，也是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18，这个数字是（ ）。 【分析】根据偶数的含义：自然数中，是2的倍数的数，是偶数；再将18分解因数后，即能确定这个两位数字的值。 【解答】因为18＝2×9＝3×6 则一个偶数，也是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18，这个数字是36或92。 14．甲、乙、丙三人分别在朋友圈集赞。一段时间以后，三人获得的点赞数为连续的偶数，他们获得的点赞数的和是150，则三人中最少的点赞数是（ ）。 【分析】相邻偶数之间的差是2，三个连续偶数的和是中间偶数的3倍，据此用甲、乙、丙三人获得的点赞数的和除以3，求出中间的偶数，再减去2即可解答。 【解答】150÷3－2 ＝50－2 ＝48 所以三人中最少的点赞数是48。 15．过年了，奶奶给笑笑和弟弟每人准备了一个红包，一共是166元。如果弟弟拿到的红包钱数是偶数，那么笑笑拿到的红包钱数是（ ）（选填“偶数”或“奇数”）。你的理由是（ ）。 【分析】根据奇偶运算的性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，据此解答即可。 【解答】因为166是偶数，且弟弟拿到的红包钱数是偶数，根据偶数＋偶数＝偶数，所以笑笑拿到的红包钱数是偶数。 突破点六运算性质（奇数和偶数） 16．在括号里填上“奇”或“偶”。 奇数－奇数＝（ ）数    奇数＋偶数＝（ ）数 奇数×奇数＝（ ）数    奇数×偶数＝（ ）数 【分析】奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数（大数减小数），奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，根据奇数、偶数的运算性质解答即可。 【解答】奇数－奇数＝偶数，比如：5－3＝2； 奇数＋偶数＝奇数，比如：1＋2＝3； 奇数×奇数＝奇数，比如：3×5＝15； 奇数×偶数＝偶数，比如：3×4＝12。 17．相邻的两个自然数相加，和一定是（ ）数，相邻的两个自然数相乘，积一定是（ ）数。（填“奇数或偶数”）举例验证：（ ）。 【分析】自然数成奇偶排列，奇数＋偶数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，据此分析。 【解答】由分析得： 相邻的两个自然数相加，和一定是奇数，相邻的两个自然数相乘，积一定是偶数。 举例：1＋2＝3；1×2＝2（举例不唯一） 【点评】解答本题关键是熟悉自然数的排列特点，掌握奇数偶数的运算性质。 18．若一个正方形的边长是一个奇数，则这个正方形的周长是（ ）数。 【分析】根据正方形周长公式：正方形周长＝边长×4；4是偶数；根据：奇数×偶数＝偶数；正方形边长是奇数，它的周长一定是偶数，据此解答。 【解答】根据分析可知，若一个正方形的边长是一个奇数，则这个正方形的周长是偶数。 【点评】本题考查正方形周长公式的应用，以及奇偶数的运算性质。 突破点七3的倍数特征 19．247至少减去（ ）才是3的倍数，至少要加上（ ）才是5的倍数。 【分析】根据5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；所以先求出247的各个数位上的数字和，用这个数字和减去最接近这个数字和的3的倍数，即可求出247减去多少才是3的倍数；比247大的5的倍数，最接近的是250，用250－247即可求出247至少加上多少才是5的倍数。 【解答】2＋4＋7＝13 比13小的3的倍数，最接近的是12，13－12＝1。 比247大的5的倍数，最接近的是250，250－247＝3。 247至少减去1才是3的倍数，至少要加上3才是5的倍数。 20．从下面的四张数字卡片中选出两张组成一个两位数，使这个两位数同时是2，3和5的倍数。这个数是（ ）。 【分析】是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数，各个位数相加的和，是3的倍数，那么这个数一定是三的倍数。未尾是0或5的数是5的倍数，即2，3和5的倍数要满足个位上是0，而且各个数位上的数的和是3的倍数，据此写出符合题意的数即可。 【解答】 既是2的倍数又是5的倍数：50、60、40 这个两位数同时是2，3和5的倍数，这个数是60。 21．爸爸买了一块手表送给茜茜，送之前想考考她。爸爸说：“手表的价格是一个以元为单位的三位数，这个三位数同时是3和5的倍数。”这块手表的价格至少是（ ）元。 【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【解答】既是3的倍数又是5的倍数的最小三位数是105，这块手表的价格至少是105元。 