专题02 直线和圆的方程【7大经典基础题+4大优选提升题】-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

专题02 直线和圆的方程 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、 倾斜角与斜率 · 题型02、 两条直线的垂直与平行 · 题型03、 直线方程 · 题型04、 直线的交点坐标与距离 · 题型05、圆的方程 · 题型06、直线与圆的位置关系 · 题型07、圆与圆的位置关系 【优选提升题】 · 题型01、圆的切线方程 · 题型02、圆的弦长与弦心距 · 题型03、圆的公切线与公共弦 · 题型04、直线与圆的综合问题 倾斜角与斜率 1．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 2．（23-24高二上·广东广州·期中）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东广州·期中）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知直线过，两点且倾斜角为，则m的值为 . 5．（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 两条直线的垂直与平行 6．（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 7．（23-24高二上·广东广州·期中）已知直线：和直线：垂直，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知直线，若，则m= ． 9．（23-24高二上·广东东莞·期中）若：与：是两条平行的直线，则实数 . 10．（22-23高二上·广东广州·期中）已知经过点和点的直线l1与经过点和点的直线互相垂直，则实数 . 直线方程 11．（23-24高二上·广东广州·期中）已知的三个顶点分别为，，，则边上中线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·广东惠州·期中）直线过定点 . 13．（23-24高二上·广东肇庆·期中）已知的三个顶点的坐标分别为．求： (1)过点且与直线平行的直线方程一般式； (2)边的中垂线的一般式方程． 14．（23-24高二上·广东广州·期中）已知分别过定点的直线，与轴交于点 (1)若为中，边上的高所在直线，求边上的中线所在直线方程； (2)若为中，边上的中线所在直线，求边上的高所在直线方程． 15．（22-23高二上·广东广州·期中）已知点求： (1)BC边上的中线所在直线的方程； (2)BC边上的高所在直线方程； (3)BC边的垂直平分线的方程. 直线的交点坐标与距离 16．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知直线，直线，若，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·广东清远·期中）已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·广东江门·期中）已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，若AC边上的高所在直线的方程为，则点B的坐标为 ． 19．（23-24高二上·广东清远·期中）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)三角形的面积. 20．（22-23高二上·广东深圳·期中）已知直线． (1)若直线不经过第一象限，求k的取值范围； (2)若直线交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线的方程． 圆的方程 21．（23-24高二上·广东江门·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高二上·广东佛山·期末）已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 23．（22-23高二上·广东广州·期中）已知直线，圆，则圆关于直线对称的圆的方程为 . 24．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知的三个顶点坐标分别是，，.求： (1)外接圆的方程； (2)若点P是外接圆上的一动点，点为平面内一定点，求线段MP的中点N的轨迹方程. 25．（22-23高二上·广东佛山·期中）已知圆C过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 直线与圆的位置关系 26．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 27．（21-22高二上·广东湛江·期中）若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 28．（23-24高二上·广东江门·期中）平面直角坐标系中，直线与交于点，则点到直线距离的最小值为 . 29．（23-24高二上·天津·期末）已知圆C经过，两点和坐标原点O. (1)求圆C的方程； (2)垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 30．（22-23高二上·浙江丽水·期末）已知圆C经过点A（1,2）和B（5,-2），且圆C关于直线2x+y＝0对称． (1)求圆C的方程； (2)过点D（-3,1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程． 圆与圆的位置关系 31．