精品解析：黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高三上学期10月份月考数学试卷

龙东联盟2022级高三学年上学期10月月考试题 （数学）科试卷 满分：150分 考试时长：120分钟 注意事项： 1．答题前考生需将姓名、班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试卷上书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b是实数，则“且”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数且是实数，则实数a等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前项和为．若，则的公差为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知x，y为正实数，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ） A 0 B. e C. D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 10. 设是公差为的无穷等差数列的前n项和，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则数列有最小项 B. 若数列有最小项，则 C. 若数列是递减数列，则对任意的，均有 D. 若对任意的均有，则数列是递减数列 11. 已知函数，下列命题正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 上存在两个零点 C. 在上存在三个极小值点 D. 函数为周期函数，且可为周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数为偶函数，则实数__________． 13. 函数的最小正周期为______． 14. 已知向量，满足，则的最大值与最小值之和为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且，数列满足． （1）求； （2）设，数列的前项和为，求． 16. 记内角的对边分别为为锐角，已知，． （1）求； （2）若面积为，求． 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：. 18. 已知函数． （1）当在处的切线与在处的切线相同时，求的最小值； （2）设，当时，恒成立，求的取值范围． 19. 已知数列为等差数列，前项和为，数列为等比数列，公比，前项和为，数列的前项和为中的项满足． （1）当时，求的值； （2）是否存在使得，若存在有几个，请说明理由； （3）设数列的前项和为，证明：． 1． B．，故选B． 2． C．且且，反之也成立，故选C． 3． C．实数，所以所以，故选C． 4． D．因为平方得，，在方向上的投影向量为，故选D． 5． A．，，所以，所以，故选A． 6． A．由两边平方得，所以所以所以．故选A． 7． D因为故选D． 8． A设零点为，则，在直线上， 的几何意义为点到原点距离的平方，其最小值为原点到直线的距离的平方，， 设，所以单调递减，所以．故选A． 9． AD知对错，，故B错， 成立，故选AD． 10． ABD由及二次函数的性质知为真，对D知从而是递减数列，对C：满足是递减数列，但不恒成立，故选． 11． BC对A：A错，对B，令，，则，有两个实根．B对．对C：，令即 ，的两个根为，的根为，所以的极小值点为，C对．对D：，所以为周期函数，但，，，D错． 12． 0特值即所以． 13． 与的最小正周期相同， 14． 解1：设，，， 且，设，其中 ，则，当，时取得最大值，当即，时取得最小值4， 所以最大值与最小值之和为． 解2：换元后，利用平行直线系和圆弧的位置关系 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙东联盟2022级高三学年上学期10月月考试题 （数学）科试卷 满分：150分 考试时长：120分钟 注意事项： 1．答题前考生需将姓名、班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试卷上书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】由，，得，而， 所以. 故选：B. 2. 已知a，b是实数，则“且”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合不等式的性质，立意充分性、必要性的定义即可得出答案. 【详解】充分性：若且可以得且，故充分性成立， 必要性：若，可得同号，又，可得“且”，故必要性成立， 所以“且”是“且”的充分必要条件. 故选：C． 3. 已知复数且是实数，则实数a等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合共轭复数的概念与复数和乘法运算表示出，由其为实数待定即可. 【详解】由为实数，则的共轭复数， 则， 由为实数，所以所以， 故选：C． 4. 已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由模的平方得数量积与的关系，再代入投影向量公式可得. 【详解】因为平方得，, 又，则化简得， 故在方向上的投影向量是. 故选：D． 5. 设等差数列的前项和为．若，则的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质，可得，，即可求解. 【详解】因为，得到， 又，所以，所以， 故选：A． 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知等式平方后再结合同角的三角函数和二倍角的余弦公式化简计算即可； 【详解】由 两边平方得， 所以， 所以 所以． 故选：A． 7. 已知x，y为正实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数与对数的运算性质，合理运算、化简即可得到结果. 【详解】当时，，，， 故A,B,C都不成立， 因为，故D正确. 故选：D. 8. 设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ） A. 0 B. e C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设零点为，则在直线上，根据的几何意义将问题转化为点到直线的距离问题，利用导数求解可得. 【详解】设零点为，则，在直线上， 的几何意义为点到原点距离的平方， 其最小值为原点到直线的距离的平方，， 设且，， 所以在单调递减，所以． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：关键在于利用几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后利用导数求解即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据复数的运算和复数的模，逐一计算，即可得到答案. 【详解】∵z＝x＋yi(x，y∈R)， ∴＝x－yi，∴z－＝2yi， ∴|z－|＝|2y|≥2y，故A，C错． 又z2＝x2－y2＋2xyi≠x2＋y2，故B错． 易知D正确． 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的模的计算，其中熟记复数的化简运算的公式和复数模的计算公式，作出准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 10. 设是公差为的无穷等差数列的前n项和，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则数列有最小项 B. 若数列有最小项，则 C. 若数列是递减数列，则对任意的，均有 D. 若对任意的均有，则数列是递减数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】由及二次函数的性质知AB正确，举反例可说明C错误；D利用递减数列定义证明即可得. 【详解】由题意得. 设，， A项，由，则函数图象开口向上，有最小值， 又，为图象上离散的点， 故也有最小项，故A正确； B项，由题意得，， 假设，则函数图象开口向下，则当， 则无最小项，与已知数列有最小项矛盾，假设错误. 