突破点八2、5、3的倍数特征 22．既是3的倍数，又是2和5的倍数的最小两位数是（ ），最大两位数是（ ）。 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位上是0或5的数；3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除；2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此解答。 【解答】根据分析可知，既是3的倍数，又是2和5的倍数的最小两位数是30，最大两位数是90。 23．用下面卡片上的数字按要求组成一个四位数。 0     2     3     7 最大的奇数：（ ）；     最小的偶数：（ ）； 同时是2，3倍数的最大的四位数：（ ）； 同时是5，3倍数的最小的四位数：（ ）； 同时是2，3，5倍数的最大的四位数：（ ）。 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【解答】最大的奇数：7203；     最小的偶数：2370； 同时是2，3倍数的最大的四位数：7320； 同时是5，3倍数的最小的四位数：2370； 同时是2，3，5倍数的最大的四位数：7320。 24．阅读下面的资料并按要求填空。 去年12月我国成功发射北斗系统第57、58颗导航卫星，标志着中国北斗三号全球卫星导航系统的新里程碑，国产北斗基本产品已出口137个国家和地区，全国已有超过790万辆道路营运车辆应用北斗卫星导航系统，2589处水库应用北斗短报文通信服务水文监测，650处变形滑坡体设置了北斗监测站点，搭载国产北斗高精度定位芯片的共享单车覆盖全国450余座城市，基于北斗高精度的车道级导航功能已在8个城市成功试点，并逐步向全国普及。 在上面划横线的数据中，偶数有（ ）个，奇数有（ ）个，质数是（ ），同时是2、3、5的倍数的是（ ）。 【分析】是2的倍数的数是偶数，反之则是奇数；除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数，5的倍数特征：个位上是0或5的数，3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数的数，据此解答即可。 【解答】偶数有：12、58、790、650、450、8，6个； 奇数有：57、137、2589，3个； 质数有：137； 同时是2、3、5的倍数的是450。 所以偶数有6个，奇数有3个，质数是137，同时是2、3、5的倍数的是450。 突破点九9的倍数特征 25．在□内填入合适的数． （1）24□，□内填（ ）既是3的倍数又是5的倍数。 （2）5□0，□内填（ ）既是2的倍数又是3的倍数。 （3）□69，□内填（ ）既是3的倍数又是9的倍数。 【分析】（1）要使24□是5的倍数，则□是0或5，由于24□又是3的倍数，则2＋4＋□的和是3的倍数，所以□只能填0。 （2）5□0的个位上是偶数，所以5□0是2的倍数，要使5□0是3的倍数，则5＋□＋0的和是3的倍数，所以□里可以填1、4、7。 （3）要□69是9的倍数，则□＋6＋9的和是9的倍数，所以□里只能填3，9是3的倍数，所以369是9的倍数就一定是3的倍数。 【解答】（1）根据分析可知，24□，□内填0既是3的倍数又是5的倍数。 （2）根据分析可知，5□0，□内填1、4、7既是2的倍数又是3的倍数。 （3）根据分析可知，□69，□内填3既是3的倍数又是9的倍数。 26．四个连续自然数，它们从小到大依次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。要使这四个连续自然数的和最小，这四个连续的自然数分别是（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 【分析】因为无论5的倍数是多少，它的个位数就0或者5两个数字。因为是自然数，所以前面一个数个位是9或者4，后面一个数个位是1或者6，最后一个数个位是2或者7，据此分类讨论。 【解答】四个连续自然数个位为： （1）9，0，1，2，而个位数为2的9的最小倍数只能是8×9＝72，或者18×9＝162或者28×9……，再比较前面的条件能3，5，7倍数，明显69，70，71，72不行，个位为9，0，1，2的四个连续自然数中最小的是159，160，161，162； （2）4、5、6、7，而个位数为7的9的最小倍数只能是3×9＝27，或者13×9＝117或者23×9＝207……，再比较前面的条件是3，5，7倍数，明显24、25、26、27； 114、115、116、117和204、205、206、 207；都不成立。 由以上可得这四个连续的自然数最小是159，160，161，162； 【点评】解答此题的突破点在5的倍数上，找出了突破口再结合题意，分别求出各数，进而得出结论。 