（23-24高二上·广东东莞·期中）圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 32．（23-24高二上·广东东莞·期中）M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 34．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 35．（23-24高二上·广东惠州·期中）已知点M到点的距离与点M到点的距离之比为. (1)求M点的轨迹C的方程； (2)求过轨迹C和的交点，且与直线相切的圆的方程； 圆的切线方程 36．（22-23高二下·广东佛山·期中）过原点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C．或 D．或 37．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知圆心为的圆与直线：相切于点，则圆的方程为 . 38．（22-23高二上·广东汕头·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线过定点 ，以点为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 圆的弦长与弦心距 39．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为 . 40．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 41．（23-24高二上·广东揭阳·期中）已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为 . 42．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍． (1)动点的轨迹为曲线，求的方程； (2)设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程． 43．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线：和圆C：. (1)直线恒过一定点M，求出点M坐标； (2)当m为何值时，直线被圆C所截得的弦长最短，求出弦长. 圆的公切线与公共弦 44．（23-24高二上·广东广州·期中）圆与圆的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则的值为（    ） A．3 B．2 C．2或 D．3或 45．（22-23高二上·广东清远·期中）已知圆C1：和圆C2：，则这两个圆的公切线的条数为（　　） A．1或3 B．4 C．0 D．2 46．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆，直线的方程，圆关于直线对称的圆为，则所表示的一系列圆的公切线方程为 . 47．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆，圆. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求两圆的公切线方程. 48．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知圆：与圆：（）. (1)若，两圆相交于，两点，求直线的方程； (2)当实数取何值时，两圆外切. 49．（22-23高二上·广东江门·期中）已知圆M经过两点B（0，－2），C（4，0），且圆心在直线上． (1)求圆M的方程； (2)已知圆，若圆M与圆N相交的公共弦的弦长为，求r的值． 直线与圆的综合问题 50．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 51．（23-24高二上·广东江门·期中）已知方程， (1)若此方程表示圆，求的取值范围； (2)若的值为（1）中能取到的最大正整数，从而得到以为圆心的圆，已知动点为直线上的动点，由作圆的切线，切点为，试求的面积的最小值． 52．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆． (1)直线l过点，截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程； (2)过圆上一点作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，求证直线OP和AB平行． 53．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知圆，直线. (1)对，直线与圆C能否相切？若相切，求出切线方程，若不相切，说明理由； (2)设直线l与圆C交于点A，B，若为等腰直角三角形，求l的方程. 54．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆，线段的一个端点在圆上运动，另一端点． (1)若线段的中点为，求点的轨迹方程，并指出点的轨迹是什么图形； (2)设（1）中点的轨迹为图形，由图形外一点向该图形引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求的最小值． ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线和圆的方程 【题型目录】 【经典基础题】 · 题型01、 倾斜角与斜率 · 题型02、 两条直线的垂直与平行 · 题型03、 直线方程 · 题型04、 直线的交点坐标与距离 · 题型05、圆的方程 · 题型06、直线与圆的位置关系 · 题型07、圆与圆的位置关系 【优选提升题】 · 题型01、圆的切线方程 · 题型02、圆的弦长与弦心距 · 题型03、圆的公切线与公共弦 · 题型04、直线与圆的综合问题 倾斜角与斜率 1．