所以，若数列有最小项，则，故B正确； C项，举个例子，数列：，其通项公式为， 则对任意恒成立， 故是递减数列，但， 不满足，故C错误； D项，由任意的，均有，则， 且对任意恒成立，且， 故，所以， 从而是递减数列，故D正确. 故选：ABD． 11. 已知函数，下列命题正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 上存在两个零点 C. 在上存在三个极小值点 D. 函数为周期函数，且可为周期 【答案】BC 【解析】 【分析】AD项取特值则可说明错误；B项换元法求解方程，再结合正弦函数图象可得；C项利用导函数符号变化分析函数的单调性，列表求极值点即可得. 【详解】，. A项，，在上不单调，故A错误； B项，令，， 则由，即，， 解得（舍），， 方程有两个实根，故B正确； C项，. 则， 令，得， 又方程在有两个根，不妨设， 则， ，方程有三个根为，方程有两根. 的变化情况如下表， 极小 极小 极小 所以的极小值点为，故C正确； D项，由，则，所以为周期函数. 又，，， 所以不是函数的周期，故D错误． 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数偶函数，则实数__________． 【答案】0 【解析】 【分析】取特值求出，然后验证即可. 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以，即，所以． 当时，，为偶函数， 所以. 故答案为：0 13. 函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式及两角和差余弦公式化简即可. 【详解】 ， 所以函数的最小正周期为. 故答案为： 14. 已知向量，满足，则最大值与最小值之和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，，，通过平方和三角换元得到，再借助辅助角公式即可求解. 【详解】设，，， ， ， 且，设， 其中，， 则， 当，时取得最大值， 当即，时取得最小值4， 所以最大值与最小值之和为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且，数列满足． （1）求； （2）设，数列的前项和为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）已知求，利用公式求解，进而利用已知关系求即可； （2）利用错位相减法求前项和. 【小问1详解】 由， 当时，. 当时，，也适合. 综上可得，. 由，所以. 【小问2详解】 由（1）知 ① ② ①②得 ， 所以． 16. 记内角的对边分别为为锐角，已知，． （1）求； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理进行角化边，再用余弦定理计算出，进而求出B； （2）先求出A,再得到，后用正弦定理计算得到，，最后用面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理得，，所以， 因为，所以，因为，所以. 【小问2详解】 ， 得， 由，得． 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：. 【答案】（1）答案见解析. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1），令，分别讨论，，，解不等式或即可得单调增区间和减区间，进而可得单调性. （2）设分别求，利用导数判断两个函数的单调性以及最值，求出即可求证. 【小问1详解】 因为，所以，， ， 令， 当时，恒成立，此时在上单调递减， 当时，解不等式可得：， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 当时，解不等式可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减， 当时，在和上单调递减， 上单调递增， 当时， 在上单调递增，在上单调递减， 【小问2详解】 由可得， 由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 设，则， 由即可得；由即可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 所以对任意的恒成立. 18. 已知函数． （1）当在处的切线与在处的切线相同时，求的最小值； （2）设，当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，分别求出在处的切线方程和在处切线方程，结合条件，得到，即可求解； （2）利用导数与函数的单调间的关系，先求出，再对有无零点进行讨论，当的两个零点为时，结合题知必为的零点，从而得到，进而求出，再构造函数，利用导数与函数的单调间的关系，即可求解；当无零点时，由题有，再构造函数，进而可求出，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以在处的切线方程为， 又，， 所以在处切线方程为， 所以，，得到，又， 所以的最小值为1． 【小问2详解】 因为，则，由，得到， 当时，，当，时， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故， 又，则在上单调递减，在上单调递增， 令，即，， （i）当，即时，在上的两个零点为，同时它们恰好为的零点． ，即，又，则， 此时，令，则， 所以单调递减，且时，，则，故． （ii），即时，在上，此时只需，即即可． 此时，令，则，即在区间递减， 所以，又，故． 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，先利用导数与函数的单调性间的关系，求得，再将问题转化为讨论有零点和无零点两种情况，当有零点，求得，从而有，构造函数，再利用导数与函数的单调性，即可求出结果；当无零点时，得到，构造函数，利用导数与函数的单调性及，即可求解. 19. 已知数列为等差数列，前项和为，数列为等比数列，公比，前项和为，数列的前项和为中的项满足． （1）当时，求的值； （2）是否存在使得，若存在有几个，请说明理由； （3）设数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）1； （2）1个，理由见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出数列，通项公式，再依次求出数列的前7项即可得解. （2）由已知结合（1）的信息可得，并求出，再作差构造新数列，探讨单调性即可得解. （3）求出，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 在等差数列中，，则，公差，通项； 由，，得，而，解得，通项， 由，得；由，得； 由，得；由，得， 则，所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得，则，当时符合， 令，则，，， ，当，，即 所以有且只有符合． 【小问3详解】 由，得， 所以. 【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 1． B．，故选B． 2． C．且且，反之也成立，故选C． 3． C．为实数，所以所以，故选C． 4． D．因为平方得，，在方向上的投影向量为，故选D． 5． A．，，所以，所以，故选A． 6． A．由两边平方得，所以所以所以．故选A． 7． D因为故选D． 8． A设零点为，则，在直线上， 的几何意义为点到原点距离的平方，其最小值为原点到直线的距离的平方，， 设，所以在单调递减，所以．故选A． 9． AD知对错，，故B错， 成立，故选AD． 10． ABD由及二次函数的性质知为真，对D知从而是递减数列，对C：满足是递减数列，但不恒成立，故选． 11． BC对A：A错，对B，令，，则，有两个实根．B对．对C：，令即 ，的两个根为，的根为，所以的极小值点为，C对．对D：，所以为周期函数，但，，，D错． 12． 0特值即所以． 13． 与的最小正周期相同， 14． 解1：设，，， 且，设，其中 ，则，当，时取得最大值，当即，时取得最小值4， 所以最大值与最小值之和为． 解2：换元后，利用平行直线系和圆弧的位置关系 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$