27．一个三位数47□，要使它是9的倍数，□里应填（ ）；一个三位数52□，要使它是4的倍数，□里可以填（ ）。 【分析】各个数位上的数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数，4＋7＝11，11＋7＝18，18是9的倍数，所以□里应填7；整数末两位数能被4整除，这个数就是4的倍数，20、24、28都能被4整除，所以□里可以填0、4、8；据此即可解答。 【解答】根据分析可知，一个三位数47□，要使它是9的倍数，□里应填7；一个三位数52□，要使它是4的倍数，□里可以填0、4、8。 突破点十找一个数的因数及因数的特征 28．一个数既是42的因数，又是6的倍数，这个数最大是（ ），最小是（ ）。 【分析】根据找一个数因数的方法，可以利用除法算式，按从小到大的顺序一组一组地找；据此找出42的因数，再从中找出6的倍数即可。 【解答】42÷1＝42，42÷2＝21，42÷3＝14，42÷6＝7 42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42 其中6的倍数有：6，42 则最大是42，最小是6。 29．大数学家毕达哥拉斯研究发现：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如，6有4个因数1、2、3、6，除去它本身6外，其余三个数相加，1＋2＋3＝6， 所以6就是“完全数”。按照这样推理，28 “完全数”。（填“是”或“不是”）。 【分析】先写出28的全部因数是1、28、2、14、4、7；然后将除了28以外的其他因数相加，看是否等于28，若等于，那么28是完全数。反之28就不是完全数。 【解答】28的因数有1、28、2、14、4、7； 28＝1＋2＋4＋7＋14，28是完全数。 因此按照这样推理，28是“完全数”。 30．写出54的所有因数，笑笑写了7个：1，54，2，3，18，6，9，按照笑笑的思考方法，她漏写了排在（ ）后面的（ ）。 【分析】笑笑的思考方法是看哪两个因数的积是54，这些因数都是54的因数，据此写出54的所有因数即可解答。 【解答】54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9 所以54的因数有1，54，2，27，3，18，6，9 所以笑笑写了7个：1，54，2，3，18，6，9，按照笑笑的思考方法，她漏写了排在2后面的27。 突破点十一根据因数的特征解决问题 31．五年级有45名同学参加队列表演，这个队伍可以是（ ）行（ ）列，也可以是（ ）行（ ）列，最多可以排成（ ）个不同的队伍。 【分析】五年级的学生的总人数是45名，排成队伍几行几列，就是用行数×列数＝45，即只需要列出两个整数的乘积是45。 1×45＝45，可以是1行45列，也可以是45行1列； 3×15＝45，可以是3行15列，也可以是15行3列； 5×9＝45，可以是5行9列，也可以是9行5列； 则一共有6种不同的队伍。 【解答】1×45＝45，可以是1行45列，也可以是45行1列； 3×15＝45，可以是3行15列，也可以是15行3列； 5×9＝45，可以是5行9列，也可以是9行5列； 五年级有45名同学参加队列表演，这个队伍可以是3行15列，也可以是5行9列，最多可以排成6种不同的队伍。 32．小明用18个边长1厘米的小正方形拼成长方形，可以把18个放一排，拼成长方形的长（ ）厘米，宽（ ）厘米；还可以拼成长（ ）厘米，宽（ ）厘米；还可以拼成长（ ）厘米，宽（ ）厘米的长方形，小明发现这些数都是18的（ ）。 【分析】长方形的面积＝长×宽，而18＝1×18＝2×9＝3×6，据此以每组数为长和宽即可拼成长方形，在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；据此解答。 【解答】由分析可得：小明用18个边长1厘米的小正方形拼成长方形，可以把18个放一排，拼成长方形的长18厘米，宽1厘米；还可以拼成长9厘米，宽2厘米；还可以拼成长6厘米，宽3厘米的长方形，小明发现这些数都是18的因数。 33．一盒棋子共有36粒，如果不一次拿出，也不一粒一粒地拿出，但每次拿出的粒数要相同，最后一次正好拿完，共有（ ）种拿法。 【分析】如果每次拿出的粒数相同，且最后一次刚好拿完，则每次拿出的粒数是总粒数的因数，36的因数中1和36不符合题意要舍去。 【解答】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 方法一：一次拿2粒，拿18次； 方法二：一次拿3粒，拿12次； 方法三：一次拿4粒，拿9次； 方法四：一次拿6粒，拿6次； 方法五：一次拿9粒，拿4次； 方法六：一次拿12粒，拿3次； 方法七：一次拿18粒，拿2次； 所以，一共有7种不同的拿法。 