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案. 【分析】解：直线方程为转化为， 所以直线过定点，且与线段相交，如图所示， 则直线的斜率是， 直线的斜率是， 则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或. 故选：A． 2．（23-24高二上·广东广州·期中）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系以及正切函数的单调性可得出直线的倾斜角的取值范围. 【详解】因为直线的斜率为，且，直线的倾斜角，则，， 因为正切函数在、上均为增函数， 当时，即，此时，； 当时，即，此时，. 因此，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 3．（23-24高二上·广东广州·期中）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系求解即可. 【详解】直线的倾斜角为， 所以斜率一定存在，且 ， 直线即， 所以斜率,即. 故选：C 4．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知直线过，两点且倾斜角为，则m的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合斜率公式和斜率的定义，列出方程，即可求解. 【详解】由直线过点，，可得的斜率为， 因为直线的倾斜角为，可得，所以. 故答案为：. 5．（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 两条直线的垂直与平行 6．（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】C 【分析】依题意可得，求出的值，再检验即可. 【详解】直线：与直线：平行， 则，解得或， 当时，此时直线：与直线：平行， 当时，此时直线：与直线：平行， 故或 故选：C 7．（23-24高二上·广东广州·期中）已知直线：和直线：垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线垂直的充要条件列出关于的方程，解方程即可. 【详解】因为直线：和直线：垂直， 所以，解得. 故选：D. 8．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知直线，若，则m= ． 【答案】/ 【分析】由直线垂直条件直接列式计算，即可得出结果. 【详解】因为，则，解得， 故答案为：. 9．（23-24高二上·广东东莞·期中）若：与：是两条平行的直线，则实数 . 【答案】1 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求出的值． 【详解】若：与：是两条平行的直线， 则，解得，或， 当时，：，：，即， 可得两直线重合，不符合题意，舍去， 当时，：，：，满足题意， 所以实数. 故答案为：. 10．（22-23高二上·广东广州·期中）已知经过点和点的直线l1与经过点和点的直线互相垂直，则实数 . 【答案】 【分析】分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线相互垂直的性质即可得解． 【详解】因为，，所以， 因为两条直线相互垂直，所以直线的斜率必然存在， 又，，则，， 又所以，解得． 所以． 故答案为：. 直线方程 11．（23-24高二上·广东广州·期中）已知的三个顶点分别为，，，则边上中线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出线段中点坐标，由两点式写出直线方程，再化简即得. 【详解】∵，，∴边中点为，即 又，∴中线所在的直线方程为，即. 故选：D. 12．（23-24高二上·广东惠州·期中）直线过定点 . 【答案】 【分析】首先整理可得，解方程组即可得解. 【详解】由可得： ， 所以， 解得，所以定点坐标为， 故答案为：. 13．（23-24高二上·广东肇庆·期中）已知的三个顶点的坐标分别为．求： (1)过点且与直线平行的直线方程一般式； (2)边的中垂线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两直线平行的斜率关系及点斜式计算直线方程，再化为一般式即可； （2）利用两直线垂直的斜率关系及中点坐标公式、点斜式计算直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）由知，边所在直线的的斜率为， 又因为直线过， 则为，化为一般式为； （2）设线段的中点为，则点，即， 由上可知，所以其中垂线斜率为， 则可得中垂线的方程为． 整理得边的中垂线的一般式方程是． 14．（23-24高二上·广东广州·期中）已知分别过定点的直线，与轴交于点 (1)若为中，边上的高所在直线，求边上的中线所在直线方程； (2)若为中，边上的中线所在直线，求边上的高所在直线方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先求出，，再由为边上的高所在直线，所以，求出，再由点斜式方程求解即可； （2）由为边上的中线所在直线，求出，再由点斜式方程求解即可； 【详解】（1）由可得直线恒过定点， 由可得：， 则，则直线恒过定点， 令中，所以，所以， 因为为边上的高所在直线，所以，解得：. 所以，，所以的中点为，又因为， 所以边上的中线所在直线方程为：，即. （2）为边上的中线所在直线，因为，， 所以的中点为，即， 因为在上，所以，解得：， 解得：或， 当时，，，，， 所以边上的高所在直线方程为：，化简可得：， 当时，，，，， 所以边上的高所在直线方程为：，化简可得：， 所以边上的高所在直线方程为或. 15．（22-23高二上·广东广州·期中）已知点求： (1)BC边上的中线所在直线的方程； (2)BC边上的高所在直线方程； (3)BC边的垂直平分线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据中点坐标公式求出中点，然后利用两点坐标写出直线方程即可； （2）BC边上的高和BC垂直，利用两直线垂直的斜率关系即可； （3）利用垂直平分线经过BC的中点，且和BC垂直求解即可. 【详解】（1） 的中点坐标为，且 所以BC边上的中线所在直线的方程： （2）BC的斜率：， 所以BC边上的高所在直线方程的斜率： BC边上的高所在直线方程： 即：. （3）由前两问知：的中点坐标为，. BC边的垂直平分线的斜率：， BC边的垂直平分线的方程: 即： 直线的交点坐标与距离 16．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知直线，直线，若，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先由直线平行求得的值，再利用平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为，，且， 所以，且，解得， 则，即，， 所以与的距离为. 故选：C. 17．（23-24高二上·广东清远·期中）已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当直线过点时，求出的值，可得出；然后求出直线所过定点的作坐标，求出，分析可知当时，最大，但此时不存在，由此可得出的取值范围. 【详解】若直线过点，则，解得， 此时，点到直线的距离为； 由直线，可得， 由，可解得， 即直线过定点， 则，， 当直线与直线垂直时，最大， 此时，直线的斜率为，的值不存在，即这样的直线不存在， 所以. 故选：C. 18．（23-24高二上·广东江门·期中）已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，若AC边上的高所在直线的方程为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，满足AC边上的高所在直线方程；将中点坐标代入方程；两方程联立可求得点坐标. 【详解】设，代入AC边上的高所在直线的方程得：， 的中点坐标为，代入方程为：， 即， 联立得，解得：，. 故答案为： 19．（23-24高二上·广东清远·期中）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)三角形的面积. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用直线的两点式方程即可求得所在直线的方程； （2）先求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得所在直线的方程； （3）利用点到直线距离公式求得边上的高，再利用两点间距离公式求得边的长，进而求得三角形的面积. 【详解】（1）因为， 所以直线的两点式方程为， 化简得； （2）因为，又， 则，所以， 则直线的方程为， 即. （3）点到直线：的距离 又的底边， 所以的面积为. 20．（22-23高二上·广东深圳·期中）已知直线． (1)若直线不经过第一象限，求k的取值范围； (2)若直线交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线的方程． 【答案】(1) (2)的最小值为，此时直线的方程为 【分析】(1)验证时，直线是否符合要求，当时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k的取值范围；(2)先求直线在轴和轴上的截距，表示的面积，利用基本不等式求其最小值. 【详解】（1）当时，方程可化为，不经过第一象限； 当时，方程可化为， 要使直线不经过第一象限，则 解得． 综上，k的取值范围为． （2）由题意可得， 由取得， 取得， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 综上，此时，直线的方程为． 圆的方程 21．（23-24高二上·广东江门·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算圆心关于直线对称的点是，得到圆方程. 【详解】圆，圆心为，半径为2， 设圆心关于直线对称的点是， 则，解得. 则所求圆的方程为. 故选：D 22．（22-23高二上·广东佛山·期末）已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出该圆的标准方程. 【详解】由题意可知，圆心为线段的中点，则圆心为， 圆的半径为， 故所求圆的方程为. 故选：D. 23．（22-23高二上·广东广州·期中）已知直线，圆，则圆关于直线对称的圆的方程为 . 【答案】 【分析】设圆心的对称点的坐标，由直线为线段中垂线，求出对称点的坐标，可得对称圆的方程 【详解】设圆心关于直线对称圆心为，由直线为线段中垂线， 可得，解得，， 得对称圆心为，圆的半径为1， 所以圆关于直线对称的圆的方程为. 故答案为： 24．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知的三个顶点坐标分别是，，.求： (1)外接圆的方程； (2)若点P是外接圆上的一动点，点为平面内一定点，求线段MP的中点N的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线段求中垂线方程以及两直线求交点，确定三角形外接圆的圆心坐标，进而求该圆的半径，可得答案. （2）利用中点坐标公式，建立等量关系，代入（1）所得的外接圆的方程，可得答案. 