【点评】找出符合条件的36的因数是解答题目的关键。 突破点十二倍数和因数的综合应用 34．一个数既是18的倍数，也是18的因数，这个数是（ ），这个数的因数有（ ）个。 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。 列举出18的因数，再数出因数的个数即可。 【解答】18的因数：1、2、3、6、9、18；共有6个。 一个数既是18的倍数，也是18的因数，这个数是18，这个数的因数有6个。 【点评】本题考查因数和倍数的知识，掌握求一个数的因数的方法，明确一个数的最大因数和最小倍数是它本身。 35．一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是40的因数，又是5的倍数。这个旅行团一共有（ ）人。    【分析】先写出40的所有因数，再从中找出5的倍数的数，最后找出在15～30之间的数，即是这个旅行团的人数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【解答】40的因数：1，2，4，5，8，10，20，40； 其中又是5的倍数的有：5，10，20，40； 15＜20＜30 这个旅行团一共有20人。 【点评】本题考查找一个数的因数以及5的倍数特征的应用。 36．猜电话号码。 0871－ABCDEFG 提示：A－8的最小倍数；B－最小的自然数；C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数；E－它的所有因数是1、2、3、6；F－它的所有因数是1、3；G－它只有1个因数。这个电话号码是0871－（ ）。 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数。 【解答】8的最小倍数是8；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4；6的因数有1、2、3、6；3的因数有1、3；只有1个因数的是1。所以这个电话号码是0871－8054631。 【点评】一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。 突破点十三质数和合数的认识 37．猜幸运号码。 （1）我们俩的幸运号码之和是20，我的比较小。我是 。我们俩的幸运号码都是质数，积是91。我是 。 （2）我的幸运号码是50以内最大的质数。我是 。 【分析】（1）一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；找出20以内的质数，进而找出两个质数的和是20，积是91的两个质数。 （2）找出50以内最大的质数，即可解答。 【解答】（1）20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19； 7＋13＝20 7×13＝91 我们俩的幸运号码之和是20，我的比较小。我是7。我们俩的幸运号码都是质数，积是91。我是17。 （2）2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。 我的幸运号码是50以内最大的质数。我是47。 38．某个成年人的心脏约为克。这个三位数既是2的倍数，又是5的倍数；十位上的数是5的倍数，百位上的数是最小的质数。这个成年人的心脏约为（ ）克。 【分析】根据既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数；十位上的数是5的倍数，找出5的倍数； 根据质数的定义：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，找出最小的质数； 据此可以得出这个三位数是多少，也就是这个成年人心脏的克数。 【解答】既是2的倍数，又是5的倍数，则这个三位数个位上的数是0； 5的倍数有：5，10，15，…，则这个三位数十位上的数是5； 最小的质数是2，则这个三位数百位上的数是2；所以这个三位数是250。 因此这个成年人的心脏约为250克。 39．五（1）班的踢毽子比赛中，小红踢了37个，小芳踢了40个，小丽踢了52个，小彤踢了73个，苗苗踢了29个。在这些数中，质数有 ，合数有 。 【分析】一个数只有1和本身两个因数，那么这个数质数；一个数除了1和本身还有其它因数，那么这个数是合数。 【解答】37的因数有：1和37，是质数； 40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40，40是合数； 52的因数有：1、2、4、13、24、52，52是合数； 73的因数有：1、73，73是质数； 29的因数有：1、29，29是质数； 则在这些数中，质数有37、73、29，合数有40、52。 