【详解】（1）由题意可作图如下：    由，则线段的中点坐标为， 线段的中垂线的斜率， 直线的方程为：； 同理可得线段的中垂线的方程：， 联立可得，解得，则直线与的交点， 显然点为外接圆的圆心，则该圆的半径， 所以外接圆的方程为：. （2）由题意可作图如下：    设的坐标为，的坐标为， 由为的中点，且，则，整理可得， 由在圆上，则， 所以，化简可得：. 25．（22-23高二上·广东佛山·期中）已知圆C过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程； （2）根据点关于直线对称的特征列方程可得，利用直线点斜式方程即可得出结果. 【详解】（1）由，得直线AB的斜率为，线段中点 所以，直线CD的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆C的方程为； （2）由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心， 设点M关于直线的对称点， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 则有，解得，所以， 所以直线CN即为直线，且， 直线方程为，即.      直线与圆的位置关系 26．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，直线， 可变形可得， 联立，解得，则直线恒过定点，记为， 圆的圆心为，半径，则， 又为圆的弦，设的中点为，则有， 所以， 易知，记，则，， 所以的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立. 即的面积的最大值为. 故选：D. 27．（21-22高二上·广东湛江·期中）若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】圆的圆心，半径，由圆上恰有三点到直线的距离为2，得到圆心到直线的距离为1，由此能出的值． 【详解】由得，所以圆心，半径， 因为圆上恰有三点到直线的距离为2， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得， 故选：C． 28．（23-24高二上·广东江门·期中）平面直角坐标系中，直线与交于点，则点到直线距离的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出点的轨迹，然后利用几何关系求出到直线距离的最小值. 【详解】由直线与直线，得 所以两直线垂直， 又因为直线恒过，直线恒过， 所以点的轨迹为以点和点为直径的圆， 即圆心为，半径， 所以， 圆心到直线的距离， 到直线距离的最小值为. 故答案为： 29．（23-24高二上·天津·期末）已知圆C经过，两点和坐标原点O. (1)求圆C的方程； (2)垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可知，由此得圆的半径，圆心，进而得解. （2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解. 【详解】（1）由题意可知， 所以圆C是以，中点为圆心，为半径的圆， 所以圆C的方程为. （2）因为垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且， 所以不妨设满足题意的方程为， 所以圆心到该直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为或 30．（22-23高二上·浙江丽水·期末）已知圆C经过点A（1,2）和B（5,-2），且圆C关于直线2x+y＝0对称． (1)求圆C的方程； (2)过点D（-3,1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程． 【答案】(1)（x﹣1）2+（y+2）2＝16 (2)x＝﹣3和7x﹣24y+45＝0 【分析】 （1）求出线段AB的垂直平分线与直线2x+y＝0的交点即为圆心，半径为|AC|，进而求出圆的方程； （2）当直线l的斜率存在时，设方程为y＝k（x+3）+1，利用直线与圆相切求出k，当直线l斜率不存在时写出直线的方程，验证是否与圆C相切即可. 【详解】（1） 已知圆C经过点A（1,2）和B（5,-2）， 则线段AB的垂直平分线方程为：y＝x-3，即 x-y-3＝0， 又圆心在直线2x+y＝0上， 联立，解得， 所以圆心为C（1,-2），半径为R＝|AC|＝4， 所以圆C的标准方程（x-1）2+（y+2）2＝16； （2） 若直线l的斜率存在，方程可设为y＝k（x+3）+1，即kx-y+3k+1＝0， 圆心C（1,-2）到直线l的距离d4，解得k， 故所求的一条切线为7x-24y+45＝0， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝-3，与圆C相切， 所以直线l的方程为x＝-3和7x-24y+45＝0． 圆与圆的位置关系 31．（23-24高二上·广东东莞·期中）圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将两个圆的方程相减，可得两圆的公共弦的方程，求得弦所在直线与坐标轴的截距，即可求得答案. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为1， 圆的圆心为，半径为2， 则两圆圆心距为，而，即圆与圆相交， 故将和相减得， 即圆与圆的公共弦所在直线方程为， 令，则；令，则， 故与两坐标轴所围城的三角形面积为， 故选：C 32．（23-24高二上·广东东莞·期中）M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据弦长公式先求出，然后可知点N在以为圆心，1为半径的圆上，结合图形即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为. 如图，由弦长公式知，，解得， 所以，点N在以为圆心，1为半径的圆上， 由图可知，的最小值为. 故选：B 33．（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 【答案】(1) (2)和圆相交，理由见解析， 【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解； （2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长. 【详解】（1）设圆的一般方程为：，把已知点代入得： ， 所以圆的方程为： （2）由（1）得圆的标准方程为：. ∴，，， ∵ 所以圆和圆相交， 设交点为A，B，直线AB方程为即： ， 所以到直线AB的距离所以. 两圆公共弦的长. 34．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 【答案】(1) (2)有，公共弦长为 【分析】（1）计算圆心到直线距离为，再根据弦长公式计算得到答案. （2）设，根据得到，计算圆心距得到两圆相交，确定公共弦方程，计算弦长得到答案. 【详解】（1）圆心到直线距离为，故，解得； （2），设，由得， 化简得：，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 圆心距，，两圆相交， 所以两圆有两个公共点， 由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 圆心到公共弦的距离为，则公共弦长为. 35．（23-24高二上·广东惠州·期中）已知点M到点的距离与点M到点的距离之比为. (1)求M点的轨迹C的方程； (2)求过轨迹C和的交点，且与直线相切的圆的方程； 【答案】(1) (2)或. 【分析】 （1）由题意得到，利用两点距离公式即可得到M点的轨迹C的方程； （2）求出交点坐标，设出圆心坐标，根据点到直线的距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】（1）依题意，得，不妨设， 因为，， 所以，即， 整理得，配方得， 所以点的轨迹的方程为. （2）联立得，解得或， 设，，该圆的圆心为， 显然圆心位于线段的垂直平分线上，即轴上，则设， 则，解得或， 当时，此时圆心坐标为，，则此时圆的方程为， 当当时，此时圆心坐标为，，则此时圆的方程为. 故满足题意的圆的方程为或.    圆的切线方程 36．（22-23高二下·广东佛山·期中）过原点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据圆的方程写出圆心坐标、半径，讨论切线斜率存在性，结合点线距离公式求切线方程. 【详解】由题意，圆的方程为，圆心为，半径为2， 当切线的斜率存在时，设切线方程为， 由圆心到直线的距离等于半径2，即，可得， 因此一条切线方程为； 当切线斜率不存在时，轴是符合条件的切线，方程为，    故选：C 37．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知圆心为的圆与直线：相切于点，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据圆心为的圆与直线：相切于点，由求得a即可. 【详解】解：因为圆心为的圆与直线：相切于点， 所以，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 故答案为： 38．（22-23高二上·广东汕头·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线过定点 ，以点为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，将直线的方程变形可得，进而联立，解可得、的值，即可得定点的坐标，结合直线与圆的位置关系分析可得点为圆心且与相切的所有圆中，半径最大的圆的半径，即可得答案． 【详解】根据题意，直线，即， 则有，解可得，即直线经过点； 设为，， 则， 以点为圆心且与相切的所有圆中，半径最大的圆的半径， 故半径最大的圆的标准方程为. 故答案为：，．      圆的弦长与弦心距 39．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为 . 【答案】 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式，列式计算即得. 【详解】圆的圆心，半径，点到直线的距离， 依题意，，即，于是，解得， 所以的值为. 故答案为： 40．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出直线经过的定点，再由弦长公式|可分析出当时，最小，从而可求得结果. 【详解】因为可化为， 令，解得：，所以直线恒过定点，该点在圆内， 因为，所以要求的最小值，即求圆心到直线的最大距离， 当时，最大，最小， 又因为圆：，所以圆心，, 则，此时：. 故答案为：. 41．（23-24高二上·广东揭阳·期中）已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为 . 【答案】12 【分析】结合图形分析，最长弦为过点的直径，最短弦为过点且与垂直的弦，分别求弦长，则可由对角线互相垂直求得四边形的面积. 【详解】圆， 由题意可得，圆心为，半径， 最长弦为过点的直径，且，    设过点的任意一条弦，过点作， 由图可知圆心到直线的距离 ， 则弦长为， 即最短的弦为过，且与垂直的弦， 最短弦长， 如图，四边形对角线， 则其面积. 故答案为：.    42．