突破点十四质因数的认识 40．42＝6×7，6（ ）42的质因数，7（ ）42的质因数。（填“是”或“不是”） 【分析】分解质因数是把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，其中每个质数叫做这个合数的质因数；因为6是合数不是质数，7是质数，所以6不是42的质因数，7是42的质因数，据此解答。 【解答】42＝6×7，则6和7都是42的因数，因为6是合数不是质数，7是质数，因此6不是42的质因数，7是42的质因数。 因此42＝6×7，6不是42的质因数，7是42的质因数。 41．最小的质数是（ ），一个数的最大因数是51，这个数是（ ），把这个数分解质因数是（ ）。 【分析】根据最小的质数是2，一个数的最大因数是它本身，填写答案；根据分解质因数的意义，把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数，由此解答即可。 【解答】最小的质数是2，一个数的最大因数是51，这个数是51，把这个数分解质因数是51＝3×17。 42．选择合适的词语填在下面的括号中，使表达准确。（每个词语只能用一次） 质因数、奇数、偶数、质数、合数。 这个学期，我们又进一步学习了有关非0自然数的知识。比如：4个连续自然数的和是（ ），任意两个奇数相乘的积一定是（ ）；2和3都是18的（ ）；最小的（ ）与最小的两位数的积是20；几个质数相乘的积一定是（ ）。 【分析】因数和倍数的意义：当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。质因数是指在一个数的因数中，是质数的因数。在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，奇数×奇数＝奇数。据此判断即可。 4个连续自然数中有2个数是奇数，2个偶数，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以4个连续自然数的和是偶数；根据奇偶的运算性质，可知任意两个奇数相乘的积一定是奇数；18＝2×9＝3×6，2和3都是质数，所以2和3都是18的质因数；最小的两位数是10，20÷10＝2，所以2×10＝20，2是最小的质数，所以最小的质数与最小的两位数的积是20；根据合数的定义，可知几个质数相乘的积一定是合数。 【解答】4个连续自然数的和是偶数，任意两个奇数相乘的积一定是奇数；2和3都是18的质因数；最小的质数与最小的两位数的积是20；几个质数相乘的积一定是合数。 突破点十五分解质因数 43．三个小朋友的年龄一个比一个大1岁，他们三个人的年龄相乘的积是1320，其中最小的一个是（ ）岁。 【分析】已知三个小朋友的年龄相乘的积是1320，先把1320分解质因数，再改写成3个连续自然数相乘的形式，即可得出三个小朋友的年龄，据此得出最小的年龄。 【解答】1320＝2×2×2×3×5×11 2×2×2×3×5×11＝10×11×12 所以三个小朋友的年龄分别是10岁、11岁、12岁。 其中最小的一个是10岁。 44．两个正整数A和B满足：①A（A＋1）是B（B＋1）的倍数；②A和（A＋1）都不是B或者（B＋1）的倍数；那么A＋B的最小值是（ ）。 【分析】A（A＋1）是B（B＋1）的倍数，A和（A＋1）都不是B或者（B＋1）的倍数，则A、（A＋1）、B、（B＋1）四个数都不是质数。连续的两个自然数都不是质数的有：8和9、9和10、14和15、15和16、20和21、21和22、24和25……。其中，当B是8或9时，A、（A＋1）无法找到符合题意的值；当B是14时，（B＋1）是15，14×15＝2×7×3×5，A（A＋1）是B（B＋1）的倍数，则A（A＋1）最小是2×7×3×5×2＝20×21，即A最小是20，（A＋1）最小是21。据此求出A＋B的最小值。 【解答】通过分析可得：A、（A＋1）、B、（B＋1）四个数都不是质数，A最小是20，B最小是14，那么A＋B的最小值是20＋14＝34。 【点评】明确四个数都不是质数，据此找出不是质数的连续自然数，从而确定A和B的值。 45．把一个合数用质因数连乘的形式表示出来，叫作分解质因数，如：12＝2×2×3。请把下列各数分解质因数。 24＝ 60＝ 210＝ 【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数，一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数，据此解答。 【解答】由分析可得： 24＝2×2×2×3 60＝2×2×3×5 210＝2×3×5×7 【点评】本题考查了质数和合数的概念，以及分解质因数的方法。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$