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍． (1)动点的轨迹为曲线，求的方程； (2)设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设动点的坐标为，根据题意列出方程，化简可得答案； （2）分离参数，求出直线所过定点E，确定当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值，结合圆的弦长的求解，即可求得弦的长度，结合直线的垂直关系即可求得直线的方程． 【详解】（1）设动点的坐标为，则由, 得，即， 即， 即的方程为； （2）直线，即， 由于，故令，解得， 即直线l过定点，设为，由于，故定点在圆内， 即直线l和圆相交， 当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值， 由于，故，圆半径为， 故的长度的最小值为. 又的斜率为，故此时直线l的斜率为3， 则直线l的方程为，即. 43．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线：和圆C：. (1)直线恒过一定点M，求出点M坐标； (2)当m为何值时，直线被圆C所截得的弦长最短，求出弦长. 【答案】(1) (2)当时，直线被圆C所截得的弦长最短，弦长为 【分析】（1）将直线化为，联立，即可求解定点坐标； （2）根据圆的性质知时，直线l被圆C所截得的弦长最短，利用几何法求解弦长即可. 【详解】（1）由得， 因为，所以有，解得，所以直线l恒过一定点， 即； （2）由得， 所以，半径，当时，直线l被圆C所截得的弦长最短， 所以有即，解得， 化为， 所以，所以，此时直线l的方程为即， 所以点到直线l的距离， 因此直线l被圆所截得的弦长最短为. 圆的公切线与公共弦 44．（23-24高二上·广东广州·期中）圆与圆的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则的值为（    ） A．3 B．2 C．2或 D．3或 【答案】D 【分析】根据题意，联立两个圆的方程，可得两圆的公共弦所在的直线的方程，由直线的方程可得该直线与,轴交点的坐标，进而可得，解可得的值，即可得答案． 【详解】根据题意，圆与圆， 即，两式相减可得：， 即两圆的公共弦所在的直线的方程为， 该直线与轴的交点为，与轴的交点为， 若公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则有， 变形可得：，解可得：或. 故选：D 45．（22-23高二上·广东清远·期中）已知圆C1：和圆C2：，则这两个圆的公切线的条数为（　　） A．1或3 B．4 C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程化为标准方程，求出圆心距，由半径之和小于圆心距知两圆相离，即可判断公切线的条数. 【详解】因为圆C1：，圆C2：， 所以圆心距， 而两圆半径之和，故两个圆相离， 则这两个圆的公切线有4条. 故选：B 46．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆，直线的方程，圆关于直线对称的圆为，则所表示的一系列圆的公切线方程为 . 【答案】或 【详解】圆的圆心为，设关于直线对称点为， 则解得， 圆的方程为 ，圆心为，半径， 若公切线的斜率不存在，圆心到直线的距离，符合题意； 若公切线的斜率存在，设直线与圆系中的所有圆都相切，则， 即， 直线与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的值都成立， 所以有，解得， 所以所表示的一系列圆的公切线方程为. 综上可得所表示的一系列圆的公切线方程为或. 故答案为：或 47．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆，圆. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求两圆的公切线方程. 【答案】(1)； (2)和 【分析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点到的距离，利用性质在直角三角形中勾股定理求解半弦长即可； （2）由形可知一条公切线为；求出直线与的交点，设另一条公切线的方程为，利用点到此公切线的距离等于半径，解即可得. 【详解】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为， 所以点到的距离为， 所以公共弦长为， 故两圆公共弦直线方程为，公共弦长为； （2）因为圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为， 由图象可知，有一条公切线为：， 直线与的交点为， 设另一条公切线的方程为，即， 则点到此公切线的距离，解得， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和． 48．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知圆：与圆：（）. (1)若，两圆相交于，两点，求直线的方程； (2)当实数取何值时，两圆外切. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将圆的方程化成一般式并与圆的方程相减即可得直线的方程为； （2）根据两圆外切可得圆心距与两圆半径之和相等，即可求得. 【详解】（1）根据题意将化成一般式可得， 若，则的方程为； 两圆方程相减可得，即； 所以直线的方程为； （2）显然：的圆心，半径 易知：可得，圆心，半径； 由两圆外切可知， 解得. 49．（22-23高二上·广东江门·期中）已知圆M经过两点B（0，－2），C（4，0），且圆心在直线上． (1)求圆M的方程； (2)已知圆，若圆M与圆N相交的公共弦的弦长为，求r的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆，代入点的坐标求得D、E、F的值，则圆的方程可求； （2）先根据两圆相交求出满足的不等式，再将两圆方程做差求出公共弦所在直线方程，最后利用垂径定理列方程求出. 【详解】（1）设圆， 代入已知点的坐标，可得 ，解得， 圆M的方程； （2）由（1）圆M的方程，圆心，半径为， 圆，圆心，半径为， 由圆M与圆N相交得， 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：， 根据弦长为有， 解得或，满足， 或. 直线与圆的综合问题 50．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)； (2)，或. 【分析】 （1）根据题意 ，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1） 解：由圆关于直线对称， 即圆心在直线，满足， 即圆， 又因为在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为. （2） 解：由，可得， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由由（1）圆心为，可得，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径， 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到，所以，解得或， 故所求直线l的方程为或. 51．（23-24高二上·广东江门·期中）已知方程， (1)若此方程表示圆，求的取值范围； (2)若的值为（1）中能取到的最大正整数，从而得到以为圆心的圆，已知动点为直线上的动点，由作圆的切线，切点为，试求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的一般式方程中的求解出的范围； （2）先表示出，然后确定出面积取最小值时的值，结合点到直线的距离公式完成计算. 【详解】（1）因为方程表示圆，所以， 所以， 即的取值范围是； （2）因为的值为（1）中能取到的最大正整数，所以， 所以，圆心，半径， 又因为， 所以取最小值时取最小值，且取最小值即为到直线的距离， 所以， 所以的最小值为. 52．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆． (1)直线l过点，截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程； (2)过圆上一点作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，求证直线OP和AB平行． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）分直线l的斜率不存在和存在两种情况，根据直线截圆C的弦长等于2，分别求得直线l的方程． （2）直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，设，与圆的方程联立后求出A，B坐标，代入斜率公式，判断直线OP和AB的斜率是否相等，即可得到答案． 【详解】（1）直线l过点， 当直线l的斜率不存在时，方程为，截圆C得到的弦长等于，满足条件． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心C到直线l的距离， 再由弦长公式可得 ，解得， 故所求的直线方程为，即． 综上可得，直线l的方程为 x＝1或． （2）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数， 故可设． 由 ，得， 因为P的横坐标一定是该方程的解， 故利用韦达定理求得． 同理． 所以 所以，直线AB和OP一定平行． 53．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知圆，直线. (1)对，直线与圆C能否相切？若相切，求出切线方程，若不相切，说明理由； (2)设直线l与圆C交于点A，B，若为等腰直角三角形，求l的方程. 【答案】(1)不能相切，理由见解析； (2). 【分析】（1）求出直线所过定点，判断点是否在圆内即可； （2）根据为等腰直角三角形求出圆心到直线的距离，然后由点到直线的距离公式可得m，即可得直线方程. 【详解】（1）直线与圆C不可能相切.理由如下： 将直线的方程化为， 所以直线过定点， 因为，所以点P在圆C内， 所以，直线与圆C不可能相切. （2）圆的圆心为，半径为， 作，垂足为D， 如图，若为等腰直角三角形，则， 则，即圆心C到直线l的距离为2. 于是有，解得. 所以，此时l的方程为，即. 54．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆，线段的一个端点在圆上运动，另一端点． (1)若线段的中点为，求点的轨迹方程，并指出点的轨迹是什么图形； (2)设（1）中点的轨迹为图形，由图形外一点向该图形引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求的最小值． 【答案】(1)；圆 (2) 【分析】（1）设出，然后表示出并代入圆的方程，从而求解. （2）由利用距离公式得出，然后利用几何知识从而求解. 【详解】（1）由题意得：设，由为线段中点，所以， 又点在圆上，所以：，化简得： 所以点的轨迹方程为， 点的轨迹是一个以为圆心为半径的圆. （2）由（1）知图：，得：， 又因为，所以：， 化简得：，所以点在直线上， 所以当最小时，即最小，即为原点到直线的距离， 故的最小值为. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$